Este documento presenta los conceptos fundamentales de las sumatorias y su uso para calcular el área bajo una curva. Explica cómo dividir el intervalo en subintervalos para formar rectángulos de aproximación y cómo el área total puede calcularse como el límite de la suma de las áreas de los rectángulos cuando el número de subdivisiones tiende a infinito. También muestra un ejemplo numérico para calcular el área bajo la curva f(x)=2x-x3 en el intervalo [0,1].

1. APROXIMACIÓN AL ÁREA DE
UNA REGIÓN PLANA
LIC. EDWIN SALAZAR

2. EL AREA BAJO UNA CURVA
Otra de las interpretaciones de la integración de
funciones corresponde al cálculo del área bajo una
curva descrita por una función.

3. NOTACIÓN SIGMA
La suma de “n” términos a1 + a2 + ..... + an se escribe:
n
∑a
i =1
i
donde i es el índice de la suma, ai es el i-ésimo término de
la suma y los límites inferior y superior de la suma son 1
y n.

4. EJEMPLOS
Uso de sigma:
7
∑ i =1+ 2 + 3+ 4 + 5 + 6 + 7
i =1
6
∑ ( i + 1) = 4 + 5 + 6 + 7
i=3
4
∑
i =1
i 3 = 13 + 2 3 + 3 3 + 4 3
n
∑
i =1
f ( x i ) ∆ x = f ( x1 ) ∆ x + f ( x 2 ) ∆ x + ... + f ( x n ) ∆ x

5. PROPIEDADES DE LA
SUMATORIA

6. ALGUNAS FORMULAS ÚTILES
n
∑ k = k × n
i= 1
n n (n + 1)
∑ i=
i= 1 2
n 2 = n (n + 1)(2 n + 1)
∑ i
i= 1 6
n n 2 (n + 1) 2
∑ i3 =
i= 1 4

7. EVALUACIÓN DE UNA SUMA

8. CÁLCULO APROXIMADO DE
ÁREAS
f ( x) = x + 1
2
f(2)
1/4

9. SOLUCIÓN
Usando los rectángulos de la figura anterior podemos
hallar una buen aproximación a la región que se
encuentra entre la grafica y el eje “x”.
De esta manera podemos ver que el ancho de cada
intervalo es de 0.25 y que la altura la podemos calcular
se evaluamos cada valor extremo derecho del
rectángulo en la función. Por ejemplo el área del último
rectángulo:
A8 = base × altura = (0.25) × f (2)

10. SUMA DE LAS AREAS DE
LOS RECTANGULOS
Usando la notación de la sumatoria (sigma) tenemos:
8 1 i 1 8  i 2
∑ × f ( )= ∑   +1=
i=1 4 4 4 i=1  4 
1 1 8 2 8 1 8×9×17
× ∑ i + ∑ 1= × × 8 = 25.5
4 16 i=1 64 6
i=1

11. ANÁLISIS
Como la región cubierta por rectángulos (en
el intervalo (0,2)…) es menor al área que
abarcan estos, podemos afirmar que el área
que deseamos calcular es menor, es decir
hemos calculado el área por exceso.

12. ÁREA EXACTA BAJO LA CURVA
Supongamos que construimos “n” rectangulos
sobre la superficie la cual deseamos calcular el
área, entonces, podemos concluir que entre mayor
sea el número de estos, el c{alculo será mas
exacto, por lo cual el área de la región S que se
encuentra debajo de la gráfica de la función
continua f es el límite de la suma de las áreas de los
rectángulos de aproximación:
 * 1 * 1
A = lim ∑ Ai = lim  f ( x1 ) + f ( x2 ) + ... + f ( xn ) 
n
* 1
n →∞
i =1
n →∞
 n n n

13. LIMITE DE S(n) CUANDO “n”
TIENDE A INFINITO
Ejemplo: Calcular
4
lims(n) = 3 (2n +3n + n) Aplicamos la propiedad distribitiva
3 2
n→∞ 3n
2n3 3n2 n
lims(n) = 3 + 3 + 3 Simplificamos las expresiones
n→∞ 3n 3n 3n
2 1 1
lims(n) = + + 2 Calculamos el Limite
n→∞ 3 n 3n
2
lims(n) =
n→∞ 3

14. USO DE LIMITES PARA EL
CÁLCULO DEL ÁREA
Calculemos el área bajo la curva de la función
f ( x) = 2 x − x3 en el intervalo [0,1]

15. ESCRIBIENDO LA
SUMATORIA
Si partimos en “n” intervalos el intervalo cuya longitud es
de 1, entonces la base de cada rectángulo será de 1/n;
la altura en cada caso estará dada por la expresión
f(i/n), para i=1, 2, 3…n, por tanto tendremos que
calcular:
n
1 i
s(n) = ∑ f ( ) Aplicamos la definición de la función
i=1 n n
n
1  i  i 3 
s(n) = ∑ 2 −  
i=1 n  n  n  
 

16. CALCULANDO LA
SUMATORIA
n
1  i  i 3 
s(n) = ∑ 2 −   Resolvemos la potencia y reescribimos
i=1 n  n  n  
 
n
1  2  1 3 
s(n) = ∑  i − 3 i  Resolvemos la potencia y reescribimos
i=1 n  n  n 
n
 2  1 3 
s(n) = ∑ 2 i − 4 i  Aplicamos la propiedad distributiva
i=1  n  n 
2  n2 + n  1  n4 + 2n3 + n2 
2 − 4   Remplazamos por las formulas de suma
n  2  n  4 

17. CÁLCULO DEL LIMITE
2  n2 + n  1  n 4 + 2n3 + n 2 
lim  −  
n → ∞ n2  
2  n4 
 
4 

R em plazam os por las form ulas de sum a
2 2n n 4 2n3 n 2
2n +
lim − − −
n → ∞ 2n2 2n2 4n4 4n4 4n4

18. Aplicamos la Propiedad distributiva
1 1 1 1
lim 1+ − − −
n →∞ n 4 2n 4n2
Simplificamos, calculamos el limite
1 3
=1− = :Respuesta
4 4