Este documento describe métodos para resolver ecuaciones diferenciales, incluyendo variables separables y ecuaciones homogéneas. Explica cómo separar variables para convertir una ecuación diferencial en una integral y cómo reducir una ecuación homogénea mediante sustitución a una forma con variables separables. Luego, presenta ejemplos y ejercicios resueltos para ilustrar estos métodos.
Este documento resume los principales temas sobre ecuaciones diferenciales de primer orden y lineales. Incluye la resolución de ecuaciones diferenciales separables, aplicaciones de ecuaciones diferenciales de primer orden, y métodos para resolver ecuaciones diferenciales lineales como el factor integrante y variación de parámetros. También cubre series de potencias para integrar ciertas ecuaciones diferenciales.
Este documento presenta un resumen de los métodos elementales para resolver ecuaciones diferenciales, incluyendo ecuaciones de variables separables, ecuaciones homogéneas, lineales, exactas, de tipo Bernoulli y campos de pendientes. También cubre sistemas de ecuaciones lineales y aspectos cualitativos de ecuaciones diferenciales.
El documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes constantes. Explica que este tipo de ecuaciones pueden ser homogéneas u no homogéneas. Luego, describe el método para encontrar las soluciones generales de las ecuaciones diferenciales de segundo orden homogéneas constantes, el cual involucra hallar las raíces de la ecuación auxiliar asociada. Finalmente, presenta ejemplos para ilustrar cómo aplicar el método.
1) El documento presenta aplicaciones geométricas de ecuaciones diferenciales de primer orden, incluyendo trayectorias isogonales y ortogonales, y problemas de persecución.
2) Se define formalmente trayectorias isogonales y se dan ejemplos de hallar dichas trayectorias.
3) Se presentan ejemplos de problemas de persecución entre objetos que se mueven a lo largo de ejes de coordenadas.
El documento describe el crecimiento logístico de un virus de gripe en un campus de 1000 estudiantes. Resuelve una ecuación diferencial para modelar la propagación del virus cuando la tasa de infección depende del número de estudiantes infectados y no infectados. Calcula que después de 6 días habrá aproximadamente 276 estudiantes infectados.
1) El documento presenta el método de separación de variables para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden y primer grado.
2) Se define una ecuación homogénea como aquella donde sus funciones M y N son homogéneas del mismo grado respecto a x e y.
3) Para resolver una ecuación diferencial homogénea, se realiza la sustitución v=y/x convirtiéndola en una ecuación de variables separables.
Ecuaciones lineales y reducibles a estas ejerciciosDERORI
El documento presenta 8 ejercicios resueltos de ecuaciones diferenciales de primer orden. Cada ejercicio comienza con la ecuación diferencial dada y luego se aplican métodos como factores integrantes, sustituciones y cambios de variables para reducirla a una forma lineal o separable que puede integrarse. Las soluciones finales se expresan en términos de funciones elementales como exponenciales, logaritmos y potencias.
Este documento resume conceptos clave sobre ecuaciones diferenciales. Explica que las ecuaciones diferenciales pueden ser ordinarias o parciales, y que el orden se refiere a la derivada más alta presente. También cubre temas como linealidad, campos direccionales, soluciones, valores iniciales, fracciones parciales, variables separables, el método del factor integrante y ecuaciones diferenciales exactas.
Este documento resume los principales temas sobre ecuaciones diferenciales de primer orden y lineales. Incluye la resolución de ecuaciones diferenciales separables, aplicaciones de ecuaciones diferenciales de primer orden, y métodos para resolver ecuaciones diferenciales lineales como el factor integrante y variación de parámetros. También cubre series de potencias para integrar ciertas ecuaciones diferenciales.
Este documento presenta un resumen de los métodos elementales para resolver ecuaciones diferenciales, incluyendo ecuaciones de variables separables, ecuaciones homogéneas, lineales, exactas, de tipo Bernoulli y campos de pendientes. También cubre sistemas de ecuaciones lineales y aspectos cualitativos de ecuaciones diferenciales.
El documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes constantes. Explica que este tipo de ecuaciones pueden ser homogéneas u no homogéneas. Luego, describe el método para encontrar las soluciones generales de las ecuaciones diferenciales de segundo orden homogéneas constantes, el cual involucra hallar las raíces de la ecuación auxiliar asociada. Finalmente, presenta ejemplos para ilustrar cómo aplicar el método.
1) El documento presenta aplicaciones geométricas de ecuaciones diferenciales de primer orden, incluyendo trayectorias isogonales y ortogonales, y problemas de persecución.
2) Se define formalmente trayectorias isogonales y se dan ejemplos de hallar dichas trayectorias.
3) Se presentan ejemplos de problemas de persecución entre objetos que se mueven a lo largo de ejes de coordenadas.
El documento describe el crecimiento logístico de un virus de gripe en un campus de 1000 estudiantes. Resuelve una ecuación diferencial para modelar la propagación del virus cuando la tasa de infección depende del número de estudiantes infectados y no infectados. Calcula que después de 6 días habrá aproximadamente 276 estudiantes infectados.
1) El documento presenta el método de separación de variables para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden y primer grado.
2) Se define una ecuación homogénea como aquella donde sus funciones M y N son homogéneas del mismo grado respecto a x e y.
3) Para resolver una ecuación diferencial homogénea, se realiza la sustitución v=y/x convirtiéndola en una ecuación de variables separables.
Ecuaciones lineales y reducibles a estas ejerciciosDERORI
El documento presenta 8 ejercicios resueltos de ecuaciones diferenciales de primer orden. Cada ejercicio comienza con la ecuación diferencial dada y luego se aplican métodos como factores integrantes, sustituciones y cambios de variables para reducirla a una forma lineal o separable que puede integrarse. Las soluciones finales se expresan en términos de funciones elementales como exponenciales, logaritmos y potencias.
Este documento resume conceptos clave sobre ecuaciones diferenciales. Explica que las ecuaciones diferenciales pueden ser ordinarias o parciales, y que el orden se refiere a la derivada más alta presente. También cubre temas como linealidad, campos direccionales, soluciones, valores iniciales, fracciones parciales, variables separables, el método del factor integrante y ecuaciones diferenciales exactas.
El documento presenta una introducción a la resolución de ecuaciones diferenciales de primer orden, segundo orden y de orden superior. Explica métodos como separables, coeficientes indeterminados y variación de parámetros para resolver diferentes tipos de ecuaciones diferenciales. También aborda la resolución de ecuaciones diferenciales alrededor de puntos ordinarios usando series de Taylor.
1) El documento introduce el concepto de ecuaciones diferenciales exactas y explica cómo resolverlas mediante el método de diferencial total. 2) Se definen las ecuaciones diferenciales exactas y se presenta el criterio de exactitud para verificar si una ecuación lo es. 3) Se explican los pasos para resolver ecuaciones diferenciales exactas mediante la integración.
Este documento introduce la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de orden n con coeficientes constantes. Define conceptos como el operador diferencial lineal, el núcleo del operador diferencial, y el principio de superposición. También explica que el producto de operadores diferenciales es conmutativo cuando los coeficientes son constantes, pero no necesariamente cuando los coeficientes son variables. Finalmente, define las condiciones iniciales como una o más condiciones colocadas en una ecuación diferencial en un punto.
Este documento describe métodos para resolver ecuaciones diferenciales, incluyendo variables separables y ecuaciones homogéneas. Explica cómo separar variables para convertir una ecuación diferencial en una integral y cómo reducir una ecuación homogénea mediante sustitución a una forma en variables separables. Luego, presenta ejemplos y ejercicios resueltos para ilustrar estos métodos.
Este documento presenta un capítulo sobre ecuaciones diferenciales de primer orden. Introduce conceptos clave como orden, grado, linealidad y solución de ecuaciones diferenciales. Explica cómo resolver ecuaciones diferenciales lineales de primer orden mediante el método de la función integrante y proporciona varios ejemplos resueltos. También establece un teorema sobre la existencia y unicidad de soluciones para este tipo de ecuaciones.
Este documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales. Explica que mientras las situaciones estáticas se pueden describir con ecuaciones algebraicas, las situaciones dinámicas requieren ecuaciones diferenciales. Define conceptos clave como el orden y grado de una ecuación diferencial, y describe métodos para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden, incluyendo métodos para ecuaciones de variables separables, homogéneas y de diferencial exacto.
Este documento presenta definiciones generales sobre ecuaciones diferenciales ordinarias (E.D.O.), incluyendo que una E.D.O. contiene derivadas de variables dependientes con respecto a una variable independiente. También explica que una solución explícita es una función que satisface la ecuación diferencial, mientras que una solución implícita es una relación que define al menos una solución explícita. Además, introduce conceptos como familias de curvas, trayectorias ortogonales y problemas de valor inicial y contorno.
Este documento presenta un resumen de los diferentes métodos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden y primer grado. Explica que estas ecuaciones contienen funciones derivadas una sola vez respecto a una variable independiente. Luego, describe los métodos para ecuaciones separables, homogéneas, con coeficientes lineales, exactas, lineales, de Bernoulli y de Riccati. Incluye ejemplos resueltos para ilustrar cada método. Finalmente, explica cómo encontrar soluciones particulares cuando se proporcionan condiciones iniciales.
Este documento describe cómo encontrar trayectorias ortogonales a una familia de curvas dadas. Explica que las trayectorias ortogonales son aquellas cuyas curvas se cortan perpendicularmente. Muestra cómo obtener la ecuación diferencial asociada a una familia de curvas y luego usarla para encontrar la ecuación diferencial de la familia ortogonal. Resuelve este proceso para varios ejemplos numéricos y gráficamente representa tanto las familias originales como las ortogonales. Finalmente, propone algunos ejercicios para que el estudiante los
1) Se define una ecuación diferencial (E.D.) como una ecuación que contiene derivadas o diferenciales de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes.
2) Se distinguen las E.D. ordinarias (E.D.O.), que contienen derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente, de las ecuaciones en derivadas parciales, que contienen derivadas parciales.
3) Se presentan ejemplos de E.D.O. lineales y no lineales,
Este documento presenta los métodos para resolver ecuaciones diferenciales lineales de primer orden y la ecuación de Bernoulli. Explica que para resolver ecuaciones lineales se utiliza el método de separación de variables o el factor integrante. También cubre la existencia y unicidad de soluciones y proporciona ejemplos resueltos de diferentes tipos de ecuaciones diferenciales de primer orden.
Una ecuación diferencial lineal ordinaria tiene la forma general y' + p(x)y = Q(x). Puede ser homogénea o no homogénea. Las ecuaciones homogéneas se resuelven por variables separadas, mientras que las no homogéneas se resuelven por el método del factor integrante o variación de parámetros. El ejemplo muestra los pasos para resolver una ecuación diferencial lineal no homogénea.
Una ecuación diferencial es una ecuación que contiene derivadas de una función. Existen ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales. La solución de una ecuación diferencial es una función que satisface la ecuación al sustituir la función y sus derivadas. La solución general contiene constantes arbitrarias, mientras que la solución particular toma valores específicos para estas constantes. Las trayectorias ortogonales y isoclinas son curvas relacionadas con familias de curvas definidas por ecuaciones diferenciales.
El documento describe las ecuaciones diferenciales ordinarias, que establecen una relación entre una variable independiente, una función y sus derivadas. Explica que las ecuaciones diferenciales son fundamentales para analizar fenómenos físicos mediante las matemáticas. Además, resume los primeros métodos para resolver ecuaciones diferenciales y cómo ha evolucionado el campo, con un enfoque más en métodos numéricos que en soluciones analíticas.
Este documento presenta una introducción a las series de potencias y su intervalo de convergencia. Explica que una serie de potencias converge absolutamente si la suma de los términos absolutos converge, y que el radio de convergencia se puede calcular usando el criterio de la razón. También resume algunas expansiones en series de funciones importantes como ex, sen(x), cos(x), y sus dominios de convergencia.
El documento resume los sistemas lineales de ecuaciones diferenciales de primer orden, incluyendo cómo convertir una ecuación diferencial de orden mayor en un sistema de primer orden. Explica que existe una única solución para un problema de valor inicial dado y provee ejemplos para ilustrar los conceptos.
Este documento introduce la transformada de Laplace como una herramienta para analizar funciones. Define la transformada de Laplace de una función f(t) como la integral de f(t) multiplicada por e^-st desde 0 hasta infinito. Presenta teoremas que establecen condiciones para la existencia de la transformada de Laplace y expresiones para funciones comunes como polinomios, exponenciales, seno y coseno.
1) El documento presenta aplicaciones geométricas de ecuaciones diferenciales de primer orden, incluyendo trayectorias isogonales y ortogonales, así como problemas de persecución.
2) Se define formalmente trayectorias isogonales y se dan ejemplos de hallar dichas trayectorias.
3) También se presentan ejemplos de problemas de persecución entre objetos que se mueven a velocidades constantes.
CALCULO VECTORIAL Guia unidad5 cvectorial-p44Juan Miguel
La unidad 5 trata sobre el análisis vectorial. Los objetivos incluyen representar campos vectoriales, obtener el campo gradiente de una función escalar, comprender campos conservativos y aplicar operadores como divergencia, rotacional y laplaciano a campos vectoriales. Se requieren conocimientos previos de vectores, funciones y cálculo multivariable. La guía explica conceptos como campos vectoriales en R2 y R3, rotacional, divergencia y campos conservativos, además de proporcionar ejercicios para preparar al estudian
Este documento describe conceptos y propiedades de los campos vectoriales. Define un campo vectorial como una función que asigna vectores a puntos en el plano o espacio. Explica que las líneas de flujo son trayectorias tangentes a la dirección del campo en cada punto. También define la rotación y divergencia como generalizaciones de la derivada aplicadas a campos vectoriales, que miden cantidades físicas como flujo neto.
1) Los vectores en R3 se representan geométricamente como segmentos de recta dirigidos con una magnitud, dirección y sentido.
2) Las operaciones con vectores en R3 incluyen la suma, multiplicación por escalar, producto escalar y producto vectorial.
3) El producto escalar mide la proyección de un vector sobre otro, mientras que el producto vectorial produce un vector perpendicular a los dos vectores originales y cuyo sentido se determina por la regla de la mano derecha.
El documento presenta una introducción a la resolución de ecuaciones diferenciales de primer orden, segundo orden y de orden superior. Explica métodos como separables, coeficientes indeterminados y variación de parámetros para resolver diferentes tipos de ecuaciones diferenciales. También aborda la resolución de ecuaciones diferenciales alrededor de puntos ordinarios usando series de Taylor.
1) El documento introduce el concepto de ecuaciones diferenciales exactas y explica cómo resolverlas mediante el método de diferencial total. 2) Se definen las ecuaciones diferenciales exactas y se presenta el criterio de exactitud para verificar si una ecuación lo es. 3) Se explican los pasos para resolver ecuaciones diferenciales exactas mediante la integración.
Este documento introduce la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de orden n con coeficientes constantes. Define conceptos como el operador diferencial lineal, el núcleo del operador diferencial, y el principio de superposición. También explica que el producto de operadores diferenciales es conmutativo cuando los coeficientes son constantes, pero no necesariamente cuando los coeficientes son variables. Finalmente, define las condiciones iniciales como una o más condiciones colocadas en una ecuación diferencial en un punto.
Este documento describe métodos para resolver ecuaciones diferenciales, incluyendo variables separables y ecuaciones homogéneas. Explica cómo separar variables para convertir una ecuación diferencial en una integral y cómo reducir una ecuación homogénea mediante sustitución a una forma en variables separables. Luego, presenta ejemplos y ejercicios resueltos para ilustrar estos métodos.
Este documento presenta un capítulo sobre ecuaciones diferenciales de primer orden. Introduce conceptos clave como orden, grado, linealidad y solución de ecuaciones diferenciales. Explica cómo resolver ecuaciones diferenciales lineales de primer orden mediante el método de la función integrante y proporciona varios ejemplos resueltos. También establece un teorema sobre la existencia y unicidad de soluciones para este tipo de ecuaciones.
Este documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales. Explica que mientras las situaciones estáticas se pueden describir con ecuaciones algebraicas, las situaciones dinámicas requieren ecuaciones diferenciales. Define conceptos clave como el orden y grado de una ecuación diferencial, y describe métodos para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden, incluyendo métodos para ecuaciones de variables separables, homogéneas y de diferencial exacto.
Este documento presenta definiciones generales sobre ecuaciones diferenciales ordinarias (E.D.O.), incluyendo que una E.D.O. contiene derivadas de variables dependientes con respecto a una variable independiente. También explica que una solución explícita es una función que satisface la ecuación diferencial, mientras que una solución implícita es una relación que define al menos una solución explícita. Además, introduce conceptos como familias de curvas, trayectorias ortogonales y problemas de valor inicial y contorno.
Este documento presenta un resumen de los diferentes métodos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden y primer grado. Explica que estas ecuaciones contienen funciones derivadas una sola vez respecto a una variable independiente. Luego, describe los métodos para ecuaciones separables, homogéneas, con coeficientes lineales, exactas, lineales, de Bernoulli y de Riccati. Incluye ejemplos resueltos para ilustrar cada método. Finalmente, explica cómo encontrar soluciones particulares cuando se proporcionan condiciones iniciales.
Este documento describe cómo encontrar trayectorias ortogonales a una familia de curvas dadas. Explica que las trayectorias ortogonales son aquellas cuyas curvas se cortan perpendicularmente. Muestra cómo obtener la ecuación diferencial asociada a una familia de curvas y luego usarla para encontrar la ecuación diferencial de la familia ortogonal. Resuelve este proceso para varios ejemplos numéricos y gráficamente representa tanto las familias originales como las ortogonales. Finalmente, propone algunos ejercicios para que el estudiante los
1) Se define una ecuación diferencial (E.D.) como una ecuación que contiene derivadas o diferenciales de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes.
2) Se distinguen las E.D. ordinarias (E.D.O.), que contienen derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente, de las ecuaciones en derivadas parciales, que contienen derivadas parciales.
3) Se presentan ejemplos de E.D.O. lineales y no lineales,
Este documento presenta los métodos para resolver ecuaciones diferenciales lineales de primer orden y la ecuación de Bernoulli. Explica que para resolver ecuaciones lineales se utiliza el método de separación de variables o el factor integrante. También cubre la existencia y unicidad de soluciones y proporciona ejemplos resueltos de diferentes tipos de ecuaciones diferenciales de primer orden.
Una ecuación diferencial lineal ordinaria tiene la forma general y' + p(x)y = Q(x). Puede ser homogénea o no homogénea. Las ecuaciones homogéneas se resuelven por variables separadas, mientras que las no homogéneas se resuelven por el método del factor integrante o variación de parámetros. El ejemplo muestra los pasos para resolver una ecuación diferencial lineal no homogénea.
Una ecuación diferencial es una ecuación que contiene derivadas de una función. Existen ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales. La solución de una ecuación diferencial es una función que satisface la ecuación al sustituir la función y sus derivadas. La solución general contiene constantes arbitrarias, mientras que la solución particular toma valores específicos para estas constantes. Las trayectorias ortogonales y isoclinas son curvas relacionadas con familias de curvas definidas por ecuaciones diferenciales.
El documento describe las ecuaciones diferenciales ordinarias, que establecen una relación entre una variable independiente, una función y sus derivadas. Explica que las ecuaciones diferenciales son fundamentales para analizar fenómenos físicos mediante las matemáticas. Además, resume los primeros métodos para resolver ecuaciones diferenciales y cómo ha evolucionado el campo, con un enfoque más en métodos numéricos que en soluciones analíticas.
Este documento presenta una introducción a las series de potencias y su intervalo de convergencia. Explica que una serie de potencias converge absolutamente si la suma de los términos absolutos converge, y que el radio de convergencia se puede calcular usando el criterio de la razón. También resume algunas expansiones en series de funciones importantes como ex, sen(x), cos(x), y sus dominios de convergencia.
El documento resume los sistemas lineales de ecuaciones diferenciales de primer orden, incluyendo cómo convertir una ecuación diferencial de orden mayor en un sistema de primer orden. Explica que existe una única solución para un problema de valor inicial dado y provee ejemplos para ilustrar los conceptos.
Este documento introduce la transformada de Laplace como una herramienta para analizar funciones. Define la transformada de Laplace de una función f(t) como la integral de f(t) multiplicada por e^-st desde 0 hasta infinito. Presenta teoremas que establecen condiciones para la existencia de la transformada de Laplace y expresiones para funciones comunes como polinomios, exponenciales, seno y coseno.
1) El documento presenta aplicaciones geométricas de ecuaciones diferenciales de primer orden, incluyendo trayectorias isogonales y ortogonales, así como problemas de persecución.
2) Se define formalmente trayectorias isogonales y se dan ejemplos de hallar dichas trayectorias.
3) También se presentan ejemplos de problemas de persecución entre objetos que se mueven a velocidades constantes.
CALCULO VECTORIAL Guia unidad5 cvectorial-p44Juan Miguel
La unidad 5 trata sobre el análisis vectorial. Los objetivos incluyen representar campos vectoriales, obtener el campo gradiente de una función escalar, comprender campos conservativos y aplicar operadores como divergencia, rotacional y laplaciano a campos vectoriales. Se requieren conocimientos previos de vectores, funciones y cálculo multivariable. La guía explica conceptos como campos vectoriales en R2 y R3, rotacional, divergencia y campos conservativos, además de proporcionar ejercicios para preparar al estudian
Este documento describe conceptos y propiedades de los campos vectoriales. Define un campo vectorial como una función que asigna vectores a puntos en el plano o espacio. Explica que las líneas de flujo son trayectorias tangentes a la dirección del campo en cada punto. También define la rotación y divergencia como generalizaciones de la derivada aplicadas a campos vectoriales, que miden cantidades físicas como flujo neto.
1) Los vectores en R3 se representan geométricamente como segmentos de recta dirigidos con una magnitud, dirección y sentido.
2) Las operaciones con vectores en R3 incluyen la suma, multiplicación por escalar, producto escalar y producto vectorial.
3) El producto escalar mide la proyección de un vector sobre otro, mientras que el producto vectorial produce un vector perpendicular a los dos vectores originales y cuyo sentido se determina por la regla de la mano derecha.
Este documento introduce conceptos fundamentales relacionados con curvas en R3 definidas por funciones vectoriales de una variable real. Explica funciones vectoriales, dominio, límite, continuidad y trayectorias. Luego define gráficas, trazas y curvas como la traza de una trayectoria. Presenta ejemplos de curvas comunes como hélices y discute derivadas y conceptos asociados a derivadas de funciones vectoriales.
Este documento presenta un capítulo sobre funciones de varias variables. Introduce conceptos como funciones vectoriales, escalares y curvas. Explica cómo graficar funciones de dos variables y define el dominio de una función escalar. Proporciona ejemplos de funciones de dos variables y cómo determinar su dominio natural analizando la regla de correspondencia y la forma de su gráfico. El objetivo es conceptualizar estas funciones, describir conjuntos de niveles, establecer límites, continuidad y derivadas.
Este documento discute los polinomios de Taylor para funciones de una y dos variables. Explica cómo calcular los polinomios de Taylor de primer y segundo orden para aproximar funciones en vecindades de puntos. Proporciona ejemplos detallados de cómo calcular los polinomios de Taylor de primer y segundo orden para funciones específicas.
Este documento trata sobre campos vectoriales conservativos. Explica que un campo es conservativo si es el campo gradiente de una función potencial. Da criterios para determinar si un campo es conservativo y muestra un ejemplo de averiguar si un campo dado es conservativo y, de serlo, hallar su función potencial. Finalmente, incluye referencias bibliográficas sobre el tema.
El documento describe el método para encontrar trayectorias ortogonales a una familia de curvas dadas. Se explica que las trayectorias ortogonales son curvas que intersectan a las curvas originales en ángulos rectos. El método involucra derivar la ecuación de la familia de curvas para obtener su ecuación diferencial, y luego resolver la ecuación diferencial asociada a las trayectorias ortogonales. Se proveen ejemplos resueltos que ilustran cómo aplicar el método a diferentes familias de curvas como círculos, pará
Este documento trata sobre campos vectoriales y sus propiedades. Introduce conceptos como campos vectoriales, gradiente, divergencia, rotacional, integrales de línea y superficie. Explica cómo calcular integrales de línea y superficie para campos escalares y vectoriales. Además, define campos conservativos y presenta teoremas como el de Green y Stokes. El objetivo es que los estudiantes aprendan a calcular diferentes tipos de integrales y aplicar los teoremas mencionados.
Ecuaciones diferenciales - Métodos de SoluciónKike Prieto
Este documento presenta métodos para resolver ecuaciones diferenciales, incluyendo variables separables, ecuaciones homogéneas y ecuaciones de coeficientes lineales. Define variables separables y muestra cómo integrarlas para obtener la solución general. Explica que las ecuaciones homogéneas pueden transformarse en variables separables mediante sustituciones adecuadas. Resuelve varios ejercicios como ejemplos de aplicación de estos métodos.
Este documento presenta un resumen de series numéricas infinitas. Introduce conceptos como serie infinita, convergencia y divergencia de series, y tipos específicos de series como series geométricas y series telescópicas. Explica criterios para determinar la convergencia o divergencia de series, como el criterio de la integral para series de términos positivos. Finalmente, propone ejercicios para aplicar estos conceptos.
Este documento presenta tres ejemplos de cómo calcular la representación en serie de Fourier para diferentes señales. En el primer ejemplo, se calculan los coeficientes de Fourier para la señal f(t)=e-t. En el segundo ejemplo, se calculan los coeficientes para la señal f(t)=t2. En el tercer ejemplo, se calculan los coeficientes para una señal periódica de amplitud A entre -π y π.
Este documento describe las rectas en R3, incluyendo su definición, ecuaciones y representaciones paramétricas. Explica que una recta se define por un punto y un vector director paralelo, y proporciona las fórmulas para encontrar las ecuaciones de una recta dados estos elementos o dados dos puntos. También incluye ejemplos y ejercicios para que el estudiante practique encontrar ecuaciones de rectas en R3.
Este documento presenta varios ejemplos de cálculo de integrales dobles en diferentes regiones planas. Se evalúan integrales iteradas y cambiando el orden de integración. También se aplican integrales dobles para calcular áreas, volúmenes y otros conceptos geométricos y físicos.
Este documento describe el método para resolver ecuaciones diferenciales separables. Explica que una ecuación es separable si se puede escribir como dy/dx = g(x)p(y), donde g(x) depende solo de x y p(y) depende solo de y. Luego, detalla los pasos para integrar ambos lados y obtener la solución en forma implícita H(y)=G(x)+C. Proporciona ejemplos resueltos para ilustrar el método.
Este documento describe el método para resolver ecuaciones diferenciales separables. Explica que una ecuación es separable si se puede escribir como dy/dx = g(x)p(y), donde g(x) depende solo de x y p(y) depende solo de y. Luego, detalla los pasos para integrar ambos lados y obtener la solución en forma implícita H(y)=G(x)+C. Proporciona ejemplos resueltos para ilustrar el método.
(1) La ecuación de Cauchy-Euler permite escribir ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes variables como ecuaciones con coeficientes constantes mediante un cambio de variable. (2) El método general para resolverla implica probar soluciones de la forma xm y determinar los valores de m. (3) Esto conduce a una ecuación auxiliar cuya resolución proporciona los posibles valores de m y las soluciones asociadas.
1) La ecuación de Cauchy-Euler permite escribir ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes variables como ecuaciones con coeficientes constantes mediante un cambio de variable. 2) Se resuelve probando soluciones de la forma xm y determinando los valores de m. 3) Esto conduce a una ecuación auxiliar cuyas raíces dan los exponentes de la solución general.
Este documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales. Explica las definiciones básicas, cómo clasificar las ecuaciones diferenciales según tipo, orden y linealidad, y cómo encontrar soluciones a las ecuaciones diferenciales.
Este documento presenta ejemplos resueltos de integrales de línea y de contorno de variables reales y complejas, así como ejercicios propuestos sin resolver. Se explican conceptos como la evaluación de integrales de contorno usando el teorema fundamental del cálculo y se resuelven problemas aplicando técnicas como sustituir la parametrización de la curva en la integral.
Este documento presenta diferentes métodos para resolver ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden, como ecuaciones diferenciales separables, lineales y de punto singular. Explica cómo resolver ecuaciones diferenciales de primer orden mediante métodos como el factor integrante y variación de parámetros. También cubre métodos como coeficientes indeterminados y variación de parámetros para resolver ecuaciones diferenciales de segundo orden homogéneas y no homogéneas.
1) El documento presenta métodos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias, incluyendo variables separables y ecuaciones homogéneas. 2) Se definen ecuaciones de variables separables y se explica cómo separar las variables para integrar la ecuación. 3) Las ecuaciones homogéneas pueden transformarse en ecuaciones de variables separables mediante sustituciones adecuadas.
Este documento presenta la solución de cuatro ecuaciones diferenciales ordinarias de variable separable. La primera ecuación se resuelve separando variables y realizando integración. La segunda ecuación también se resuelve separando variables e integrando. La tercera ecuación igualmente se resuelve separando variables y realizando sustituciones para integrar. La cuarta ecuación contiene una condición inicial y también se resuelve separando variables y realizando integración.
Este documento presenta tres ejercicios relacionados con ecuaciones diferenciales para ser resueltos por estudiantes de ingeniería. El primer ejercicio pide determinar si ciertas funciones son soluciones de ecuaciones diferenciales dadas. El segundo ejercicio pide resolver ecuaciones diferenciales de primer orden usando diferentes métodos. El tercer ejercicio pide resolver ecuaciones diferenciales de orden mayor según el método correspondiente.
Este documento presenta una serie de ejercicios y problemas relacionados con ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden. Se piden determinar si ciertas funciones son soluciones de ecuaciones diferenciales dadas y resolver ecuaciones diferenciales usando métodos como separación de variables, factores integradores y anuladores.
Este documento presenta 7 ejemplos de derivadas e integrales de funciones. En los ejemplos 1-4 se muestran derivadas de funciones logarítmicas y raíces cuadradas utilizando propiedades básicas. Los ejemplos 5-6 evalúan integrales mediante sustituciones de variables. El último ejemplo desarrolla una integral trigonométrica mediante un cambio de variable.
El documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales, definiéndolas como ecuaciones que involucran una función desconocida y alguna de sus derivadas. Explica que pueden ser ordinarias o parciales dependiendo de si la función depende de una o más variables. Además, clasifica las ecuaciones diferenciales por orden y grado. Resuelve dos ejercicios como ejemplos para ilustrar los conceptos.
Ecuaciones exponenciales y logarítmicas 1ºbach.ccssMatemolivares1
Este documento presenta una serie de ejercicios relacionados con exponentes y logaritmos. Incluye la resolución de ecuaciones, sistemas de ecuaciones y expresiones logarítmicas, así como el cálculo de logaritmos en diferentes bases.
El documento presenta el método de resolución de ecuaciones de Clairault. Resuelve un ejemplo aplicando el método y representando gráficamente las soluciones. Luego propone como ejercicio resolver otras ecuaciones de Clairault de forma similar.
Este documento presenta conceptos básicos sobre ecuaciones diferenciales. Explica que una ecuación diferencial contiene una variable desconocida y sus derivadas. Luego clasifica las ecuaciones diferenciales según si son ordinarias o parciales, su orden, si son lineales o no, y presenta ejemplos. También explica cómo resolver ecuaciones diferenciales y encontrar sus soluciones generales y particulares.
1) El documento introduce el concepto de integral como la operación inversa a la derivación. La integral indefinida de una función f(x) se representa mediante el símbolo ∫ f(x) dx.
2) Se presentan las reglas básicas para calcular integrales, incluyendo sumas algebraicas, funciones elevadas a exponentes constantes, funciones trigonométricas y logarítmicas.
3) Se proveen ejemplos detallados para aplicar estas reglas al cálculo de diferentes integrales indefinidas. Finalmente, se proponen ejerc
Este documento define conceptos clave relacionados con la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias, incluyendo soluciones explícitas, implícitas y problemas de valor inicial. También presenta un teorema sobre la existencia y unicidad de soluciones para problemas de valor inicial cuando se cumplen ciertas condiciones sobre la continuidad de la función y su derivada parcial. Se incluyen ejemplos para ilustrar cada concepto.
Este documento describe 4 experimentos realizados para estudiar las interacciones entre campos magnéticos utilizando corriente continua y alterna. Los experimentos incluyeron determinar la dirección de una brújula cerca de un conductor con corriente, observar cómo un imán y una bobina se atraen o repelen cuando la polaridad de la corriente cambia, y demostrar la levitación magnética de un anillo metálico.
Este documento describe una práctica de laboratorio sobre magnetismo. Se analizan las propiedades de los campos magnéticos y las fuerzas que ejercen sobre objetos cargados. Se grafican las líneas de campo magnético alrededor de imanes y se observa cómo se ven afectados los electrones en un tubo de rayos catódicos por un campo magnético. También se estudia el comportamiento de diferentes materiales en presencia de un campo magnético y cómo se deposita cobre en una cuba electrolítica cuando se aplica tanto un campo el
En esta experiencia, se busca verificar la Ley de Ohm y comprobar cómo la corriente eléctrica depende linealmente de la diferencia de potencial aplicada a través de un resistor. También se utilizará un puente de Wheatstone para determinar el valor de una resistencia desconocida.
Este documento presenta los procedimientos para realizar prácticas de circuitos eléctricos en serie, paralelo y mixto. Explica conceptos básicos como corriente eléctrica, voltaje y resistencia. Describe el funcionamiento y conexión correcta de voltímetros y amperímetros. El procedimiento experimental incluye la medición de voltajes y corrientes en diferentes configuraciones de circuitos con bombillos.
Inductancia, motores y generadores de ccERICK CONDE
La práctica estudió la inductancia, motores y generadores de corriente continua. Se verificó que la inductancia se opone al flujo de corriente alterna y que esta oposición aumenta con la frecuencia, número de espiras y un núcleo de hierro. También se analizó la conversión de energía mecánica a eléctrica y viceversa. Adicionalmente, se demostró cómo un generador produce corriente alterna a través de la inducción electromagnética al girar una bobina en un campo magnético.
En esta práctica se estudió la inducción electromagnética mediante experimentos que incluyeron hacer girar un imán por encima de una bobina conectada a un voltímetro, lo que causó que el voltímetro oscilara indicando la generación de una tensión inducida alterna. También se exploró cómo variaba la tensión inducida al cambiar el número de espiras de la bobina y la velocidad de giro del imán.
En este experimento, se midió la energía eléctrica suministrada a una bobina calefactora sumergida en agua y la energía térmica absorbida por el agua. Se encontró que la energía térmica absorbida por el agua fue aproximadamente el 97.95% de la energía eléctrica suministrada, lo que indica que casi toda la energía eléctrica se convirtió en energía térmica.
Este documento describe experimentos sobre electrización realizados por un estudiante llamado Erick Conde. Los objetivos eran reconocer los procesos de electrización por frotación, inducción y contacto a través de experimentos electrostáticos. Se utilizaron aparatos como un electroscopio, electróforo y péndulo eléctrico para demostrar los tres tipos de carga. Los resultados mostraron cómo los objetos se cargan por fricción, contacto e inducción y cómo esto afecta su comportamiento electrostático.
La experiencia de laboratorio consistió en configurar un circuito eléctrico con un resistor y un capacitor en serie. Se midió la corriente y el voltaje mientras el capacitor se cargaba y descargaba a intervalos de 5 segundos, anotando los datos en una tabla. Luego se graficaron los resultados para determinar la constante de tiempo del circuito RC y compararla con el valor teórico.
El documento describe un experimento sobre campo y potencial eléctrico, con objetivos de demostrar que el campo eléctrico es nulo dentro de un conductor, observar líneas de campo eléctrico para diferentes distribuciones de carga, y determinar superficies equipotenciales. Se usó un generador de Van de Graaff, aceite de ricino, y electrodos para medir campo eléctrico y superficies equipotenciales. Los resultados mostraron que el campo eléctrico es nulo dentro de un conductor, y se observaron diferentes configuraciones de
La experiencia de laboratorio consistió en armar un circuito eléctrico con resistores en serie y paralelo y medir la corriente y voltaje en diferentes puntos para verificar las Leyes de Kirchhoff. Los resultados experimentales tuvieron pequeños errores en relación con los valores teóricos, confirmando que las Leyes de Kirchhoff describen con precisión el comportamiento de corrientes y voltajes en circuitos eléctricos.
1. CAP´
ITULO 2
´ ´
METODOS DE SOLUCION
as
atic
atem
eM
2.1. VARIABLES SEPARABLES
o. d
dy g(x)
Definici´n 2.1 . Se dice que una E.D. de la forma:
o = es separable
dx h(y)
o de variables separables. ept
,D
uia
La anterior ecuaci´n se puede escribir como h(y) dy = g(x) dx e integran-
o
tioq
do:
h(y) dy = g(x) dx + C,
An
obteni´ndose as´ una familia uniparam´trica de soluciones.
e ı e
de
ad
Nota: la constante o par´metro C, a veces es conveniente escribirla de
a
otra manera, por ejemplo, m´ltiplos de constantes o logaritmos de constantes
u
rsid
o exponenciales de constantes o si aparecen varias constantes reunirlas en una
ive
sola constante.
Un
dy
Ejemplo 1. dx
= e3x+2y
Soluci´n:
o
dy
= e3x+2y = e3x e2y
dx
7
2. CAP´
ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES CON APLICACIONES EN MAPLE,
PROF.JAIME ESCOBAR A.
separando variables
dy
= e3x dx
e2y
e integrando
1 e3x
− e−2y + C =
2 3
la soluci´n general es
o
as
e3x e−2y
atic
+ =C
3 2
atem
dy 1
Ejemplo 2. dx
= xy 3 (1 + x2 )− 2 , con y(0) = 1
eM
Soluci´n: separando variables
o
o. d
2x
y −3 dy = √ dx
2 1 + x2
ept
,D
1 d(1 + x2 ) u = 1 + x2
= √ haciendo
uia
2 1 + x2 du = 2xdx
tioq
obtenemos
1 du
An
= √
2 u
de
1
y −2 1 (1 + x2 ) 2
e integrando = +C
ad
1
−2 2 2
rsid
soluci´n general
o
ive
1 √
− = 1 + x2 + C.
Un
2y 2
Cuando x = 0, y = 1
1 √
− = 1 + 02 + C
2×1
8
3. 2.1. VARIABLES SEPARABLES
luego C = −32
La soluci´n particular es
o
−1 √ 3
2
= 1 + x2 −
2y 2
Resolver los siguientes ejercicios por el m´todo de separaci´n de variables:
e o
Ejercicio 1. (4y + yx2 ) dy − (2x + xy 2 ) dx = 0
as
(Rta. 2 + y 2 = C(4 + x2 ))
atic
Ejercicio 2. y + y 2 sen x = 0
atem
(Rta. y = − cos 1 )
x+c
Ejercicio 3. 3ex tan y dx + (2 − ex ) sec2 y dy = 0
eM
(Rta. (2 − ex )3 = C tan y)
o. d
π
Ejercicio 4. y sen x = y ln y, si y 2
=e
(Rta. ln y = csc x − cot x) ept
,D
dy xy + 3x − y − 3
Ejercicio 5. =
dx xy − 2x + 4y − 8
uia
y+3 5 y−x
(Rta. ( x+4 ) = Ce )
tioq
Ejercicio 6. x2 y = y − xy, si y(−1) = −1
An
1
(Rta. ln |y| = − x − ln |x| − 1)
de
dy
Ejercicio 7. dx − y 2 = −9 que pase por los puntos:
a) (0, 0), b) (0, 3), c) 1 , 1
ad
3
(Rta. a) y−3 = −e6x , b) y = 3, c) y−3 = − 1 e−2 e6x )
rsid
y+3 y+3 2
Ejercicio 8. Se suministran bacterias como alimento a una poblaci´n o
ive
de protozoarios a una raz´n constante µ. Se ha observado que las bacterias
o
Un
son devoradas a una tasa proporcional al cuadrado de su cantidad. Si c(t)
es la cantidad de bacterias en el instante t, hallar la E.D.; determinar c(t)
en funci´n de c(0); cu´l es la concentraci´n de equilibrio de las bacterias, es
o a o
decir, cuando c (t) = 0√ ?
√ √ √ √
µ+ kc(t) µ+ kc(0) 2 kµt
(Rta.: √µ−√kc(t) = √µ−√kc(0) e ; concentraci´n de equilibrio c = µ )
o k
9
4. CAP´
ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES CON APLICACIONES EN MAPLE,
PROF.JAIME ESCOBAR A.
dy dy
Ejercicio 9. Resolver por variables separables: a x dx + 2y = xy dx en
y = a y x = 2a.
3 y
(Rta.: yx2 = 4a e a )
e
2.2. ´
ECUACIONES HOMOGENEAS
Definici´n 2.2 : f (x, y) es homog´nea de grado n si existe un real n tal que
o e
n
para todo t: f (tx, ty) = t f (x, y).
as
atic
Ejemplo 3. f (x, y) = x2 + xy + y 2 es homog´nea de grado dos.
e
atem
Definici´n 2.3 .Si una ecuaci´n en la forma diferencial :
o o
eM
M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0
o. d
tiene la propiedad que M (tx, ty) = tn M (x, y) y N (tx, ty) = tn N (x, y), en-
tonces decimos que es de coeficientes homog´neos o que es una E.D. ho-
e ept
mog´nea.
e
,D
uia
Siempre que se tenga una E.D. homog´nea podr´ ser reducida por medio
e a
tioq
de una sustituci´n adecuada a una ecuaci´n en variables separables.
o o
An
M´todo de soluci´n: dada la ecuaci´n
e o o
de
M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0
ad
donde M (x, y) y N (x, y) son funciones homog´neas del mismo grado; me-
e
rsid
diante la sustituci´n y = ux o x = yv (donde u o v son nuevas variables
o ´ ´
dependientes), puede transformarse en un ecuaci´n en variables separables.
o
ive
Nota: si la estructura algebraica de N es m´s sencilla que la de M , en-
a
Un
tonces es conveniente usar las sustituci´n y = ux.
o
Si la estructura algebraica de M es m´s sencilla que la de N , es conveniente
a
usar la sustituci´n x = vy.
o
Ejemplo 4. Resolver por el m´todo de las homog´neas, la siguiente E.D.:
e e
y y
(x + ye x ) dx − xe x dy = 0, con y(1) = 0.
10
5. ´
2.2. ECUACIONES HOMOGENEAS
Soluci´n:
o
y y
(x + ye x ) dx − xe x dy = 0 donde
homog´nea de orden 1
e homog´nea de orden 1
e
y y
M (x, y) = x + ye x y N (x, y) = −xe x
La sustituci´n m´s sencilla es: y = ux, por tanto dy = u dx + x du
o a
Sustituyendo en la E.D.
as
ux ux
(x + uxe x ) dx − xe x (u dx + x du) = 0
atic
o sea que
atem
x dx − x2 eu du = 0
eM
luego x dx = x2 eu du, separando variables y considerando x = 0, obte-
nemos,
o. d
dx
= eu du ⇒ ln x = eu + C
x
Por lo tanto la soluci´n general es
o ept
,D
y
ln x = e x + C
uia
Para hallar la soluci´n particular que pasa por el punto y(1) = 0, susti-
o
tioq
tuimos en la soluci´n general y obtenemos:
o
An
0
ln 1 = e 1 + C ⇒ 0 = 1 + C de donde C = −1
de
Por lo tanto, y
ad
ln x = e x − 1
rsid
es la soluci´n particular
o
ive
Ejemplo 5. (x2 y 2 − 1)dy + 2xy 3 dx = 0 (ayuda: hacer y = z α y calcular
α para convertirla en homog´nea)
e
Un
Soluci´n:
o
No es homog´nea; hagamos y = z α y hallemos α de tal manera que la E.D.O.
e
se vuelva homog´nea:
e
dy = αz α−1 dz
11
6. CAP´
ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES CON APLICACIONES EN MAPLE,
PROF.JAIME ESCOBAR A.
(x2 z 2α − 1)αz α−1 dz + 2xz 3α dx = 0
α(x2 z 3α−1 − z α−1 )dz + 2xz 3α dx = 0 (2.1)
suma de exponentes en los t´rminos: 2+3α−1, α−1 y 1+3α respectivamente.
e
An´lisis de exponentes para que se cumpla la homogeneidad:
a
1 + 3α = 2 + 3α − 1 = α − 1, se concluye α = −1
as
Sustituyo en la E.D. (2.1): (−1)(x2 z −2 − 1)z −2 dz + 2xz −3 dx = 0
atic
atem
(−x2 z −4 + z −2 ) dz + 2xz −3 dx = 0
Es homog´nea de orden −2.
e
eM
La sustituci´n m´s sencilla es x = uz ⇒ dx = u dz + z du.
o a
o. d
ept
(−u2 z 2 z −4 + z −2 ) dz + 2uzz −3 (u dz + z du) = 0
,D
uia
(−u2 z −2 + z −2 + 2u2 z −2 ) dz + (2uz −1 ) du = 0
tioq
(u2 z −2 + z −2 ) dz + 2uz −1 du = 0
An
de
z −2 (u2 + 1) dz + 2uz −1 du = 0
ad
rsid
z −2 dz 2u
−1
+ 2 du = 0
z u +1
ive
dz 2u
Un
+ 2 du = 0
z u +1
Integrando: ln |z| + ln(u2 + 1) = ln C
ln |z(u2 + 1)| = ln C ⇒ z(u2 + 1) = C
x
reemplazo u = z
y tenemos, tomando z = 0
12
7. ´
2.2. ECUACIONES HOMOGENEAS
x2
+z =C
z
x2
Como y = z −1 o sea que z = y −1 , entonces y −1
+ y −1 = C
luego
x2 y 2 + 1 = Cy,
es la soluci´n general.
o
as
Resolver los siguientes ejercicios por el m´todo de las homog´neas, o con-
e e ´
atic
vertirla en homog´nea y resolverla seg´n el caso:
e u
atem
y
Ejercicio 1. y + x cot x dx − x dy = 0.
y
(Rta.: C = x cos x )
eM
dy
Ejercicio 2. (x + y 2 − xy) dx = y , con y(1) = 1.
(Rta.: ln2 |y| = 4( y−x ))
o. d
y
y y
Ejercicio 3. x − y cos x dx + x cos x dy = 0.
y
ept
(Rta.: ln |x| + sen x = C)
,D
Ejercicio 4. (x2 − 2y 2 ) dx + xy dy = 0.
uia
(Rta.: x4 = C(x2 − y 2 ))
tioq
−y
Ejercicio 5. xy = y + 2xe x .
An
y
(Rta.: ln x = 1 e x +c )
2
de
Ejercicio 6. (x + y 3 ) dx + (3y 5 − 3y 2 x) dy = 0, (Ayuda: hacer x = z α ).
ad
3
(Rta.: ln |C(x2 + y 6 )| = 2 arctan yx )
rsid
Ejercicio 7. 2(x2 y + 1 + x4 y 2 ) dx + x3 dy = 0, (Ayuda: hacer y = z α ).
ive
(Rta.: x4 (1 + 2Cy) = C 2 )
Un
Ejercicio 8. y cos x dx + (2y − sen x) dy = 0, (Ayuda: hacer u = sen x).
sen x
(Rta.: y 2 = Ce− y )
y y
Ejercicio 9. y(ln x + 1) dx − x ln x dy = 0.
1 2 y
(Rta.: ln |x| − 2 ln | x | = C)
13
8. CAP´
ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES CON APLICACIONES EN MAPLE,
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dy y y
Ejercicio 10. dx = cos( x ) + x .
y y
(Rta.: sec( x ) + tan( x ) = Cx)
Ejercicio 11. Hallar la soluci´n particular de la E.D.
o
yx2 dx − (x3 + y 3 )dy = 0,
donde y(0) = 1
(Rta.: ln |y| = 1 ( x )3 )
3 y
as
Ejercicio 12. Hallar la soluci´n particular de la E.D.
o
atic
xy 2 dy − (x3 + y 3 )dx = 0,
atem
donde y(1) = 0
y
(Rta.: ln |x| = 1 ( x )3 )
eM
3
√
Ejercicio 13. (y + xy)dx − 2xdy = 0
o. d
y
(Rta.: x(1 − x )4 = C)
ept
Ejercicio 14. Hallar la soluci´n particular de la E.D.
o
,D
y(ln y − ln x − 1)dx + xdy = 0,
uia
donde y(e) = 1
tioq
y
(Rta.: x ln | x | = −e)
An
de
2.3. E.D. DE COEFICIENTES LINEALES:
ad
(ax + by + c) dx + (αx + βy + γ) dy = 0
rsid
Se presentan dos casos:
ive
1. Si (h, k) es el punto de intersecci´n entre las rectas:
o
Un
ax + by + c = 0 y αx + βy + γ = 0
entonces se hace la sustituci´n: x = u + h y y = v + k y se consigue la
o
ecuaci´n homog´nea de grado 1:
o e
(au + bv)du + (αu + βv)dv = 0
14
9. 2.4. ECUACIONES EXACTAS
2. Si las dos rectas no se intersectan (o sea son paralelas), entonces
αx + βy = n(ax + by)
y por tanto se hace la sustituci´n z = ax + by, lo cual quiere decir
o
que αx + βy = nz, esta sustituci´n convierte la E.D. en una E.D. de
o
variables separables.
Ejercicios: resolver por el m´todo anterior:
e
as
1. (x − y + 1) dx + (x + 2y − 5) dy = 0
atic
√
2 arctan √ x−1
(Rta.: (x − 1)2 + 2(y − 2)2 = Ce 2(y−2) )
atem
2. = 2y−x+5
dy
dx 2x−y−4
eM
(Rta.: (x + y + 1)3 = C 2 (y − x + 3))
o. d
3. (x − 2y + 4) dx + (2x − y + 2) dy = 0
(Rta.: (x + y − 2)3 = C 2 (x − y + 2))
ept
4. (x + y + 1)2 dx + (x + y − 1)2 dy = 0
,D
(Rta.: 4x = − 1 (x + y)2 + 2(x + y) − ln |x + y| + C)
2
uia
5. (x + y + 1) dx + (2x + 2y − 1) dy = 0
tioq
(Rta.: 4 − x − 2y = 3 ln |2 − x − y| + C)
6. (x + y − 2) dx + (x − y + 4) dy = 0
An
(Rta.: C −2 = 2(x + 1)(y − 3) + (x + 1)2 − (y − 3)2 )
de
7. (x − y − 5) dx − (x + y − 1) dy = 0
ad
(Rta.: C −2 = (x − 3)2 − 2(y + 2)(x − 3) − (y + 2)2 )
rsid
8. (2x + y) dx − (4x + 2y − 1) dy = 0
(Rta.: x = 2 (2x + y) − 25 − ln |5(2x + y) − 2| + C)
4
ive
5
Un
2.4. ECUACIONES EXACTAS
Si z = f (x, y), entonces
∂f ∂f
dz = dx + dy
∂x ∂y
15
10. CAP´
ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES CON APLICACIONES EN MAPLE,
PROF.JAIME ESCOBAR A.
es la diferencial total de f ; pero si z = c = f (x, y) (familia de curvas uni-
param´tricas en el plano XY ), entonces
e
∂f ∂f
dz = 0 = dx + dy
∂x ∂y
.
Definici´n 2.4 .La forma diferencial M (x, y) dx + N (x, y) dy es una dife-
o
as
rencial exacta en una regi´n R del plano XY si corresponde a la diferencial
o
atic
total de alguna funci´n f (x, y).
o
atem
La ecuaci´n M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0, es exacta si es la diferencial
o
total de alguna funci´n f (x, y) = c.
o
eM
Teorema 2.1 (Criterio para E.D. exactas) .
o. d
Si M (x, y) y N (x, y) son continuas y tienen derivadas parciales de primer
o ept
orden continuas en una regi´n R del plano XY , entonces la condici´n nece-
o
saria y suficiente para que la forma diferencial
,D
M (x, y) dx + N (x, y) dy
uia
tioq
sea una diferencial exacta es que
∂M ∂N
An
= .
∂y ∂x
de
ad
Demostraci´n: Como M (x, y) dx + N (x, y) dy es una diferencial exacta,
o
rsid
entonces existe una funci´n f (x, y) tal que:
o
ive
∂f ∂f
M (x, y) dx + N (x, y) dy = dx + dy = d f (x, y)
∂x ∂y
Un
luego
∂f
M (x, y) =
∂x
y
∂f
N (x, y) =
∂y
16
11. 2.4. ECUACIONES EXACTAS
por tanto,
∂M ∂2f ∂2f ∂N
= = = .
∂y ∂y∂x ∂x∂y ∂x
La igualdad entre las derivadas cruzadas se produce porque M y N son
continuas con derivadas de primer orden continuas.
M´todo. Dada la ecuaci´n M (x, y) dx+N (x, y) dy = 0, hallar una funci´n
e o o
f (x, y) = C tal que
∂f ∂f
=M y =N
as
∂x ∂y
atic
∂M ∂N
i) Comprobar que es exacta, es decir, verificar que ∂y
= ∂x
.
atem
∂f
ii) Suponer que = M (x, y) y luego integrar con respecto a x dejando a
eM
∂x
y constante:
o. d
f (x, y) = M (x, y) dx + g(y) (2.2)
ept
,D
iii) Derivar con respecto a y la ecuaci´n (2.2)
o
uia
∂f ∂
= M (x, y) dx + g (y) = N (x, y)
tioq
∂y ∂y
An
despejar
de
∂
g (y) = N (x, y) − M (x, y) dx (2.3)
ad
∂y
rsid
Esta expresi´n es independiente de x, en efecto:
o
ive
∂ ∂ ∂N ∂ ∂
N (x, y) − M (x, y) dx = − M (x, y) dx
Un
∂x ∂y ∂x ∂x ∂y
∂N ∂ ∂ ∂N ∂
= − M (x, y) dx = − M (x, y) = 0
∂x ∂y ∂x ∂x ∂y
iv) Integrar la expresi´n (2.3) con respecto a y y sustituir en (2.2) e igualar
o
a C.
17
12. CAP´
ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES CON APLICACIONES EN MAPLE,
PROF.JAIME ESCOBAR A.
∂f
Nota: en ii) se pudo haber comenzado por ∂y
= N (x, y).
Ejemplo 6. Resolver la siguiente E.D.:
(2xy 2 + yex ) dx + (2x2 y + ex − 1) dy = 0
Soluci´n:
o
paso i)
∂M x
= 4xy + e
∂y ∂M ∂N
de donde =
∂N ∂y ∂x
as
= 4xy + ex
∂x
atic
paso ii)
atem
f (x, y) = N (x, y) dy + h(x) = (2x2 y + ex − 1) dy + h(x)
eM
= x2 y 2 + yex − y + h(x)
o. d
paso iii)
∂f
= M = 2xy 2 + yex
ept
,D
∂x
∂f
= 2xy 2 + yex + h (x) ⇒ h (x) = 0
uia
∂x
tioq
paso iv) h(x) = C
paso v) sustituyo h(x) en el paso ii):
An
x2 y 2 + yex − y + C1 = C
de
x2 y 2 + yex − y = C2 Soluci´n general
o
ad
Ejemplo 7. Hallar el valor de b para que sea exacta la E.D.:
rsid
(xy 2 + bx2 y) dx + (x + y)x2 dy = 0.
ive
Un
Soluci´n:
o
∂M
= 2xy + bx2
∂y
∂N
= 3x2 + 2xy ⇒ b = 3
∂x
18
13. 2.4. ECUACIONES EXACTAS
∂f
= xy 2 + 3x2 y (2.4)
∂x
∂f
= x3 + x2 y (2.5)
∂y
integramos (2,4) : f (x, y) = (xy 2 + 3x2 y) dx + g(y)
x2
f (x, y) = y 2 + x3 y + g(y) (2.6)
2
derivamos (2,6) con respecto a y
as
∂f
atic
= yx2 + x3 + g (y) (2.7)
∂y
igualamos (2,5) y (2,7)
atem
x3 + x2 y = yx2 + x3 + g (y)
K = g(y)
eM
o. d
reemplazamos g(y) en (2,6)
x2
f (x, y) = y 2
2
ept
+ x3 y + K = C 1
,D
y 2 x2
= + x3 y = C
2
uia
que es la soluci´n general.
o
tioq
Ejercicio 1. Resolver la siguiente E.D. por el m´todo de las exactas :
e
An
(tan x − sen x sen y) dx + cos x cos y dy = 0.
de
(Rta.: f (x, y) = cos x sen y − ln |cos x| = C)
ad
rsid
Ejercicio 2. Resolver la siguiente E.D. por el m´todo de las exactas:
e
ive
(y 2 cos x − 3x2 y − 2x) dx + (2y sen x − x3 + ln y) dy = 0, con y(0) = e.
Un
(Rta.: f (x, y) = y 2 sen x − x3 y − x2 + y(ln y − 1) = 0)
Ejercicio 3. Determinar la funci´n M (x, y) de tal manera que la siguiente
o
E.D.O sea exacta:
1
M (x, y) dx + xex y + 2xy + dy = 0
x
19
14. CAP´
ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES CON APLICACIONES EN MAPLE,
PROF.JAIME ESCOBAR A.
1 y
(Rta.: M (x, y) = 2 y 2 ex (x + 1) + y 2 − x2
+ g(x))
Ejercicio 4. Determinar la funci´n N (x, y) para que la siguiente E.D.
o
sea exacta:
1 1 x
y 2 x− 2 + 2 dx + N (x, y) dy = 0
x +y
1 1 1
(Rta.: N (x, y) = x 2 y − 2 + 2 (x2 + y)−1 + g(y))
as
Ejercicio 5. Resolver por el m´todo de las exactas la siguiente E.D.:
e
atic
(2xy 2 + yex ) dx + (2x2 y + ex − 1) dy = 0
atem
(Rta.: f (x, y) = y(x2 y + ex − 1) = C)
eM
Ejercicio 6. Resolver por el m´todo de las exactas la siguiente E.D.:
e
o. d
(2x − y sen xy − 5y 4 ) dx − (20xy 3 + x sen xy) dy = 0
ept
(Rta.: f (x, y) = x2 + cos(xy) − 5y 4 x = C)
,D
uia
Ejercicio 7. Resolver por el m´todo de las exactas la siguiente E.D.:
e
tioq
( sen xy + xy cos xy) dx + (x2 cos xy) dy = 0
An
(Rta.: f (x, y) = x sen (xy) = C)
de
Ejercicio 8. Resolver por el m´todo de las exactas la siguiente E.D.:
e
ad
(yexy + 4y 3 ) dx + (xexy + 12xy 2 − 2y) dy = 0, con y(0) = 2
rsid
ive
(Rta.: f (x, y) = exy + 4xy 3 − y 2 = −3)
Un
Ejercicio 9. Resolver por el m´todo de las exactas la siguiente E.D.:
e
(1 − sen x tan y) dx + cos x sec2 y dy = 0
(Rta.: f (x, y) = cos x tan y + x = C)
20
15. ´
2.5. FACTORES DE INTEGRACION
2.5. ´
FACTORES DE INTEGRACION
Definici´n 2.5 (Factor Integrante F.I.) . Sea la E.D.
o
M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0.
Si µ(x, y) es tal que
µ(x, y) M (x, y) dx + µ(x, y) N (x, y) dy = 0
as
es una E.D. exacta, entonces decimos que µ(x, y) es un factor integrante
atic
(F.I.).
atem
Ejemplos de algunas formas diferenciales que son exactas.
eM
Ejemplo: x dx + y dy es la diferencial de 1 (x2 + y 2 ) ya que d 1 (x2 + y 2 ) =
2 2
x dx + y dy.
o. d
Anlogamente: para x dy + y dx = d(xy).
ept
Pero py dx + qx dy no es exacta, la expresi´n µ(x, y) = xp−1 y q−1 es un
o
,D
factor integrante.
uia
Para y dx − x dy, las expresiones:
tioq
An
1 1 1 1 1
µ= 2
; µ= 2; µ= ; µ= 2 2
; µ= 2
y x xy x +y ax + bxy + cy 2
de
son factores integrantes.
ad
rsid
Teorema 2.2 (Teorema del Factor Integrante) :
Sea M (x, y) dx+N (x, y) dy = 0 una E.D. y µ(x, y) un factor integrante, con
ive
M , N y µ continuas y con primeras derivadas parciales continuas , entonces
Un
∂M ∂N dµ dµ
µ − =N = −M
∂y ∂x dx dy
Demostraci´n: Si µ es tal que µM dx + µN dy = 0 es exacta y µ, M, N
o
tienen primeras derivadas parciales continuas, entonces:
21
16. CAP´
ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES CON APLICACIONES EN MAPLE,
PROF.JAIME ESCOBAR A.
∂ ∂
(µM ) = (µN )
∂y ∂x
o sea que
∂M ∂µ ∂N ∂µ
µ +M =µ +N
∂y ∂y ∂x ∂x
luego
∂M ∂N ∂µ ∂µ ∂µ M ∂µ
µ − =N −M =N −
as
∂y ∂x ∂x ∂y ∂x N ∂y
atic
dy
como dx
= − M , entonces:
N
atem
∂M ∂N ∂µ dy ∂µ dµ dµ
µ − =N + =N = −M
∂y ∂x ∂x dx ∂y dx dy
eM
ya que si µ = µ(x, y) y y = y(x) entonces:
o. d
∂µ ∂µ
dµ = dx + dy
∂x ∂y ept
,D
y por tanto
dµ ∂µ ∂µ dy
= +
uia
dx ∂x ∂y dx
tioq
Nota.
∂M
− ∂N
An
1. Si ∂y N ∂x = f (x),
entonces µf (x) = dµ y por tanto f (x)dx = dµ ,
dx µ
de
luego µ = ke f (x)dx ; tomando k = 1 se tiene µ = e f (x)dx
.
ad
rsid
∂M
∂y
− ∂N
∂x g(y)dy
2. Similarmente, si −M
= g(y), entonces µ = e .
ive
Ejemplo 8. (2xy 2 − 2y) dx + (3x2 y − 4x) dy = 0.
Un
Soluci´n:
o
∂M
M (x, y) = 2xy 2 − 2y ⇒ = 4xy − 2
∂y
∂N
N (x, y) = 3x2 y − 4x ⇒ = 6xy − 4
∂x
22
17. ´
2.5. FACTORES DE INTEGRACION
luego
∂M ∂N
− = −2xy + 2
∂y ∂x
por tanto
∂M ∂N
∂y
− ∂x −2xy + 2 2(−xy + 1)
= =
−M −2xy 2 + 2y 2y(−xy + 1)
luego
1 1
dy
g(y) = ⇒ F.I. = µ(y) = e y = eln |y| = y
y
as
atic
multiplico la E.D. original por y: (2xy 3 − 2y 2 ) dx + (3x2 y 2 − 4xy) dy = 0
atem
el nuevo M (x, y) = 2xy 3 − 2y 2 y el nuevo N (x, y) = 3x2 y 2 − 4xy
Paso 1.
eM
∂M
= 6xy 2 − 4y
∂y
o. d
y
∂N
= 6xy 2 − 4y ept
∂x
,D
luego es exacta.
uia
Paso 2.
tioq
f (x, y) = (2xy 3 − 2y 2 )dx + g(y) = x2 y 3 − 2xy 2 + g(y)
An
Paso 3. Derivando con respecto a y:
de
∂f
N = 3x2 y 2 − 4xy = = 3x2 y 2 − 4xy + g (y)
ad
∂y
rsid
luego g (y) = 0
ive
Paso 4. g(y) = k
Un
Paso 5. Reemplazo en el paso 2.
f (x, y) = x2 y 3 − 2xy 2 + k = c
luego x2 y 3 − 2xy 2 = k1 que es la soluci´n general.
o
23
18. CAP´
ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES CON APLICACIONES EN MAPLE,
PROF.JAIME ESCOBAR A.
Ejemplo 9. x dy − y dx = (6x2 − 5xy + y 2 ) dx
Soluci´n:
o
y x dy − y dx
como d( ) =
x x2
entonces dividimos a ambos lados de la E.D. por x2 , luego
x dy − y dx 6x2 − 5xy + y 2
= dx
x2 x2
as
atic
luego
y y y
d( ) = 6 − 5( ) + ( )2 dx,
atem
x x x
y 2
hagamos u = x
⇒ du = (6 − 5u + u )dx
eM
du du
luego 2
= dx ⇒ = dx
6 − 5u + u (u − 3)(u − 2)
o. d
1 A B
pero por fracciones parciales = +
(u − 3)(u − 2) u−3 u−2
ept
o sea que A = 1 y B = −1, por tanto
,D
uia
du du du
= dx ⇒ − = ln |u−3|−ln |u−2|+ln c = x
(u − 3)(u − 2) u−3 u−2
tioq
luego
An
(u − 3) (y − 3x)
c = ex , si x = 0 ⇒ c = ex
(u − 2) (y − 2x)
de
Obsrvese que x = 0 es tambi´n soluci´n y es singular porque no se desprende
e o
ad
de la soluci´n general.
o
rsid
En los siguientes ejercicios, hallar el factor integrante y resolver por el
ive
m´todo de las exactas:
e
Un
Ejercicio 1. (cos(2y) − sen x) dx − 2 tan x sen (2y) dy = 0.
(Rta.: sen x cos(2y) + 1 cos2 x = C)
2
Ejercicio 2. (3xy 3 + 4y) dx + (3x2 y 2 + 2x) dy = 0.
(Rta.: f (x, y) = x3 y 3 + 2x2 y = C)
24
19. ´
2.5. FACTORES DE INTEGRACION
Ejercicio 3. 2xy ln y dx + (x2 + y 2 y 2 + 1) dy = 0.
1 3
(Rta.: f (x, y) = x2 ln y + 3 (y 2 + 1) 2 = C)
Ejercicio 4. (2wz 2 − 2z) dw + (3w 2 z − 4w) dz = 0.
(Rta.: w 2 z 3 − 2z 2 w = C)
Ejercicio 5. ex dx + (ex cot y + 2y csc y)dy = 0
(Rta.: f (x, y) = ex sen y + y 2 = C)
as
Ejercicio 6. x dy + y dx = (x3 + 3x2 y + 3xy 2 + y 3 )(dx + dy).
atic
1
(Rta.: xy = 4 (x + y)4 + C)
atem
Ejercicio 7. x dy − y dx = (2x2 + 3y 2 )3 (2xdx + 3ydy).
2 3 y 1
tan−1 ( = 3 (2x2 + 3y 2 )3 + C)
eM
(Rta.: 3 2 x
)
o. d
Ejercicio 8. y dx + (2x − yey ) dy = 0.
(Rta.: y 2 x − y 2 ey + 2yey − 2ey = C)
ept
Ejercicio 9. (xy − 1)dx + (x2 − xy)dy = 0.
,D
2
(Rta.: f (x, y) = xy − ln |x| − y2 = C)
uia
Ejercicio 10. ydx + (x2 y − x)dy = 0.
tioq
2
(Rta.: f (x, y) = − x + y2 = C)
y
An
Ejercicio 11. (2xy − e−2x )dx + xdy = 0.
de
(Rta.: f (x, y) = ye2x − ln |x| = C)
ad
Ejercicio 12. ydx + (2xy − e−2y )dy = 0.
rsid
(Rta.: f (x, y) = xe2y − ln |y| = C)
ive
Ejercicio 13. (x + y)dx + x ln xdy = 0.
Un
(Rta.: f (x, y) = x + y ln x = C)
Ejercicio 14. Hallar la soluci´n particular que pasa por el punto
o
y(1) = −2, de la E.D.
dy 3x2 y + y 2
=− 3
dx 2x + 3xy
25
20. CAP´
ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES CON APLICACIONES EN MAPLE,
PROF.JAIME ESCOBAR A.
(Rta.: x3 y 2 + y 3 x = −4)
Ejercicio 15. x dx + y dy = 3 x2 + y 2 y 2 dy.
(Rta.: x2 + y 2 = y 3 + C)
Ejercicio 16. 4y dx + x dy = xy 2 dx.
1 1
(Rta.: yx4 − 3x3 = C)
Ejercicio 17. Si
as
My − N x
atic
= R(xy),
yN − xM
atem
t
R(s) ds
entonces µ = F.I. = e , donde t = xy
eM
Ejercicio 18. Bajo que condiciones M dx + N dy = 0 tendr´ un F.I.=
a
µ(x + y)
o. d
Ejercicio 19. Si M dx + N dy = 0 es homog´nea, entonces µ(x, y) =
e
1 ept
xM +yN
,D
uia
2.6. E.D. LINEAL DE PRIMER ORDEN
tioq
Definici´n 2.6 . Una E.D. de la forma:
o
An
dy
a1 (x) + a0 (x)y = h(x),
de
dx
ad
donde a1 (x) = 0, en I y a1 (x), a0 (x), h(x) son continuas en I, se le llama
rsid
E.D. lineal en y de primer orden.
ive
Un
Dividiendo por a1 (x), se obtiene la llamada ecuaci´n en forma can´nica
o o
o forma estandar:
´
dy
+ p(x)y = Q(x),
dx
a0 (x) h(x)
donde p(x) = y Q(x) = .
a1 (x) a1 (x)
26
21. 2.6. E.D. LINEAL DE PRIMER ORDEN
Teorema 2.3 (Teorema de la E.D. lineal de primer orden) :
La soluci´n general de la E.D. lineal en y, de primer orden:
o
y + p(x)y = Q(x)
es :
p(x) dx p(x) dx
ye = e Q(x) dx + C.
as
Demostraci´n:
o
atic
dy
+ p(x)y = Q(x) (2.8)
dx
atem
⇒ p(x)y dx + dy = Q(x) dx
∂M ∂N
eM
o sea que (p(x)y − Q(x)) dx + dy = 0, como ∂y
= p(x) y ∂x
= 0, entonces
∂M ∂N
−
o. d
∂y ∂x
= p(x)
N
y por tanto µ = e p(x) dx
= F.I.; multiplicando (2.8) por el F.I.:
ept
,D
p(x) dx dy p(x) dx p(x) dx
uia
e + p(x)ye = Q(x)e
dx
tioq
d
o sea dx
(ye p(x) dx ) = Q(x)e p(x) dx
e integrando con respecto a x se tiene:
An
p(x) dx p(x) dx
ye = Q(x)e dx + C
de
Obsrvese que la expresi´n anterior es lo mismo que:
o
ad
rsid
y F.I. = Q(x) F.I. dx + C
ive
dν
Ejemplo 10. Hallar la soluci´n general de la E.D.:(6 − 2µν) dµ + ν 2 = 0
o
Un
Soluci´n:
o
dν ν2
=−
dµ 6 − 2µν
dµ 6 2µ
=− 2 +
dν ν ν
27
22. CAP´
ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES CON APLICACIONES EN MAPLE,
PROF.JAIME ESCOBAR A.
dµ 2µ 6
− =− 2
dν ν ν
que es lineal en µ con
2 6
p(ν) = − , Q(ν) = − 2
ν ν
2
− ν dν −2 1
F.I. = e p(ν)dν
=e = e−2 ln |ν| = eln |ν| = ν −2 =
as
ν2
atic
La soluci´n general es
o
atem
1 1 6
µ= (− 2 )dν + C
ν2 ν 2 ν
eM
1 ν −3
µ = −6 ν −4 dν + C = −6 +C
ν2 −3
o. d
µ 2 2
= 3 + C ⇒ µ = + Cν 2 ept
ν2 ν ν
,D
que es la soluci´n general.
o
uia
dy
Ejemplo 11. Hallar una soluci´n continua de la E.D.:
o dx
+ 2xy = f (x)
tioq
x, 0≤x<1
donde f (x) =
0, x≥1
An
y y(0) = 2
de
ad
Soluci´n:
o
rsid
2xdx 2 2 2
F.I. : e = ex ⇒ ex y = ex f (x)dx + C
ive
2 2
a). si 0 ≤ x < 1 : ex y = ex x dx + C
Un
2 1 2
ex y = 2
ex 2x dx + C
2 1 2
ex y = 2 ex + C, soluci´n general
o
28
23. 2.6. E.D. LINEAL DE PRIMER ORDEN
2 2
y(0) = 2 ⇒ e0 2 = 1 e0 + C
2
1 3
2= 2
+C ⇒C = 2
1 2 1 3 2
y= 2
+ Ce−x ⇒ y = 2
+ 2 e−x , soluci´n particular
o
b). si x ≥ 1 : F.I.y = F.I. 0 dx + C
as
2 2
atic
ex y = 0 + C ⇒ y = Ce−x
atem
1 2
2
+ 3 e−x
2
0≤x<1
Soluci´n: f (x) =
o 2
Ce−x x≥1
eM
Busquemos C, de tal manera que la funci´n f (x) sea continua en x = 1.
o
Por tanto
o. d
1 3 2
l´ ( + e−x ) = f (1) = y(1)
ım
x→1 2 2
ept
1 3 −1
+ e = Ce−1
,D
2 2
uia
3 1
+ 2 e−1 1 3 2
⇒C= = e+
tioq
e −1 2 2
Ejemplo 12. Con un cambio de variable adecuado trasformar la E.D.:
An
2
y + x sen 2y = xe−x cos2 y
de
en una E.D. lineal de primer orden y luego resolverla.
ad
Soluci´n. Lo trabajamos mediante cambios de variable.
o
rsid
Dividiendo por cos2 y:
1 dy x(2 sen y cos y)
ive
2
2 y dx
+ 2y
= xe−x
cos cos
Un
dy 2
sec2 y
+ 2x tan y = xe−x
dx
hagamos el siguiente cambio de variable: t = tan y, por lo tanto
dt dy
= sec2 y .
dx dx
29
24. CAP´
ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES CON APLICACIONES EN MAPLE,
PROF.JAIME ESCOBAR A.
Sustituyendo
dt 2
+ 2xt = xe−x , es lineal en t con
dx
2
p(x) = 2x, Q(x) = xe−x
2x dx 2
F.I. = e = ex
as
Resolvi´ndola
e
atic
t F.I. = F.I.Q(x) dx + C
atem
2 2 2
tex = ex (xe−x ) dx + C
eM
x2
o. d
2
⇒ tan y ex =
+C
2
Ejercicio 1. Hallar una soluci´n continua de la E.D.:
o ept
,D
dy
(1 + x2 ) dx + 2xy = f (x)
uia
x, 0≤x<1
tioq
donde f (x) =
−x , x≥1
An
con y(0) = 0.
x2
, si 0 ≤ x < 1
de
2(1+x2 )
(Rta.: y(x) = x2 1
)
− 2(1+x2 ) + 1+x2
, si x ≥ 1
ad
dy y
Ejercicio 2. Hallar la soluci´n de la E.D.:
o = con y(5) = 2
rsid
dx y−x
y2
(Rta.: xy = 2
+ 8)
ive
1
Ejercicio 3. Resolver para ϕ(x) la ecuaci´n 0 ϕ(αx) dα = nϕ(x)
o
Un
(Ayuda: con un cambio de variable adecuado transforme la ecuaci´n en una
o
E.D. lineal de primer orden.)
1−n
(Rta.: ϕ(x) = Cx( n ) )
Ejercicio 4. Hallar la soluci´n de la E.D.: y − 2xy = cos x − 2x sen x
o
donde y es acotada cuando x → ∞.
30
25. 2.6. E.D. LINEAL DE PRIMER ORDEN
(Rta.: y = sen x)
√ √ √
Ejercicio 5. Hallar la soluci´n de la E.D.: 2 x y −y = − sen x−cos x
o
donde y es acotada cuando x → ∞.
√
(Rta.: y = cos x)
dy
Ejercicio 6. Resolver la E.D.: (x + 2)2 dx
= 5 − 8y − 4xy.
5
(Rta.: y(2 + x)4 = 3 (2 + x)3 + C)
as
dy dy
Ejercicio 7. Resolver la E.D.: y − x dx = dx
y 2 ey .
atic
x
(Rta.: y − xy = C)
atem
Ejercicio 8. El suministro de glucosa al torrente sangu´ıneo es una t´cni-
e
ca importante para detectar la diabetes en una persona. Para estudiar este
eM
proceso, definimos G(t) como la cantidad de glucosa presente en la sangre
de un paciente en el tiempo t. Suponga que la glucosa se suministra al sis-
o. d
gr.
tema sangu´ıneo a una tasa constante k min. . Al mismo tiempo la glucosa se
transforma y se separa de la sangre a una tasa proporcional a la cantidad de
ept
glucosa presente. Construir la E.D. y resolverla. Hallar G(t) cuando t → ∞.
,D
Ejercicio 9. Hallar la soluci´n general en t´rminos de f (x), de la E.D.:
o e
uia
dy f (x)
tioq
+2 y = f (x)
dx f (x)
An
(Rta.: y = 1 f (x) +
3
C
[f (x)]2
)
de
Ejercicio 10. Hallar y(x) en funci´n de f (x) si
o
ad
dy
rsid
+ f (x) y = f (x)y 2
dx
ive
1
(Rta.: y = (1−Ce f (x) dx ) )
Un
Ejercicio 11. Hallar la soluci´n general de la E.D.
o
(x + 1)y + (2x − 1)y = e−2x
1
(Rta.: y = − 3 e2x + Ce−2x (x + 1)3 )
31
26. CAP´
ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES CON APLICACIONES EN MAPLE,
PROF.JAIME ESCOBAR A.
Ejercicio 12. Hallar la soluci´n particular de la E.D.
o
y + y = 2xe−x + x2 si y(0) = 5
(Rta.: y = x2 e−x + x2 − 2x + 2 + 3e−x )
Ejercicio 13. Hallar la soluci´n particular de la E.D.
o
(1 − 2xy 2 )dy = y 3 dx
as
si y(0) = 1
atic
(Rta.: xy 2 = ln y)
atem
2.7. ECUACION DIFERENCIAL DE
eM
BERNOULLI
o. d
dy
Definici´n 2.7 . Una E.D. de la forma dx + p(x)y = Q(x)y n con n = 0 y
o
n = 1, se le llama una E.D. de Bernoulli. Obsrvese que es una E.D. no lineal.
ept
La sustituci´n w = y 1−n convierte la E.D. de Bernoulli en una E.D. lineal en
o
,D
w de primer orden:
uia
dw
+ (1 − n)p(x)w = (1 − n) Q(x).
tioq
dx
dy
Ejemplo 13. xy(1 + xy 2 ) dx = 1 con y(1) = 0.
An
Soluci´n:
o
dy 1 dx
= xy (1+xy2 ) ⇒ = xy (1 + xy 2 ) = xy + x2 y 3
de
dx dy
ad
dx
− xy = x2 y 3 (2.9)
rsid
dy
tiene la forma de Bernoulli con variable dependiente x, con n = 2
ive
Hagamos w = x1−2 = x−1 ⇒ x = w−1
Un
dx dw
= −w−2
dy dy
sustituimos en (2.9): −w −2 dw − yw−1 = y 3 w−2
dy
multiplicamos por −w −2 : dw + yw = −y 3 , lineal en w de primer orden.
dy
luego p(y) = y; Q(y) = −y 3
32
27. 2.7. E.D. DE BERNOULLI
y2
P (y) dy y dy
F.I. = e =e =e2
w F.I. = F.I. Q(y) dy + C
y2 y2
we 2 = e 2 (−y 3 ) dy + C
as
y2
hagamos: u = 2
⇒ du = y dy , y 2 = 2u
atic
atem
y2 y2
we 2 = − y 3 e 2 dy + C = −2 ueu du + C
eM
y2
e integrando por partes, obtenemos: w e 2 = −2u eu + 2eu + C
o. d
y2 y2 1 y2 y2
x−1 e 2 = −y 2 e 2 + 2e 2 + C ⇒
x
= −y 2 + 2 + Ce− 2 ept
,D
Como y(1) = 0 entonces C = −1, por lo tanto la soluci´n particular es:
o
uia
1 y2
= −y 2 + 2 − e− 2
tioq
x
Resolver las E.D. de los siguientes ejercicios:
An
dy y x
de
Ejercicio 1. 2 dx = x
− y2
con y(1) = 1.
3 1
3 −2
(Rta.: y x = −3x + 4)
ad
2
rsid
2
Ejercicio 2. y = x3 3x .
+y+1
(Rta.: x3 = −y − 2 + Cey )
ive
Un
Ejercicio 3. tx2 dx + x3 = t cos t.
dt
(Rta.: x3 t3 = 3(3(t2 − 2) cos t + t(t2 − 6) sen t) + C)
x
Ejercicio 4. y = x2 y+y3 .
2
(Rta.: x2 + y 2 + 1 = Cey )
33
28. CAP´
ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES CON APLICACIONES EN MAPLE,
PROF.JAIME ESCOBAR A.
Ejercicio 5. xy + y = x4 y 3 .
(Rta.: y −2 = −x4 + cx2 )
Ejercicio 6. xy 2 y + y 3 = cos x .
x
(Rta.: x3 y 3 = 3x sen x + 3 cos x + C)
Ejercicio 7. x2 y − y 3 + 2xy = 0.
2
(Rta.: y −2 = 5x + Cx4 )
as
Ejercicio 8. Hallar la soluci´n particular de la E.D.
o
atic
dx 2 √ x 3
− x = y( 2 ) 2
atem
dy y y
tal que y(1) = 1
eM
(Rta.: y 3 = x)
o. d
Ejercicio 9. Hallar la soluci´n particular de la E.D.
o
ept
(1 − 2xy 2 )dy = y 3 dx
,D
tal que y(0) = 1
uia
(Rta.: xy 2 = ln |y|)
tioq
An
2.8. E.D. NO LINEALES DE PRIMER OR-
de
DEN
ad
Sea
rsid
(y )n + a1 (x, y)(y )n−1 + a2 (x, y)(y )n−2 + . . . + an−1 (x, y)y + an (x, y) = 0,
ive
donde ai (x, y) para i = 1 . . . n son funciones reales y continuas en una regi´n
o
Un
R del plano XY .
Casos:
i) Se puede despejar y .
34
29. 2.8. E.D. NO LINEALES DE PRIMER ORDEN
ii) Se puede despejar y.
iii) Se puede despejar x.
dy
Caso i). Si hacemos p = dx
= y , entonces
pn + a1 (x, y)pn−1 + a2 (x, y)pn−2 + . . . + an−1 (x, y)p + an (x, y) = 0.
as
En caso que sea posible que la ecuaci´n anterior se pueda factorizar en
o
atic
factores lineales de p, se obtiene lo siguiente:
atem
(p − f1 (x, y))(p − f2 (x, y)) . . . (p − fn (x, y)) = 0,
donde fi (x, y) para i = 1, . . . , n son funciones reales e integrables en una re-
eM
gi´n R del plano XY .
o
o. d
Si cada factor tiene una soluci´n ϕi (x, y, c) = 0, para i = 1, . . . , n.
o
n
entonces la soluci´n general es i=1 ϕi (x, y, c) = 0.
o
ept
Ejemplo 14. (y − sen x)((y )2 + (2x − ln x)y − 2x ln x) = 0.
,D
Soluci´n:
o
uia
(p − sen x)(p2 + (2x − ln x)p − 2x ln x) = 0
tioq
(p − sen x)(p + 2x)(p − ln x) = 0
An
dy
Para el factor p − sen x = 0 ⇒ dx
− sen x = 0 ⇒ dy = sen x dx ⇒
y = − cos x + C
de
ad
φ1 (x, y, C) = 0 = y + cos x − C
rsid
dy
Para el factor p + 2x = 0 ⇒ dx
= −2x ⇒ dy = −2x dx
ive
Un
⇒ y = −x2 + C ⇒ φ2 (x, y, C) = 0 = y + x2 − C
dy
Para el factor p − ln x = 0 ⇒ dx
= ln x ⇒ dy = ln x dx
y= ln x dx + C,
e integrando por partes:
35
30. CAP´
ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES CON APLICACIONES EN MAPLE,
PROF.JAIME ESCOBAR A.
1
y= ln x dx + C = x ln x − x dx = x ln x − x + C
x
φ3 (x, y, C) = 0 = y − x ln x + x − C
3
La soluci´n general es:
o i=1 φi (x, y, C) = 0
(y + cos x − C)(y + x2 − C)(y − x ln x + x − C) = 0
as
Resolver por el m´todo anterior los siguientes ejercicios:
e
atic
Ejercicio 1. p (p2 − 2xp − 3x2 ) = 0.
atem
(Rta.: (y − c)(2y − 3x2 + c)(2y + x2 + c) = 0)
eM
2
dν dν
Ejercicio 2. 6µ2 dµ
− 13µν dµ − 5ν 2 = 0.
1 5
o. d
(Rta.: (νµ 3 − c)(νµ− 2 − c) = 0)
Ejercicio 3. (y )3 − y(y )2 − x2 y + x2 y = 0.
2 2
ept
(Rta.: (x − ln |y| + c)(y + x − c)(y − x − c) = 0)
,D
2 2
uia
dy
Ejercicio 4. n2 p2 − x2n = 0, con n = 0 y dx
=p=y.
xn+1 xn+1
(Rta.: (y + n(n+1) − c)(y − n(n+1) − c) = 0)
tioq
An
Ejercicio 5. Denotando por P cualquier punto sobre una curva C y T
el punto de intersecci´n de la tangente con el eje Y . Hallar la ecuaci´n de C
o o
de
si P T = k.
√ √
2 2
2
(Rta.:(y + c)2 = k 2 − x2 + k ln k −x −k , con |x| ≤ k, k > 0.)
ad
x
rsid
Caso ii). Son ecuaciones de la forma F (x, y, p) = 0 y de la cual puede
despejarse y, es decir: y = f (x, p), donde x y p se consideran como variables
ive
independientes, la diferencial total es:
Un
∂f ∂f
dy = dx + dp
∂x ∂p
luego
dy ∂f ∂f dp
=p= +
dx ∂x ∂p dx
36
31. 2.8. E.D. NO LINEALES DE PRIMER ORDEN
o sea que
∂f ∂f dp dp
0= −p + = g(x, p, p ), donde p =
∂x ∂p dx dx
y por tanto
∂f ∂f
−p dx + dp = 0
∂x ∂p
as
atic
es una E.D. de primer orden en x y p. Generalmente (teniendo buena suerte)
atem
g(x, p, p ) = 0
se puede factorizar, quedando as´ g(x, p, p ) = h(x, p, p ) φ (x, p) = 0.
ı:
eM
a) Con el factor h(x, p, p ) = 0 se obtiene una soluci´n h1 (x, p, c) = 0,
o
o. d
se elimina p entre h1 (x, p, c) = 0 y F (x, y, p) = 0 y se obtiene la soluci´n
o
general.
ept
b) Con φ(x, p) = 0 se obtiene una soluci´n singular, al eliminar p entre
o
,D
φ(x, p) = 0 y F (x, y, p) = 0.
uia
2 dy
Ejemplo 15. y = f (x, p) = (px + x2 ) ln x + (px + x2 )2 − x , donde p =
2 dx
tioq
dy ∂f ∂f dp
Soluci´n:
o dx
=p= ∂x
+ ∂p dx
An
si x = 0
1 dp
de
p = (p+2x) ln x+(px+x2 ) +2(px+x2 )(p+2x)−x+[x ln x+2(px+x2 )x]
x dx
ad
dp
p = (p + 2x) ln x + p + x + 2x(p + x)(p + 2x) − x + [x ln x + 2x2 (p + x)] dx
rsid
ive
dp
0 = (p + 2x) ln x + 2x(p + x)(p + 2x) + [x ln x + 2x2 (p + x)] dx
Un
dp
0 = (p + 2x)[ln x + 2x(p + x)] + x[ln x + 2x(p + x)] dx
dp
0 = [ln x + 2x(p + x)] p + 2x + x dx
0 = h(x, p), Φ(x, p, p )
37
32. CAP´
ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES CON APLICACIONES EN MAPLE,
PROF.JAIME ESCOBAR A.
dp
1) Con el factor Φ(x, p, p ) = p + 2x + x dx = 0
dp x=0 dp p
⇒ x dx + p = −2x ⇒ dx
+ x
= −2 (dividimos por x)
1
E.D.lineal en p, P (x) = x , Q(x) = −2
1
P (x) dx
F.I. = e =e x
dx
= eln |x| = x
p F.I. = F.I.Q(x) dx + C
as
atic
2
px = x(−2) dx + C = − 2x + C = −x2 + C
2
atem
C
p = −x + x
(dividimos por x)
eM
luego sustituimos en la E.D. original:
x2
o. d
y = (px + x2 ) ln x + (px + x2 )2 −
2
ept
x2
y = (−x2 + C + x2 ) ln x + (−x2 + C + x2 )2 −
,D
2
uia
soluci´n general
o
x2
y = C ln x + C 2 −
tioq
2
2) h(x, p) = ln x + 2x(p + x) = 0
An
0 = ln x + 2xp + 2x2
de
ad
2xp = − ln x − 2x2
rsid
2 2
luego p = − ln x−2x ⇒ px = − ln x+2x
ive
2x 2
Un
sustituyo en la E.D. original:
x2
y = (px + x2 ) ln x + (px + x2 )2 −
2
2
ln x + 2x2 ln x + 2x2 x2
y= − + x2 ln x + − + x2 −
2 2 2
38
33. 2.8. E.D. NO LINEALES DE PRIMER ORDEN
2
− ln x − 2x2 + 2x2 − ln x − 2x2 + 2x2 x2
y= ln x + −
2 2 2
ln2 x ln2 x x2
y=− + −
2 4 2
luego la soluci´n singular es
o
ln2 x x2
as
y=− −
4 2
atic
dy
Resolver por el m´todo anterior los siguientes ejercicios, donde p =
e :
atem
dx
Ejercicio 1. xp2 − 2yp + 3x = 0.
eM
(Rta.: 2cy = c2 x2 + 3, y 2 = 3x2 )
o. d
Ejercicio 2. y = px ln x + p2 x2 .
(Rta.: y = c ln x + c2 , y = − 4 ln2 x)
1
ept
Ejercicio 3. y = 5xp + 5x2 + p2 .
,D
(Rta.: y = cx − x2 + c2 , 4y + 5x2 = 0)
uia
Ejercicio 4. p2 x4 = y + px.
tioq
1
(Rta.: y = c2 − cx−1 , y = − 4x2 )
An
Ejercicio 5. 2y = 8xp + 4x2 + 3p2 .
2
(Rta.: 2y = 3(c − x)2 + 8(c − x)x + 4x2 , y = − 2x )
de
3
ad
1
Ejercicio 6. y = xp − 3 p3 .
rsid
3
(Rta.: y = cx − 1 c3 , y = ± 2 x 2 )
3 3
ive
Caso iii). Si en la ecuaci´n F (x, y, p) = 0, se puede despejar x = g(y, p)
o
dy 1
con y y p como variables independientes; hacemos dx = p, o sea que dx = p
Un
dy
y como
∂g ∂g
dx = dy + dp
∂y ∂p
luego
dx 1 ∂g ∂g dp
= = +
dy p ∂y ∂p dy
39