Mostraremos en estas notas algunas de las llamadas \leyes logicas" usuales, por el camino largo y aburrido, mediante tablas de verdad. Hay tambien una breve discusion sobre tautologas y absurdos, y denimos equivalencia de proposiciones.

1. Cap´ıtulo 3. Leyes L´ogicas
por G3
Agosto 2014
Resumen
Mostraremos en estas notas algunas de las llamadas “leyes l´ogicas”
usuales, por el camino largo y aburrido, mediante tablas de verdad. Hay
tambi´en una breve discusi´on sobre tautolog´ıas y absurdos, y definimos
equivalencia de proposiciones.
1. Tautolog´ıas y Absurdos
Anotamos la definici´on primordial.
Definici´on 1. Decimos que una proposici´on compuesta es una tautolog´ıa
si su valor de verdad es siempre V , independientemente de los valores de
verdad de sus proposiciones componentes. Un absurdo, por el contrario, es
una proposici´on compuesta cuyo valor de verdad es siempre F, independien-
temente de los valores de verdad de sus proposiciones componentes
Una proposici´on compuesta que no es tautolog´ıa ni absurdo, es decir,
sus valores de verdad dependen de los valores de verdad de las proposiciones
componentes, es contingente.
Notaci´on. Usamos la letra may´uscula T para denotar una tautolog´ıa y una
letra may´uscula A para denotar un absurdo.
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2. Probamos algunos ejemplos. Antes, queremos advertir que de aqu´ı en
adelante, cuando usamos las literales p, q, r, s, etc., nos referimos a propo-
siciones, por lo que obviamos tener que estar escribiendo a cada momento,
cu´al es el sentido de tales literales. No debe ser dif´ıcil al lector recordar esta
advertencia.
Proposici´on 1. [(p ∧ q) ∧ (q ⇒ r)] ⇒ (p ∧ r) es tautolog´ıa.
Demostraci´on. Queremos probar que esta implicaci´on es siempre V, inde-
pendientemente de los valores de verdad de las proposiciones componentes.
Podemos construir una tabla de valores de verdad. Pero ello es muy largo
y aburrido. As´ı que procedemos de la siguiente manera: La ´unica forma en
que tal implicaci´on es falsa es cuando
(1) (p ∧ q) ∧ (q ⇒ r) es V y (2) p ∧ r es F.
Lo primero ocurre s´olo si las proposiciones p ∧ q y q ⇒ r son ambas V, o
equivalentemente, si p y q son ambas V, y si q es V entonces r es V. Lo cual
implica que p y r son V. Mientras que lo segundo ocurre s´olo si al menos
una de las proposiciones p y r son F. Vemos entonces que ambos casos son
incompatibles. Por lo tanto ((p ∧ q) ∧ (q ⇒ r)) ⇒ (p ∧ r) es tautolog´ıa.
Sin embargo, en lo anterior, incluir la hip´otesis (p ⇒ r) es esencial.
Proposici´on 2. (p ∧ q) ⇒ (p ∧ r) y (p ∨ q) ⇒ (p ∨ r) son contingentes.
Demostraci´on. Para ver que (p∧q) ⇒ (p∧r) es contingente, basta observar
que tal implicaci´on es V, si p ´o q son F, y es V, si p, q y r son V. Lo mismo
se puede ver con (p ∨ q) ⇒ (p ∨ r).
Observaci´on. En general, una implicaci´on p ⇒ q es tautolog´ıa si, y s´olo
si, p es F o bien q es V. Equivalentemente, p ⇒ q es absurdo si, y s´olo si,
p es V y q es F.
Proposici´on 3. p ⇒ (q ⇒ p) es tautolog´ıa.
Demostraci´on. Podemos hacer tablas, pero ello nos resulta cansado, as´ı que
procedemos como sigue: Queremos probar que la implicaci´on p ⇒ (q ⇒ p) es
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3. siempre V. As´ı que lo ´unico que nos interesa es ver si tal implicaci´on puede
ser F. Pero para que sucediera F, deber´ıa cumplirse que p es V y q ⇒ p es
F. Pero observe que ello es absurdo, pues si p es V , la implicaci´on q ⇒ p es
V, sin importar el valor de q.
La forma en que procedimos, en las pruebas de las proposicines 1 y 3
anteriores, es t´ıpica cuando queremos evitar el uso de tablas. Hacemos en
seguida una descripci´on m´as espec´ıfica de c´omo hacer esto.
Observaci´on. En general, para probar que p ⇒ q es tautolog´ıa sin el uso
de tablas, hay dos formas t´ıpicas de proceder:
– Modo 1: Probar que los casos p es V y q es F son incompatibles.
– Modo 2: Probar que si p es V, entonces q es V. Note que ello impide que
los casos p es V y q es F coexistan.
Obviamente ambos formas son equivalentes. El uso de una u otra forma
depende de como sea m´as f´acil, seg´un el caso particular.
Proposici´on 4. [(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)] ⇒ (p ⇒ r) es tautolog´ıa.
Demostraci´on. Para no hacer una tabla procedemos as´ı: Supongamos que
(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r) es V. Entonces p ⇒ q y q ⇒ r son ambos V. Luego, si
p ⇒ r es F entonces, se sigue que r es F y p es V, y por tanto q es V. Pero
ello significa que q ⇒ r es F, lo cual es contradictorio. As´ı, p ⇒ r es V.
La proposici´on anterior dice que la implicaci´on es un conectivo transitivo.
Vemos ahora c´omo las implicaciones tautol´ogicas se heredan transitivamente.
Proposici´on 5. Si p ⇒ q y q ⇒ r son ambas tautolog´ıas, entonces p ⇒ r
es tautolog´ıa.
Demostraci´on. Supongamos que p ⇒ q y q ⇒ r son ambas tautolog´ıas. La
´unica forma en que p ⇒ r es F, es cuando p es V y r es F. Pero si p es V,
se sigue que q es V, de donde r es V. As´ı que los casos p es V y r es F son
incompatibles. Se sigue que p ⇒ r es tautolog´ıa.
Probamos a continuaci´on un par de hechos generales relativos a tauto-
log´ıas y absurdos, casi triviales.
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4. Proposici´on 6. Si T es una tautolog´ıa, entonces ¬ T es un absurdo. Si A
es un absurdo, entonces ¬ A es una tautolog´ıa.
Demostraci´on. T es siempre V, por lo tanto ¬T es siempre F. Por otro lado,
A es siempre F, por lo tanto ¬A es siempre V.
Proposici´on 7. Si T es una tautolog´ıa, entonces p ∨ T y p ⇒ T son ambas
tautolog´ıas. Si A es un absurdo, entonces p ∧ A es un absurdo y A ⇒ p es
tautolog´ıa.
Demostraci´on. Dado que T es siempre V, se sigue que p ∨ T y p ⇒ T son
siempre V. Ahora, como A es siempre F, se sigue que p ∧ A es siempre F,
mientras que A ⇒ p es siempre V.
Si a caso alguien no se siente convencido con las pruebas dadas hasta
aqu´ı, puede f´acilmente confeccionar las tablas de verdad. Suerte!!!
Enunciamos otros ejemplos triviales.
Proposici´on 8 (Ley del tercero excluido). Para toda proposici´on p, p ∨ ¬p
es tautolog´ıa y p ∧ ¬p es absurdo.
Demostraci´on. Haciendo tablas,
p ∨ ¬p
V V F
F V V
p ∧ ¬p
V F F
F F V
Proposici´on 9. Para cualquier proposici´on p, las proposiciones
p ⇒ p y p ⇔ p,
son tautolog´ıas.
Demostraci´on. Son obvias, pero por si las moscas escribimos las tablas
p ⇒ p
V V V
F V F
p ⇔ p
V V V
F V F
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5. 2. Proposiciones Equivalentes
Definici´on 2. Si p ⇔ q es una tautolog´ıa, entonces diremos que p y q son
(l´ogicamente) equivalentes, y usamos la notaci´on p ≡ q.
Observaci´on. A partir de la tabla de ⇔, se sigue que dos proposiciones son
equivalentes si, y s´olo si, tienen la misma tabla de valores de verdad. Por
tanto, p ≡ q si, y s´olo si, q ≡ p.
Observaci´on. De ese mismo hecho se sigue que si T es una tautolog´ıa y
T ≡ p, entonces p es tambi´en una tautolog´ıa. Lo mismo puede decirse si
cambiamos tautolog´ıa por absurdo
Observaci´on. Se sigue tambi´en que las equivalencias se heredan transitiva-
mente: Dos proposiciones equivalentes a una tercera, son equivalentes. Esto
es, si p ≡ q y q ≡ r, entonces p ≡ r.
Observaci´on. El ejemplo m´as trivial es el hecho de que p ≡ p.
Proposici´on 10. p ⇔ q ≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p).
Demostraci´on. Queremos probar que (p ⇔ q) ⇔ ((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)) es
tautolog´ıa. Podemos comprobarlo a partir de la tabla de valores.
(p ⇔ q) ⇔ ((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p))
V V V V V V V V V V V
V F F V V F F V F V V
F F V V F V V V V F F
F V F V F V F V F V F
Ahora damos otro argumento sin tablas. Queremos probar que p ⇔ q y
(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) tienen la misma tabla de valores de verdad. Supongamos
que p ⇔ q es V. Entonces p y q tienen la misma tabla. Es decir, ambos son
V o bien ambos son F. Note que en cualquier caso p ⇒ q y q ⇒ p son ambas
V. As´ı, (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) es V. Por otro lado, si (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) es F,
entonces al menos una de las implicaciones p ⇒ q y q ⇒ p es F. En todo
caso, los valores de p y q difieren, y por tanto p ⇔ q es F.
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6. Observaci´on. Cuando queremos probar una equivalencia p ≡ q, sin usar
tablas, podemos proceder seg´un alguna de las formas siguientes:
Modo Uno:
Paso 1). Suponemos que p es V, y entonces probamos que q debe ser V.
Paso 2). Suponemos que q es F, y entonces mostramos que p debe ser F.
Modo Dos:
Paso 1). Suponemos que p es V, y entonces probamos que q debe ser V.
Paso 2). Suponemos que q es V, y entonces probamos que p debe ser V.
Note que ambos m´etodos son tambi´en formas de probar que p y q tienen la
misma tabla de valores de verdad.
Mostramos ahora el criterio para afirmar cu´ando dos proposiciones son
equivalentes.
Proposici´on 11. La proposici´on p ⇔ q es una tautolog´ıa si, y s´olo si, ambas
proposiciones p ⇒ q y q ⇒ p son tautolog´ıas.
Demostraci´on. Podr´ıamos hacer una tabla, pero preferimos s´olo imaginarla.
Asumiendo entonces que p ⇔ q es tautolog´ıa, se sigue que p y q tienen la
misma tabla de valores de verdad. Por tanto es obvio que p ⇒ q y q ⇒ p
son ambas tautolog´ıas.
Rec´ıprocamente, supongamos que p ⇒ q y q ⇒ p son ambas tautolog´ıas.
Esto significa que si p es V, entonces q es V, y si q es V, entonces p es V.
Ello implica a su vez que si p es F, entonces q es F (de otro modo, se seguir´ıa
que p es F, una contradicci´on), y an´alogamente, si q es F, entonces p es F.
Por tanto, p y q tienen la misma tabla de valores de verdad, as´ı que p ⇔ q
es tautolog´ıa.
Podemos usar tambi´en la Proposici´on 6 para sintetizar lo que hemos
dicho arriba del modo siguiente: Dado que p ⇔ q tiene la misma tabla que
(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p), se sigue que si p ⇔ q es V, entonces p ⇒ q y q ⇒ p son
V . Y rec´ıprocamente, si p ⇒ q y q ⇒ p son ambas V, entonces p ⇔ q es V.
Y as´ı se sigue de inmediato lo que queremos demostrar.
Probamos un hecho m´as, bastante remarcable, pues establece una forma
equivalente de la implicaci´on.
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7. Proposici´on 12. p ⇒ q ≡ ¬(p ∧ ¬q).
Demostraci´on. Lo que queremos probar es que (p ⇒ q) ⇔ ¬(p ∧ ¬q) es
tautolog´ıa. Es decir, que las proposiciones a la derecha e izquierda de la
doble implicaci´on tienen la misma tabla. Podr´ıamos hacer las tablas, pero
preferimos s´olo imaginarlas.
Pues bien, p ⇒ q es V, cuando p es V y q es V, o bien, cuando p es F.
En cualquier caso, p ∧ ¬q es F, y por tanto, ¬(p ∧ ¬q) es V. Por otro lado, si
p ⇒ q es F, entonces p es V y q es F, lo que significa que p ∧ ¬q es V, y por
lo tanto ¬(p ∧ ¬q) es F. Esto significa, en efecto, que p ⇒ q tiene la misma
tabla que ¬(p ∧ ¬q), como quer´ıamos.
Observaci´on. Con esta equivalencia podemos entonces reintrerpretar la im-
plicaci´on del modo siguiente:
p ⇒ q es V si, y s´olo si, la verdad de p no coexiste con la verdad de ¬q.
Proposici´on 13. p q ≡ ¬(p ⇔ q)
Demostraci´on. Si hacemos una tabla,
(p q) ⇔ ¬ (p ⇔ q)
V F V V F V V V
V V F V V V F F
F V V V V F F V
F F F V F F V F
Tambi´en podemos proceder como sigue: Queremos probar que p q y
¬(p ⇔ q) tienen la misma tabla. Pero note que p q es V si, y s´olo si, p y
q tienen distintos valores de verdad, en cuyo caso p ⇔ q es F y por tanto
¬(p ⇔ q) es V.
Hacemos una ´ultima observaci´on cuya prueba es trivial.
Proposici´on 14. Si T es una tautolog´ıa y A es un absurdo, entonces para
cualquier proposici´on p,
p ∨ T ≡ T, p ⇒ T ≡ T, A ⇒ p ≡ T y p ∧ A ≡ A.
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8. 3. Leyes L´ogicas
Es habitual denominar ciertas tautolog´ıas como leyes l´ogicas. Ello se
debe a que es constante su uso y conviene referirse a ellas con alg´un nombre.
Aunque en sentido estricto, toda tautolog´ıa es una ley l´ogica. Estudiamos
en lo que sigue solo algunas de las llamadas leyes l´ogicas m´as comunes.
En esta secci´on, algunas pruebas est´an hechas con tablas y con las propias
leyes que se han de ir enunciando y probando. Un lector aburrido deber´ıa
intentar otras pruebas sin usar tablas.
Ley 1 (Involuci´on o Doble Negaci´on). p ≡ ¬(¬p).
Demostraci´on.
p ⇔ ¬ (¬ p)
V V V F V
F V F V F
Ley 2 (Idempotencia). p ≡ p ∧ p y p ≡ p ∨ p.
Demostraci´on.
p ⇔ (p ∧ p)
V V V V V
F V F F F
p ⇔ (p ∨ p)
V V V V V
F V F F F
Ley 3 (Simplificaci´on). (p ∧ q) ⇒ p es Tautolog´ıa.
Demostraci´on.
(p ∧ q) ⇒ p
V V V V V
V F F V V
F F V V F
F F F V F
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9. Ley 4 (Adici´on). p ⇒ (p ∨ q) es Tautolog´ıa.
Demostraci´on.
p ⇒ (p ∨ q)
V V V V V
V V V V F
F V F V V
F V F F F
Ley 5 (Conmutatividad). p ∧ q ≡ q ∧ p y p ∨ q ≡ q ∨ p
Demostraci´on.
(p ∧ q) ⇔ (q ∧ p)
V V V V V V V
V F F V F F V
F F V V V F F
F F F V F F F
(p ∨ q) ⇔ (q ∨ p)
V V V V V V V
V V F V F V V
F V V V V V F
F F F V F F F
Ley 6 (Exportaci´on). p ⇒ (q ⇒ r) ≡ (p ∧ q) ⇒ r.
Demostraci´on. Por tabla de valores de verdad,
(p ⇒ (q ⇒ r)) ⇔ ((p ∧ q) ⇒ r)
V V V V V V V V V V V
V F V F F V V V V F F
V V F V V V V F F V V
V V F V F V V F F V F
F V V V V V F F V V V
F V V F F V F F V V F
F V F V V V F F F V V
F V F V F V F F F V F
Podemos tambi´en proceder del siguiente modo:
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10. Hay que mostrar que las proposiciones p ⇒ (q ⇒ r) y (p ∧ q) ⇒ r tienen
la misma tabla de valores de verdad.
Supongamos pues que (p∧q) ⇒ r es V. Hay dos casos. Primero, p∧q es V
y r es V. Entonces p, q y r son V, de donde p ⇒ (q ⇒ r) es V. Segundo, p∧q
es F (no importa el valor de r). Entonces al menos una de las proposiciones
p y q es F. Si sucede que p es F, entonces obviamente p ⇒ (q ⇒ r) es V. Si
sucede que q es F, entonces q ⇒ r es V, y por tanto p ⇒ (q ⇒ r) es V, sin
importar el valor de p.
Ahora supongamos que p ⇒ (q ⇒ r) es F. Entonces p es V y q ⇒ r es
F. Por lo tanto, p es V, q es V y r es F. As´ı, p ∧ q es V y r es F. Se sigue
que (p ∧ q) ⇒ r es F.
Ley 7 (Reemplazo o Sustituci´on). Sean q y r proposiciones tales que q ≡ r.
Entonces
¬ q ≡ ¬ r,
y para toda proposici´on p
p ∧ q ≡ p ∧ r y p ∨ q ≡ p ∨ r.
Demostraci´on. Dado que q ≡ r tanto p como r tienen la misma tabla de
verdad. Esto deber´ıa ser suficiente para convencernos de las equivalencias
que dicta la proposici´on. Pero por si a caso, escribimos la tabla de valores
de verdad solo para la equivalencia p ∧ q ≡ p ∧ r:
(p ∧ q) ⇔ (p ∧ r)
V V V V V V V
V F F V V F F
F F V V F F V
F F F V F F F
Lo mismo podemos hacer para mostrar ¬ q ≡ ¬ r y p ∨ q ≡ p ∨ r
Se sigue de aqu´ı una versi´on un poco m´as general de esta ley.
Proposici´on 15 (Reemplazo o Sustituci´on). Si p ≡ p y q ≡ q , entonces
p ∧ q ≡ p ∧ q y p ∨ q ≡ p ∨ q .
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11. Demostraci´on. Procedemos as´ı:
p ∧ q ≡ p ∧ q (Reemplazo)
≡ q ∧ p (Comnutatividad)
≡ q ∧ p (Reemplazo)
≡ p ∧ q (Comnutatividad).
An´alogo para la segunda equivalencia.
Enunciamos otra ley de sustituci´on usual en todas las matem´aticas.
Proposici´on 16 (Reemplazo o Sustituci´on). Si p ≡ p y q ≡ q , entonces,
p ⇒ q ≡ p ⇒ q .
Demostraci´on. Por Reemplazo, tenemos que ¬q ≡ ¬q y por tanto p ∧ ¬q ≡
p ∧ ¬q . Luego, por la Proposici´on 9, Reemplazo, y nuevamente por la Pro-
posici´on 9 (en ese orden),
p ⇒ q ≡ ¬(p ∧ ¬q) ≡ ¬(p ∧ ¬q ) ≡ p ⇒ q .
Ley 8 (Leyes de De Morgan). ¬(p∧q) ≡ ¬p∨¬q y ¬(p∨q) ≡ ¬p∧¬q.
Demostraci´on. Solo haremos la primera tabla.
¬ (p ∧ q) ⇔ (¬ p) ∨ (¬ q)
F V V V V F V F F V
V V F F V F V V V F
V F F V V V F V F V
V F F F V V F V V F
Para probar la segunda equivalencia procedemos como sigue:
¬(¬p ∧ ¬q) ≡ ¬(¬p) ∨ ¬(¬q) (primera equivalencia)
≡ p ∨ q (Involuci´on y Reemplazo)
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12. Luego, por Reemplazo e Involuci´on,
¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q.
Hay entonces otro modo de entender la implicaci´on.
Proposici´on 17. p ⇒ q ≡ ¬p ∨ q.
Demostraci´on.
p ⇒ q ≡ ¬(p ∧ ¬q) (proposici´on 12)
≡ ¬p ∨ ¬(¬q) (De Morgan)
≡ ¬p ∨ q. (involuci´on y reemplazo).
Ley 9 (Absorci´on). p ∨ (p ∧ q) ≡ p y p ∧ (p ∨ q) ≡ p.
Demostraci´on. Solo haremos la primera tabla.
(p ∨ (p ∧ q)) ⇔ p
V V V V V V V
V V V F F V V
F F F F V V F
F F F F F V F
Para la segunda equivalencia, procedemos as´ı: Por la primera de estas
equivalencias probada en la tabla,
¬p ∨ (¬p ∧ ¬q) ≡ ¬p,
de donde, por Reemplazo e Involuci´on,
¬(¬p ∨ (¬p ∧ ¬q)) ≡ ¬(¬p) ≡ p.
Pero,
¬(¬p ∨ (¬p ∧ ¬q)) ≡ ¬(¬p) ∧ ¬(¬p ∧ ¬q) (De Morgan)
≡ p ∧ (¬(¬p) ∨ ¬(¬q)) (Involuci´on, De Morgan y Reemplazo)
≡ p ∧ (p ∨ q) (Involuci´on y Reemplazo).
Por tanto p ∧ (p ∨ q) ≡ p.
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13. Ley 10 (Asociatividad). p∧(q∧r) ≡ (p∧q)∧r y p∨(q∨r) ≡ (p∨q)∨r.
Demostraci´on. Solo haremos la primera tabla.
(p ∧ (q ∧ r)) ⇔ ((p ∧ q) ∧ r)
V V V V V V V V V V V
V F V F F V V V V F F
V F F F V V V F F F V
V F F F F V V F F F F
F F F F F V F F F F F
F F F F V V F F F F V
F F V F F V F F V F F
F F V F V V F F V F V
Para la segunda equivalencia, procedemos as´ı: Por la primera de estas
equivalencias probada en la tabla,
¬p ∧ (¬q ∧ ¬r) ≡ (¬p ∧ ¬q) ∧ ¬r.
De donde, por Reemplazo,
¬(¬p ∧ (¬q ∧ ¬r)) ≡ ¬((¬p ∧ ¬q) ∧ ¬r).
Pero,
¬(¬p ∧ (¬q ∧ ¬r)) ≡ ¬(¬p) ∨ ¬(¬q ∧ ¬r) (De Morgan)
≡ p ∨ (¬(¬q) ∨ ¬(¬r)) (Involuci´on, De Morgan y Reemplazo)
≡ p ∨ (q ∨ r) (Involuci´on y Reemplazo).
An´alogamente se prueba (¬p ∧ ¬q) ∧ ¬r ≡ (p ∨ q) ∨ r. Por lo tanto,
p ∨ (q ∨ r) ≡ (p ∨ q) ∨ r.
Ley 11 (Distributividad).
(p ∨ q) ∧ r ≡ (p ∧ r) ∨ (q ∧ r) y (p ∧ q) ∨ r ≡ (p ∨ r) ∧ (q ∨ r).
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14. Demostraci´on. Solo haremos la primera tabla.
((p ∨ q) ∧ r) ⇔ ((p ∧ r) ∨ (q ∧ r))
V V V V V V V V V V V V V
V V V F F V V F F F V F F
V V F V V V V V V V F F V
V V F F F V V F F F F F F
F F F F F V F F F F F F F
F F F F V V F F V F F F V
F V V F F V F F F F V F F
F V V V V V F F V V V V V
Para la segunda equivalencia procedemos como sigue: De la primera de
estas equivalencias probada en la tabla,
(¬p ∨ ¬q) ∧ ¬r ≡ (¬p ∧ ¬r) ∨ (¬q ∧ ¬r),
de donde, por Reemplazo,
¬((¬p ∨ ¬q) ∧ ¬r) ≡ ¬((¬p ∧ ¬r) ∨ (¬q ∧ ¬r)).
Pero,
¬((¬p ∨ ¬q) ∧ ¬r) ≡ ¬(¬p ∨ ¬q) ∨ ¬(¬r) (De Morgan)
≡ (¬(¬p) ∧ ¬(¬q)) ∨ r (De Morgan, Involuci´on y Reemplazo)
≡ (p ∧ q) ∨ r (Involuci´on y Reemplazo).
Por otro lado,
¬((¬p ∧ ¬r) ∨ (¬q ∧ ¬r)) ≡ ¬(¬p ∧ ¬r) ∧ ¬(¬q ∧ ¬r) (De Morgan)
≡ (¬(¬p) ∨ ¬(¬r)) ∧ (¬(¬q) ∨ ¬(¬r)) (De Morgan y Reemplazo)
≡ (p ∨ r) ∧ (q ∨ r) (Involuci´on y Reemplazo).
Por lo tanto, (p ∧ q) ∨ r ≡ (p ∨ r) ∧ (q ∨ r).
Podemos dar un argumento sin recurrir a la construcci´on de la tabla del
modo siguiente:
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15. Para la primera equivalencia, notamos que (p ∨ q) ∧ r es V, s´olo si p ∨ q
y r es V, lo que implica que r es V y que alguna de las proposiciones p y
q es V, en consecuencia, alguna de la proposiones p ∧ r y q ∧ r es V, y por
tanto (p ∧ r) ∨ (q ∧ r) es V.
Rec´ıprocamente, si (p ∧ r) ∨ (q ∧ r) es V, entonces alguna de las pro-
posiciones p ∧ r y q ∧ r es V, en cualquier caso, r es V y alguna de las
proposiciones p y q es V, y por tanto (p ∨ q) ∧ r es V. As´ı que (p ∨ q) ∧ r y
(p ∧ r) ∨ (q ∧ r) tiene la misma tabla y por tanto son equivalentes.
An´alogo para la segunda equivalencia.
Ley 12 (Neutro). Sea T una tautolog´ıa y sea A un absurdo. Entonces
p ∧ T ≡ p y p ∨ A ≡ p.
(Ver tambi´en la proposici´on 14).
Demostraci´on. Solo haremos la primera tabla.
(p ∧ T) ⇔ p
V V V V V
F F V V F
Para la segunda equivalencia, dado que ¬A es una tautolog´ıa, entonces seg´un
la primera de estas equivalencias que acabamos de mostrar en la tabla,
¬p ∧ ¬A ≡ ¬p,
de donde,
p ≡ ¬(¬p) (Involuci´on)
≡ ¬(¬p ∧ ¬A) (Reemplazo)
≡ ¬(¬p) ∨ ¬(¬A) (De Morgan)
≡ p ∨ A (Involuci´on y Reemplazo).
Ley 13 (Contra-rec´ıproco). p ⇒ q ≡ ¬q ⇒ ¬p.
15

16. Demostraci´on. Comprobamos la equivalencia con una tabla,
(p ⇒ q) ⇔ (¬ q ⇒ ¬ p)
V V V V F V V F V
V F F V V F F F V
F V V V F V V V F
F V F V V F V V F
Podemos proceder tambi´en como sigue:
p ⇒ q ≡ ¬(p ∧ ¬q) (Proposici´on 9)
≡ ¬(¬(¬p) ∧ ¬q) (Involuci´on y Reemplazo)
≡ ¬(¬q ∧ ¬(¬p)) (Conmutatividad y Reemplazo)
≡ ¬q ⇒ ¬p (Proposici´on 9).
De aqu´ı se siguen algunas consecuencias importantes.
Proposici´on 18 (Adici´on de Hip´otesis). Si q ⇒ r es una tautolog´ıa, enton-
ces p ∧ q ⇒ r es tautolog´ıa, para cualquier proposici´on p.
Demostraci´on.
p ∧ q ⇒ r ≡ p ⇒ (q ⇒ r) (Exportaci´on)
≡ p ⇒ T (q ⇒ r ≡ T con T tautolog´ıa, reemplazo)
≡ T (proposici´on 14).
Tambi´en podemos proceder as´ı: p ∧ q ⇒ q es tautolog´ıa (simplificaci´on),
as´ı que por la proposici´on 5, p ∧ q ⇒ r es tautolog´ıa.
Proposici´on 19. Sean q y r proposiciones tales que la proposici´on q ⇒ r
es tautolog´ıa. Entonces, para cualquier proposici´on p,
p ∧ q ≡ p ∧ q ∧ r.
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17. Demostraci´on. Primero notamos que ¬(q ⇒ r) es un absurdo. Por otro lado,
ya vimos que (q ⇒ r) ≡ ¬(q ∧ ¬r). As´ı que por Reemplazo e Involuci´on,
¬(q ⇒ r) ≡ ¬(¬(q ∧ ¬r)) ≡ q ∧ ¬r.
De modo que q∧¬r es un absurdo. Por tanto, de la Proposici´on 6, p∧(q∧¬r)
es tambi´en absurdo.
Tenemos entonces,
p ∧ q ≡ (p ∧ q) ∧ (r ∨ ¬r) (pues r ∨ ¬ r es T, usamos Neutro)
≡ [(p ∧ q) ∧ r] ∨ [(p ∧ q) ∧ ¬r] (Distributividad y Reemplazo)
≡ [(p ∧ q) ∧ r] ∨ [p ∧ (q ∧ ¬r)] (Asociatividad y Reemplazo)
≡ (p ∧ q) ∧ r (pues p ∧ (q ∧ ¬r) es A, usamos Neutro).
Si nos imaginamos las tablas (porque no nos gusta hacerlas), tambi´en
podr´ıamos dar el siguiente argumento mucho m´as simple: Si q es V, entonces
r es V, y por tanto q ∧ r es V, as´ı que p ∧ q debe tener la misma tabla que
p ∧ (q ∧ r). Por otro lado, si q es F, entonces es obvio que p ∧ q ⇔ p ∧ q ∧ r
es V.
Proposici´on 20. Sean q y r proposiciones tales que la proposici´on q ⇒ r
es tautolog´ıa. Entonces, para cualquier proposici´on p, las proposiciones
p ∧ q ⇒ p ∧ r y p ∨ q ⇒ p ∨ r
son ambas tautolog´ıas.
Demostraci´on. De la proposici´on 19 y Simplificaci´on,
p ∧ q ⇒ p ∧ q ∧ r ⇒ p ∧ r,
son tautolog´ıas. As´ı, p ∧ q ⇒ p ∧ r es tautolog´ıa.
Para la segunda implicaci´on procedemos as´ı: Note primero que ¬r ⇒ ¬q
es tautolog´ıa, seg´un la hip´otesis y por Contra-rec´ıproco. De modo que, por
la primera parte de la proposici´on,
(¬p ∧ ¬r) ⇒ (¬p ∧ ¬q)
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18. es tautolog´ıa. Nuevamente, por Contrarec´ıproco,
¬(¬p ∧ ¬q) ⇒ ¬(¬p ∧ ¬r),
es tautolog´ıa. Pero
p ∨ q ≡ ¬(¬p) ∨ ¬(¬q) (Involuci´on y Reemplazo)
≡ ¬(¬p ∧ ¬q). (De Morgan)
y tambi´en
p ∨ r ≡ ¬(¬p) ∨ ¬(¬r) (Involuci´on y Reemplazo)
≡ ¬(¬p ∧ ¬r). (De Morgan)
As´ı que por Reemplazo,
[¬(¬p ∧ ¬q) ⇒ ¬(¬p ∧ ¬r)] ≡ [p ∨ q ⇒ p ∨ r],
y por tanto p ∨ q ⇒ p ∨ r es tautolog´ıa.
El lector tambi´en puede dar argumentos simples para estos hechos.
Proposici´on 21 (Sustracci´on de Hip´otesis). Supongamos que p ∧ q ∧ r ⇒ s
y q ⇒ r son tautolog´ıas. Entonces p ∧ q ⇒ s es tautolog´ıa.
Demostraci´on. Si q ⇒ r es tautolog´ıa, se sigue entonces de la proposici´on
19 y reemplazo,
p ∧ q ⇒ s ≡ p ∧ q ∧ r ⇒ s.
Por lo que p ∧ q ⇒ s es tautolog´ıa puesto que p ∧ q ∧ r ⇒ s lo es.
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