Este documento presenta la teoría de la integral. Explica conceptos como particiones, sumas superiores e inferiores, y las integrales superior e inferior. También muestra propiedades como que particiones más finas producen aproximaciones más exactas a la integral, y que todas las sumas superiores son mayores que las sumas inferiores con independencia de la partición. Finalmente, define la integral de una función como un único valor real para el cual, para cualquier epsilon mayor que cero, existe una partición tal que la suma superior esté dentro de ese epsilon del valor de la integral.

1. Teoría de la Integral
Aplicaciones: procesos acumulativos continuos (valores totales a
partir de marginales), cálculo de áreas, volúmenes, volúmenes de
revolución...
Conceptos previos: partición, sumas superiores e inferiores,
integral de Riemann.
Condiciones de integrabilidad.
Propiedades de la integral (Teorema fundamental del Cálculo).
1

2. Teoría de la Integral
Sea f : D  R  R una función definida y acotada en un
intervalo  a, b  . Construiremos la integral de f en  a, b  ,

b
a
f  x   ln( x  2),
f,
 f  x  dx.
b
a
0,8.
f  x   x  2,
0,10.
Aproximaciónes por exceso y por defecto,
15.12016093
11.90128511
f  x   ln( x  2),
0,8.
2

3. Teoría de la Integral
Definición: Llamamos partición de un conjunto A a una colección de
subconjuntos disjuntos de A tales que su unión es el conjunto A.
P , P2 ,..., Pm  A,
1
P
i
P
1
Pj  O , i, j  1, 2,..., m, i  j.
P2
... Pm 
m
i 1
Pi  A.
Una partición de un intervalo  a, b  es conjunto de puntos
x0 , x1 ,..., xm   a, b
ordenados de menor a mayor tales que x0  a,
xm  b.
Así, el intervalo  a, b  queda dividido en m subintervalos:
 a, x1  ,  x1, x2  ,...,  xm1, b.
a
x1
x2 x3 x4 ... xm1 b
Para construir la integral consideraremos los m subintervalos
 a, x1  ,  x1, x2  ,...,  xm1, b
que se solapan en los extremos.
3

4. Teoría de la Integral
Definición: Decimos que una partición P   x0 , x1 ,..., xm  es más fina
que otra P '  x '0 , x '1 ,..., x 'q si todos los elementos de P ' están en P.

P

P '  x '0 , x '1 ,..., x 'q   x0 , x1 ,..., xm .
Ejemplos: P  0, 2,3,5,6 , P '  0,3, 6 son particiones de  0, 6.
P es más fina que P ' (esto es, P
P ' ), ya que 0,3,6  0, 2,3,5,6.
P  0, 2,3,5,6 ,
P '  0,3, 6
P
P'
0
P ''
P P ''
1
2
3
4
5
6
P ''  0,1, 6.
P P ''  0,1, 2,3,5,6.
Puede ocurrir que dos particiones no sean comparables (p.e., P y P '').
La unión de dos particiones siempre es más fina que cualquiera de ellas
por separado.
4

5. Teoría de la Integral
Consideremos la función f : D  R  R definida y acotada en el
intervalo  a, b , y una partición P   x0 , x1 ,..., xm  de este.
Puesto que f está acotada en  a, b, lo está en cada subintervalo  xi 1 , xi .
Tiene, por tanto, en cada uno de ellos, un ínfimo y un supremo.
M i  sup f  x  ,
x xi1 , xi 
mi  inf
x xi1 , xi 
f  x.
sup f  x 
x6,8
sup f  x 
sup f  x  x4,6
x 2,4
sup f  x 
x0,2
Si la función es continua tiene un
mínimo y un máximo en cada
subintervalo, y coinciden con el ínfimo
y el supremo respectivamente.
5

6. Teoría de la Integral
Consideremos la función f : D  R  R definida y acotada en el
intervalo  a, b , y una partición P   x0 , x1 ,..., xm  de este.
Puesto que f está acotada en  a, b, lo está en cada subintervalo  xi 1 , xi .
Tiene, por tanto, en cada uno de ellos, un ínfimo y un supremo.
M i  sup f  x  ,
mi  inf
x xi1 , xi 
x xi1 , xi 
f  x
f  x.
Si la función no es continua es
posible que en algún subintervalo
tenga un supremo pero no un
máximo, o un ínfimo pero no un
mínimo.
sup f  x 
x x1 , x2 
a
x1
x2
b
x
6

7. Teoría de la Integral
Definición: Sean la función f : D  R  R definida y acotada en el
intervalo  a, b , y una partición P   x0 , x1 ,..., xm  de este. Llamamos
suma superior asociada a f y P al número real
m
S  f , P    M i  xi  xi 1 .
i 1
Análogamente, la suma inferior es
m
s  f , P    mi  xi  xi 1 .
i 1
Las sumas superiores e inferiores son
aproximaciones, por exceso y por defecto
respectivamente, al valor de la integral de la
función en el intervalo.
Si la función es no negativa, también son
aproximaciones al valor del área delimitada
por el eje de abscisas y la gráfica de la
función entre los extremos del intervalo.
7

8. Teoría de la Integral
Proposición: Sean P y P 'dos particiones del intervalo  a, b . Si P es
más fina que P ' se cumple que
S  f , P   S  f , P ' ,
s  f , P   s  f , P ' .
En otras palabras, particiones más finas producen aproximaciones
más exactas al valor de la integral.
m
Dem. (esbozo): Por definición,
S  f , P    M i  xi  xi 1 ,
i 1
q
S  f , P '   M ' j  x ' j  x ' j 1 .
f  x
j 1
Todos los elementos de P ' están en P, por lo que
cada subintervalo  x ' j 1 , x ' j  de P ' se puede


expresar como unión de varios subintervalos de P .
x j 1
xj
El supremo de la función en cada uno de estos
subintervalos de P es menor o igual que el supremo
en el subintervalo de P ' en el que éste está
contenido.
8

9. Teoría de la Integral
Ejemplo:
f  x   ln( x  2),
0,8.
15.12016093
14.41126539
14.03360387
13.83865432
9

10. Teoría de la Integral
Ejemplo:
f  x   ln( x  2),
0,8.
11.90128511
12.80182748
13.22888492
13.43629484
10

11. Teoría de la Integral
Ejemplo:
f  x   x  2,
0,10.
4.295243138
2.788328511
-3.610451012
-1.164518564
11

12. Teoría de la Integral
Proposición: Para cualesquiera P y P ', particiones del intervalo  a, b ,
sean o no comparables, se cumple que
S  f , P   s  f , P ' .
En otras palabras, todas las sumas superiores son mayores que las
sumas inferiores con independencia de la partición a la que estén
asociadas.
Dem.: Consideremos la partición P ''  P
P ''
P,
S  f , P   S  f , P '' .
P ''
P ',
P '.
s  f , P ''  s  f , P ' .
r
r
h 1
h 1
S  f , P ''   M ''h  x ''h  x ''h 1    m ''h  x ''h  x ''h 1   s  f , P ''  .
 S  f , P   S  f , P ''  s  f , P ''  s  f , P ' .
12

13. Teoría de la Integral
P más finas
S
Las sumas superiores están acotadas inferiormente por cualquiera
de las sumas inferiores. Por tanto, existe un valor ínfimo de las
sumas superiores.
Definición: Llamamos integral superior de la
función f en el intervalo  a, b al ínfimo de sus
sumas superiores.
b
 f  x  dx  inf S  f , P .
a
P
Análogamente, la integral inferior es
 f x dx  sups f , P.
s
P más finas
b
a
P
Estas integrales existen y tienen valores reales
siempre que la función es acotada, y se cumple que
 f  x  dx   f  x  dx.
b
b
a
a
Dem.: Para cualesquiera P y P ' , S  f , P   s  f , P ' .
 f  x  dx  s  f , P ' .
 f  x  dx   f  x  dx.
b
Tomando el ínfimo del primer miembro,
Tomando el supremo del segundo,
a
b
b
a
a
13

14. Teoría de la Integral
Las siguientes caracterizaciones de las integrales superior e inferior
serán útiles para demostrar las propiedades de la integral.
La integral superior de la función f en el intervalo  a, b es un
b
único valor real
 f  x  dx
a
para el cual se cumple que para todo   0 existe una partición P
tal que
b
0  S  f , P    f  x  dx   .
P más finas
a
S

En efecto, por un lado S  f , P    f  x  dx P.
b
a
Por otro lado, para todo   0 existe una partición
suficientemente fina tal que
S  f , P    f  x  dx   .
b

b
a
f  x  dx
a
Este valor debe ser único. Por reducción al
absurdo, si para algún A  B y 0    A  B
0  S  f , P  A   ,
A
B

0  S  f , P   B    A  B,  S  f , P   B  A  B,  S  f , P   A  0.
14

15. Teoría de la Integral
Razonando de forma análoga para la integral inferior tenemos las
siguientes definiciones.
Definición: Las integrales superior e inferior de la función f en el
intervalo  a, b son dos únicos valores reales
 f  x  dx
 f  x  dx,
b
b
a
a
para los cuales se cumple que para todo   0 existe una partición P
tal que
b
0  S  f , P    f  x  dx   ,
a
0   f  x  dx  s  f , P    .
b
a
15

16. Teoría de la Integral
Definición: Una función f : D  R  R definida y acotada en un
intervalo  a, b es integrable si su integral superior e inferior son
iguales. Entonces, la integral de f en  a, b es el valor común de las
integrales superior e inferior.
 f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx.
b
b
a
S
b
a
a
 f  x  dx.
S
b
a

b
a
f  x  dx.
 f  x  dx
b
a
s
s
Ejemplo: La función de Dirichlet definida en el intervalo 0,1 por
1 x  Q,
D x   

0 x  Q,
no es integrable en 0,1 .
16

17. Teoría de la Integral
La siguiente definición de la integral proporciona una condición
necesaria y suficiente para que una función sea integrable.
Definición: (Integral como número frontera* entre sumas superiores
e inferiores) Una función f : D  R  R definida y acotada en un
intervalo  a, b es integrable si y sólo si existe un único valor real
 f  x  dx
b
a
para el cual se cumple que para todo   0 existe una partición P tal
b
que
0  S  f , P    f  x  dx   ,
a
0   f  x  dx  s  f , P    .
CNS
b
a
Llamamos integral de f en  a, b al valor
 f  x  dx.
b
a
* En, p.e., Puig Adam (1973) y Rey Pastor (1961).
17

18. Teoría de la Integral: Condiciones de Integrabilidad.
Proposición (CNS de integrabilidad): Una función f : D  R  R
definida y acotada en un intervalo  a, b es integrable si y sólo si
para todo   0 existe una partición P tal que
S  f , P  s  f , P  .
S  f , P
S  f , P

 f  x  dx.
 f  x  dx.
 f  x  dx.
b
a
b
a
CNS
 f  x  dx.
b
b
a
a
0
 f  x  dx.
s  f , P
b
a
s  f , P
S  f , P    f  x  dx 
b
a
 f  x  dx  s  f , P  .
b
a
18

19. Teoría de la Integral: Condiciones de Integrabilidad.
Proposición (CNS de integrabilidad): Una función f : D  R  R
definida y acotada en un intervalo  a, b es integrable si y sólo si
para todo   0 existe una partición P tal que
S  f , P  s  f , P  .
Dem.: Si f es integrable, para todo   0 existe una partición P tal
que

0  S  f , P    f  x  dx  ,
a
2
b

0   f  x  dx  s  f , P   .
a
2
b
S  f , P  s  f , P  .
CN
19

20. Teoría de la Integral: Condiciones de Integrabilidad.
Proposición (CNS de integrabilidad): Una función f : D  R  R
definida y acotada en un intervalo  a, b es integrable si y sólo si
para todo   0 existe una partición P tal que
S  f , P  s  f , P  .
 f  x  dx   f  x  dx.
b
Dem.(cont.): Si f no es integrable,
Para un  tal que  
b
a
a
 f  x  dx  f  x  dx
b
b
a
a
S
no existe una partición P tal que
 f  x  dx.
b
S  f , P  s  f , P   ,

a
 f  x  dx.
b
ya que para cualquier partición
 f  x  dx  f  x  dx
b
b
a
a
 S  f , P  s  f , P.
a
s
CS
20

21. Teoría de la Integral
La Integral considerada como límite.
Consideremos el intervalo  a, b y una sucesión numerable de particiones
. Pk  del mismo para la cual la amplitud del mayor subintervalo (o norma de

la partición) tienda a cero.
Si la función f es integrable en  a, b, para cualquier
partición P suficientemente fina tal que
  0 existe una
S  f , P  s f , P   . (1)
Por tanto, para cualquier sucesión de particiones Pk  cuya norma tienda a
cero,
lim
S  f , Pk   s f , Pk   0.
max  xi  xi1 k 0
Por otro lado, este límite sólo es cero para cualquier sucesión de particiones
cuya norma tienda a cero si se cumple (1) , y, por tanto, si la función es
integrable.
Definición: (Integral considerada como límite I) Una función f
definida y acotada en un intervalo  a, b es integrable en  a, b si y
sólo si para cualquier sucesión de particiones Pk  de  a, b cuya
norma tienda a cero se cumple que
lim
max  xi  xi1 k 0
S  f , Pk  
lim
max  xi  xi1 k 0
s f , Pk    f x dx.
b
a
21

22. Teoría de la Integral
La Integral considerada como límite.
Elijamos un punto cualquiera ti en cada subintervalo xi 1 , xi  de una
partición P .Esto es,
T  t1 , t2 ,..., tm  ,
ti   xi 1 , xi .
mi  f  ti   M i .
Se cumple que
Por tanto, la suma   f , P, T  
m
 f t  x  x 
i
i 1
i
i 1
verifica
s  f , P     f , P, T   S  f , P  .
Así, si f es integrable en xi 1 , xi , las sumas superior e inferior tienen un
límite común, y este es el mismo que el de la suma   f , P, T  para
cualquiera que sea la elección de ti en cada subintervalo. Esto es,
m
lim
max xi  xi1 k 0
Por otro lado, si el límite
 f  t  x  x    f  x  dx.
b
i
i 1
i
i 1
a
m
lim
max xi  xi1 k 0
 f  t  x  x ,
i 1
i
i
i 1
existe y tiene el mismo valor para cualquier elección de ti , entonces la
función es integrable y su integral es el valor común del límite.
22

23. Teoría de la Integral
La Integral considerada como límite.
Definición: (Integral considerada como límite II) Una función f
definida y acotada en un intervalo  a, b es integrable en  a, b si y
sólo si toda sucesión de sumas de la forma
m
 f  t  x  x 
i 1
i
i
i 1
asociada a cualquier sucesión de particiones Pk  cuya norma
tiende a cero tiene el mismo límite para cualquiera que sea la
elección de ti en cada subintervalo xi 1 , xi . Entonces
m
lim
max xi  xi1 k 0
 f  t  x  x    f  x  dx.
i 1
b
i
i
i 1
a
Observación:
Si para alguna elección de ti no existe el límite anterior o este es distinto
para distintas elecciones de ti , la función no es integrable.
Por tanto, la existencia del límite para una elección concreta de ti no
garantiza que la función sea integrable. Así ocurre, por ejemplo, con la
función de Dirichlet, para la cual el límite anterior tiene valor uno o cero
según como elijamos ti .
23

24. Teoría de la Integral: Condiciones de Integrabilidad.
Proposición (CS de integrabilidad): Toda función f : D  R  R
continua en  a, b es integrable en  a, b.
Dem.:
Teniendo en cuenta la definición de sumas superiores e inferiores,
m
S  f , P   s  f , P     M i  mi  xi  xi 1 ,
M i  sup f  x  ,
x xi1 , xi 
i 1
mi  inf
x xi1 , xi 
f  x.
Así, para demostrar que f es integrable basta con probar que para
todo   0 existe una partición P tal que
m
M
i 1
i
 mi  xi  xi 1    .
(1)
Por ser f continua en un intervalo  a, bcerrado y acotado (compacto),
para todo  '  0 existe un   0 tal que
x, x ',
x  x' ,
f  x   f  x '   '.
(Continuidad uniforme)
24

25. Teoría de la Integral: Condiciones de Integrabilidad.
Proposición (CS de integrabilidad): Toda función f : D  R  R
continua en  a, b es integrable en  a, b.
Dem. (cont.):
xi  xi 1  
Tomando una partición tal que
x, x '   xi 1 , xi  ,
i  1, 2,..., m,
f  x   f  x '   ',
M i  mi   '.
y
Así, para esta partición se cumple que
n
M
i 1
m
i
Tomando  ' 
 mi  xi  xi 1    '   xi  xi 1    '  b  a  .
i 1

b  a 
tenemos el resultado (1) buscado.
25

26. Teoría de la Integral
La Integral considerada como límite.
Sea f una función continua y, por tanto, integrable en  a, b . Entonces el
m
límite
lim
max xi  xi1 k 0
 f  t  x  x 
i
i 1
i
i 1
es la integral de f en  a, b para cualquiera que haya sido la elección de ti
en xi 1 , xi  y para cualquier sucesión de particiones cuya norma tienda a
cero.
Definición: Sea f una función continua en un intervalo  a, b . Para
cualquier sucesión de particiones cuya norma tienda a cero y una
elección arbitraria de puntos ti en cada subintervalo xi 1 , xi 
m
lim
max xi  xi1 k 0
 f  t  x  x    f  x  dx.
i 1
b
i
i
i 1
a
Integral de Cauchy
26

27. Teoría de la Integral
La Integral considerada como límite.
a, b  1,2.
Tomemos una partición del intervalo 1,2 en dos subintervalos de igual
Ejemplo:
f x   x,
amplitud. Subdividiendo sucesivamente cada subintervalo de una partición
en dos con la misma amplitud tenemos la sucesión de particiones:
P   ,2,
1
1
 3  2 3 4
P2  1, ,2   , , ,
 2  2 2 2
4 5 6 7 8 
P4   , , , , ,
4 4 4 4 4
 8 9 10 16 
P8   , , ,..., ,
8
8 8 8
...
2n 
n n 1 n  2
Pn   ,
,
,..., ,
n n
n
n
... 
1,
a1  1.
2,
a2 
1
.
2
4  22 ,
a4 
1
.
4
82 ,
a8 
1
.
8
n2 ,
1
an  .
n
3
k
donde an es la amplitud de cada intervalo en la partición Pn , y k el
número de veces que hemos repetido el proceso.
27

28. Teoría de la Integral
La Integral considerada como límite.
a, b  1,2.
Tomemos en cada subintervalo xi 1 , xi 
Ejemplo (cont.):
f x   x,
un punto ti  xi . Con esta
elección, por ser la función creciente, tenemos que el valor f  ti  en cada
subintervalo coincide con el máximo de la función en el mismo. Así,
P   ,2,
1
1
  f , P , T   f  2   a1  2 1,
1
 3   2 3 4    f , P ,T   f  3   1  f  4   1   3  4  1 ,
P2  1, ,2   , , ,
2
 
 


2 2
2 2 2 22


 2  2 2 2
 5
6
7
 8  1
4 5 6 7 8 
  f , P4 , T    f    f    f    f    
P4   , , , , ,
4
4
 4  4
 4
4 4 4 4 4
5 6 7 81
 8 9 10 16 
     ,
P8   , , ,..., ,
4 4 4 4 4
8
8 8 8
...
...
2n 
2n  1
n n 1 n  2
 n 1
Pn   ,
,
,..., ,   f , Pn , T   
 ...   
n n
n
n
n  n
 n
... 
...
28

29. Teoría de la Integral
La Integral considerada como límite.
Ejemplo (cont.):
f x   x,
a, b  1,2.
n   n  1 n  n  1
2n  1  n  1 n  2
 n 1 n  2

 ... 

  f , Pn , T   

...     

n
n  n  n
n
n
n  n
 n
n sumandos.
1
1
  n  1  n  2  ...  n   n  1  n  n   2   n  n  1  2  ...   n  1  n   2
n
n
a1  an n  1  nn
progresión aritmética de diferencia 1.
2
2
1  n  1  1  n  1 3n  1

 nn 
n 2   n 
.
 
2  n 
2  n
2n

1
La amplitud de los subintervalos, an  , tiende a cero si y sólo si n  .
n
Así,
n
2
3n  1 3
lim
 f ti  xi  xi1   nlim 2n  2  1 xdx.
max xi  xi1 n 0

i 1
29

30. Teoría de la Integral: Propiedades
Propiedades de la integral:
1. La integral es un número real.
 f  x  dx   f  x  dx.
b
2.
a
a
b
3. Linealidad (el conjunto de las f. integrables es un E.V. Y la
aplicación que asocia a cada función su integral es una A.L.).
  f  g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx.
b
3. I.
3. II.
b
b
a
a
a

b
a
k f  x  dx  k
 f  x  dx.
b
a
4. Toda función constante es integrable y

b
a
k dx  k  b  a  .
5. Monotonía I. Si f y g son integrables en  a, b y f  x   g  x  x   a, b ,
con a  b , entonces
 f  x  dx   g  x  dx.
b
b
a
a
En particular, si f  x   0 x   a, b , entonces
 f  x  dx  0.
b
a
30

31. Teoría de la Integral: Propiedades
Propiedades de la integral:
6. Monotonía II. Si f es integrable en  a, b , también lo es
f
 f  x  dx   f  x  dx .
b
b
a
a
A
f
C
a
A
b x
f  x  dx  A  B  C .
B

b
a
f ,y
B
a

b
a
C
b x
f  x  dx  A  B  C
Sin embargo, que una función definida como valor absoluto de otra sea
integrable no garantiza que la original también lo sea.
Contraejemplo:
Dx   1 / 2, donde D es la función de Dirichlet.
7. Aditividad respecto al intervalo de
integración. Sean a  c  b. Una función
.f es integrable en  a, b si y sólo si lo es en

. a, c  y en  c, b, y se cumple que
 f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx.
b
c
a
c
A
b
a
f
 A
 B
a
B
c
b x

32. Teoría de la Integral: Propiedades
3. Linealidad.
  f  g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx.
b
3. I.
b
b
a
a
a
Dem.: Sean f y g integrables en  a, b. Para todo   0 existe
(1) 0  S  f , P  
(2) 0 

b
a
P tal que
b

0  S  g , P    g  x  dx  , (3)
a
2
b

0   g  x  dx  s  g , P   . (4)
a
2

f  x  dx  ,
2

 f  x  dx  s  f , P   2 .
b
a
De estas relaciones tenemos que
0  S  f , P   S  g , P    f  x  dx   g  x  dx   ,
b
Así,
a
0   f  x  dx   g  x  dx  s  f , P   s  g , P    .
b
(2)+(4)
b
a
(1)+(3)
b
a
a
 b f  x  dx  b g  x  dx    ,
0  S  f  g, P   
a
 a



b
b
0    f  x  dx   g  x  dx   s  f  g , P    .
 a

a


Por tanto f  g es integrable en  a, b y
  f  g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx.
b
b
b
a
a
a
32

33. Teoría de la Integral: Propiedades
3. Linealidad. 3. II.

b
a
k f  x  dx  k
 f  x  dx.
b
a
Dem.: Sea f integrable en  a, b. Para todo   0 existe
P tal que
0  S  f , P    f  x  dx   , (1)
b
f,k f
k f
k  M2
a
0   f  x  dx  s  f , P    ,
b
(2)
a
f
M2
Para k  0 ,
0  k  S  f , P   k  f  x  dx  k   , (3)
b
a
x0
M1
k  M1
x1
x2
0  k  f  x  dx  k  s  f , P   k   . (4)
b
a
sup f  x   f  x  x   xi 1 , xi .
x xi1 , xi 
k  sup f  x   k  f  x  x   xi 1 , xi .
x xi1 , xi 
k  sup f  x   sup
x xi1 , xi 
x xi1 , xi 
 k  f  x .
33

34. Teoría de la Integral: Propiedades
3. Linealidad. 3. II.
Dem. (cont.):

b
a
k f  x  dx  k
a
0  k  S  f , P   k  f  x  dx  k   . (3)
b
a
m
Por tanto,
 f  x  dx.
b
k  S  f , P    k  sup f  x  xi  xi i 
i 1
m
x xi1 , xi 
  sup
i 1 x xi1 , xi 
 k  f  x    x  x   S  k  f , P .
i
i i
Así, cuando k  0 (3) es equivalente a
0  S  k  f , P   k  f  x  dx  k   .
b
a
De forma análoga, cuando k  0 (4) es equivalente a
0  k  f  x  dx  s  k  f , P   k   .
b
a
Esto garantiza que, para todo k  0 la función k  f es integrable en  a, b
y
b
b

a
k f  x  dx  k
 f  x  dx.
a
34

35. Teoría de la Integral: Propiedades
3. Linealidad. 3. II.

b
a
k f  x  dx  k
 f  x  dx.
b
a
0  S  f , P    f  x  dx   , (1)
b
Dem. (cont.):
a
f,k f
0   f  x  dx  s  f , P    ,
b
(2)
a
Para k  0 ,
k  M1
M2
0  k  S  f , P   k  f  x  dx  k   , (5)
b
f
a
0  k  f  x  dx  k  s  f , P   k   . (6)
b
x0
x1
a
x2
sup f  x   f  x  x   xi 1 , xi .
M1
k  M2
x xi1 , xi 
k  sup f  x   k  f  x  x   xi 1 , xi .
k f
x xi1 , xi 
k  sup f  x   inf
x xi1 , xi 
x xi1 , xi 
 k  f  x .
35

36. Teoría de la Integral: Propiedades
3. Linealidad. 3. II.
Dem. (cont.):

b
a
k f  x  dx  k
a
0  k  S  f , P   k  f  x  dx  k   .
b
(5)
a
m
Por tanto,
 f  x  dx.
b
k  S  f , P    k  sup f  x  xi  xi i 
i 1
m
x xi1 , xi 
  inf
i 1
x xi1 , xi 
 k  f  x    x  x   s  k  f , P .
i
i i
Así, cuando k  0 (5) es equivalente a
0  s  k  f , P   k  f  x  dx  k    0  k  f  x  dx  s  k  f , P   k   .
b
b
a
a
De forma análoga, cuando k  0 (6) es equivalente a
0  k  f  x  dx  S  k  f , P   k    0  S  k  f , P   k  f  x  dx  k   .
b
b
a
a
Esto garantiza que, para todo k  0 la función k  f es integrable en  a, b
y
b
b

a
k f  x  dx  k
 f  x  dx.
a
36

37. Teoría de la Integral: Propiedades
3. Linealidad. 3. II.

b
a
k f  x  dx  k
 f  x  dx.
b
a
Dem. : Esta propiedad se puede demostrar también aplicando el concepto
de integral considerada como límite.
Debemos demostrar que existe el límite
m
lim
max  xi  xi1 k 0
 k  f  x  x 
i
i 1
i 1
i
y tiene el mismo valor para cualquier elección de  i y cualquier sucesión
de particiones cuya norma tienda a cero. Esto se cumple para f , por ser
integrable, y
m
lim
max  xi  xi1 k 0
Por tanto,
lim
max  xi  xi1 k 0
 f  x  x    f xdx.
b
i 1
i
i
i 1
a
m
 k  f  x  x   k 
i 1
i
i
i 1
m
lim
max  xi  xi1 k 0
 f  x  x 
i
i 1
 k  f x dx
i
i 1
b
a
En consecuencia k  f es integrable y su integral es k
 f x dx
b
a
37

38. Teoría de la Integral: Propiedades
4. Toda función constante es integrable y

b
a
k dx  k  b  a  .
Dem.: Para cualquier partición P ,
m
m
i 1
i 1
m
m
i 1
i 1
S  k , P    k  xi  xi 1   k   xi  xi 1   k   b  a  .
s  k , P    k  xi  xi 1   k   xi  xi 1   k   b  a  .
Así, es claro que
s  k , P   s  k , P    k  dx  k   b  a  .
b
a
38

39. Teoría de la Integral: Propiedades
5. Monotonía I. Si f y g son integrables en  a, b y f  x   g  x  x   a, b ,
con a  b , entonces
 f  x  dx   g  x  dx.
b
b
a
a
Dem.: Sean f y g integrables en  a, b y f  x   g  x  x   a, b.
S  f , P   S  g , P    g  x  dx, (1)
a
b
Para cualquier partición P,
 f  x  dx  s  f , P   s  g , P  .
Por reducción al absurdo, si
 f  x  dx   g  x  dx,
para cualquier
0     g  x  dx   f  x  dx
y
b
a
b
a
a
b

S  f , P    f  x  dx     g  x  dx   f  x  dx.
b
Esto es,
a
S  f , P    g  x  dx,
b
a
b
a
b

b
a
a
existe una partición tal que
a

b
a
b
S  g, P 
b

g
S  f , P
a
f
s  f , P
s  g, P 
lo cual contradice (1).
39

40. Teoría de la Integral: Propiedades
6. Monotonía II. Si f es integrable en  a, b , también lo es
f ,y
 f  x  dx   f  x  dx .
b
b
a
a
Dem.: Empezamos demostrando que la función f
es integrable en  a, b.
Para cualquier partición P de  a, b se cumple que


S  f , P   s  f , P     sup f  x   inf f  x    xi  xi 1 
xi  xi1 , xi 
i 1  xi  xi1 , xi 

m


   sup f  x   inf f  x    xi  xi 1   S  f , P   s  f , P  .
xi  xi1 , xi 
i 1  xi  xi1 , xi 

m
Igual si sup. e inf. son del mismo signo.
Por ser f integrable, para todo
  0 existe una partición P tal que
S  f , P  s  f , P  S  f , P  s  f , P   ,
y f es integrable en  a, b.
40

41. Teoría de la Integral: Propiedades
6. Monotonía II. Si f es integrable en  a, b , también lo es
f ,y
 f  x  dx   f  x  dx .
b
b
a
a
Dem. (cont.):
f  x   f  x  x   a, b
f  x    f  x  x   a, b.
Por la propiedad de monotonía anterior,
 f  x  dx   f  x  dx,
b
b
a
a
 f  x  dx  
b
b
a
a
 f  x  dx   f  x  dx .
b
 f  x  dx   f  x  dx.
b
b
a
a
a
41

42. Teoría de la Integral: Propiedades
7. Aditividad respecto al intervalo de integración. Sean a  c  b.
Una función f .es integrable en  a, b si y sólo si lo es en  a, c  y en
b
c
b
. c, b , y se cumple que

f  x  dx  f  x  dx  f  x  dx.


a
a

c
Dem.: Empezamos demostrando que si f es integrable en  a, c  y  c, b 
también lo es en  a, b.
Por ser integrable en  a, c  y  c, b  para cualquier
,
y P de  a, c  y  c, b  respectivamente tales que
2
  0 existen particiones P
1


S  f ,P  s f ,P   ,
S  f , P2   s  f , P2   ,
1
1
2
2
Así, P
P es una partición de  a, b para la cual
1
2
S  f , P P2   S  f , P   S  f , P2  ,
1
1
f
s f , P
1
Por tanto, S  f , P
1
A
a
P2   s  f , P   s  f , P2  .
1
B
c
b x
P2   s  f , P
1
y f es integrable en  a, b.
P2   
42

43. Teoría de la Integral: Propiedades
7. Aditividad respecto al intervalo de integración. Sean a  c  b.
Una función f .es integrable en  a, b si y sólo si lo es en  a, c  y en
b
c
b
. c, b , y se cumple que

f  x  dx  f  x  dx  f  x  dx.


a
a

c
Dem. (cont.):
Demostramos ahora que si f es integrable en  a, b también lo es en  a, c 
y  c, b . Por ser integrable en  a, b , para cualquier   0 existe una
partición P de  a, b tal que
S  f , P  s  f , P  .
Si c no está en P consideramos la partición P ' que resulta de añadir a P
,
el punto c . Por ser más fina cumple también la relación anterior.
Descomponiendo P ' en dos particiones, P y P , de  a, c  y  c, b 
2
1
respectivamente,
P'  P
1
P,
2
S  f , P   s  f , P    S  f , P   s  f , P     S  f , P2   s  f , P2     ,
1
1
donde cada sumando es positivo y, por tanto, menor que  . En
consecuencia, la función es integrable en los dos subintervalos  a, c  y  c, b .
43

44. Teoría de la Integral: Propiedades
7. Aditividad respecto al intervalo de integración. Sean a  c  b.
Una función f .es integrable en  a, b si y sólo si lo es en  a, c  y en
b
c
b
. c, b , y se cumple que

f  x  dx  f  x  dx  f  x  dx.


a

a
c
 f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx.
b
c
b
a
Dem. (cont.): Demostremos ahora que
a
c
Las integrales de f en  a, c  y  c, b  son dos únicos valores para los cuales
se cumple que para cualquier   0 existen particiones Py P de  a, c  y
1
2
de  c, b  respectivamente tales que
(1) 0  S  f , P  
1

a
(2)
0  S  f , P2    f  x  dx  , (3)
c
2

0   f  x  dx  s  f , P   .
1
a
2
c
0  S  f , P   S  f , P2  
1

P2 .
c
a

f  x  dx   f  x  dx   ,
b
c
0   f  x  dx   f  x  dx   s  f , P   s  f , P2     .
1
c
b
a
(2)+(4)

0   f  x  dx  s  f , P2   . (4)
c
2
b
S  f , P , P  P
1
(1)+(3)

b
 f  x  dx  2 ,
c
c
como queríamos demostrar.
s  f , P , P  P
1
P2 .
44

45. Teoría de la Integral: Condiciones de Integrabilidad.
Proposición (CS de integrabilidad): Toda función f : D  R  R
acotada y con un número finito de puntos de discontinuidad en  a, b
es integrable en  a, b.
2
f  x   x  E  x,
x   0,3.
Ejemplo:
f  x   x2  E  x ,
x   0,3.
 a, b  .
En otras palabras, las funciones continuas y las que sólo son
discontinuas en un número finito de puntos son funciones integrables.
f :DRR


f derivable  f continua  f integrable


45

46. Teoría de la Integral: Condiciones de Integrabilidad.
Proposición (CS de integrabilidad): Toda función f : D  R  R
acotada y con un número finito de puntos de discontinuidad en  a, b
es integrable en  a, b.
Dem.: Sin pérdida de generalidad, supongamos que f tiene una única
discontinuidad en c  a, b .Para demostrar que f es integrable en a, b
basta con demostrar que lo es en a, c y en c, b .








 a, c (la dem. para c, b es análoga).
f es continua y, por tanto, integrable, en el intervalo cerrado  a, c   . Por
tanto existe una partición P de  a, c    tal que S  f , P   s  f , P    .
Sean M y m el supremo e ínfimo de f en  a, c  .
Sea P ' la partición de  a, c  que resulta de añadir c a P
.
Y sean H y h el supremo e ínfimo de f en  c   , c .
S  f , P   s  f , P    H  h    1  H  h  
x
 1  M  m   .
Consideremos el intervalo
f
M
hH
m
a c  c b
 '  1  M  m    0 existe una partición P '
46
de  a, c  para la cual S  f , P '  s  f , P '   1  H  h     '.
Para todo

47. Teoría de la Integral: Condiciones de Integrabilidad.
Existen, además, funciones con un número infinito de puntos de
discontinuidad que son integrables.
Ejemplo:
 1
 1

f  x   E  
 x
 0

0
11 1 1
65 4 3
1
2
si x   0,1 ,
si
x  0.
1
47

48. Teoremas fundamentales del cálculo integral.
Proposición: Sea f : D  R  R una función definida, acotada e
integrable en un intervalo  a, b, y sean M y m el supremo y el
ínfimo de f en  a, b . Entonces existe algún    m, M  tal que
 f  x  dx   b  a  .
b
f
a
M
En efecto, m  f  x   M


m
b
a
x   a, b ,
m dx   f  x  dx   M dx.
b
b
a
a
m  b  a    f  x  dx  M  b  a  .
b
a
b
x
a
f
 f  x  dx  M .
m
b
M
a

b  a 
f
M

 f  x  dx  . m
   m, M  ,
ba
b
a
m
a
b
x


(Promedio integral)
a
b
x

49. Teoremas fundamentales del cálculo integral.
Proposición (Teorema de la Media): Sea f : D  R  R una
función continua en un intervalo  a, b. Entonces existe algún c   a, b
tal que
b
 f  x  dx  f  c b  a  .
a
f
M
Dem.: Por ser la función continua alcanza en el
intervalo un máximo y un mínimo globales, y
estos coinciden con su supremo y ínfimo
respectivamente.
f c  
m
 f  x  dx  .
   m, M  ,
ba
b
Sabemos que
a

a
c
b
x

Por el Teorema de Darboux la función, continua en un compacto, toma
todos los valores comprendidos entre su máximo y su mínimo. Por tanto,
 f  x  dx  f  c   .
c   a, b  ,
ba
b
a


49

50. Teoremas fundamentales del cálculo integral.
Proposición (Teorema de la Media): Sea f : D  R  R una
función continua en un intervalo  a, b. Entonces existe algún c   a, b
tal que
b
 f  x  dx  f  c b  a  .
a
Observaciones:
f
1. A menos que la función sea
monótona, en general no hay
garantía de que el punto que verifica
la relación sea único.
M

m
f
a
M

c
c' b
x
2. Que exista un punto c   a, b que
verifique la relación no garantiza
que la función sea continua.
m
a
c b x
50

51. Teoremas fundamentales del cálculo integral.
Proposición: Sea f : D  R  R una función integrable en un
intervalo  a, b Entonces la función
.
  x    f  t  dt , x   a, b
x
es continua en  a, b.
(Función integral)
f
  x  h    x
Dem.:

a
xh
x
xh
a
x
f  t  dt   f  t  dt  
a
Sean
M  sup f  t  , m  inf
Por ser
f integrable en  x, x  h ,    m, M 
tal que
t x , x  h

xh
x
Así,
y

  x
f  t  dt.
t x , x  h
f t .
a
f
x
b
t
  x  h    x
f  t  dt    x  h  x     h.
  x
lim   x  h     x   lim   h  0,
h0
h 0
es continua.
a
x
xh
b t

52. Teoremas fundamentales del cálculo integral.
Proposición (Primer teorema fundamental del cálculo):
Sea f : D  R  R una función continua en un intervalo  a, b.
Entonces la función integral
  x    f  t  dt , x   a, b
x
a
es derivable en  a, b y se cumple que  '  x   f  x  x   a, b.
Dem.: La función integral es derivable si existe y es real el límite
  x  h    x
1 xh
lim
 lim  f  t  dt.
h 0
h 0 h x
h
Por ser f continua, según el teorema de la media c   x, x  h tal que

xh
x
f  t  dt  f  c  x  h  x   f  c   h.
c  x cuando h  0,
1 xh
1
lim  f  t  dt  lim f  c   h  lim f  c   f  x  .
h 0 h x
h 0 h
h 0
f continua.
Por tanto,  '  x   f  x  .
Teniendo en cuenta que
52

53. Teoremas fundamentales del cálculo integral.
Definición: Una función F es una primitiva de otra f en un
conjunto A si la derivada de la primera coincide con la segunda,
 f  x  dx  F  x   F '  x   f  x 
x  A.
Si F es una primitiva de f , para cualquier constante c la función
G  F  c también es una primitiva de f . En efecto,
G '  x   F '  x  x.
Por el primer teorema fundamental sabemos que una función
continua en un intervalo tiene al menos una primitiva, la función
integral. Si tiene otras, estas difieren sólo en una constante.
53

54. Teoremas fundamentales del cálculo integral.
Proposición (Segundo teorema fundamental del cálculo o regla
de Barrow): Sea f : D  R  R una función continua en un
intervalo  a, b . Y sea F tal que F '  x   f  x  x   a, b.
Entonces

 f  x  dx  F b   F  a   F  x 
b
b
a
a
.
Dem.: Por ser f continua, la función integral es derivable y
 '  x   f  x  x   a, b.
Puesto que  ' x   F ' x  x  a, b,  y F difieren en una
constante. Esto es, para algún c real,
  x    f  t  dt  F  x   c x   a, b.
x
a
En el extremo inferior,
  a    f  t  dt  0  F  a   c.  c   F  a  .
a
a
En el extremo superior,
  b    f  t  dt  F  b   F  a  .
b
a
54

55. Teoremas fundamentales del cálculo integral.
En resumen,
función f
f integrable,
función integral   x  
 f  t  dt.
x
a
existe  y es continua.
f continua
CS
f num. finito de
puntos de discont.
f continua,
CS
.f tiene al menos
una primitiva
 derivable y  '  x   f  x  .
(es una primitiva de f )
Para cualquier primitiva F de f ,
 f t  dt  F b   F  a .
b
a
(Barrow)
55

56. Teoremas fundamentales del cálculo integral.
Ejemplo:

7
2
1
dx.
x
f es continua y, por tanto, integrable, y su función integral es
derivable –es una primitiva de f -.
x1
1
  x    dt ,
 ' x  .
2 t
x
La función integral así expresada no es útil para la aplicación de la
regla de Barow.
71
21
71
7
1

2 x dx    x  2    7     2  2 t dt  2 t dt  2 t dt.
0
La función F  x   ln x también es una primitiva de f . Así,
71
7

2 x dx  F  x  2  F  7   F  2  ln 7  ln 2.
x1
La función integral es   x    dt  F  x   F  2   ln x  ln 2.
2 t
c
7
56

57. Cambio de variable.
Proposición: Sea f : D  R  R una función continua en  a, b. Y
1
sea g : D '  R  R una función monótona de clase C en un
intervalo  c, d  tal que g  c   a y g  d   b.
 f  x  dx   f  g t  g ' t  dt.
b
a
Entonces
d
c
3
f x  
.
2
1  x 
Esta relación se obtiene haciendo la
sustitución x  g  t  , dx  g '  t  dt.
f  x
x
x  g t 
 a, b 
t
 c, d 
c
a
b
Ejemplo:
f g t g ' t  
3
1  e  t
t
2

1
2
e
t

 2t .
d
g t   et  t 2  1.
57

58. Cambio de variable.
Proposición: Sea f : D  R  R una función continua en  a, b. Y
1
sea g : D '  R  R una función de clase C en un intervalo  c, d 
tal que g  c   a y g  d   b.
 f  x  dx   f  g t  g ' t  dt.
b
a
Entonces
d
c
 x    f z dz , es
x
Dem.: Por ser f continua la función integral,
derivable y
 ' x   f x .
Esto es,
 es una primitiva de f .
g t 
  g t    g t   a
La función
a
f z dz
es composición de dos funciones de clase C 1 , y, por tanto, también de
clase C 1 . Aplicando la regla de la cadena,
  g ' t    ' g t g ' t   f g t g ' t .
  g t  es una primitiva de f g t g ' t  (la existencia de
Por tanto,
una primitiva está garantizada porque la función subintegral es continua), y

d
c
f g t g ' t dt   g t c   g d    g c 
d
  b    a    f z dz.
b
a
58

59. Cambio de variable.
Observación: El requisito de monotonia que algunos autores exigen a la
función g se puede suavizar.
En efecto, si la función no es monótona y existen
dos valores d y d ' tales que g d   g d ',
entonces
c f g t g ' t dt  c f g t g ' t dt,
d'
d'
ya que  f g t g ' t dt   g t d  0.
d
d
d'
f x   x.
Ejemplo:
a
c
d
b
g t   t 2  4t  2.
f g t g ' t .
f g t g ' t   2t 3  12t 2  20t  8.
d'
59

60. Referencias:
Balbas, Gil, Gutierrez (1988). Análisis matemático para la Economía II. Ed.
AC.
Spivak, Michael (1970). Calculus. Cálculo infinitesimal. Vol.II. Ed. Reverté.
Apostol, Tom M. (1960). Análisis Matemático. Ed. Reverté.
Puig Adam, P. (1973). Cálculo integral. Ed. Biblioteca Matemática. Madrid.
Rey Pastor, J. (1961). Elementos de la Teoría de Funciones. Madrid.
60