Este documento presenta la resolución de un sistema de ecuaciones lineales de tres variables (x, y, z) utilizando el método de sustitución. Se obtienen las expresiones de x, y, z en términos de números. Finalmente, se calcula la función objetivo f(t) = 2X ́ + Z4” – 3Y2 ́ sustituyendo los valores de x, y, z, resultando en f(t) = 171.

1. Optimización de sistemas
Realizado por:
Silvano Sarmiento ci: 23757760

2. 𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 4
2𝑥 + 2𝑦 = −1
2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = −3
Teniendo el siguiente sistemas de ecuaciones
Hallar F(t) = 2X´ + Z4” – 3Y2 ´
aplicando el método de sustitución

3. Solución:
Paso 1: despejamos X de la primera ecuación
𝑥 = 4 − 3𝑦 − 𝑧
Paso 2: sustituimos X en la ecuación 2 y simplificamos la ecuación para obtener una
nueva ecuación.
2 4 − 3𝑦 − 𝑧 + 2𝑦 = −1
8 − 6𝑦 − 2𝑧 + 2𝑦 = −1
−4𝑦 − 2𝑧 = −1 − 8
−4𝑦 − 2𝑧 = −9

4. Paso 3: sustituimos X en la tercera ecuación y simplificamos para obtener otra nueva
ecuación
2 4 − 3𝑦 − 𝑧 + 3𝑦 − 𝑧 = −3
8 − 6𝑦 − 2𝑧 + 3𝑦 − 𝑧 = −3
−3𝑦 − 3𝑧 = −3 − 8
−3𝑦 − 3𝑧 = −11
Paso 4: Despejamos Y de la ecuación obtenida en el paso 2
−4𝑦 − 2𝑧 = −9 (−1)
4𝑦 + 2𝑧 = 9
𝑦 =
9 − 2𝑧
4

5. Paso 5: sustituimos en Y en la ecuación obtenida en el paso 3 y simplificamos la
ecuacion para obtener el valor de Z
−3𝑦 − 3𝑧 = −11
−3(9−2𝑧
4 ) −3𝑧 = −11
−27 + 6𝑧
4
− 3𝑧 = −11
−27 + 6𝑧 − 12𝑧
4
= −11
−27 − 6𝑧 = −44 −1
27 + 6𝑧 = 44
𝑧 =
44 − 27
6
=
17
6

6. Paso 6: sustituimos el valor de Z en la ecuacion obtenida en el paso 4 para hallar el
valor de Z
𝑦 =
9 − 2(17
6 )
4
𝑦 =
9 − 34
6
4
𝑦 =
54 − 34
24
=
20
24
=
5
6
Paso 7: sustituimos Y y Z en la ecuacion 1 para hallar el valor de X
𝑥 + 3 5
6
+ 17
6
= 4
𝑥 + 15
6
+ 17
6
= 4
𝑥 = 4 − 15
6
− 17
6
=
4
3

7. paso 8: hallamos el valor de f(t) en funcion de sus respectivas variables derivando
parcialmente y sustituyendo los valores de X,Y y Z
𝑓 𝑡 = 2𝑥´ + 𝑧4´´ − 3𝑦2´
𝜕𝑓(𝑡)
𝜕𝑥
= 2
𝜕𝑓(𝑡)
𝜕𝑦
= −6𝑦 = −6 5
6 = −5
𝜕𝑓(𝑡)
𝜕𝑧
= 4𝑧3
𝜕2 𝑓(𝑡)
𝜕𝑧
= 12𝑧2
= 12(17
6
)2
=
289
3

8. Paso 9: sustituimos los valores en la ecuacion original y sumamos:
𝑓 𝑡 = 2 +
289
3
− 5
𝑓 𝑡 =
280
3

9. Sustituyendo:
𝑓 𝑡 = 0 + 90 + 81 = 171