La serie de Taylor es el fundamento matemático para aproximar funciones mediante polinomios y es utilizada en muchos métodos numéricos. Representa exactamente el comportamiento de una función en las cercanías de un punto mediante una serie infinita de potencias. Para derivar la serie de Taylor de una función se calculan repetidamente sus derivadas en el punto central y se usan esos valores para formar los términos del polinomio de Taylor.

1. FACULTAD DE INGENIERIA ELÉCTRICA
Autor: Francisco Arias Zambrano

2.  La serie de Taylor es, sin duda, el fundamento matemático más
importante para comprender, manejar y formular métodos numéricos
que se basan en la aproximación de funciones por medio de polinomios.
 Aunque a veces no sea muy evidente, la mayoría de los métodos
numéricos se basan en la aproximación de funciones por medio de
polinomios.
 La expansión de Taylor de una función, es una serie infinita de
potencias que representa, de manera exacta, el comportamiento de la
función en la vecindad de un punto dado.

3.  Es una representación o una aproximación de una función
como suma de términos calculados de los valores de sus
derivadas en un mismo punto.
 La serie de Taylor es una función real infinitamente
diferenciable.
EXPRESIÓN MATEMÁTICA:
Donde 𝑋𝑜 es el centro.

4.  Derivar la función f(x) varias veces y evaluar las derivadas en c
f(a),f’(a),f’’(a)… fn’(a).
 Usar esa secuencia para formar los polinomios de Taylor.
𝒂 𝒏 =
𝒇 𝒏(𝒄)
𝒏!
; determinar el intervalo de convergencia sobre la serie
resultante.
𝒇 𝒏 = 𝒇 𝒄 + 𝒇′
𝒄 𝒙 − 𝒄 +
𝒇′′(𝒄)
𝟐!
𝒙 − 𝒄 ²+ …. +
𝒇 𝒏(𝒄)
𝒏!
𝒙 − 𝒄 𝒏
 Comprobar si en ese intervalo la serie converge.

5. Si la función f(x) tiene derivadas de todos los
ordenes x=c, donde está centrada en un punto c
de conoce como serie de Taylor.
Si el punto c=0 por simplificación, esta se
denomina como serie Mc’laurin de f(x).

6. Dado: 𝑓(𝑥) = ln(𝑥) 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 = 1
 Se diferencia n veces. (de esto depende su aproximación).
𝑓′(𝑥) =
1
𝑥
= 𝑥−1
𝑓′′(𝑥) = −𝑥−2
𝑓′′′(𝑥) = 2𝑥−3
𝑓′4
= −6𝑥−4
 Evaluamos cada diferencial respecto al centro.
𝑓′(𝑥) = 0
𝑓′′
𝑥 = −1
𝑓′′′(𝑥) = 2
𝑓′4(𝑥) = −6
 Se arma el polinomio resultante:
𝑳𝒏 𝟏 ~𝟎 +
𝟏
𝟏!
𝒙 − 𝟏 +
−𝟏
𝟐!
𝒙 − 𝟏 𝟐 +
𝟐
𝟑!
(𝒙 − 𝟏) 𝟑−
𝟔
𝟒!
𝒙 − 𝟏
𝟒
…