Este documento analiza diferentes aproximaciones de funciones mediante las fórmulas de Taylor y Mac Laurin utilizando el software Mathematica. Se obtienen las expansiones de Taylor de funciones como xcosy= y la función de Cauchy, y se grafican las funciones originales junto con sus aproximaciones. También se desarrolla el polinomio de Mac Laurin de grado 2 para la función f(x,y)=senxseny y se grafican la función y su aproximación.
Este documento presenta conceptos básicos sobre funciones polinomiales. Define una función polinomial como aquella cuya regla de correspondencia es un polinomio. Explica que el dominio de toda función polinomial son los números reales, mientras que su rango depende del grado del polinomio. También introduce teoremas como el del residuo, factor y fundamental del álgebra, así como conceptos como ceros de la función y multiplicidad de raíces.
Este documento introduce las funciones de variable real, incluyendo su definición, dominio y diferentes reglas de correspondencia. Explica cómo determinar el dominio máximo de una función dada su regla de correspondencia, considerando restricciones como la división entre cero. También describe funciones con múltiples reglas de correspondencia en diferentes intervalos y cómo realizar operaciones como suma y multiplicación con funciones.
1. El documento presenta un manual de apoyo de Scilab para cursos de comunicaciones. Introduce conceptos básicos de vectores como su definición, representación, suma, resta y multiplicación por escalares. También explica vectores en un espacio tridimensional.
2. Se proveen ejemplos para representar gráficamente vectores utilizando Scilab, incluyendo la suma y resta de vectores, comprobando la regla del paralelograma, y la multiplicación de un vector por un escalar.
3. El documento es útil para estud
Este documento presenta conceptos clave sobre funciones y gráficas. Explica qué es una función, cómo se representa gráficamente y cómo se determinan el dominio y el recorrido. Además, introduce conceptos como la continuidad, las funciones periódicas y las simetrías. El objetivo es que el estudiante aprenda a reconocer e interpretar las características principales de las funciones y sus representaciones gráficas.
El documento describe diferentes tipos de funciones matemáticas como relaciones, funciones, funciones inyectivas, biyectivas y sobreyectivas. También explica conceptos como el dominio, rango e inversa de una función, así como operaciones entre funciones como suma, resta, multiplicación, división y composición.
Este documento describe la continuidad de funciones. Define la continuidad en un punto, operaciones con funciones continuas, continuidad lateral y continuidad en un intervalo. Incluye ejemplos y demostraciones para ilustrar estos conceptos. El objetivo es definir formalmente la continuidad de funciones de una variable real y construir funciones continuas.
El documento describe diferentes tipos de transformaciones de funciones que afectan la gráfica de una función, incluyendo traslaciones, reflexiones y expansiones-compresiones. Explica que las traslaciones mueven la gráfica horizontalmente hacia la izquierda o derecha, o verticalmente hacia arriba o abajo. Las reflexiones crean una imagen especular de la gráfica, ya sea reflejándola sobre el eje x o y. Las expansiones-compresiones hacen que la gráfica sea más ancha o estrecha, ya sea en la dirección x o y.
El documento trata sobre temas adicionales de la derivada, incluyendo la monotonía, máximos y mínimos, concavidad, gráficas sofisticadas, y teoremas como el valor medio para derivadas, Rolle y L'Hôpital. Explica cómo usar la derivada para determinar intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos, e intervalos de concavidad. También cubre conceptos como puntos críticos y cómo identificar máximos y mínimos locales.
Este documento presenta conceptos básicos sobre funciones polinomiales. Define una función polinomial como aquella cuya regla de correspondencia es un polinomio. Explica que el dominio de toda función polinomial son los números reales, mientras que su rango depende del grado del polinomio. También introduce teoremas como el del residuo, factor y fundamental del álgebra, así como conceptos como ceros de la función y multiplicidad de raíces.
Este documento introduce las funciones de variable real, incluyendo su definición, dominio y diferentes reglas de correspondencia. Explica cómo determinar el dominio máximo de una función dada su regla de correspondencia, considerando restricciones como la división entre cero. También describe funciones con múltiples reglas de correspondencia en diferentes intervalos y cómo realizar operaciones como suma y multiplicación con funciones.
1. El documento presenta un manual de apoyo de Scilab para cursos de comunicaciones. Introduce conceptos básicos de vectores como su definición, representación, suma, resta y multiplicación por escalares. También explica vectores en un espacio tridimensional.
2. Se proveen ejemplos para representar gráficamente vectores utilizando Scilab, incluyendo la suma y resta de vectores, comprobando la regla del paralelograma, y la multiplicación de un vector por un escalar.
3. El documento es útil para estud
Este documento presenta conceptos clave sobre funciones y gráficas. Explica qué es una función, cómo se representa gráficamente y cómo se determinan el dominio y el recorrido. Además, introduce conceptos como la continuidad, las funciones periódicas y las simetrías. El objetivo es que el estudiante aprenda a reconocer e interpretar las características principales de las funciones y sus representaciones gráficas.
El documento describe diferentes tipos de funciones matemáticas como relaciones, funciones, funciones inyectivas, biyectivas y sobreyectivas. También explica conceptos como el dominio, rango e inversa de una función, así como operaciones entre funciones como suma, resta, multiplicación, división y composición.
Este documento describe la continuidad de funciones. Define la continuidad en un punto, operaciones con funciones continuas, continuidad lateral y continuidad en un intervalo. Incluye ejemplos y demostraciones para ilustrar estos conceptos. El objetivo es definir formalmente la continuidad de funciones de una variable real y construir funciones continuas.
El documento describe diferentes tipos de transformaciones de funciones que afectan la gráfica de una función, incluyendo traslaciones, reflexiones y expansiones-compresiones. Explica que las traslaciones mueven la gráfica horizontalmente hacia la izquierda o derecha, o verticalmente hacia arriba o abajo. Las reflexiones crean una imagen especular de la gráfica, ya sea reflejándola sobre el eje x o y. Las expansiones-compresiones hacen que la gráfica sea más ancha o estrecha, ya sea en la dirección x o y.
El documento trata sobre temas adicionales de la derivada, incluyendo la monotonía, máximos y mínimos, concavidad, gráficas sofisticadas, y teoremas como el valor medio para derivadas, Rolle y L'Hôpital. Explica cómo usar la derivada para determinar intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos, e intervalos de concavidad. También cubre conceptos como puntos críticos y cómo identificar máximos y mínimos locales.
Este documento trata sobre funciones trigonométricas. Explica conceptos como ángulo, función seno, coseno y tangente. Incluye tablas con valores de estas funciones para ángulos conocidos como 30°, 45° y 60° usando el Teorema de Pitágoras. También cubre identidades trigonométricas y gráficas de las funciones.
Este documento trata sobre desigualdades lineales, cuadráticas y con fracciones. Explica las leyes de las desigualdades y cómo resolver este tipo de ecuaciones mediante la factorización y el uso de la recta numérica para determinar los intervalos de solución. También incluye ejemplos resueltos paso a paso.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de las funciones reales de variable real, incluyendo nociones preliminares como pares ordenados y producto cartesiano, definición de relaciones binarias y funciones, dominio y rango, y tipos comunes de funciones como polinómicas, raíces y logaritmos. También incluye ejemplos y prácticas para aplicar estos conceptos.
Este documento presenta diferentes tipos de ecuaciones y métodos para resolverlas. Introduce intervalos, el valor absoluto y sus propiedades. Explica cómo resolver ecuaciones lineales, cuadráticas, con radicales y con valor absoluto. Proporciona ejemplos resueltos de cada tipo de ecuación. El objetivo es que los estudiantes aprendan a identificar y resolver diversos tipos de ecuaciones algebraicas.
Este documento presenta información sobre funciones racionales. Introduce el concepto de función racional como una función que se expresa como el cociente de dos polinomios. Explica cómo graficar funciones racionales y determinar sus asíntotas. También cubre operaciones como suma, resta, multiplicación y división de funciones racionales. Finalmente, presenta ejemplos para ilustrar conceptos como evaluación, simplificación y operaciones con funciones racionales.
Este documento describe diferentes tipos de variación, incluyendo variación directa, variación inversa, variación conjunta y variación combinada. También describe expresiones racionales y funciones racionales, incluyendo cómo graficarlas y resolver ecuaciones racionales.
Este documento presenta un resumen del Capítulo 3 sobre la derivada. Explica la definición de derivada como el límite de la pendiente de la recta secante cuando el intervalo se hace más pequeño. También cubre temas como la velocidad instantánea, diferentes formas de calcular derivadas, reglas de derivación y derivadas de funciones hiperbólicas. El objetivo es definir la derivada y usarla para calcular ecuaciones de rectas tangentes y normales.
Este documento presenta una teoría sobre funciones de varias variables. Explica conceptos como límites, continuidad, derivadas parciales y diferenciales de funciones de dos o más variables. También describe gráficas como curvas y superficies de nivel para representar funciones de dos y tres variables respectivamente. Finalmente, ofrece ejemplos de funciones comunes de varias variables y sus interpretaciones geométricas.
Este documento presenta cómo utilizar Mathematica para resolver problemas relacionados con ecuaciones diferenciales. Introduce comandos para calcular derivadas, representar funciones gráficamente, y resolver ecuaciones diferenciales de primer orden y de orden superior. Incluye ejemplos y ejercicios para que el lector practique el uso de estos comandos de Mathematica.
El documento describe la serie de Taylor, una serie infinita de potencias que representa de manera exacta el comportamiento de una función en la vecindad de un punto. Al ignorar todos los términos excepto unos cuantos, se obtiene un polinomio que aproxima la función. El error del método depende de la precisión con que el polinomio aproxima a la función verdadera. Se presentan ejemplos de cómo usar la serie de Taylor para aproximar funciones en puntos específicos.
El documento explica conceptos básicos sobre funciones, incluyendo la definición de función, dominio y codominio, pares ordenados, gráficos de funciones, cálculo de imágenes y preimágenes, y ámbito.
Este documento describe el método de Newton para resolver sistemas de ecuaciones no lineales. Explica la fórmula iterativa para calcular las raíces reales de un sistema de n ecuaciones, presenta un algoritmo para implementar el método, y muestra un ejemplo numérico para resolver un sistema de dos ecuaciones en dos variables. Finalmente, propone una función para automatizar el método en MATLAB.
Este documento trata sobre cuatro capítulos relacionados con el cálculo. El Capítulo I introduce funciones exponenciales y logarítmicas. El Capítulo II cubre integrales. El Capítulo III cubre ecuaciones diferenciales. Y el Capítulo IV presenta métodos para resolver ecuaciones diferenciales. El documento también incluye referencias bibliográficas relacionadas con el cálculo.
Este documento trata sobre cuatro capítulos relacionados con el cálculo. El Capítulo I introduce funciones exponenciales y logarítmicas. El Capítulo II cubre integrales. El Capítulo III cubre ecuaciones diferenciales. Y el Capítulo IV presenta métodos para resolver ecuaciones diferenciales. El documento también incluye referencias bibliográficas relacionadas con el cálculo.
Resolver ecuaciones lineales y no lineales buenofrankkqqzz
Este documento presenta diferentes métodos en MATLAB para resolver ecuaciones no lineales, sistemas de ecuaciones no lineales y sistemas de ecuaciones lineales. Incluye ejemplos resueltos de cada tipo de problema usando métodos numéricos como bisección, Newton, punto fijo y el método de Newton para sistemas, así como funciones internas de MATLAB como fzero y roots.
Este documento presenta definiciones y propiedades relacionadas con los límites de funciones. Define el límite de una función cuando x tiende a un valor a y presenta propiedades como que el límite de una función constante es la constante, el límite de una función identidad es el valor al que tiende x, y el límite de la suma o diferencia de funciones es la suma o diferencia de sus límites individuales. También incluye ejemplos de cálculo de límites usando estas propiedades.
El documento presenta varios ejercicios y problemas resueltos sobre límites y continuidad de funciones. El primer ejercicio comprueba que el límite de una función cuando x tiende a 2 es 4. El segundo ejercicio analiza la continuidad de una función dada su gráfica. El tercer ejercicio determina los puntos donde la función no tiene límite.
El documento resume las principales características de las funciones, incluyendo su definición, formas de expresarlas (tabla, enunciado, algebraica, gráfica), elementos (conjunto de salida, conjunto de llegada, dominio, rango), y tipos de funciones (polinómicas como lineal, cuadrática, cúbica; trigonométricas; valor absoluto; exponencial; logarítmica). También describe funciones inyectivas, sobreyectivas, biyectivas, pares e impares.
El documento describe una sección sobre las raíces de una ecuación cuadrática. Explica cómo encontrar las raíces mediante la fórmula cuadrática y analiza las características de las soluciones según el discriminante. También relaciona la suma y el producto de las raíces con los coeficientes de la ecuación cuadrática.
Este documento discute cuatro maneras de representar funciones: verbalmente, numéricamente, visualmente y algebraicamente. Presenta ejemplos de funciones que se representan de manera más natural en una forma que en otra. La función P que modela la población mundial con el tiempo se describe primero verbalmente y luego se elabora una tabla de valores numéricos. La función C que modela el costo de envío postal se describe verbalmente pero no tiene una fórmula algebraica simple.
Este documento presenta información sobre funciones matemáticas y cómo graficarlas y encontrar sus raíces en MATLAB. Explica conceptos como dominio, codominio e imagen de una función, así como tipos de funciones como suprayectivas, inyectivas y biyectivas. Luego proporciona ejemplos de cómo graficar funciones cuadráticas y encontrar sus raíces numérica y gráficamente en MATLAB usando comandos como plot, ezplot, solve y zooming.
Este documento trata sobre funciones trigonométricas. Explica conceptos como ángulo, función seno, coseno y tangente. Incluye tablas con valores de estas funciones para ángulos conocidos como 30°, 45° y 60° usando el Teorema de Pitágoras. También cubre identidades trigonométricas y gráficas de las funciones.
Este documento trata sobre desigualdades lineales, cuadráticas y con fracciones. Explica las leyes de las desigualdades y cómo resolver este tipo de ecuaciones mediante la factorización y el uso de la recta numérica para determinar los intervalos de solución. También incluye ejemplos resueltos paso a paso.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de las funciones reales de variable real, incluyendo nociones preliminares como pares ordenados y producto cartesiano, definición de relaciones binarias y funciones, dominio y rango, y tipos comunes de funciones como polinómicas, raíces y logaritmos. También incluye ejemplos y prácticas para aplicar estos conceptos.
Este documento presenta diferentes tipos de ecuaciones y métodos para resolverlas. Introduce intervalos, el valor absoluto y sus propiedades. Explica cómo resolver ecuaciones lineales, cuadráticas, con radicales y con valor absoluto. Proporciona ejemplos resueltos de cada tipo de ecuación. El objetivo es que los estudiantes aprendan a identificar y resolver diversos tipos de ecuaciones algebraicas.
Este documento presenta información sobre funciones racionales. Introduce el concepto de función racional como una función que se expresa como el cociente de dos polinomios. Explica cómo graficar funciones racionales y determinar sus asíntotas. También cubre operaciones como suma, resta, multiplicación y división de funciones racionales. Finalmente, presenta ejemplos para ilustrar conceptos como evaluación, simplificación y operaciones con funciones racionales.
Este documento describe diferentes tipos de variación, incluyendo variación directa, variación inversa, variación conjunta y variación combinada. También describe expresiones racionales y funciones racionales, incluyendo cómo graficarlas y resolver ecuaciones racionales.
Este documento presenta un resumen del Capítulo 3 sobre la derivada. Explica la definición de derivada como el límite de la pendiente de la recta secante cuando el intervalo se hace más pequeño. También cubre temas como la velocidad instantánea, diferentes formas de calcular derivadas, reglas de derivación y derivadas de funciones hiperbólicas. El objetivo es definir la derivada y usarla para calcular ecuaciones de rectas tangentes y normales.
Este documento presenta una teoría sobre funciones de varias variables. Explica conceptos como límites, continuidad, derivadas parciales y diferenciales de funciones de dos o más variables. También describe gráficas como curvas y superficies de nivel para representar funciones de dos y tres variables respectivamente. Finalmente, ofrece ejemplos de funciones comunes de varias variables y sus interpretaciones geométricas.
Este documento presenta cómo utilizar Mathematica para resolver problemas relacionados con ecuaciones diferenciales. Introduce comandos para calcular derivadas, representar funciones gráficamente, y resolver ecuaciones diferenciales de primer orden y de orden superior. Incluye ejemplos y ejercicios para que el lector practique el uso de estos comandos de Mathematica.
El documento describe la serie de Taylor, una serie infinita de potencias que representa de manera exacta el comportamiento de una función en la vecindad de un punto. Al ignorar todos los términos excepto unos cuantos, se obtiene un polinomio que aproxima la función. El error del método depende de la precisión con que el polinomio aproxima a la función verdadera. Se presentan ejemplos de cómo usar la serie de Taylor para aproximar funciones en puntos específicos.
El documento explica conceptos básicos sobre funciones, incluyendo la definición de función, dominio y codominio, pares ordenados, gráficos de funciones, cálculo de imágenes y preimágenes, y ámbito.
Este documento describe el método de Newton para resolver sistemas de ecuaciones no lineales. Explica la fórmula iterativa para calcular las raíces reales de un sistema de n ecuaciones, presenta un algoritmo para implementar el método, y muestra un ejemplo numérico para resolver un sistema de dos ecuaciones en dos variables. Finalmente, propone una función para automatizar el método en MATLAB.
Este documento trata sobre cuatro capítulos relacionados con el cálculo. El Capítulo I introduce funciones exponenciales y logarítmicas. El Capítulo II cubre integrales. El Capítulo III cubre ecuaciones diferenciales. Y el Capítulo IV presenta métodos para resolver ecuaciones diferenciales. El documento también incluye referencias bibliográficas relacionadas con el cálculo.
Este documento trata sobre cuatro capítulos relacionados con el cálculo. El Capítulo I introduce funciones exponenciales y logarítmicas. El Capítulo II cubre integrales. El Capítulo III cubre ecuaciones diferenciales. Y el Capítulo IV presenta métodos para resolver ecuaciones diferenciales. El documento también incluye referencias bibliográficas relacionadas con el cálculo.
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Este documento presenta diferentes métodos en MATLAB para resolver ecuaciones no lineales, sistemas de ecuaciones no lineales y sistemas de ecuaciones lineales. Incluye ejemplos resueltos de cada tipo de problema usando métodos numéricos como bisección, Newton, punto fijo y el método de Newton para sistemas, así como funciones internas de MATLAB como fzero y roots.
Este documento presenta definiciones y propiedades relacionadas con los límites de funciones. Define el límite de una función cuando x tiende a un valor a y presenta propiedades como que el límite de una función constante es la constante, el límite de una función identidad es el valor al que tiende x, y el límite de la suma o diferencia de funciones es la suma o diferencia de sus límites individuales. También incluye ejemplos de cálculo de límites usando estas propiedades.
El documento presenta varios ejercicios y problemas resueltos sobre límites y continuidad de funciones. El primer ejercicio comprueba que el límite de una función cuando x tiende a 2 es 4. El segundo ejercicio analiza la continuidad de una función dada su gráfica. El tercer ejercicio determina los puntos donde la función no tiene límite.
El documento resume las principales características de las funciones, incluyendo su definición, formas de expresarlas (tabla, enunciado, algebraica, gráfica), elementos (conjunto de salida, conjunto de llegada, dominio, rango), y tipos de funciones (polinómicas como lineal, cuadrática, cúbica; trigonométricas; valor absoluto; exponencial; logarítmica). También describe funciones inyectivas, sobreyectivas, biyectivas, pares e impares.
El documento describe una sección sobre las raíces de una ecuación cuadrática. Explica cómo encontrar las raíces mediante la fórmula cuadrática y analiza las características de las soluciones según el discriminante. También relaciona la suma y el producto de las raíces con los coeficientes de la ecuación cuadrática.
Este documento discute cuatro maneras de representar funciones: verbalmente, numéricamente, visualmente y algebraicamente. Presenta ejemplos de funciones que se representan de manera más natural en una forma que en otra. La función P que modela la población mundial con el tiempo se describe primero verbalmente y luego se elabora una tabla de valores numéricos. La función C que modela el costo de envío postal se describe verbalmente pero no tiene una fórmula algebraica simple.
Este documento presenta información sobre funciones matemáticas y cómo graficarlas y encontrar sus raíces en MATLAB. Explica conceptos como dominio, codominio e imagen de una función, así como tipos de funciones como suprayectivas, inyectivas y biyectivas. Luego proporciona ejemplos de cómo graficar funciones cuadráticas y encontrar sus raíces numérica y gráficamente en MATLAB usando comandos como plot, ezplot, solve y zooming.
Este documento presenta la unidad 2 de cálculo diferencial. Introduce conceptos clave como función, límites, dominio, contradominio y reglas de correspondencia. Explica cómo representar funciones mediante ecuaciones, tablas de valores y gráficas. Además, clasifica las funciones como inyectivas, sobreyectivas o biyectivas dependiendo de sus propiedades. Finalmente, incluye ejemplos y ejercicios prácticos para aplicar estos conceptos.
Este documento explica cómo aplicar derivadas para calcular la velocidad y aceleración de un objeto que se mueve en línea recta. Primero define la velocidad como la derivada de la posición con respecto al tiempo y la aceleración como la derivada de la velocidad con respecto al tiempo. Luego ilustra estos conceptos con ejemplos numéricos y explica la derivación implícita para funciones donde la variable dependiente no puede ser despejada explícitamente.
Este documento presenta conceptos básicos sobre funciones. En 3 oraciones o menos:
Introduce el concepto de función y define variables independientes y dependientes. Explica que una función relaciona un valor de entrada con un único valor de salida y puede representarse como y=f(x). Presenta formas de determinar funciones como tablas de valores, expresiones analíticas y gráficas.
El documento presenta definiciones y ejemplos relacionados con funciones polinomiales, cuadráticas y lineales. Explica conceptos como dominio, rango, pendiente, intersección, ceros de una función, vértice de una parábola y discriminante. Incluye ejemplos resueltos de funciones polinomiales de segundo y tercer grado y cuadráticas.
El documento presenta definiciones y ejemplos de funciones polinomiales, cuadráticas y racionales. Explica conceptos como dominio, rango, pendiente, intersección, ceros, raíces, vértice y discriminante. Incluye ejemplos de funciones lineales, cuadráticas y cúbicas con sus respectivas gráficas y soluciones.
El documento presenta definiciones y ejemplos de funciones polinomiales, cuadráticas y racionales. Explica conceptos como dominio, rango, pendiente, intersección, ceros, raíces, vértice y discriminante. Incluye ejemplos de funciones lineales, cuadráticas y cúbicas con sus correspondientes gráficas.
Este documento introduce los conceptos de límite y derivada, que son fundamentales en cálculo. Explica que un límite representa el valor al que se aproxima una función cuando la variable independiente se acerca a un valor particular. Luego define la derivada de una función como la tasa de cambio de dicha función con respecto a la variable independiente y presenta diferentes formas de notarla. Finalmente, muestra cómo calcular derivadas usando la definición formal de límite.
Este documento describe métodos numéricos para encontrar las raíces de ecuaciones no lineales, incluyendo el método gráfico y el método de bisección. El método gráfico estima las raíces al trazar la función y encontrar donde corta el eje x. El método de bisección itera entre los límites de un intervalo para converger a una raíz mediante la división repetida del intervalo a la mitad. El documento también presenta ejemplos y algoritmos para implementar estos métodos en MATLAB.
Este documento introduce conceptos básicos sobre funciones reales. Explica que una función asocia a cada elemento de un conjunto dominio un único elemento de un conjunto recorrido. Describe cómo representar funciones de manera algebraica, gráfica y numérica. Cubre temas como el dominio, la imagen, la representación gráfica y la composición de funciones. El objetivo es que los estudiantes aprendan a reconocer, analizar y representar diferentes tipos de funciones reales.
Este documento presenta la unidad 1 de pre-cálculo sobre funciones. Incluye los objetivos de analizar las propiedades de una función a través de su representación analítica y gráfica. Cubre temas como definición, dominio y rango, elementos de gráficos, operaciones con funciones e inversas. Los objetivos específicos son determinar si un par ordenado o diagrama de flechas representa una función, y usar la prueba de línea vertical para identificar funciones en gráficos.
Este documento presenta ejemplos y conceptos relacionados con el análisis de funciones de una variable, incluyendo el estudio de propiedades como el dominio, rango, asíntotas, intervalos de crecimiento y concavidad, extremos relativos y puntos de inflexión a través del análisis gráfico y analítico de funciones. También cubre temas como la aproximación de funciones mediante polinomios de Taylor y la definición de funciones definidas a trozos.
Este documento trata sobre funciones y gráficas. Explica conceptos como funciones reales, dominio y recorrido, funciones definidas a trozos, propiedades de las funciones como continuidad y periodicidad, y tasa de variación y crecimiento. Contiene ejemplos y ejercicios resueltos para practicar estos conceptos.
Este documento presenta diferentes tipos de funciones matemáticas y sus gráficas. Define conceptos como función, variable dependiente e independiente. Explica funciones lineales, cuadráticas, polinómicas, racionales, exponenciales y logarítmicas. También cubre progresiones aritméticas y geométricas. El objetivo es entender el uso de funciones y poder aplicarlas a problemas. Incluye ejemplos y ejercicios para practicar la representación gráfica de funciones.
CÁLCULO INTEGRAL. CAPÍTULO 4. DERIVACIÓN Y DIFERENCIACIÓN DE FUNCIONES ESCALA...Pablo García y Colomé
Este documento introduce conceptos básicos sobre funciones escalares de varias variables, incluyendo su dominio, codominio e imagen. Explica cómo representar estas funciones gráficamente mediante curvas de nivel y en 3D. Incluye ejemplos de funciones escalares de dos variables y su dominio.
Este documento presenta conceptos básicos sobre funciones polinomiales. Define una función polinomial como aquella cuya regla de correspondencia es un polinomio. Explica que el dominio de toda función polinomial son los números reales, mientras que su rango depende del grado del polinomio. También introduce teoremas como el del residuo, factor y algebra fundamental, así como conceptos como ceros de la función y multiplicidad de raíces.
1. El documento define conceptos básicos de funciones como dominio, campo de valores y representaciones alternas como diagramas, conjuntos de pares ordenados, gráficas y ecuaciones.
2. Se explican métodos para determinar si una relación o ecuación representan una función, como el teorema de la línea vertical para gráficas.
3. Se proveen ejemplos para ilustrar cómo identificar el dominio y campo de valores de funciones dadas en diferentes formas.
1. El documento explica cómo derivar e integrar series de potencias, así como determinar su radio de convergencia. También presenta teoremas sobre la derivación e integración de series de potencias dentro de su radio de convergencia.
2. Incluye ejemplos de cálculo del radio de convergencia de una serie y de derivación e integración de series de potencias.
3. Explica los polinomios de Taylor y de McLaurin para aproximar funciones, dando un ejemplo numérico de aproximación con polinomio de Taylor.
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1. APROXIMACIONES DE LA FÓRMULA DE TAYLOR CON EL MATHEMATICA
Luisa Lucila Lazzari
ilazzari@econ.uba.ar
Andrea Parma
matejuan1@yahoo.com.ar
Julio C. Ferreiro
jcferreiro@speedy.com.ar
1ª Cátedra de Análisis Matemático II
Facultad de Ciencias Económicas
Universidad de Buenos Aires
Julio 2006
1- INTRODUCCION
Este trabajo forma parte de una investigación iniciada en el año 2005, que consiste en el diseño y
desarrollo de aplicaciones del software Mathematica como herramienta de cálculo simbólico y
numérico, y recurso didáctico, para ser usada en la enseñanza de las asignaturas Análisis Matemático I
y II.
El objetivo fundamental es que el alumno desarrolle algunas actividades con el programa
Mathematica que le permitan facilitar la construcción del conocimiento de los temas desarrollados en
las clases teóricas. Las ventajas del uso de la tecnología en la educación matemática son muy
significativas, pues permite un manejo más dinámico de múltiples sistemas de representación de
objetos matemáticos.
En esta presentación se analizan diferentes casos de aproximación de funciones, expresadas en forma
explícita o definidas implícitamente por una ecuación, mediante las fórmulas de Taylor y de Mac
Laurin. Este tema desempeña un papel importante en muchas áreas de la matemática aplicada y
computacional.
Además de obtener la fórmula de Taylor con el Mathematica, se visualizan y comparan los gráficos de
la función original con sus aproximaciones lineales, cuadráticas y de orden superior. Para el caso de
funciones de dos variables independientes se realiza el gráfico de las curvas de nivel y se muestran sus
diferencias.
2. POLINOMIO DE TAYLOR PARA FUNCIONES DE UNA VARIABLE INDEPENDIENTE
2.1. Desarrollo de la función f : ∇ ∇ xcosy = en la proximidad de x= 0
El programa Mathematica tiene un comando llamado Series que permite obtener el desarrollo de una
función f en serie de potencias en la proximidad de x = a hasta orden n.
Su sintaxis es: Series[f, {var, a, n}]
En primer lugar se considera una función sencilla ( ) xcosxf =1 y se obtiene el desarrollo de Mac
Laurin, hasta orden 5.
2. en la que ( ) ( ) xcx
!
cf
xRx
VI
<<== 0donde
6
][0 6
6
6 representa el resto o cota de error de
Lagrange que se obtiene al aproximar la función xcosy = mediante un polinomio de 5º grado.
Se realiza el gráfico de la función cuya fórmula es xcosf =1 (Figura 1) con el Mathematica,
considerando [ ]88;x −∈ . Para trabajar más cómodamente se define la función a utilizar mediante la
forma genérica f [var_] = , así es fácil invocarla cuando se la precise
Nótese que la Figura 1 no está en la misma escala en ambos ejes, pero de este modo se aprecian mejor
algunas de sus características.
Si se considera una aproximación de 1º orden, se obtiene el polinomio )(1 xP cuya gráfica (Figura 2)
es de grado 0, pues ( ) 001 =′f
Figura 1.
-7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5
-1
-0.5
0.5
1
Figura 2.
[1]
3. Luego se obtienen las aproximaciones de 2º y 3º orden que son iguales y de grado 2, pues ( ) 001 =′′′f
. Se grafican estos polinomios, designándolos ( )xP2 (Figura 3).
Se calculan los polinomios de 4º y 5º grado, ( )xP4 , que son iguales pues ( ) 00 =vf . Su gráfica se
muestra en la Figura 4.
Figura 3.
2
1
2
x
y −=
Figura 4.
4. 2.2. Visualización simultánea de funciones
Para visualizar dos o más gráficos en el mismo sistema de ejes cartesianos, se utiliza el comando
Show del Mathematica.
La gráfica de la función original y su aproximación de grado 2, se presentan en la Figura 5.
En la Figura 6 están representadas todas las aproximaciones obtenidas, junto con la función original.
Figura 5. Gráfico de la función y su
aproximación de grado 2
-7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5
-2
2
4
Figura 6. Gráfico de la función y sus
aproximaciones
5. Si se desea dibujar todas las aproximaciones en una matriz de gráficos para su mejor visualización, se
utiliza la opción GraphicsArray, combinada con Show (Figura 7).
3. SERIE DE TAYLOR
Sea una función de una variable independiente con derivadas de todos los órdenes en algún intervalo
( )ra;ra +− , con 0>r .
La fórmula de Taylor es:
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )xRax
!n
af
...ax
!
af
ax
!
af
axafafxf n
n
n
1
32
32
)( ++−++−
′′′
+−
′′
+−′+= con
( )
( )( )
( )
( )
1
1
1
n
n
n ax
!n
cf
xR −
+
=
+
+ y ( )ra;rac +−∈ .
La serie de Taylor ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +−
′′′
+−
′′
+−′+= 32
32
)( ax
!
af
ax
!
af
axafafxf
representa a la función f en el intervalo ( )ra;ra +− si y solo si
( ) 01 =
∞→
+
n
n xRlim .
3.1. La serie de Taylor para la función xcosxf =)(1
En 2.1. se desarrolló la función xcosxf =)(1 obteniéndose la expresión [1]. Entonces
⋅⋅⋅++−=
24
4
2
2
1
xx
cosx [2]
Figura 7. Diferentes aproximaciones de la función
6. La expresión [2] es válida, siempre que ( )
( ) ( )
( )
0
!1
1
1
1 =
+
= +
+
∞→
+
∞→
n
n
n
n
n
x
n
cf
limxRlim
Para xcosy = se cumple
( )( ) ( )( ) 1o1 11
≤=≤= ++
xcosxfsenxxf nn
De modo que ( )
( )!1
1
1
+
≤
+
+
n
x
xR
n
n
Pero a su vez la serie de potencias
( )∑
∞
+
+
0 !1
1
n
x
n
es convergente ∈∀x ∇.
En efecto,
( )
( )
( )
0
2
!1
!2
1
2
1
=
+
=
+
+
==
∞→+
+
∞→
+
∞→ n
x
lím
n
x
n
x
lím
a
a
lím
nn
n
nn
n
n
ρ ,
por lo tanto el radio de convergencia es infinito. A su vez si la serie es convergente ∈∀x ∇ se puede
asegurar que ∈∀x ∇.
( )
0
!1
1
=
+
+
∞→ n
x
lim
n
n
. Como consecuencia ( ) 0=
∞→
xRlim n
n
y la serie [2]
representa a la función.
3.2. La función de Cauchy
La función de Cauchy está definida de la siguiente manera:
f : ∇ ∇ / ( )
=
≠=
−
0si0
0si
2
1
x
xexf x
Para 0≠x , la función f(x) tiene derivadas de todos los órdenes, que se determinan mediante las
reglas de derivación elementales.
Se calculan con el Mathematica las derivadas de orden 1º, 2º y enésimo.
Por lo tanto las derivadas son:
( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) x/x/pxex/pxf
xexxxfxexxf
n
x/
n
n
x/x/
1derespectopolinomiounes1donde01general,En
046;02
21
2164213
≠∀=
≠∀+−=′′≠∀=′
−
−−−−−
7. Se observa que ( )( )xf n
, para ∈n es una combinación lineal de expresiones del tipo
211 x/
k
e
x
−
, donde ∈k .
Además se verifica que ( ) ( ) ∈∀= n,f n 00 , es decir 0
1 21
0
=
−
→
x/
kx
e
x
lim . Esto se comprueba
fácilmente haciendo el cambio de variable 2
1 x/t = 0
1 221
0
==
∞→
−
→ t
k/
t
x/
kx e
t
lime
x
lim .
Por lo tanto la función de Cauchy tiene derivadas de todos los órdenes nulas en el origen. La serie de
Mac Laurin es:
( )( ) ∈∀=+++=∑
∞
x...xxx
n
f n
n
0000
!
0 2
0
∇.
Finalmente se observa que esta serie no representa la función de Cauchy, pues converge a y = 0.
Es obvio que para esta función no se cumple ( ) 01 =+
∞→
xRlim n
n
. Es posible visualizar esta situación en
la Figura 8, sacando como conclusión que ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )xfxfx
i
f
xfxR i
n
i
i
n =−=−= ∑
=
+ 0
!
0
0
1
Figura 8. Función de Cauchy y convergencia de la serie
8. 4. POLINOMIO DE TAYLOR PARA FUNCIONES DE DOS VARIABLES
INDEPENDIENTES
4.1. Polinomio de Mac Laurin para la función f : ∇2
∇ / f (x, y) = sen x sen y
Para obtener el polinomio de 2º grado que aproxime la función f(x, y) = sen x sen y en un entorno del
origen se utiliza la fórmula de Mac Laurin para dos variables independientes, con ayuda del operador
diferencial simbólico.
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) 10
!1
1
00
!
1
00
!2
1
0000
1
2
<<
∂
∂
+
∂
∂
+
+
∂
∂
+
∂
∂
+
++
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+=
+
θθθ ,y,xf
y
y
x
x
n
,f
y
y
x
x
n
,f
y
y
x
x,f
y
y
x
x,fy,xf
nn
Para una aproximación de 2º orden, la fórmula de Mac Laurin se reduce a:
( ) ( ) ( )
( )
( ) 3
2
00
!2
1
0000 R,f
y
y
x
x,f
y
y
x
x,fy,xf +
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+=
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( )[ ]
3
3223
22
33
6
1
0000200
2
1
000000
R
yyyxyyxxyxxx
yyxyxxyx
cy,cxfycy,cxfxycy,cxfyxcy,cxfx
,fy,fyx,fx,fy,fx,fy,xf
′′′+′′′+′′′+′′′
+′′+′′+′′+′+′+=
Donde
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 000000100000000000 =′′=′=′′=′=′′= ,f,,f,,f,,f,,f,,f yyyxyxxx
Reemplazando en la expresión anterior, se obtiene
( )
yxysenxsen
yyxxysenxsen
≅
+++++≅ )0()1(2)0(
2
1
000 22
El error en la aproximación es
( ) ( ) ( ) ( )( )cy,cxfycy,cxfxycy,cxfyxcy,cxfxR yyyxyyxxyxxx ′′′+′′′+′′′+′′′= 3223
3 33
6
1
En la Figura 9 puede observarse el gráfico de la función y la aproximación de segundo orden.
Si se desarrolla la función en un entorno del origen hasta el término de cuarto orden, se obtiene la
siguiente expresión:
Figura 9. f(x;y) = senx seny y su aproximación de 2º orden
9. ( )
66
33
yxyx
xyy,xf −−≅
En la Figura 10.a se presenta el gráfico del polinomio de 4º orden de aproximación y en la Figura 10.b
el polinomio y la función, superpuestos.
Se observa que en la Figura 10.b, la parte que tiene mallado en el entorno del origen (ver recuadro),
aproxima con más exactitud que en la Figura 10.a.
4.2. Comparación de curvas de nivel
Se obtienen con el Mathematica las curvas de nivel de la función original y se comparan con las de sus
aproximaciones de 2º y 4º orden.
Figura 10. a. Polinomio de 4º orden
Figura 10. b. Función y polinomio
superpuestos
-2
-1
0
1
2 -2
-1
0
1
2
-1
0
1
-2
-1
0
1
2
-2
-1
0
1
2 -2
-1
0
1
2
-1
0
1
-2
-1
0
1
2
Figura 11. Curvas de nivel de la función
Figura 12. Curvas de nivel del polinomio de 2º grado
10. Se observa que las curvas de nivel de la función original (Figura 11) son más similares a las de su
aproximación de 4º orden (Figura 13).
5. POLINOMIO DE TAYLOR PARA FUNCIONES DEFINIDAS EN FORMA IMPLÍCITA
5.1. Gráfica de una función ( )xfy = definida implícitamente en un determinado dominio
Dada la ecuación
( ) 0123
=+−−= xxyyy;xH [3]
se analiza si la misma define una función ( )xfy = en un entorno del punto (1;1). Para ello se
verifican, con la ayuda del Mathematica, las hipótesis del Teorema de Cauchy-Dini:
a) ( ) 011 =;H
0
Figura 13. Curvas de nivel del polinomio de 4º grado
11. b) Las derivadas parciales de ( )y;xH son continuas en un ( )11;E
c) ( ) 011 ≠
∂
∂
;
y
H
Al cumplirse las condiciones de Cauchy-Dini, se asegura la existencia de la función ( )xfy = en un
entorno del punto (1; 1).
Para dibujar esta función con el Mathematica (Figura 14) se obtiene la intersección de los gráficos de
( )y;xHz = y de z = 0 (curva de nivel cero de la función ( )y;xHz = ).
Agregando al comando Show un punto de vista adecuado, se obtiene la gráfica de ( )xfy = en un
( )11;E con bastante precisión (Figura 15.a).
También se puede realizar la gráfica de la función ( )xfy = en un entorno del punto (1;1) trabajando
con el comando ContourPlot, considerando un rango conveniente para x e y (Figura 15.b).
Figura 14. Intersección de los gráficos de y de z = 0
12. 5.2. Polinomio de Taylor para la función ( )xfy = definida implícitamente en un determinado
dominio
En primer lugar se calcula la derivada primera de la función ( )xfy = en el punto (1;1), utilizando la
fórmula:
y
x
H
H
dx
dy
′
′
−=
1
Por lo tanto ( ) 11;1
dx
dy
u ==
Ahora se calcula la derivada segunda )1;1(
dx
yd
2
2
Para ello se debe derivar la función [4], teniendo en cuenta que ( )xyy = .
Se asigna a la variable y la expresión ( )xy en [4] y luego se deriva. Esto se puede realizar debido a
que el Mathematica es un programa de cálculo simbólico.
[4]
Figura 15.a. Gráfico de la función como intersección de
los gráficos de y de z = 0
Figura 15.b. Gráfico de la función dada en forma
implícita como curva de nivel
13. y por la regla generalizada de la cadena para funciones de varias variables, se obtiene:
El Polinomio de Taylor de orden dos que aproxima a la función ( )xyy = en un E(1;1) es:
La gráfica de la aproximación de 2º orden se presenta en la Figura 16.
También se representa (Figura 17) la aproximación de 1º orden en un entorno del punto (1;1).
:
Figura 16. Aproximación de 2º orden
Figura 17. Aproximación de 1º orden
14. Finalmente se compara la función original, con sus aproximaciones de 1º y 2º orden (Figura 18).
Para hallar el polinomio de grado tres, se calcula '''y con el Mathematica.
Se observa la complejidad de las expresiones de las derivadas sucesivas y la ventaja del uso del
software para realizar este tipo de cálculos.
Así, el polinomio de tercer grado que aproxima a una de las posibles funciones definidas
implícitamente en el entorno considerado es:
y el de cuarto grado, es:
En la Figura 19 se muestra la función original con sus aproximaciones de 2º, 3º y 4º orden.
Figura 18. Función original y
aproximaciones de 1º y 2º orden
15. 6. CONCLUSIONES
El uso de la computadora en la enseñanza de la matemática permite incluir ejercitación más compleja
desde el punto de vista del cálculo y también más próxima a las reales condiciones del trabajo que
desempeñarán los alumnos en su vida profesional, a la vez que dinamiza la operatoria rutinaria.
Potencia el desarrollo del conocimiento y del aprendizaje, la creatividad, el aprendizaje por
descubrimiento y exploración y la resolución de problemas concretos vinculados a su desempeño
profesional.
El empleo de programas de cálculo simbólico, como el Mathematica, para el estudio y representación
de funciones mediante el desarrollo de Taylor resulta muy adecuado, tanto desde el punto de vista
didáctico como práctico.
Este tema es muy importante para los estudiantes de carreras de Ciencias Económicas dado la gran
cantidad de aplicaciones que presenta, entre las que se pueden mencionar:
• En Análisis Numérico, entre otros temas, se aplica al cálculo de errores, ajuste de datos observados
a una curva por mínimos cuadrados, en los métodos numéricos de integración, en el método de
Runge-Kutta para problemas de valor inicial para ecuaciones diferenciales ordinarias.
• En la Teoría de Inversiones, los desarrollos en serie de Taylor permiten obtener modelos más
generales de inversiones bajo incertidumbre, en particular los que emplean movimientos
Brownianos y el lema de Ito, como así también la ecuación de Kolmogorov.
• En Estadística y Econometría se suelen hacer lineales los estimadores aplicando la fórmula de
Taylor. También se utiliza en la formulación y estimación de modelos especiales, como los
intrínsecamente lineales (que resultan no lineales respecto a las variables pero lineales respecto a
los parámetros a estimar) y los íntrinsecamente no lineales (que son modelos no lineales respecto a
las variables y a los parámetros); así como recurso en demostraciones teóricas referidas al testeo
de hipótesis.
• En Administración Financiera, se utiliza en particular en el tema de cobertura de un portafolio de
inversiones. La serie de Taylor en dos o más variables permite expresar el cambio del portafolio
en función del precio del activo y del tiempo, para períodos de tiempo cortos. Esto es posible dado
que si la volatilidad del activo se considera constante, el valor del portafolio puede expresarse en
Figura 16. Aproximación de 2º ordenFigura 16. Aproximación de 2º ordenFigura 16. Aproximación de 2º orden
Figura 19. Función original con sus
aproximaciones de 2º, 3º y 4º orden.
16. función del precio del activo y del tiempo; y si la volatilidad del activo se asume variable, el
portafolio es función de la volatilidad, el precio y el tiempo, en cuyo caso el desarrollo de Taylor
corresponde a tres variables.
Referencias bibliográficas
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Economía I y II. Madrid, Editorial AC, Thomson.
• Castillo, E.; Iglesias, A.; Gutiérrez, J.; Alvarez, E.; Cobo, A. (1996). Mathematica. Madrid,
Paraninfo.
• de Burgos, J. (1994). Cálculo infinitesimal de una variable. Madrid, Mc Graw Hill.
• Hughes Hallet, D.; Gleason, A. (2000). Cálculo. México, CECSA.
• Lazzari, L.; Parrino, M. (1995), “El uso de la computadora en la enseñanza de la Matemática”.
Temas y Propuestas, Año 4, N° 8. Facultad de Ciencias Económicas, Universidad de Buenos
Aires.
• McCallum, W.; Flash, D.; Gleason, A.; Gordon, S.; Mumford, D.; Osgood, B. (1998). Cálculo de
varias variables. México, Compañía Editorial Continental, S. A. de C.V..
• Purcell E. J.; Varberg D., Rigdon S. (2001). Cálculo. México, Pearson Educación.
• Rabuffetti, H.T. (1983). Introducción al Análisis Matemático. Cálculo 2. Buenos Aires, El
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• Rey Pastor, J.; Pi Calleja, P.; Trejo, C.A. (1957). Análisis Matemático 1 y 2. Buenos Aires,
Kapelusz.
• Thomas, G.; Finney, R.L. (1999). Cálculo en Varias Variables, 9a
edición. México, Addison
Wesley Longman.
• Troparevsky, M.; García, R. (1997). Matemática con Mathematica. Buenos Aires, Nueva Librería.
• Wolfram, S. (1991). Mathematica. Illinois, Addison-Wesley Publishing Company, Inc..
Equipo de apoyo necesario: PC y cañón de proyección