Este documento define conceptos básicos de variables, funciones y límites. Explica que una variable puede tomar diferentes valores y se representa con letras del final del alfabeto, mientras que una constante tiene un valor fijo y se representa con letras del inicio del alfabeto. También define funciones como la relación entre variables donde el valor de una depende del valor de la otra, e introduce conceptos como límites, infinito e infinitésimos.

1. VARIABLES, FUNCIONES Y LIMITES
Integrantes:
Lema Tenesaca Fanny
Pazmiño Andrade Rosemarie
Administración de Empresas

2. ¿Qué es una variable?
Una variable es una cantidad a la que se le puede asignar, durante el curso de un
proceso de análisis, un número ilimitado de valores.
Las variables se designan usualmente por las últimas letras del alfabeto.
Tipos de
variable
Cualitativa
Nomial
Ordinal
Cuantitativa
Discreta
Continua

3. ¿Qué son las constantes?
Una constante es una cantidad que tiene un valor fijo en un determinado cálculo,
proceso o ecuación. Esto quiere decir que la constante es un valor permanente que
no puede modificarse dentro de un cierto contexto.
Usualmente se representan por las primeras letras del alfabeto.
Tipos de Constantes
Constante Numéricas o Absolutas: Son las que
conservan los mismos valores en todos los
problemas, 2, 5, etc.
Constantes Arbitrarias o parámetros, son
aquellas a las que se pueden asignar valores
numéricos y que durante todo el proceso
conservan esos valores asignados.

4. Intervalo de una variable
Es el conjunto de valores que pueden tomar la variable dependiente, y que están
comprendidos entre dos de ellos: a y b que se denominaran extremo de los
intervalos.
Este símbolo a, b; se lee como “intervalo de a a b”.
Variación continúa
Se dice que una variable a varia de una manera continua en un intervalo a, b
Cuando X aumenta desde el valor a hasta el valor b, de tal manera que toma todos los
valores intermedios entre a y b en el orden de sus magnitudes; o cuando disminuye
desde x= b hasta x= a, tomando sucesivamente todos los valores intermedios.

5. Funciones
Cuando dos variables están, relacionadas de tal manera
que el valor de la primera queda determinada sí se da un
valor a la segunda, entonces se dice que la primera es
función de la segunda.
En las experiencias de la vida diaria nos encontramos
constantemente con situaciones en las que intervienen
magnitudes dependientes unas de otras. Así, por ejemplo
el peso que un hombre puede levantar depende
directamente, a igualdad de otras circunstancias , de su
fuerza.

6. Variables dependientes
Se define como el factor que es; se podría decir que es cuyo valor
queda fijado cuando se asigna observado y medido para determinar el
efecto de la variable independiente un valor a la variable independiente,
también se la llama FUNCIÓN
Variables independientes
Está variable se le puede asignar valores a voluntad dentro de límites que
depende del problema particular.

7. Notación de funciones:
El símbolo f(X) se emplea para designar una función de x, y se lee f de x.
Con objeto de distinguir entre diferentes funciones se cambia la letra inicial,
como en F(x).

8. La división por cero, excluida:
El cociente de dos números a y b es un número x tal que a = bx .Evidente, con esta
definición por cero queda excluida. En efecto, si b= 0, y recordando que cero
tomado cualquier número de veces como sumando es siempre igual a cero, se ve
que x no existe, a menos que a = 0.
Si a = 0, entonces x puede ser cualquier número. Por lo tanto, las expresiones que
se presentan en una de las formas:
𝒂
𝟎
;
𝟎
𝟎
Carecen de sentido por no ser posible la división por cero.

9. Gráfica de una función; continuidad.
Una función se dice que es continua en todo su dominio, cundo podamos ser
capaces de dibujarla de un solo trazo continuo, sin levantar el lápiz del papel.

10. Limite de una variable
Se dice que la variable v tiende a la constante l como límite, cuando
los valores sucesivos de v son tales que el valor numérico de la
diferencia v – l puede llegar a ser, finalmente, menor que cualquier
número positivo predeterminado tan pequeño como se quiera.
La relación así definida se escribe lím v = l , Por conveniencia, nos
serviremos de la notación v → l , que se leerá “ v tienda haca el límite
l” o, más brevemente , “ v tiende a l “ .

11. Limite de una función:
Se representa usualmente casos como el siguiente: se tiene una
variable v y una función dada z de v, y se supone que la variable v
recibe valores tales que v → l . Tenemos que examinar entonces los
valores de la variable dependiente z e investigar, particularmente, si z
tiene también a un límite. Si efectivamente existe una constante a tal
que lím z = a, entonces se expresa esta relación escribiendo:
Lim z = a
v → l
Y se leerá: “ el límite de z, cuando v tiende a l es a”

12. Teoremas sobre el límites:
El límite de una suma algebraica, de un producto o de un cociente es
igual, respectivamente, a la suma algebraica, al producto o al cociente
de los límites respectivos, con tal de que, en el último caso, el límite no
sea cero.
Ejemplo:
Si c es una constante ( independiente de x ) B no es cero, de lo
anterior se deduce:
( 4 ) lím ( u + c ) = A + c, lím cu = Ca , lím c = c
x → u x → a x → n v → B

13. Funciones continuas y discontinuas:
Se dice que una f ( x ) es continua para x = a si el imite de la función,
cuando x tiende a a, es igual al valor de la función para x = a. En
símbolos , si
Lím f ( x ) = f ( a )
x → a
Entonces f ( x ) es continua para x = a
Se dice que a función es discontinua para x = a sí, no se satisface está
condición.
Se dice que una función f ( x ) es continua en un intervalo cuando es
continua para todos los valores de x dentro de un intervalo.

14. Infinito ( ∞ )
Si el valor numérico de una variable v llega a ser y permanece mayor que cualquier
número positivo asignado de antemano, por grande que este sea, decimos que v se
vuelve infinita. Si v toma solamente valores positivos, se hace infinita positivamente;
si solemne toma valores negativos, se hace infinita negativamente. La notación que se
emplea para los tres casos es:
lím v = ∞, lím v = + ∞, lím v = - ∞.
La notación lím v = ∞, o v → ∞, debe leerse “ v se vuelve infinita “ y no “ v
se aproxima al infinito ”
Con esta notación podemos escribir, por ejemplo:
lím 1 = ∞
x → 0 x
Significa que
𝟏
𝒙
se hace infinito cuando x tiende a cero.

15. Infinitésimos
Una variable v que tiende a cero se llama un infinitésimo. Simbólicamente se
escribe:
lím v = 0 o v → 0
Y quiere decir que el valor numérico de v llega a ser, y permanece menor que
cualquier número positivo asignado de antemano, por pequeño que sea.
Si lim v = l. Entonces lím ( v →l ) = 0 ; es decir, la diferencia entre una
variable y su límite es un infinitésimo.
Recíprocamente, si la diferencia entre una variable y una constante es un
infinitésimo, entonces la constante es el límite de la variable.

16. TEOREMAS RELATIVOS A INFINITÉSIMOS Y
LÍMITES :
La constante ∈ es un número positivo asignado de antemano, tan pequeño como
se quiera, pero no cero.
Demostraremos cuatro teoremas sobre infinitésimos
I.- La suma algebraica de n infinitésimos, siendo n un número finito, es otro
infinitésimo.
En efecto, el valor numérico de las suma llegará a ser, y permanecerá, menor que
∈ cuando el valor numérico de cada infinitésimo llega a ser, y permanece, menor
que
∈
𝒏
II.- El producto de una constante c por un infinitésimo es otro infinitésimo.
En efecto, el valor numérico del producto será menor que ∈ cuando el valor
numérico del infinitésimo sea menor que
∈
𝒄

17. III.- El producto de un número finito n de infinitésimos es otro infinitésimo.
En efecto, el valor numérico del producto llegará a ser, y permanecerá, menor
que ∈ cuando el valor numérico de cada infinitésimo llega a ser, permanece,
menor que la raíz n de ∈.
IV.- Si lím de v = l y l no es cero, entonces el cociente de un infinitésimo i
dividido por v es también un infinitésimo.
En efecto, podemos elegir un número positivo c, numéricamente menor que l. tal
que el valor numérico de v llega a ser, y permanece, mayor que c, y también
tal que el valor numérico de i llega a ser, y permanece, menor que c ∈. Entonces
el valor numérico del cociente llegará a ser, y permanecerá, menor que ∈.