Este documento presenta definiciones y ejemplos sobre límites al infinito y comportamiento asintótico de funciones. Explica que los símbolos ∞ y -∞ representan el crecimiento o decrecimiento indefinido de una variable, y no números reales. Define límites laterales como una función tiende a un valor dado por la derecha o izquierda, límites al infinito como una función tiende a infinito o -infinito, y comportamiento asintótico como una función crece o decrece sin límite. Incluye ejemplos gráficos para ilustr

1. UNIVERSIDAD TÉCNICA DE
MACHALA
FACULTAD: INGENIERIA CIVIL CONSULTA: N°6
NOMBRE: MICHAEL PRADO MACIAS FECHA: 20/06/2014
PROFESOR: ING. GINGER CARRIÓN
LÍMITES AL INFINITO
El símbolo se lee infinito, es de carácter posicional, no representa ningún
número real.
Si una variable independiente está creciendo indefinidamente a través de
valores positivos, se escribe (que se lee: tiende a más infinito), y si
decrece a través de valores negativos, se denota como (que se lee:
tiende a menos infinito).
Similarmente, cuando crece indefinidamente y toma valores positivos cada
vez mayores, se escribe , y si decrece tomando valores negativos
escribimos .
Consideramos la función definida por para . Vamos a
determinar el comportamiento de la función cuando cuando y
cuando . Para ello nos ayudamos de las tablas siguientes:
a.
En este caso, cuando , la función tiende a
tomar valores positivos cada vez mayores. Esto podemos escribirlo
como , es decir

2. b.
Ahora, cuando toma valores cercanos a 2 pero menores que 2, la
función tiende a valores negativos cada vez menores. Es decir,
cuando , o sea .
c.
Ahora observe que es la que tiende a tomar valores positivos cada vez
mayores, obteniendo como resultado que tiende a valores cercanos
a cero.
Así , o sea, cuando .
d.
En forma similar a la tabla anterior se tiene que cuando
es decir,
Podemos representar gráficamente el comportamiento de la función
en la forma siguiente.

3. Consideramos ahora la función definida por para
, cuya representación gráfica es la siguiente:
Podemos decir que:
a. y
b. y
Ejercicio
Determine: , , , , , ,
utilizando para ello la función .
Daremos ahora algunas definiciones sobre límites infinitos, y límites al infinito.
Definición
Se dice que crece sin límite cuando tiende a , que se denota
, si para todo número real , (sin importar su magnitud),

4. existe tal que siempre que .
Gráficamente se tiene:
Esta definición nos dice que es posible hacer tan grande como se quiera,
(es decir, mayor que cualquier número positivo ), tomando suficientemente
cerca de .
Ejemplo
Consideremos la representación gráfica de la función definida por:
Demostremos ahora que
Para hacer la prueba, debe establecerse que dado un existe tal que
.
Observe que: .
Luego, dado , escogemos de tal forma que se satisfaga que

5. .
Si tomamos, por ejemplo, cuando , es
decir, cuando .
Definición
Se dice que decrece sin límite cuando tiende a , que se denota por
, si para todo número real , existe una tal que
Gráficamente se tiene que:
La definición anterior afirma que es posible hacer menor que cualquier
número negativo , tomando suficientemente cerca de .
Ejemplo
Consideremos la representación gráfica de la función definida por
Demostremos ahora que
Para hacer la prueba debe establecerse que dado un , existe
siempre que

6. Observe que (el sentido de la desigualdad cambia
pues ).
Además .
Note que sí tiene sentido pues
Luego, si y solo si por lo tanto tomamos .
Así, dada , existe , tal que siempre que
Si por ejemplo, tomamos entonces o sea ,
por lo que siempre que
Definición
Se dice que tiende a cuando tiende a por la derecha, y se escribe
, si se cumple que a cada número positivo , (tan grande
como se quiera), corresponde otro número positivo , (que depende de )
tal que .
Similarmente, se dice que tiende a cuando tiende a por la izquierda
y se escribe si siempre que (Observe que
es mayor que cero pues ya que ).
-El comportamiento de la función definida por cuando ,
está regido por la definición anterior.
Recuerde la representación gráfica de esta función hecha anteriormente.

7. -Los símbolos y se definen análogamente,
escribiendo en vez de . (note que si entonces
)
Gráficamente se tiene:
En esta representación gráfica se tiene que tanto al acercarnos a por la derecha
como por la izquierda, los valores de la función son negativos cada vez
mayores, (mayores en el valor absoluto), es decir, se tiene que
y cuando
Definición
Se dice que cuando es decir, si para
cada número positivo existe otro número positivo , tal que
.
Podríamos representar gráficamente este comportamiento de una función
como sigue:
Observe que y que

8. Podemos anotar que
Ejemplo:
Demostraremos que
Para probar este límite, se debe establecer que dado un , debe existir
siempre que
Ahora, como si y solo si , entonces, para cualquier número
, podemos tomar de tal forma que se cumpla que
.
Por ejemplo, si entonces . Esto significa que
es mayor a 1000 siempre que sea mayor que 10.
La función f definida por , con , tiene como representación
gráfica la siguiente
Definición
Sea una función con dominio tal que para cualquier número existen
elementos de en el intervalo .
El límite de cuando tiende a más infinito es , que se representa
, si para cada existe un número tal que
para toda y .

9. Ejemplo
Probar que
Hay que demostrar que para existe tal que si
Se tiene que
Si entonces por lo que:
Luego, dada se cumple que si y solo si , o sea, si
, por lo que podemos tomar de tal forma que se verifique
que siempre que .
Por ejemplo, si entonces por lo que:
La representación gráfica de la función es la siguiente:
Definición
Sea una función con dominio tal que para cualquier número , existen
elementos de en el intervalo .
El límite de cuando tiende a menos infinito es , que se representa

10. , si para todo existe un número tal que
para cada y .
Ejercicio
Utilizando la definición anterior y un proceso similar al desarrollado en el
ejemplo inmediato anterior, pruebe que:
WEBGRAFIA
 Revista Matemática [cursos en línea]. calculo diferencial .límites y continuidad [consulta:
19 de junio de 2014]. Disponible en:
http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/cursos-
linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/limitesycontinuidad/html/node11.html