Este documento presenta conceptos básicos de lógica proposicional y cuantificadores. Introduce funciones proposicionales, dominios de verdad y los cuantificadores universal, existencial y de unicidad. Explica cómo simbolizar proposiciones y determinar su valor lógico. También cubre proposiciones con dos cuantificadores y las reglas para negar proposiciones cuantificadas.

1. Universidad Fermín toro
vice-rectorado académico
Ingeniería
Cabudare.
Unidad 2
Estructura discretas.
Alumno:
Tovar wimkermann
c.i. :25.878.569
Sección: saia B
19 – junio. 2017

2. Función Proposicional
Consideramosunafunciónproposicional (A, P(x))condominiounconjuntoA.Al reemplazar
la variable x de p(x) porelementosde A obtenemosproposicionesverdaderasofalsas.Nos
preguntamos¿paracuántoselementosde A,P(x) esverdadera?Comoposiblesrespuestas
tenemos:
Para todosloselementos de A.
Para algunoselementosde A.
Para ningúnelementode A.
Los términostodos,algunos,unsoloyninguno,porindicarcantidad,sonllamados
cuantificadores.De estos,losfundamentalessontodos,algunosy,comocasoparticularde
este último,un único.
Así, podemosdecirque unafunciónproposicionalestáconstituidaporlossiguientes
elementos:
P(x):que esunaproposiciónabiertaque contiene lavariable x.
A : que esun conjuntollamadodominioouniversodel discurso.
Denotaremosauna funciónproposicional condominioA yproposiciónabiertaP(x) como(A,
P(x)).Loselementosde A que hacenaP(x) verdaderaformanel conjuntollamadodominio
de verdadde la funciónproposicional.
CuantificadorUniversal
El cuantificadortodose llamacuantificadoruniversal yse le denotaconel símbolo",que es
una A invertida(de "all"palabrainglesapara"todos").
Al cuantificara la funciónproposicional P(x) medianteel cuantificadoruniversalobtenemos
la proposición:
Para todoelementox de A,P(x),que se simbolizadel modosiguiente:
(" xÎA) ( P(x) )....................................................... (1)
A lasproposicionesque tienenestaformalasllamaremosproposicionesuniversales.
Otras manerasde leerlaproposición(1),sonlassiguientes:

3. a. Para cada x enA, P(x)
b. Cualquieraque seax enA,p(x)
c. P(x),paracada x en A
d. P(x),paratodox enA
Con muchafrecuencia,cuandoel dominioA de P(x) estásobreentendido,laproposición(1)
la escribimos simplemente así:("x) ( p(x) )
La proposición("x ÎA) ( P(x) ) es verdaderasi ysólosi P(x) esverdaderaparatodoelemento
x de A; estoes,si y sólosi el dominio de verdadP(x) coincideconA.
Ejemplo
Simbolizarlassiguientesproposicionesydeterminarsuvalorlógico:
a. Todo hombre esmortal.
b. Cada númeronatural esmenorque.
Solución
Considerarlasiguientefunciónproposicional:
M(x) : x esmortal.
Con dominioel conjuntoSformadotodoslossereshumanos.
La proposiciónase escribe simbólicamenteasí:
("x S) (M(x)).
Esta proposiciónesverdadera.
a. La proposiciónb se escribe simbólicamente así:
(" n Î N) (n> 1)
Esta proposiciónesfalsa,yaque para el númeronatural n=1 no es ciertoque 1>1
CuantificadorExistencial

4. El Cuantificador:Existeal menosuno,se llamacuantificadorexistencial,yse le denotacon
el símbolo, que esun E al revés.
A la Proposición:Existe al menosunx de A tal que P(x)
La escribiremossimbólicamente delmodosiguiente:
ñññ(2)
A lasproposicionesque tienenestaformalasllamaremosproposicionesexistenciales.
Otras maneras de leerlaproposición(2) son:
a. Para algúnx enA, P(x)
b. Existe unx en A tal que p(x)
c. P(x),paraalgúnx enA
Si el dominiode lafunciónproposicional estásobreentendido,alaproposición(2) la
escribiremossimplementeasí:
vxx
La proposiciónkjhesverdaderasi ysólosi P(x) esverdaderaal menosparaun x de A. Esto
es,si y sólosi el dominiode verdadde P(x) esnovacío.
Ejemplo
Simbolizarlassiguientesproposicionesydeterminarsuvalorlógico:
a. Algunoshombressongenios.
b. Existe unnúmeronatural mayorque 1.
c. Existe unnúmero real cuyocuadrado esnegativo.
Solución
Considerarlafunciónproposicional:
a. G(x):x es un genio.

5. Con dominioel conjuntoSformadoportodoslossereshumanos.
La proposicióna,se simbolizaasí:
JJJEstaproposiciónesverdadera.
b. La proposiciónb,se simbolizaasí:
ffff
y esverdadera.
c. La proposiciónc,se simbolizaasí:
xsxEstaproposiciónesfalsa,yaque el cuadradode todonúmeroreal esno negativo
CuantificadorExistencialde unicidad
Comoun caso particulardel cuantificadorexistencial "existe al menosuno"tenemosel
cuantificadorexisteunúnicooexiste sólouno,que lollamaremoscuantificadorexistencial
de unicidadylo simbolizaremospor$!. Así la expresión:
($ ! x Î A) ( P(x)).......................................(3)
Se leeráde cualquierade lassiguientesformas:
a. Existe unúnicox enA tal que P(x)
b. Existe unsólox en A tal que P(x)
c. Existe unoy sólounx enA tal que P(x)
d. P(x),paraunúnico x en A
La proposición(3) esverdaderasi ysólosi el dominiode verdadde P(x) esunconjunto
unitario,estoes,si ysólosi P(x) es verdaderoparaunúnicox de A.
Ejemplo
Simbolizarlassiguientesproposicionesydeterminarsuvalorlógico:
a. Existe unúniconúmeronatural que sumadocon 3 da 10 .

6. b. Existe sólounnúmero real tal que su cuadradoes 16.
c. Existe unúniconúmeroreal tal que sucuadrado es - 4.
Solución
a. $ ! x Î N) ( 3 + x = 10 )
Verdadero:Sóloel número7cumple con7 + 3 = 10
b. ($ ! x Î R) (x2 = 16 )
Falsa:x= -4 y x= 4 cumplenconx2 = 16
c. ($ ! x Î R) (x2 =- 4)
Falsa:no existe ningúnnúmeroreal cuyocuadradosea – 4
Negaciónde Cuantificadores
Las dos leyesde De Morgan nosproporcionanlasrelacionesentre lanegación,laconjunción
y la disyunción.Comolasproposicionesuniversalesyexistencialessongeneralizacionesde
la conjunciónydisyunción,respectivamente,esde esperarque lasleyesde De Morgan
tambiéntengansusrespectivasgeneralizaciones.Efectivamenteasísucede conde De
Morgan o reglasde lanegaciónde cuantificadores.Estasdicenlosiguiente:
1. zds
2. cxzEstas reglasnosdicenque para negaruna proposiciónconcuantificadoresse cambia
el cuantificador,de universal aexistencialoviceversa,yse niegalaproposicióncuantificada.
Ejemplo
Usando lasreglasde la negaciónde cuantificadoreshallarlanegaciónde lassiguientes
proposiciones:
a.
hgf
b.
ññññ

7. Solución
hhh
Proposicionescon dosCuantificadores
Podemosconsiderarfuncionesproposicionalesde variasvariablesde laforma
(A,B,C,P(x,y,z)),peroennuestrocasotrabajaremosconfuncionesproposicionalesde dos
variables,lascualesdenotaremospor(A,B,P(x))condominiode x el conjuntoA ydominio
de y el conjuntoB. Así podemosobtenerlassiguientesproposiciones:
(" xÎA)("yÎB)(P(x,y))º("yÎB)("xÎA)(P(x,y))
1. ($ xÎA)($yÎ B)(P(x,y)) º($yÎ B)($ xÎA)(P(x,y))
2. (" xÎA)($ yÎB)(P(x,y))
3. (" yÎ B)($xÎ A)(P(x,y))
4. ($ xÎA)("yÎB)(P(x,y))
5. ($ yÎB)("xÎ A)(P(x,y))
Proposicionescomolasanterioressonllamadasfuncionesproposicionalesde dosvariables.
De dichasproposicionesobtenemosel valorlógico,analizandoel dominiode susvariablesy
loscuantificadores que contiene.
Ejemplo
Determinarel valorlógicode lassiguientesproposiciones:
1. (" xÎN)($ yÎN) (y> x)
2. ($ xÎR)("yÎ R)(x+y= 0)
3. (" xÎR)($ yÎ R)(x+y= 0)
Solución
VL[("xÎN)($yÎ N)(y>x)] = 1, ya que para cualquierx en N existe y= x+1 tal que y> x.
VL[($xÎ R)("yÎR)(x+y= 0)] = 0, no existe ningúnnúmeroreal que sumadocontodonúmero
real sea igual a cero.

8. VL[("xÎR)($ yÎR)(x+y= 0)] = 0, ya que dado unnúmeroreal x existe y= -x tal que x+y=0.
Veamosahoracomo podemosnegarproposicionescondoscuantificadores.
Negaciónde ProposicionescondosCuantificadores
~ [("xÎA)($yÎ B)(P(x,y))] º($ xÎA)("yÎ B)(~P(x,y))
~ [("xÎA)("yÎB)(P(x,y))] º($xÎ A)($yÎ B)(~P(x,y))
~ [($xÎ A)("yÎB)(P(x,y))] º("xÎ A)($yÎ B)(~P(x,y))
~ [($yÎ B)($ xÎA)(P(x,y))] º("yÎ B)("xÎA)(~P(x,y))
Ejemplo
Negarla proposición($xÎR)("yÎ R)(x+y= 0)
Solución
~ [($xÎ R)("yÎR)(x+y= 0)] º ("xÎ R)($yÎ R)(~ (x+y= 0))
º ("xÎ R)($yÎ R)(x+y¹ 0))