Este documento presenta conceptos básicos de lógica proposicional, incluyendo: 1) Las definiciones de proposición, conectivos lógicos como negación, conjunción, disyunción, condicional y bicondicional. 2) Tablas de verdad para cada conectivo. 3) Formas proposicionales como tautologías, contradicciones y falacias. 4) Leyes y métodos de demostración como directo, contrarrecíproco y reducción al absurdo. 5) La rel

1. PROPOSICIONES
República Bolivariana de Venezuela
Universidad Fermín Toro
Decanato de Ingeniería
Alumno:
Pedro de la Rosa
CI: 24.386.434
Prof. Domingo Mendez
SAIA “B”
Cabudare -Edo. Lara

2. Proposición:
Una proposición es un enunciado cuyo contenido está sujeto a ser calificado como "verdadero" o
"falso", pero no ambas cosas a la vez. Toda proposición tiene una y solamente una alternativa. Donde
1 es Verdadero y 0 es Falso.
Conectivos lógicos:
• Conectiva de la negación : la negación de una proposición atómica (Lo contrario a la respuesta).
¿Cómo podemos reconocerlas en un enunciado? como la palabra no, no es cierto, no es el caso, es
falso, entre otros.
 Conectiva de la conjunción: es la multiplicación lógica de las proposiciones ¿Como podemos
reconocerlas en un enunciado? Como la palabra y, pero, no
obstante, sin embargo, entre otros.
P ~P
V F
F V
P Q P^Q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0

3. • La disyunción inclusiva: sean p y q dos proposiciones. La disyunción de p y q es la proposición p v q, que
se lee "p o q", y cuyo valor lógico está dado por la tabla siguiente
• La disyunción exclusiva: sean p y q dos proposiciones. La disyunción exclusiva de p y q es la proposición
p v q, que se lee "o p o q", y cuyo valor lógico está dado por la tabla. En otras palabras, la disyunción
exclusiva es falsa sólo cuando los valores de p y q son iguales.
P Q P v Q
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
P V Q
V F V
F V V
V V F
F F F

4.  Conectividad condicional: ¿Como podemos reconocerlas en un enunciado? Como las palabras: si,
entonces, si implica, solo si, es suficiente, es necesario para, cuando quiera que, es suficiente, es
necesario para, siempre que, a menos que, entre otros.
 Bicondicional: sean p y q dos proposiciones. Se llama Bicondicional de p y q a la proposición p « q, que se
lee "p si sólo si q", o "p es condición necesaria y suficiente para q", y cuyo valor lógico es dado por la
siguiente tabla.
P Q P Q
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1
P Q PQ
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1

5. Formas proposicionales:
Existen 3 formas proposicionales:
• Tautológicas: es aquella forma proposicional que siempre da como resultado verdadero.
• Contradicciones: es aquella forma proposicional que siempre da como resultado falso.
• Falacias o indeterminada: es aquella forma proposicional que siempre es verdadera y falsa a la vez.
Tautológicas:
P: voy al cine
Q: compro palomitas
• P (q p)
• “Si voy al cine entonces compro palomitas si solo si voy al cine”.
P Q QP P(QP)
0 0 1 1
0 1 0 1
1 0 1 1
1 1 1 1

6. Contradicción:
A: voy al cine.
B: compro palomitas.
• (~a ^ b)^a
• “No voy al cine y compro palomitas y voy al cine”.
Contingencia:
A: voy al cine.
B: compro palomitas.
• (AB) ^ (BA)
• “Si voy al cine entonces compro palomitas
y si compro palomitas, voy al cine”.
A B ~A ~A^B (~A^B) ~A
0 0 1 0 0
0 1 1 1 0
1 0 0 0 0
1 1 0 0 0
A B AB BA (AB) ^ (BA)
0 0 1 1 1
0 1 1 0 0
1 0 0 1 0
1 1 1 1 1

7. Leyes del Algebra de Proposiciones
Leyes Idempotentes
P ^P = P
P ˇP = P
Leyes Asociativas
(P^Q) ^ R = P ^ (Q ^R)
(P v Q) v R = P v (Q v R)
Leyes Conmutativas
P ^Q = Q ^P
P v Q = Q v P
Leyes Distributivas
P v (Q ^ R) = (P v Q) ^ (P v R)
P ^ (Q v R) = (P ^ Q) v (P ^ R)
Leyes de Identidad
P ^F = F
P v F = P
P ^V = P
P v V = V
Leyes de Complementación
P v ~P = V (tercio excluido)
P ^~P = F (contradicción)
~~P = P (doble negación)
~V = F, ~F = V
Leyes de Morgan
~(P v Q) = ~P ^ ~Q
~(P ^Q) = ~P v ~Q

8. Métodos de demostración
Método directo:
Dado un conjunto de premisas en una teoría, si bajo el supuesto de que una proposición P es verdadera y
utilizando las premisas disponibles se puede hacer una demostración de que una proposición Q es
verdadera, entonces en esa teoría puede concluirse que PQ es verdadero.
Sea n un numero entero. Demostrar, en forma directa, el siguiente teorema: Si n es par, entonces n² es par.
Simbólicamente, n es par  n² es par.
Demostración:
1- n es par hipótesis.
2- n =2k, para algún entero k definición de numero par.
3- n² =(2k) ² de 2, elevado al cuadrado.
4- n² =4k ² de 3, potencia de producto.
5- n² =2(2k ²) de 4, por descomposición de factores.
6- n² =2k¹ de 5, haciendo k¹ =2k ²
7- n² es par de 6, definición de numero par

9. Método del contrarrecíproco:
El teorema del contrarrecíproco (PQ)  (~P ~Q) da lugar a una variante del método directo, que se
utiliza mucho en matemáticas y es conocido como método del contrarrecíproco. Este método puede
resumirse así: Supongamos que se quiere demostrar que una proposición específica PQ es teorema y
al intentar su demostración por el método directo no logramos obtener la conclusión deseada. Se procede
entonces a demostrar por el método directo su contrarrecíproca ~P ~Q, si se consigue este objetivo
entonces queda establecida la validez de PQ al hacer sustitución por equivalencia.
Probar la validez del siguiente razonamiento, usando el método contrarrecíproco PQ / P  P ^ Q
1- ~(P  P ^ Q)
~(P  Q)
2- ~(P  P ^ Q) premisa 1.
3- ~(~P v (P ^ Q) de 2. por ley del condicional.
4- P ^~(P ^ Q) de 3, por ley de Morgan.
5- P ^(~P v ~Q) de 4, por ley de Morgan.

10. Método de reducción al absurdo
Designamos en esta forma, toda proposición correspondiente a la conjunción entre una proposición y su
negación.
Teoría contradictoria o inconsistente: Se dice que una teoría es contradictoria o inconsistente, cuando en
dicha teoría es posible demostrar una contradicción. En una teoría contradictoria podemos concluir que
una proposición es verdadera y falsa a la vez.
Mediante el método de reducción al absurdo, probar la validez de
1- P v ~Q  P^ R
2- ~R
Q
A las premisas dadas agregamos la negación de la conclusión.
1- P v ~Q  P^ R
2- ~R
3- ~Q
Ahora, aplicando las leyes lógicas, buscamos una contradicción
4- P v ~Q de 3, por ley de la adición.
5- P^ R de 1 y 4, por modus ponendo ponens.
6- R de 5, por ley de la simplificación.

11. Circuitos lógicos
Los circuitos lógicos o redes de conmutación los podemos identificar con una forma proposicional. Es decir,
dada una forma proposicional, podemos asociarle un circuito; o dado un circuito podemos asociarle la
forma proposicional correspondiente. Además, usando las leyes del álgebra proposicional podemos
simplificar los circuitos en otros más sencillos, pero que cumplen la misma función que el original.
Veamos los siguientes interruptores en conexión:
P v Q ^ R ~P v Q