1. El documento explica cómo derivar e integrar series de potencias, así como determinar su radio de convergencia. También presenta teoremas sobre la derivación e integración de series de potencias dentro de su radio de convergencia.
2. Incluye ejemplos de cálculo del radio de convergencia de una serie y de derivación e integración de series de potencias.
3. Explica los polinomios de Taylor y de McLaurin para aproximar funciones, dando un ejemplo numérico de aproximación con polinomio de Taylor.
n matemáticas, una serie de Taylor es una representación de una función como una infinita suma de términos.
Estos términos se calculan a partir de las derivadas de la función para un determinado valor de la variable (respecto de la cual se deriva), lo que involucra un punto específico sobre la función. Si esta serie está centrada sobre el punto cero, se le denomina serie de McLaurin.
n matemáticas, una serie de Taylor es una representación de una función como una infinita suma de términos.
Estos términos se calculan a partir de las derivadas de la función para un determinado valor de la variable (respecto de la cual se deriva), lo que involucra un punto específico sobre la función. Si esta serie está centrada sobre el punto cero, se le denomina serie de McLaurin.
Intervención Vicente Guallart, Instituto de Arquitectura Avanzada de Cataluña Green Fab Lab en las Primeras Jornadas de Centros de Conocimiento. Citilab Cornellà #citilab #joceco
ROMPECABEZAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO OLIMPIADA DE PARÍS 2024. Por JAVIE...JAVIER SOLIS NOYOLA
El Mtro. JAVIER SOLIS NOYOLA crea y desarrolla el “ROMPECABEZAS DE ECUACIONES DE 1ER. GRADO OLIMPIADA DE PARÍS 2024”. Esta actividad de aprendizaje propone retos de cálculo algebraico mediante ecuaciones de 1er. grado, y viso-espacialidad, lo cual dará la oportunidad de formar un rompecabezas. La intención didáctica de esta actividad de aprendizaje es, promover los pensamientos lógicos (convergente) y creativo (divergente o lateral), mediante modelos mentales de: atención, memoria, imaginación, percepción (Geométrica y conceptual), perspicacia, inferencia, viso-espacialidad. Esta actividad de aprendizaje es de enfoques lúdico y transversal, ya que integra diversas áreas del conocimiento, entre ellas: matemático, artístico, lenguaje, historia, y las neurociencias.
ACERTIJO DE CARRERA OLÍMPICA DE SUMA DE LABERINTOS. Por JAVIER SOLIS NOYOLAJAVIER SOLIS NOYOLA
El Mtro. JAVIER SOLIS NOYOLA, crea y desarrolla ACERTIJO: «CARRERA OLÍMPICA DE SUMA DE LABERINTOS». Esta actividad de aprendizaje lúdico que implica de cálculo aritmético y motricidad fina, promueve los pensamientos lógico y creativo; ya que contempla procesos mentales de: PERCEPCIÓN, ATENCIÓN, MEMORIA, IMAGINACIÓN, PERSPICACIA, LÓGICA LINGUISTICA, VISO-ESPACIAL, INFERENCIA, ETCÉTERA. Didácticamente, es una actividad de aprendizaje transversal que integra áreas de: Matemáticas, Neurociencias, Arte, Lenguaje y comunicación, etcétera.
Today is Pentecost. Who is it that is here in front of you? (Wang Omma.) Jesus Christ and the substantial Holy Spirit, the only Begotten Daughter, Wang Omma, are both here. I am here because of Jesus's hope. Having no recourse but to go to the cross, he promised to return. Christianity began with the apostles, with their resurrection through the Holy Spirit at Pentecost.
Hoy es Pentecostés. ¿Quién es el que está aquí frente a vosotros? (Wang Omma.) Jesucristo y el Espíritu Santo sustancial, la única Hija Unigénita, Wang Omma, están ambos aquí. Estoy aquí por la esperanza de Jesús. No teniendo más remedio que ir a la cruz, prometió regresar. El cristianismo comenzó con los apóstoles, con su resurrección por medio del Espíritu Santo en Pentecostés.
Instrucciones del procedimiento para la oferta y la gestión conjunta del proceso de admisión a los centros públicos de primer ciclo de educación infantil de Pamplona para el curso 2024-2025.
1. 1
DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN DE SERIES DE POTENCIAS.
Puede verse a una serie de potencias como un polinomio con infinitos
términos. A estas series podemos derivarlas, integrarlas, sumarlas, restarlas,
multiplicarlas y dividirlas, en la forma como se procede con los polinomios.
Si una serie de potencias ∑ ( − ) tiene un radio de convergencia
> 0.
La función ( ) = ∑ ( − ) representada por esta serie tiene
propiedades notables.
Así, ( ) puede derivarse infinitas veces y estas derivadas se obtienen
derivando término a término la serie.
Estas operaciones de derivación e integración solo son posibles dentro del
radio de convergencia R de las series de potencias; de ahí radica la
importancia de determinar con exactitud el radio de convergencia.
Teorema: si la serie de potencias ∑ ( − ) tiene un radio de
convergencia > 0, entonces la función ( ) = ∑ ( − ) es
diferenciable e integrable en el intervalo ( − , + ) y se cumple que:
1. ( ) = ∑ ∗ ( − ) ( − , + )
2. ∫ ( ) = ∑
( )
+ ( − , + )
El radio de convergencia de las series 1 y 2 es el mismo R.
3. 3
POLINOMIO DE TAYLOR Y APROXIMACIONES
Los polinomios nos proporcionan una herramienta importante para
aproximar funciones elementales. Ellos generalizan la idea de aproximación
lineal de una función mediante la recta tangente. Esto es, si ( ) es
diferenciable en = .
Si ( ) tiene n derivadas en a. se llama polinomio de Taylor de grado n de
( ) en a al polinomio:
P (x) = f(a) +
( )
!
(x − a) +
( )
!
(x − a) + ⋯ +
( )( )
!
(x − a) Taylor
P (x) = f(a) +
( )
!
x +
( )
!
x + ⋯ +
( )( )
!
x Para x=o Mc Laurin
Ejemplo:
Hallar:
1. El polinomio de Taylor de orden 0, 1, 2,3 y 4 en a=1 de la función
( ) = ln
2. La aproximación de ln(1,1) mediante ( )
Solución: se evalúa la función en x=1 y cada una de sus cuatro derivadas, que
es el orden que requiere el enunciado.
4. 4
( ) = ln( ) → (1) = ln(1) = 0
′( ) =
1
x
→ ′(1) = 1
′′( ) = −
1
x
→ (1) = −1
′′′( ) =
2
x
→ (1) = 2
( ) = −
6
x
→ = −6
Ahora se obtienen los polinomios desde el orden cero hasta el orden cuatro.
( ) = (1) = 0
P (x) = ( ) +
f′(1)
1!
(x − a) = 0 +
1
1!
(x − 1) = (X − 1)
P (x) = ( ) +
f′′(1)
2!
(x − a) = (X − 1) −
1
2
(x − 1)
P (x) = ( ) +
f′′′(1)
3!
(x − a) = (X − 1) −
1
2
(x − 1) +
2
3!
(X − 1) =
P (x) = ( − 1) −
1
2
( − 1) +
1
3
( − 1)
P (x) = ( ) +
f (1)
4!
(x − a) = (x − 1) −
1
2
(x − 1) +
1
3
(x − 1) −
6
4!
(x − 1)
P (x) = (x − 1) −
1
2
(x − 1) +
1
3
(x − 1) −
1
4
(x − 4)
Ahora ln(1,1) ≈ (1,1) = 0,1 − (0,1) + (0,1) − (0,1) =
5. 5
= 0,1 − 0,005 + 0,000333333 + 0,000025 = 0,095308
La calculadora arroja como resultado ln(1,1) = 0,095310179
Observar que a medida que se toma una cantidad mayor de términos en el
polinomio para hacer la aproximación, la curva de este polinomio se acerca
más al comportamiento de la función original.
6. 6
SERIES DE TAYLOR
Es un método general para obtener ciertas series de potencias de funciones
que poseen derivadas de todos los órdenes en determinado intervalo de
convergencia. Gracias a aquel teorema que plantea, que una serie funcional
se puede derivar o integrar sin afectar su radio de convergencia .
1. Serie de Taylor de , o centrada en :
f( )
(a)
n!
(x − a) = f(a) +
f′(a)
1!
(x − a) +
f′′(a)
2!
(x − a) + ⋯ + ( )
Término complementario de LaGrange: ( ) =
( )( )
!
(x − a)
Para que el error cometido no sea trascendente se debe cumplir que
lim → ( ) → 0
2. Serie de Mc Laurin de es una serie de Taylor centrada en = 0:
f( )
(0)
n!
X = f(0) +
f′(0)
1!
X +
f′′(0)
2!
X + ⋯ + ( )
| ( )| <
| |
( + 1)!
Ejemplo 1: Desarrollar en series de Mc Laurin la función ( )=
Solución: Se determina varias derivadas y se observa el comportamiento de
las derivadas. Luego se evalúan estas derivadas para = 0 y se sustituye
en la serie de Mc Laurin.