El documento presenta 43 problemas matemáticos de diferentes temas como fracciones, probabilidad, geometría y álgebra. Cada problema viene acompañado de 5 opciones de respuesta. Los problemas involucran cálculos, construcción y análisis de figuras geométricas, operaciones con números enteros y racionales, porcentajes y proporciones.

1. Problemas Introductorios
Problema 1. Un pastel se corta quitando cada vez la tercera
parte del pastel que hay en el momento de cortar. ¿Qué fracción
del pastel original quedó después de cortar tres veces?
(a) 2/3 (b) 4/3 (c) 4/9 (d) 8/9 (e) 8/27
Problema 2. Un costal está lleno de canicas de 20 colores
distintos. Al azar se van sacando canicas del costal. ¿Cuál es el
mínimo número de canicas que deben sacarse para poder
garantizar que en la colección tomada habrá al menos 100
canicas del mismo color?
(a) 1960 (b) 1977 (c) 1981 (d) 1995 (e) 2001
Problema 3. En el rectángulo de la figura, M y N son los
puntos medios de AD y BC, respectivamente, y P y Q son las
respectivas intersecciones de AC con BM y con ND. Suponiendo
que AD mide 5cm y que AB mide 3cm, ¿cuántos centímetros
tiene de superficie el cuadrilátero MPQD?
(a) 2.75 (b) 3 (c) 3.25 (d) 3.75 (e) 4
Problema 4. A una cantidad le sumo su 10%, y a la cantidad
así obtenida le resto su 10%. ¿Qué porcentaje de la cantidad
original me queda?
(a) 98 (b) 99 (c) 100 (d) 101 (e) 102

2. Problema 5. Dentro del cuadrado de la figura se escriben los
números enteros del 1 al 9 (sin repetir). La suma de los 4
números alrededor de cada uno de los vértices marcados con
flechas tiene que ser 20. Los números 3 y 5 ya han sido
escritos. ¿Qué número debe ir en la casilla sombreada?
(a) 1 (b) 2 (c) 4 (d) 7 (e) 9
Problema 6. Un círculo cuyo radio mide 1 cm está inscrito en
un cuadrado, y éste a su vez está inscrito en otro círculo, como
se muestra en la figura. ¿Cuántos centímetros mide el radio de
éste último círculo?
(a) 1 (b (c) /2 (d) (e) /2
Problema 7. Con tres rectángulos iguales se formó un
rectángulo más grande, como el que se muestra en la figura. Si
la longitud BC = 2, ¿Cuál es la longitud de AB?
(a) 2.5 (b) 3 (c) 3.5 (d) 4 (e) 4.5
Problema 8. La suma de tres números impares consecutivos es
igual a 27. ¿Cuál es el número más pequeño de esos tres?
(a) 11 (b) 9 (c) 8 (d) 7 (e) 5

3. Problema 9. Cada lado del cuadrado ABCD mide 1 m. ¿Cuál es
el área del cuadrado AKPC?
(a) 1 m2 (b) 1.5 m2 (c) 2 m2 (d) 2.5 m2 (e) 3 m2
Problema 10. Utilizando cada una de las cifras 1, 2, 3 y 4 se
pueden escribir diferentes números, por ejemplo, podemos
escribir 3241. ¿Cuál es la diferencia entre el más grande y el
más pequeño de los números que se construyen así?
(a) 2203 (b) 2889 (c) 3003 (d) 3087 (e) 3333
Problema 11. Si se dibujan un círculo y un rectángulo en la
misma hoja, ¿cuál es el máximo número de puntos comunes
que pueden tener?
(a) 2 (b) 4 (c) 5 (d) 6 (e) 8
Problema 12. En la figura, el área del cuadrado de mayor
tamaño es igual a 1 m2
. Una de sus diagonales se divide en tres
segmentos de la misma longitud. El segmento de enmedio es la
diagonal del pequeño cuadrado gris. ¿Cuál es el área del
cuadrado pequeño?
(a) 1/10 m2 (b) 1/9 m2 (c) 1/6 m2 (d) 1/4 m2 (e) 1/3 m2

4. Problema 13. 99 - 97 + 95 - 93 + ... +3 - 1 =
(a) 48 (b) 64 (c) 32 (d) 50 (e) 0
Problema 14. Una sala de cine tiene 26 filas con 24 asientos
cada una. El total de los asientos se numera de izquierda a
derecha, comenzando por la primera fila y hacia atrás. ¿En qué
número de fila está el asiento número 375?
(a) 12 (b) 13 (c) 14 (d) 15 (e) 16
Problema 15. El boleto de entrada al Palacio de las Ciencias
cuesta 5 pesos por niño y 10 pesos por adulto. Al final del día 50
personas visitaron el Palacio y el ingreso total de las entradas
fue de 350 pesos. ¿Cuántos adultos visitaron el Palacio?
(a) 18 (b) 20 (c) 25 (d) 40 (e) 45
Problema 16. A un cuadrado de papel se le cortan todas las
esquinas ¿Cuál es el máximo número de esquinas que puede
quedar?
(a) 0 (b) 3 (c) 4 (d) 6 (e) 8
Problema 17. La figura representa una tira larga de papel
dividida en 2001 triángulos marcados con líneas punteadas.
Supongamos que la tira será doblada siguiendo las líneas
punteadas en el orden indicado por los números, de forma que
la tira siempre quede en posición horizontal y la parte de la
izquierda que ya ha sido doblada se dobla hacia la derecha.
¿Cuál es la posición en que terminan los vérticesA,B,C después
de 1999 dobleces?

5. Problema 18. Dos triángulos equiláteros iguales se pegan por
un lado. Después todas las esquinas de la figura obtenida se
juntan en el centro. ¿Qué figura se obtiene?
(a) un triángulo (b) una estrella (c) un rectángulo (d) un hexágono (e) un rombo
Problema 19. El entrenador más experimentado del circo
necesita 40 minutos para lavar un elefante. Su hijo lleva a cabo
la misma tarea en 2 horas. ¿Cuántos minutos tardarán el
entrenador y su hijo en lavar 3 elefantes trabajando juntos?
(a) 30 (b) 45 (c) 60 (d) 90 (e) 100
Problema 20. Me comí una rebanada de un pastel redondo que
representaba el 15 % del pastel, como indica la figura. ¿Cuál es
ángulo que abarca la rebanada del pastel?
(a) 15o (b) 36o (c) 45o (d) 54o (e) 60o
Problema 21. Si 800 pesos tienen el mismo valor que 100
lipras y 100 pesos tienen el mismo valor que 250 bólares,
¿cuántas lipras valen lo mismo que 100 bólares?
(a) 2 (b) 5 (c) 10 (d) 25 (e) 50
Problema 22. Una acción en la bolsa de valores vale 1499
pesos en mayo. De mayo a junio la acción aumenta un 10 %.
De junio a julio la acción disminuye un 10 %. ¿Cuántos pesos
vale a fin de julio?
(a) 1450 (b) 1400 (c) 1390 (d) 1386 (e) 1376

6. Problema 23. Si efectuamos el producto de todos los números
impares comprendidos entre 1 y 1994, ¿cuál es la cifra de las
unidades del número así obtenido?
(a) 1 (b) 3 (c) 5 (d) 7 (e) 9
Problema 24. ¿Qué dígitos hay que eliminar en el número
4921508 para obtener el número de tres dígitos más pequeño
posible?
(a) 4, 9, 2, 1 (b) 4, 2, 1, 0 (c) 1, 5, 0, 8 (d) 4, 9, 2, 5 (e) 4, 9, 5, 8
Problema 25. En una tira de papel rectangular se dibujan
líneas verticales que la dividen en 4 partes iguales. También se
dibujan líneas verticales que la dividen en 3 partes iguales.
Finalmente, se corta la tira siguiendo las las líneas dibujadas.
¿Cuántos pedazos de diferente longitud se tienen?
(a) 2 (b) 3 (c) 4 (d) 5 (e) 6
Problema 26. Cada lado de un rectángulo se divide en tres
segmentos de la misma longitud; los puntos obtenidos se unen
definiendo un punto en el centro, como se indica en la figura.
¿Cuánto es el cociente del área de la parte blanca entre el área
de la parte gris?
(a) 1 (b) 1/2 (c) 1/3 (d) 1/4 (e) 2/3
Problema 27. Al aumentar en la misma proporción la longitud
de los lados de un cuadrado, su área aumenta en un 69 %.
¿Qué porcentaje aumentaron sus lados?
(a) 20% (b) 30% (c) 34.5% (d) 8.3% (e) 69%

7. Problema 28. ¿Cuánto es la suma de las cifras del
númeroN=1092
- 92?
(a) 1992 (b) 992 (c) 818 (d) 808 (e) 798
Problema 29. Si escribí todos los números enteros del 1 al
1000, ¿cuántas veces apareció la cifra 5?
(a) 110 (b) 1331 (c) 555 (d) 100 (e) 300
Problema 30. A Julio le dieron el número secreto de su nueva
tarjeta de crédito, y observó que la suma de los cuatro dígitos
del número es 9 y ninguno de ellos es 0; además el número es
múltiplo de 5 y mayor que 1995. ¿Cuál es la tercer cifra de su
número secreto?
(a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) 4 (e) 5
Problema 31. ¿Qué proporción guardan las áreas de las dos
regiones grises marcadas en el rectángulo PQRS, si M es un
punto cualquiera de la diagonal?
(a) La de arriba
es más grande
(b) La de abajo
es más grande
(c) Son
iguales
(d) Sólo son iguales
si M es el punto medio
(e) No hay
suficientes datos
Problema 32. De la ciudad A a la ciudad B hay 3 caminos, de
la ciudad A a la ciudad C hay 5 caminos, de la ciudad B a
la D hay 2 caminos y de la ciudad C a la D hay dos caminos. Si
un camino que une dos ciudades no pasa por otra, ¿cuántas
formas hay de ir de la ciudad A a la D?
(a) 12 (b) 16 (c) 19 (d) 32 (e) 60

8. Problema 33. Se construyó un cubo de alambre de 3 cm de
lado dividido en 27 cubitos de 1 cm de lado cada uno. ¿Cuántos
centímetros de alambre se usaron para marcar las aristas de los
cubos (si no hubo desperdicio)?
(a) 25 (b) 64 (c) 72 (d) 120 (e) 144
Problema 34. Un triángulo rectángulo tiene hipotenusa 6 y
perímetro 14, ¿cuál es su área?
(a) 3 (b) 7 (c) 10 (d) 14 (e) 28
Problema 35. Alicia va al club cada día; Beatriz va cada 2 días;
Carlos va cada 3; Daniel cada 4; Enrique cada 5; Francisco cada
6 y Gabriela cada 7. Si hoy están todos en el club, ¿dentro de
cuántos días será la primera vez que vuelvan a reunirse?
(a) 27 (b) 28 (c) 210 (d) 420 (e) 5040
Problema 36. En la figura, cada lado del cuadrado mide 1.
¿Cuál es el área de la región sombreada?
(a) /2 (b) /4 (c) 1/2 (d) 1 - /4 (e) 1 - /2
Problema 37. Dos enteros a>1 y b>1 satisfacen ab
+ ba
= 57.
Encuentra la suma a+b.
(a) 5 (b) 7 (c) 10 (d) 12 (e) 57

9. Problema 38. En la siguiente figura AD = DC, AB = AC, el
ángulo ABC mide 75o
y el ángulo ADC mide 50o
. ¿Cuánto
mide el ángulo BAD?
(a) 30o (b) 85o (c) 95o (d) 125o (e) 140o
Problema 39. ¿Cuánto mide el área de la parte sombreada?
(a) 9 (b)3/ (c) 18 (d) 12 (e)6/ -
Problema 40. El promedio de 5 números es 40. Al eliminar dos
de ellos el nuevo promedio es 36. ¿Cuál es el promedio de los
dos números eliminados?
(a) 34 (b) 38 (c) 42 (d) 46 (e) 50
Problema 41. Si cada letra C, A, N, G, U, R, O, S, corresponde
a un dígito entonces
10,000 x UROS - 10,000 x CANG + CANGUROS es igual a:
(a)UROSUROS (b)UROSCANG (c)CANGCANG (d)CANGUROS (e)CARUNGOS

10. Problema 42. En el triángulo ABC, AB = 1, BC = 2 y el
ángulo ABC es de 72o
. Se rota el triángulo ABC en el sentido
de las manecillas del reloj fijando el vértice B, obteniéndose el
triángulo A'BC'. Si A,B,C' son colineales y el arco AA' es el
descrito por A durante la rotación, ¿cuánto vale el área
sombreada?
(a) /6 (b) - 3/2 (c) /10 (d)1 - /2 (e)3 /8
Problema 43. ¿Cuántos números múltiplos de 6 menores que
1000 tienen la propiedad de que la suma de sus cifras es 21?
(a) 6 (b) 9 (c) 12 (d) 15 (e) 18
Problema 44. Si xes un número par y yun número impar, ¿cuál
de los siguientes números no es impar?
(a) x+y (b) x+x+1 (c) x2/2 (d) (y+y)/2 (e) xy+1
Problema 45. ¿Cuántos números entre 5678 y 9876 tienen la
propiedad de que el producto de sus cifras es igual a 343?
(a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) 4 (e) 5

11. Problema 46. Un barquillo de helado en Planilandia está
formado por un triángulo ABC equilátero (el barquillo) y un
círculo de radio 1 (la bola de nieve) tangente a AB y AC. El
centro del círculo O está en BC. Cuando se derrite el helado se
forma el triángulo AB'C' de la misma área que el círculo y
conBC y B'C' paralelos. ¿Cuál es la altura del triángulo AB'C'?
(a) (b) (c) (d) / (e)
Problema 47. Una mesa tiene un agujero circular con un
diámetro de 12 cm. Sobre el agujero hay una esfera de
diámetro 20 cm. Si la mesa tiene 30 cm de altura, ¿cuál es la
distancia en centímetros desde el punto más alto de la esfera
hasta el piso?
(a) 40 cm (b) 42 cm (c) 45 cm (d) 48 cm (e) 50 cm
Problema 48. Un niño corta un cuadrado de tres días por tres
días de la página de un calendario. Si la suma de las nueve
fechas es divisible entre 10 y sabemos que la fecha de la
esquina superior izquierda es múltiplo de 4. ¿Cuál es la fecha de
la esquina inferior derecha?
(a) 2 (b) 12 (c) 18 (d) 22 (e) 28

12. Problema 49. Sea f una función de números tal que f(2)=3,
yf(a+b)=f(a)+f(b)+ab, para toda a y b. Entonces, f(11) es
igual a:
(a) 22 (b) 33 (c) 44 (d) 55 (e) 66
Problema 50. ¿Cuál es el dígito de las unidades de
(1+12
)+(2+22
)+(3+32
)+ ... +(2000+20002
)?
(a) 0 (b) 2 (c) 4 (d) 6 (e) 8
Problema 51. En una hoja de papel cuadriculado cada cuadrito
mide 1 x 1. Se coloca una moneda de diámetro ? encima.
¿Cuál es el máximo número de cuadritos que puede cubrir
parcialmente (de manera que la región cubierta en ese cuadrito
tenga área mayor que 0) la moneda?
(a) 4 (b) 5 (c) 6 (d) 7 (e) 8
Problema 52. Yo salí de mi casa en automóvil a las 8:00 de la
mañana. Un automóvil que va al doble de mi velocidad sale
también de mi casa, me alcanza exactamente a la mitad del
camino y llega 1:30h antes que yo a nuestro lugar de destino.
¿A qué hora salió el otro automóvil?
(a) 8:00 h (b) 8:30 h (c) 9:00 h (d) 9:30 h (e) 10:00 h
Problema 53. Un poliedro en forma de balón de futbol tiene 32
caras: 20 son hexágonos regulares y 12 son pentágonos
regulares. ¿Cuántos vértices tiene el poliedro?
(a) 72 (b) 90 (c) 60 (d) 56 (e) 54

13. Problema 54. Dadas cuatro líneas diferentes, ¿cuántos puntos
de intersección NO puede haber entre ellas?
(a) 0 (b) 2 (c) 3 (d) 5 (e) 6
Problema 55. ¿Cuál es la longitud de x en la figura?
(a) (b) (c) 9 (d) 12 (e) 18
Problema 56. Si S = 1 + 2 + 3 + ... + 100, ¿cuántos
signos + hay que cambiar por signos - para obtener 1991 en
lugar de S?
(a) Es imposible (b) 3 (c)4 (d) 5 (e) 6
Problema 57. Cinco amigos P,Q,R,S y T se dan la mano.
Tanto P como Q estrecharon la mano de uno solo de sus
amigos, mientras que R, S y T estrecharon cada uno la mano de
dos. Sabemos que P estrechó la mano de T. ¿Quiénes podemos
asegurar que no se dieron la mano?
(a) T y S (b) T y R (c) Q y R (d) Q y T (e) Q y S
Problema 58. En un concurso de baile los jueces califican a los
competidores con números enteros. El promedio de las
calificaciones de un competidor es 5.625 ¿Cuál es el número
mínimo de jueces para que eso sea posible?
(a) 2 (b) 6 (c) 8 (d) 10 (e) 12

14. Problema 59. Una caja que compró mamá está llena de
chocolates en forma de cubo. Sara se comió todos los del piso
de arriba, que eran 77. Después se comió 55, que eran los que
quedaban en un costado. Después se comió los que quedaban
enfrente. Sobraron algunos chocolates en la caja; ¿cuántos?
(a) 203 (b) 256 (c) 295 (d) 300 (e) 350
Problema 60. La maestra distribuyó la misma cantidad de
dulces entre cada uno de 5 niños y se quedó tres para ella
misma. No se acuerda cuántos dulces tenía, pero se acuerda
que era un múltiplo de 6 entre 65 y 100. ¿Cuántos dulces
tenía?
(a) 63 (b) 78 (c) 90 (d) 93 (e) 98
Problema 61. Las siguientes figuras consisten en cubitos
desdoblados. ¿Cuál de ellas corresponde a un cubo en el que
cada dos regiones triangulares que comparten una arista son del
mismo color?
Problema 62. En la figura los puntos P,Q,R y S y T dividen
cada lado del rectángulo en razón 1:2. ¿Cuál es el cociente
entre el área del paralelogramo PQRS y el área de ABCD?
(a) 2/5 (b) 3/5 (c) 4/9 (d) 5/9 (e) 2/3

15. Problema 63. Consideremos 48 canicas repartidas en tres
montones A, B y C de manera que si del montón A pasamos
al B tantas canicas como hay en el B, luego del B pasamos
alC tantas canicas como hay en el C y del C pasamos al Atantas
como existen ahora en el A, tendremos el mismo número de
canicas en cada montón. ¿Cuántas canicas había al principio en
el montón A?
(a) 16 (b) 19 (c) 20 (d) 22 (e) 30
Problema 64. El producto de tres enteros positivos es 1500 y
su suma es 45. ¿Cuál es el mayor de esos tres números?
(a) 27 (b) 28 (c) 29 (d) 30 (e) 31
Problema 65. Se tienen dos círculos con centro en el mismo
punto, pero cuyos perímetros difieren en 1 cm. ¿cuál es la
diferencia entre sus radios?
(a) (b) (c) cm (d)2 cm (e)4 cm
Problema 66. Un zoológico tiene forma hexagonal con celdas
que son triángulos equiláteros de lado 10, como en la figura. En
este zoológico se quieren poner 1000 animales salvajes; por
seguridad no puede haber dos animales en una misma celda y si
una celda está ocupada ninguna de las que comparte un lado
con ella puede estarlo. ¿Cuánto mide el lado del hexágono más
chico que tiene esta propiedad?
(a) 13 (b) 16 (c) 19 (d) 22 (e) 25

16. Problema 67. Se escriben en sucesión todos los números del 1
al 2001, en orden, uno a continuación del otro, para formar un
número muy grande que llamaremos G (es
decir,G=1234567891011 ... 20002001) ¿Cuál es la cifra central
deG?
(a) 1 (b) 3 (c) 5 (d) 7 (e) 9
Problema 68. La siguiente figura se forma a partir de un
triángulo equilátero de área 1 prolongando cada lado dos veces
su longitud en ambas direcciones. El área de esta figura es:
(a) 31 (b) 36 (c) 37 (d) 41 (e) 42
Problema 69. El resultado de la operación siguiente: 1-2-
3+4+5-6-7+8+ ... -1998-1999+2000 es
(a) (b) (c) 2001 (d) 0 (e) 2
Problema 70. Una flor se ha dibujado dentro de un círculo
manteniendo la misma apertura del compás, como se muestra
en la figura. Si el perímetro de la flor es 2, ¿cuál es el radio del
círculo?
(a) (b) (c)1/6 (d)2 /3 (e) /8
Problema 71. ¿Cuántas parejas de enteros
positivos (a,b)satisfacen a2
-b2
=15?
(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3 (e) 4

17. Problema 72. En la figura, ABCDE representa un pentágono
regular (de 1 cm de lado) y ABP es un triángulo equilátero.
¿Cuántos grados mide el ángulo BCP?
(a) 45o (b) 54o (c) 60o (d) 66o (e) 72o
Problema 73. El número -1 es solución de la ecuación de
segundo grado 3x2
+bx+c=0. Si los coeficientes b y c son
números primos, el valor de 3c-b es:
(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3 (e) 4
Problema 74. Una sucesión se forma de la manera siguiente:
el primer término es 2 y cada uno de los términos siguientes se
obtiene del anterior elevándolo al cuadrado y restando 1 (los
primeros términos son 2,22
-1=3, 32
-1=8, 82
-1=63, ... ). La
cantidad de números primos que hay en la sucesión es:
(a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) 5 (e) infinita
Problema 75. El número de triángulos con sus tres vértices en
los puntos de la figura es:
(a) 20 (b) 24 (c) 28 (d) 32 (e) 36
Problema 76. Si el paralelogramo ABCD tiene área 1 m2
y los
puntos M y N son los puntos medios de los lados AB y CD
respectivamente, ¿Qué área tiene la región sombreada?
(a) 3/12 (b) 1/3 (c) 5/12 (d) 1/2 (e) 7/12

18. Problema 77. Dos ciclistas recorren una pista cuadrada en
direcciones opuestas. Partiendo de una esquina al mismo
tiempo, la primera vez que se encuentran es en otra esquina y
la segunda en una esquina distinta de las anteriores. Si ambos
van a velocidad constante la razón de las velocidades es:
(a) 1:2 (b) 1:3 (c) 1:4 (d) 2:3 (e) 3:4
Problema 78. Luis Miguel compró una bolsa con 2000
caramelos de 5 colores; 387 de eran blancos, 396 amarillos,
402 rojos, 407 verdes y 408 cafés. Decidió comerse los
caramelos de la siguiente forma: Sin mirar sacaba tres de la
bolsa. Si los tres eran del mismo color, se los comía, si no, los
regresaba a la bolsa. Continuó así hasta que sólo quedaron dos
caramelos en la bolsa. ¿De qué color eran?
(a) Blancos (b) Amarillos (c) Rojos (d) Verdes (e) Cafés
Problema 79. En un triángulo ABC, siete segmentos paralelos
al lado BC y con extremos en los otros dos lados del triángulo
dividen en 8 partes iguales al lado AC. Si BC = 10, ¿cuál es la
suma de las longitudes de los siete segmentos?
(a) Faltan datos (b) 50 (c) 70 (d) 35 (e) 45
Problema 80. Un cuadrado de lado 2 se "redondea''
añadiéndole un marco de 2 cm de ancho (en las esquinas se han
puesto cuartos de círculo). Una rueda de radio 1 cm se desplaza
a lo largo del cuadrado redondeado (siempre tocándolo).
¿Cuántas vueltas completas dará la rueda alrededor de sí misma
antes de completar una vuelta alrededor del cuadrado
redondeado?
(a) 3 (b) 6 (c) 8 (d) 10 (e) 12

19. Problema 81. Un pedazo rectangular de piel mágica se reduce
a la mitad de su longitud y a la tercera parte de su ancho
después de cumplirle un deseo a su dueño. Después de tres
deseos tiene un área de 4 cm2
. Si su ancho inicial era de 9 cm,
¿cuál era su largo inicial?
(a) Faltan datos (b) 96 cm (c) 288 cm (d) 32 cm (e) 144 cm
Problema 82. En un campamento de verano 96 niños van a
separarse en grupos de forma que cada grupo tenga el mismo
número de niños. ¿De cuántas maneras puede hacerse la
separación si cada grupo debe de tener más de 5 pero menos de
20 niños?
(a) 10 (b) 8 (c) 5 (d) 4 (e) 2
Problema 83. Si haces la división de 1 entre 52000
, ¿cuál será el
último dígito que aparezca antes de llegar a puros0's?
(a) 2 (b) 4 (c) 6 (d) 8 (e) 5
Problema 84. ¿Cuál de los siguientes números es más grande?
(a) 212 (b) 415 (c) 811 (d) 128 (e) 326
Problema 85. ¿Cuántas cifras tiene el número 21998
x 52002
?
(a) 1999 (b) 2000 (c) 2001 (d) 2002 (e) 2003
Problema 86. Omar le da a cada uno de sus libros una clave de
tres letras utilizando el orden
alfabético: AAA, AAB,AAC,... AAZ, ABA, ABB, etc.
Considerando el alfabeto de 26 letras y que Omar tiene 2203
libros, ¿cuál fue el último código que Omar utilizó en su
colección?
(a) CFS (b) CHT (c) DGS (d) DFT (e) DGU

20. Problema 87. Se escriben los números enteros del 0 al 2000 y
se dibujan flechas entre ellos con el siguiente patrón:
y así sucesivamente. ¿Cuál es la sucesión de flechas que llevan
del 1997 al 2000?
Problema 88. Un pastel tiene forma de cuadrilátero. Lo
partimos por sus diagonales en cuatro partes, como se indica en
la figura. Yo me comí una parte, y después pesé las otras tres:
un pedazo de 120 g, uno de 200 g y otro de 300 g. ¿Cuánto
pesaba la parte que yo me comí?
(a) 120 (b) 180 (c) 280 (d) 330 (e) 550
Problema 89. Tomando tres vértices cualesquiera de un cubo
se forma un triángulo. Del total de triángulos que pueden
formarse de esa manera, ¿cuántos son equiláteros?
(a) 4 (b) 8 (c) 16 (d) 48 (e) 56
Problema 90. En la figura, a,b,c,d,e y f son las áreas de las
regiones correspondientes. Si todos ellos son números enteros
positivos diferentes entre sí y menores que 10, cada triángulo
formado por tres regiones tiene área par y el área de la estrella
completa es 31, el valor de f es:
(a) 3 (b) 4 (c) 5 (d) 6 (e) 7

21. Problema 91. El círculo de la figura tiene centro O y su
diámetro mide 3. Los segmentos AT y RS son diámetros
perpendiculares del círculo. La recta es tangente al círculo en
el punto T; B es la intersección de la recta con la recta AR.
Calcular el área de la región sombreada (delimitada por los
segmentos BR y BT y el arco de círculo de RT.)
(a)3 /2 - 9/16 (b)2 /3 (c)9- /16 (d) (e)27/8 - 9/16
Problema 92. En la siguiente figura ABC es un triángulo con
AB=AC y D un punto sobre CA con BC=BD=DA. El valor del
ángulo ABD es:
(a) 30o (b) 36o (c) 40o (d) 45o (e) 60o
Problema 93. En la figura, cada lado del cuadrado más
pequeño mide 3 y cada lado del cuadrado más grande mide 6,
¿cuál es el área del triángulo sombreado?
(a) 6 (b) 10 (c) 12 (d) 18 (e) 24

22. Problema 94. Edgar y Raúl apostaron según las siguientes
reglas: Van a lanzar un dado normal (con los números del 1 al 6
en sus caras) y una moneda (con los números 1 y 2 marcados
en sus caras). Después multiplicarán el número que salga en el
dado con el que salga en la moneda. Si el resultado es par gana
Edgar, y si es impar gana Raúl. ¿Qué probabilidad de ganar
tiene Edgar?
(a) 1/2 (b) 1/3 (c) 2/3 (d) 3/4 (e) 5/6
Problema 95. ¿Cuántas formas hay de llegar de A a B si no se
puede pasar dos veces por el mismo punto?
(a) 10 (b) 12 (c) 16 (d) 18 (e) 20
Problema 96. Si x2
+y2
=6xy, con x y, ¿a qué es igual
(x+y)/(x-y)?
(a) 1 (b) (c) (d) 2 (e)
Problema 97. En un cuadrado ABCD de lado 1 está inscrito un
triángulo AEF de tal forma que E está sobre BC y F está
sobre CD. Las longitudes de los lados AE y AF son iguales y son
el doble de la longitud del lado EF. Calcular la longitud deEF.
(a)( - 2)/7 (b) (c)(- + )/7 (d) /2 (e) -
Problema 98. En la figura, AB es el arco de un círculo centrado
en C, BC es el arco de un círculo centrado en A, ACes el arco de
un círculo centrado en B. Si la recta AB mide 1, ¿Cuál es el área
de la figura?
(a)2 +5/ (b)3 - /2 (c) ( +5) (d)( - )/2 (e)( -5 /2)

23. Problema 99. ¿Cuál es el área del triángulo ABC, si
AD=BD=DE,EF=2AD,CF=3AD y el área de ADE=1?
(a) 4.5 (b) 6 (c) 8 (d) 9 (e) 12
Problema 100. Encontrar el valor de xyz donde x,y,z son
números positivos que satisfacen el siguiente sistema de
ecuaciones:
x2
+ 1
/y + z = 9
x2
+ 1
/y - z = 3
x2
- 1
/y + z = 5
(a) 1/15 (b) 1/3 (c) 1/2 (d) 3 (e) 4
Problema 101. Para cada dos números enteros a y b se define
la operación * de la manera siguiente: a*b = ab + 2. ¿Cuál es el
valor de (((1*1)*1*...*1)*1 donde se han utilizado mil unos?
(a) 1000 (b) 1001 (c) 1999 (d) 2001
Problema 102. ¿Cuántos números enteros hay entre 9992
y
10002
, sin incluir estos dos números?
(a) 999 (b) 1000 (c) 1998 (d) 1999
Problema 103. En un cuadrado ABCD de lado 1, E es el punto
medio de la diagonal BD y F punto medio de ED. ¿Cuál es el
área del triángulo CFD?
(a) 3/8 (b) 1/12 (c) 1/2 (d) 1/8

24. Problema 104. La suma de todos los dígitos del número 1099
-
99 es:
(a) 873 (b) 874 (c) 879 (d) 899
Problema 105. En la siguiente figura los lados grandes y chicos
son todos iguales entre si. Los lados chicos miden la mitad de
los grandes. Todos los ángulos son rectos y el área de la figura
es 200. ¿Cuál es el perímetro de la figura?
(a) 20 (b) 40 (c) 60 (d) 80
Problema 106. En la figura, ABCDEF es un hexágono regular
y C es un círculo con centro en B. La razón del área sombreada
entre el área del hexágono es:
(a) 1/3 (b) 2/3 (c) 3/4 (d) 4/5
Problema 107. ¿Cuánto vale el ángulo x, si las rectas
horizontales son paralelas?
(a) 120o (b) 130o (c) 140o (d) 150o

25. Problema 108. El lado AC de un triángulo ABC se divide en 8
partes iguales. Siete segmentos de recta paralelos a BC se
dibujan desde los puntos de división. Si BC = 10, ¿Cuánto mide
la suma de las longitudes de los 7 segmentos?
(a) 35 (b) 70 (c) 80 (d) 89
Problema 109. Con vértices en los puntos de la figura,
¿Cuántos cuadriláteros se pueden dibujar?
(a) 4 (b) 16 (c) 24 (d) 36
Problema 110. Empiezas con el número 1. Una "operación"
consiste en multiplicar el número por 3 y sumarle 5. ¿Cuál es la
cifra de las unidades después de aplicar la operación 1999
veces?
(a) 1 (b) 2 (c) 8 (d) 9
Problema 111. Elena, en los primeros tres exámenes sacó 6, 7
y 9. ¿Cuánto tiene que sacar en el cuarto exámen para sacar 8
de promedio entre los cuatro exámenes?
(a) 7 (b) 8 (c) 9 (d) 10
Problema 112. Considera una fila de 5 sillas numeradas del 1
al 5. Siéntate en la silla número 1. Un movimiento consta de
pararte y sentarte en una de las sillas que tengas junto. Si estás
en las silla 1 sólo puedes sentarte en la silla número 2,
análogamente, si estás en la silla 5 sólo puedes sentarte en la
silla 4, pero si estás en cualquier otra silla tienes dos
posibilidades. Realiza 19 movimientos, luego elimina la silla 1 y
5 y finalmente haz 99 movimientos más. ¿En qué silla acabarás
sentado?
(a) 2 (b) 3 (c) 4 (d) No se puede determinar

26. Problema 113. Cada movimiento en un juego consiste de
invertir 2 flechas adyacentes, si la posición inicial es
y la posición final es
¿Cuál es el número mínimo de movimientos para llegar a esta
posición final?
(a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) 4
Problema 114. La primera figura tiene 3 lados y 3 picos, la
segunda tiene 12 lados y 6 picos, la tercera tiene 48 lados y 18
picos y así sucesivamente. ¿Cuántos picos tendrá la quinta
figura?
(a) 258 (b) 384 (c) 768 (d) 66
Problema 115. Se tiene un cubo de lado 5 formado por cubitos
de lado 1. ¿Cuántos cubitos quedan totalmente ocultos a la
vista?
(a) 25 (b) 27 (c) 10 (d) 15
Problema 116. En la siguiente figura, los círculos son
tangentes (se tocan en un solo punto), todos los círculos son del
mismo tamaño y tiene radio igual a 2. Encontrar el área de la
región sombreada.
(a) 2 (b) 4 (c) 6 (d) 8

27. Problema 117. Un cubo de madera se corta con una sierra por
los puntos A, C y G, como se indica en la figura. ¿Cuánto vale el
ángulo CAG?
(a) 45o (b) 90o (c) 60o (d) 30o
Problema 118. En el siguiente cubo, ¿de cuántas formas se
puede ir de A a B sobre las aristas sin pasar dos veces por el
mismo vértice y sin subir?
(a) 10 (b) 11 (c) 12 (d) 13
Problema 119. ¿Cuántos números enteros positivo nsatisfacen
las desigualdad
2
/5 < n
/ 17 < 11
/13
(a) 6 (b) 10 (c) 8 (d) 5
Problema 120. Si un cubo de arista igual a 5 se parte en cubos
de arista igual a 1, entonces la suma de las longitudes de todas
las aristas de todos los nuevos cubos es:
(a) 300 (b) 400 (c) 2000 (d) 1500
Problema 121. Sea ABCD un cuadrado con los ldos de longitud
9. ¿Cuántos puntos (dentro o fuera del cuadrado) son
equidistantes de B y C y están exactamente a una distancia 6
del punto A?
(a) 1 (b) 2 (c) 5 (d) más de 5

28. Problema 122. ¿Cuánto mide la superficie de la siguiente
figura formada con cubos de lado 1?
(a) 18 (b) 16 (c) 14 (d) 12
Problema 123. Un cudrado tiene perímetro P y área Q. Dada la
ecuación 3P =2Q, determina el valor de P
(a) 10 (b) 12 (c) 24 (d) 36
Problema 124. El 70% de los habitantes de un país habla un
idioma y el 60% de la misma población habla otro idioma. ¿Qué
porcentaje de la población habla los 2 idiomas, sabiendo que
cada habitante habla al menos uno de ellos?
(a) 70% (b) 60% (c) 30% (d) 10%
Problema 125. Dados dos números a y b definimos la
operación § de la manera siguiente: a § b = a + b + ab.
El valor de 1 § 1
/2 § 1
/3 § ... § 1
/1999 es:
(a) 1000/1999 (b) 1999 (c) 1000 + 1/1999 (d) 2000
Problema 126. ¿Cuántos triángulos hay en la figura?
(a) 22 (b) 20 (c) 18 (d) 14

29. Problema 127. El triángulo ABC es equilátero y sus lados
AC y BC son tangentes al círculo cuyo centro es O y cuyo radio
es <<Raíz de 3>>. El área del cuadrilátero AOBC es:
(a) (b) (c) (d)
Problema 128. ¿Cuántas soluciones enteras tiene la ecuación:
23+x
+ 23-x
= 65?
(a) 3 (b) 2 (c) 1 (d) 0
Problema 129. Los ángulos de un triángulo están en la razón 2
: 3 : 4, la suma de los dos ángulos menores es:
(a) 80o (b) 90o (c) 100o (d) 120o
Problema 130. Se tienen 9 ciudades y se quieren construir
carreteras entre pares de ellas de tal forma que sea posible
viajar entre cualesquiera dos de ellas. ¿Cuál es el mínimo
número de carreteras que se deben construir?
(a) 8 (b) 9 (c) 18 (d) 36
Problema 131. Arregla los números 5, 7, 11, 13, 17 y 23 en
los siete círculos de la figura, de tal manera que la suma de los
tres números en cada línea sea el mismo número primo. ¿Qué
número queda al centro?
(a) 7 (b) 11 (c) 13 (d) 17

30. Problema 132. Si x2
+ 8x - 2 = 0. ¿Qué número representa la
expresión x4
+ 8x + 16x + 10?
(a) 0 (b) 8 (c) 10 (d) 14
Problema 133. Se tiene un cuadrado ABCD de lado igual a 8 y
se dibuja un círculo que pasa a través de los vértices Ay D, y es
tangente al lado BC. El radio del círculo es:
(a) 3 (b) 4 (c) 5 (d) 8
Problema 134. Un comandante dispone su tropa formando un
cuadrado y ve que le quedan 36 hombres. Entonces decide
poner una fila y una columna más de hombres en dos lados
consecutivos del cuadrado y se da cuenta que le faltan 75
hombres. ¿Cuántos hombres hay en la tropa?
(a) 12357 (b) 3061 (c) 364 (d) 1557
Problema 135. ¿Cuál de las siguientes condiciones deben
cumplir las medidas de los lados x y y de una parcela
rectangular de perímetro fijo P de manera que la parcela tenga
la mayor área posible?
(a) x > y (b) x = y (c) x > P (d) y < P
Problema 136. Si ABCD es un cuadrado de lado 4, M es un
punto sobre el segmento AB tal que AM es una cuarta parte
de AB y P es la intersección de la diagonal DB y el segmentoMC,
¿Cuánto mide PC?
(a) 4/3 (b) 4/7 (c) 21/3 (d) 20/7
Problema 137. Un hombre nació en el año x2
y murió en el
año y2
(donde los números x, y son enteros positivos).
Considera que murió en el día de su cumpleaños. Sabemos que
vivió entre el año 1800 y el 2000. ¿Cuántos años vivió el
hombre?
(a) 43 (b) 44 (c) 78 (d) 87

31. Problema 138. ¿Cuánto vale la suma de u + v + w, en la
siguiente figura?
(a) 3u (b) 180o (c) 360o; (d) no se puede saber
Problema 139. Si (6!)(7!) = n!, ¿Cuánto vale n? (n! = 1 · 2 ·
3... · (n-1) · n)
(a) 10 (b) 12 (c) 13 (d) 42
Problema 140. Los niños A, B y C tomaron 13 dulces de una
mesa, al final, A dijo: "tomé 2 dulces más que B", Bdijo: "tomé
la mitad de dulces que A y 5 menos que C", y finalmente C dijo:
"tomé un número par de dulces". Si sabemos que a lo más uno
de ellos mentía, ¿quién era este mentiroso?
(a) A (b) B (c) C (d) ninguno
Problema 141. En la siguiente figura, los segmentos AY y
BX son perpendiculares a los segmentos BC y AC,
respectivamente. Si el ángulo ABC mide 50º y el ángulo
BAC mide 60º. ¿Cuánto mide el ángulo BTY?
(a) 60o (b) 70o (c) 80o (d) 50o

32. Problema 142. En la siguiente figura, cuál es el área del
triángulo ABC, si el área del hexágono regular es H?
(a) H/2 (b) H/4 (c) H/6 (d) H/8
Problema 143. Si (1 + 1
/n ) (1 - 1
/m) = 1 entonces m es igual
a
(a) n - 1 (b) n + 1 (c) 2n (d)
Problema 144. ¿De cuántas maneras distintas pueden
colorearse los lados de un triángulo equilátero con cuatro
colores distintos, si suponemos que un mismo color se puede
emplear en lados distintos y que dos coloraciones son iguales si
difieren en un giro del triángulo en el plano?
(a) 4 (b) 20 (c) 24 (d) 16
Problema 145. En la siguiente figura cada vértice puede tomar
el valor 1 ó -1, ¿cuántos valores distintos puede tomar la
suma A + B + C + D + E + F + ABCDEF?
(a) 14 (b) 8 (c) 7 (d) 4
Problema 146. La yerba en un prado crece con densidad y
rapidez homogéneas. Sabiendo que 70 vacas consumen la yerba
en 24 días y 30 vacas la comen en 60 días, ¿Cuántas vacas
consumirán la yerba en 96 días?
(a) 16 (b) 18 (c) 20 (d) 22

33. Problema 147. Dado un punto cualquiera P en el interior de un
triángulo equilátero de lado 6, consideremos las perpendiculares
que van de P a cada uno de los lados del triángulo.
Llamemos H1, H2 y H3 al pie de las perpendiculares
mencionadas. ¿Cuánto vale PH1 + PH2 +PH3?
(a) 2 (b) (c) (d) 4
Problema 148. Un estratega francés de la segunda Guerra
Mundial tiene el siguiente problema. La distancia (en línea recta)
de Chálons a Vitry es de 30 Km. De Vitry a Chaumont 80 km, de
Chaumont a St. Quetin 236 km, de St. Quetin a Reims 86 km,
de Reims a Chálons de 40 km. ¿Cuál es la distancia en línea
recta que hay entre Reims y Chaumont?
(a) 11 km (b) 120 km (c) 322 km (d) 150 km
Problema 149. Se llena un recipiente con agua, la cantidad de
agua vertida a cada instante en la misma. La siguiente gráfica
muestra el nivel del agua en el recipiente durante el tiempo en
que es llenado.
El segmento PQ es una línea recta. La forma del recipiente que
corresponde a la gráfica es:
(a) (b) (c) (d)

34. Problema 150. Si ABCD es un trapecio de bases AB = 8 yCD =
2 y sus diagonales se cortan en E, la razón del área del trapecio
entre el área del triángulo ABE es:
(a) 8 (b) 4 (c) 25/16 (d) 16/25
Problema 151. ¿Cuántos enteros hay tales que 22n n2
+
120?
(a) 4 (b) 3 (c) 2 (d) 1
Problema 152. Si los números a, b, c satisfacen las siguientes
igualdades:
1
/a + 1
/b + 1
/c = 1, 1
/a - 1
/b - 1
/c = 1
/3, 1
/a + 1
/b - 1
/c = 0,
entonces, a + 2b + 3c es igual a:
(a) 6 (b) 12 (c) 18 (d) 24
Problema 153. Si a, b, c, d, e son números positivos, tales
que ab = 1, bc = 2, cd = 3, de = 4 y ea = 5, ¿Cuál es el valor
de b?
(a) (b) (c) (d)
Problema 154. Si las diagonales de un rombo difieren en 14 y
sus lados miden 13, el área del rombo es:
(a) 156 (b) 120
(c) (d)
Problema 155. Un contenedor de 5 litros se llena con jugo de
naranja. Se le quitan 2 litros de jugo y se llena nuevamente con
agua. Se mezcla muy bien y nuvemante se quitan 2 litros de
mezcla y se vuelve a llenar con agua. ¿Qué porcentaje de jugo
hay en la mezcla final?
(a) 24% (b) 36% (c) 30% (d) 27%

35. Problema 156. Los números de seis dígitos ABCDEF donde los
dígitos varían del 1 al 6 y son todos distintos, se llaman
armoniosos si 1 divide a A, 2 divide a AB, 3 divide a ABC, 4
divide a ABCD, 5 divide a ABCDE, 6 divide a ABCDEF. ¿Cuántos
números armoniosos hay de 6 dígitos?
(a) 5 (b) 4 (c) 3 (d) 2
Problema 157. Si A y B son números naturales y
A
/7 + B
/5 = 31
/35 el valor de A es:
(a) 1 (b) 2 (C) 3 (d) 4
Problema 158. En un triángulo equilátero XYZ se dividen los
lados en tres partes iguales. Llamemos a las divisiones
A, B, C, D, E y F como se muestra en la figura. ¿Cuál es el área
de la figura sombreada, si el área del triángulo XYZ es 18?
(a) 12 (b) 10 (c) 9 (d) 8
Problema 159. ¿Cuál es el número de lados de un polígono
que tiene el triple número de diagonales que de lados?
(a) 8 (b) 9 (c) 10 (d) 12
Problema 160. Si n es un número entero, entonces n2
(n2
-1)
siempre es divisible entre:
(a) 5 (b) 8 (c) 12 (d) 24

36. Problema 161. Un cubo se formó con 12 pedazos de alambre
de longitud 1. Una hormiga parte de uno de los vértices y
camina a lo largo de los lados. ¿Cuál es la distancia máxima que
puede recorrer antes de regresar al vértice de donde partió y sin
recorrer un lado dos veces?
(a) 6 (b) 8 (c) 10 (d) 12
Problema 162. Si (a + 1
/a)2
= 3, entonces a3
+ 1
/a3
es igual a:
(a) 0 (b) (c) 3 (d)
Problema 163. Los lados de un triángulo son 2, 3, x. Si el área
también es x, ¿cuánto vale x?
(a) (b) 3 (c) 2 (d) 1
Problema 164. En un cubo de lado 2, M, N, P y Q son puntos
medios de las aristas mostradas. ¿Cuál es la distancia máxima
entre un punto de MN y otro PQ?
(a) (b) (c) (d)
Problema 165. La zoo-lógica.
En la selva, la hiena miente los lunes, martes y miércoles; la
zorra miente los jueves, viernes y sábados. En los días que no
mienten, dicen la verdad. Un día se encontraron la hiena y la
zorra y sostuvieron este diálogo:
Hiena: ¡Hola zorra! Ayer yo mentí,
Zorra: ¡Hola hiena! Yo también mentí ayer.
¿En qué día sucedió este encuentro?
(a) lunes (b) martes (c) jueves (d) nunca pudo suceder

37. Problema 166. Se tiene un tetraedro regular y en cada una de
las caras se trazan todas las bisectrices. ¿Cuántos puntos de
intersección hay entre las 12 bisectrices?
(a) 4 (b) 8 (c) 12 (d) 14
Problema 167. Sea p(x) = x3
+ ax + 1. Si p(1) = 1, ¿Cuál es
el valor de p(2)?
(a) 1 (b) 2 (c) 5 (d) 7
Problema 168. El siguiente juego se efectúa entre dos
jugadores: se colocan 13 fichas sobre la mesa y los jugadores
tiran en forma alternada, cada tirada consiste en tomar 1, 2, 3 ó
4 fichas y gana el que se quede con la última ficha. ¿Cuántas
fichas debe tomar el primer jugador en la primera tirada para
asegurar su triunfo?
(a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) 4
Problema 169. ¿Para cuántos valores enteros positivos den la
expresión 18
/n+4 es un entero?
(a) 12 (b) 10 (c) 6 (d) 3
Problema 170. Si m y n son enteros tales que 2m - n = 3,
entonces m - 2n es igual a:
(a) -3 (b) 0 (c) un múltiplo de 3 (d) cualquier entero
Problema 171. Una escalera tiene numerados los escalones
como 0, 1, 2, 3, 4 ... Una rana está en el escalón 0, salta cinco
escalones hacia arriba hasta el escalón 5 y luego dos para abajo
hasta el escalón 3, después sigue saltando alternando, cinco
escalones para arriba y dos para abajo. La sucesión de
escalones que pisa la rana es 0, 5, 3, 8, 6... ¿Cuál de los
siguientes escalones no pisa la rana?
(a) 1997 (b) 1998 (c) 1999 (d) 2000

38. Problema 172. Sea ABC un triángulo isóceles tal que AB =AC,
sean R, S y T las intersecciones de las alturas de A, B yC,
respectivamente, con el circuncírculo como se muestra en la
figura. ¿Cuál es el valor del ángulo RST?
(a) (A) + (B) / 2 (b) (A) (c) (B) (d) (C)
Problema 173. En la siguiente figura el área del triángulo chico
es 8. El área del triángulo grande es:
(a) 20 (b) 24 (c) 28 (d) 30
Problema 174. Se forma un cono con un pedazo de papel
semicircular, con radio de 10 (como se muestra en la figura).
Encuentra la altura del cono.
(a) (b) (c) (d)
Problema 175. En un cubo de lado 6 se inscribe un tetraedro
regular de tal manera que los cuatro vértices de éste son
también vértices del cubo. Calcula el volumen de dicho
tetraedro.
(a) 36 (b) 72 (c) 75 (d) 108

39. Problema 176. La ecuación (a + b + c)(a + b + c) = 3ab la
satisfacen los lados a, b , c, de un triángulo. ¿Cuál es la medida
del ángulo opuesto al lado c?
(a) 30o (b) 60o (c) 90o (d) imposible determinar
Problema 177. De todos los números de 3 dígitos que son
múltiplos de 3, ¿cuántos hay que tengan todos sus dígitos
distintos de cero y distintos entre sí?
(a) 180 (b) 184 (c) 179 (d) 200
Problema 178. Cuántas veces aparece el factor 2 en las
descomposición en primos de 1 + 2 + 3 + ... + 1011
?
(a) 8 (b) 9 (c) 10 (d) 11
Problema 179. De los números siguientes, el que tiene 81
divisores positivos es:
(a) 4x9x25x49 (b) 1181 (c) 29x 39 (d) 8116
Problema 180. Si 2n
- 1 es un múltiplo de 7, entonces n es:
(a) par (b) impar (c) múltiplo de 3 (d) múltiplo de 6
Problema 181. S a, b, c, d son dígitos tales
que d > c > b> a 0, ¿cuántos números de la forma 1a1b1c1d1
son múltiplos de 33?
(a) 4 (b) 8 (c) 15 (d) 16
Problema 182. La sucesión creciente 1, 3 , 4, 9, 10 , 12, 13,
27, 28, 30, 31, ... consiste de los enteros positivos que son
potencia de 3 o suma de distintas potencias de 3. ¿Cuál es el
número que está en el lugar 100?
(a) 729 (b) 810 (c) 917 (d) 981

40. Problema 183. Un punto P está fuera de un círculo, a una
distancia 13 del centro. Una secante trazada desde P corta a la
circunferencia en Q y R de tal manera que el segmento externo
de la secante, PQ, mide 9 y QR mide 7. El radio del círculo es:
(a) 4 (b) 5 (c) 6 (d) 7
Problema 184. En la figura, ABC es un triángulo equilátero,
sus lados tienen longitud 3 y PA es paralela a BC. Si PQ = QR =
RS, la longitud de CS es:
(a) (b) 1
(c) (d)
Problema 185. ¿Cuál es el máximo número de ángulos
internos rectos que puede tener un octágono?
(a) 3 (b) 4 (c) 5 (d) 6
Problema 186. Se tiene que llenar la siguiente cuadrícula con
los números del 1 al 5, de tal forma que cada número aparezca
únicamente una vez en cada columna y en cada renglón. ¿Cuál
es el número que va en el centro de la cuadrícula?
(a) 1 (b) 2 (c) 4 (d) 5)
Problema 187. Las raíces de la ecuación: a(b - c)x2
+ b(c-
a)x + c(a - b) = 0 son 1 y:
(a) b(c-a)/a(b-c) (b) a(b-c)/c(a-b) (c) a(b-c)/b(c-a) (d) c(a-b)/a(b-c)

41. Problema 188. Llegan 4 niños a una fiesta y hay 6 gorros; 3
verdes y 3 rojos. A cada niño se le coloca su gorro respectivo
con los ojos vendados y se sientan en una mesa circular de
forma que cada niño ve los gorros de los otros tres. Empezando
con el niño 1 y en sentido de las manecillas del reloj a cada niño
se le hace la pregunta:"¿Sabes ya de qué color es tu gorro?" Y
todos escuchan la respuesta hasta que alguien contesta
afirmativamente. Además el primer niño dice que no. ¿Quién de
estos niños es seguro que contestará afirmativamente?
(a) ninguno (b) 2 (c) 3 (d) 4
Problema 189. Cien personas respondieron a un cuestionario
formado por 3 preguntas. Cada pregunta debía contestarse, sí o
no, y sólo una de estas respuestas era correcta. Si sabemos
que:
8 personas contestaron bien las tres preguntas
9 personas contestaron bien sólo la primera y la segunda
11 personas contestaron bien sólo la primera y la tercera
6 personas contestaron bien sólo la segunda y la tercera
55 personas contestaron bien al menos la primera pregunta
32 personas contestaron bien al menos la segunda pregunta
49 personas contestaron bien al menos la tercera pregunta
¿Cuántas personas respondieron mal a todas las preguntas?
(a) 4 (b) 6 (c) 7 (d) 10
Problema 190. La expresión algebráica x2
+ 9 se escribe en la
forma a(x+1)2
+ b(x+1) + c.
¿Cuál es el valor de (a - b + c)?
(a) 9 (b) 10 (c) 12 (d) 13
Problema 191. ¿Para qué entero positivo n se satisface la
ecuación:
(1+3+5+..+(2n-1))
/(2+4+6+..+(2n)) = 1999
/2000 ?
(a) 1998 (b) 1999 (c) 2000 (d) 2001

42. Problema 192. ¿Cuántos números se pueden representar como
suma de algunos de los números 1, 2, 4, 8, 16 donde cada
número se escoge a los más una vez? (Por ejemplo el 11 se
puede representar como 8 + 2 + 1). Las sumas con un sólo
sumando están permitidas
(a) 31 (b) 25 (c) 16 (d) 32
Problema 193. Si (a,b) denota al máximo común divisor
de a y b, el valor de (a4
- b4
, a2
- b2
) es:
(a) a-b (b) a+b (c) a2 - b2 (d) a2+b2
Problema 194. ¿Cuántos números diferentes de cinco cifras se
pueden formar con los dígitos 1, 1, 2, 2, 3?
(a) 120 (b) 40 (c) 30 (d) 20
Problema 195. Considera 9 puntos sobre una circunferencia.
¿De cuántas maneras pueden ser divididos estos puntos en
conjuntos de tres puntos, de tal manera que, ningún par de los
triángulos determinados por estos subconjuntos se corten?
(a) 9 (b) 10 (c) 7 (d) 12
Problema 196. Considere 6 puntos sobre una circunferencia.
¿De cuántas maneras pueden ser estos puntos unidos por pares
con 3 cuerdas que no se corten dentro del círculo?
(a) 10 (b) 12 (c) 8 (d) 5

43. Problema 197. Una mañana la Sra. Martínez, la Sra. Pérez, la
Sra. Torres y la Sra. Gómez fueron de compras. Cada una de
ellas tenía que ir a dos tiendas distintas. Una de las mujeres
tenía que visitar la tlapalería, dos tenían que ir al banco, dos
tenían que ir al carnicero y tres tenían que ir a la tienda de
abarrotes. Sus compras se simplificaban por el hecho de que
vivían en un pequeño poblado y únicamente había una tienda de
cada cosa y únicamente había un banco. Si
1. Dora no fue a la tienda de abarrotes,
2. tanto Esther como la Sra Gómez fueron al carnicero,
3. Margarita llegó a casa con más dinero que cuando se fue,
4. La Sra. Pérez no fue a ninguno de los lugares donde estuvieron
Lucía y la Sra. Torres
¿Cuál es el apellido de Margarita?
(a) Torres (b) Gómez (c) Martínez (d) Pérez
Problema 198. El número de posibles soluciones de la
ecuación 3x + y + z = 23 donde x, y y z son enteros positivos
es:
(a) 56 (b) 70 (c) 86 (d) 92
Problema 199. En una clase hay 25 alumnos. Entre ellos 17
alumnos son ciclistas, 13 nadadores y 8 esquiadores. Ningún
alumno hace tres deportes. Los ciclistas, nadadores y
esquiadores se sacaron 9 en matemáticas. Seis alumnos en la
clase se sacaron 6 en matemáticas. ¿Cuántos nadadores saben
esquiar?
(a) 2 (b) 4 (c) 6 (d) 10
Problema 200. Considera el menor entero positivo que al
dividirlo entre 10 deja residuo 9, al dividirlo entre 9 deja
residuo 8, al dividirlo entre 8 deja residuo 7, etc., hasta que al
dividirlo entre 2 deja residuo 1. Al dividirlo entre 11 deja
residuo:
(a) 0 (b) 3 (c) 5 (d) 7

44. Soluciones
Solución 1. En cada corte quedan 2/3 de lo que había antes de cortar,
así que la respuesta es 2/3 x 2/3 x 2/3 = 8/27. La respuesta es (e).
Solución 2. Notemos que si sacáramos 20 canicas podría ser que todas
fueran de colores distintos, así que sólo podríamos garantizar que hay
dos canicas del mismo color si sacáramos 21 canicas. De la misma
manera, necesitaríamos 41=20 x 2 + 1 canicas para poder afirmar que
con seguridad hay 3 canicas (al menos) del mismo color, pues con 40
canicas podría ser que cada color apareciera exactamente 2 veces. Con
el mismo razonamiento que hemos seguido llegamos al resultado: se
necesitan 20 x 99 + 1=1981 canicas. La respuesta es (c).
Solución 3. Observemos que si juntamos los triángulos ABM y DNC,
éstos formarán un rectángulo de 2.5 x 3, y que el área deMPQD es la
mitad del área restante MBND para el rectángulo total, esto es: 5 x 3 -
(2.5 x 3/2)=3.75. La respuesta es (d).
Solución 4. En el primer paso, por cada 100 tendremos 110, a los
cuales habrá que restarles 11 y, por tanto, nos quedaremos con 99. La
respuesta es (b).
Solución 5. Junto al 3 y al 5 hay que escribir dos números que sumen
12. Como no puede haber repeticiones, la única posibilidad para esos
dos números es 8 y 4 (con dos posibilidades para ponerlos). Ahora,
junto al 5 y al 8 hay que escribir números que sumen 20-(5+8)=7. Para
evitar repeticiones las únicas posibilidades son 1 y 6. De la misma
manera, vecinos al 5 y al 4 debemos escribir 2 y 9. Ahora, una vez que
se ha elegido la forma de escribir el 4 y el 8, hay 4 posibilidades para
escribir los números 1 y 6 y 2 y 9, pero sólo una funciona, ya que los
cuatro números en la esquina izquierda superior deben también sumar
20. En resumen, sólo hay dos posibilidades:
La respuesta es (d).
Solución 6. Del centro de los círculos tracemos segmentos a los puntos
de tangencia del círculo menor con el cuadrado; así el cuadrado quedará
dividido en cuatro cuadrados de lado 1, y el radio del círculo mayor será
igual a la diagonal de cualquiera de ellos. Usando Pitágoras deducimos
el resultado. La respuesta es (b).
Solución 7. La longitud de AB es la suma de la longitud del lado mayor
y la del lado menor de uno de los rectángulos pequeños. Sabemos que
los tres rectángulos pequeños son iguales, por lo cual el lado más chico

45. de cada uno de ellos mide la mitad de AD, que es igual a la mitad
de BC y por tanto es 1. Luego, AB=2+1=3. La respuesta es (b).
Solución 8. Conviene escribir los números como x-2, x y x+2.
Entonces su suma es, por un lado, 3x y, por el otro, 27, de dondex=9.
El más pequeño es 7. La respuesta es (d).
Solución 9. El área del cuadrado ABCD es igual a 1 m2 (cada lado del
cuadrado mide 1 m). El área del cuadrado AKPC es igual a cuatro veces
el área del triángulo ABC, cuya área es la mitad del cuadrado ABCD. El
área de ABCD es igual a 0.5 x 4 m2 =2 m2. La respuesta es (c).
Solución 10. Tenemos que 4321 - 1234 = 3087. La respuesta es (d).
Solución 11. Es claro que una recta interesecta a lo más dos veces a
un círculo, así que el máximo número de intersecciones en total entre el
cuadrado y el círculo no puede exceder 8. En la figura siguiente
podemos observar que sí es posible conseguir 8 puntos de intersección
con un círculo de radio 5 y un cuadrado de lado 8 que compartan el
centro. La respuesta es (d)
Solución 12. Cada lado del cuadrado gris mide la tercera parte del
cuadrado grande, así que el área del cuadrado es 1/3 x 1/3= 1/9 veces
el área del cuadrado mayor. La respuesta es (b).
Solución 13. Tenemos 50 números que podemos agrupar de dos en
dos: (99-97)+(95-93)+...+(3-1). Cada paréntesis contribuye en 2 a la
suma, así que la respuesta es 25 x 2=50. La respuesta es (d).
Solución 14. Como 15 x 24 = 360 y 375 = 360 + 15, el asiento
número 375 es el 15 de la fila 16. La respuesta es (e).
Solución 15. Notemos que 350 pesos son 35 entradas de adultos, pero
50 personas implican 15 personas más. Si "cambiamos" un adulto por 2
niños, conservamos la cantidad (en pesos) pero aumentamos una
persona más cada vez. Así, "cambiando" 15 adultos por 30 niños
obtenemos 50 personas, y conservamos los 350 pesos de ganancias.
(De otra manera: Llamemos n al número de niños y a al número de
adultos. Entonces n+a=50 y 5n+10a=350. Dividiendo la segunda
ecuación entre 5 y restándole la primera tenemos quea=20. La
respuesta es (b).

46. Solución 16. Si cortamos una esquina del triángulo de forma que el
corte NO se haga por la diagonal del cuadrado, tendremos cinco
esquinas en lugar de cuatro en la región más grande. Esto quiere decir
que al cortar una esquina del cuadrado, lo más que podemos hacer es
agregar otra. Así pues, el máximo de esquinas que podemos tener es 8.
La respuesta es (e).
Solución 17. La posición original se repite después de cada 6 dobleces.
Como 1998 es múltiplo de 6, después de 1998 dobleces tendremos la
posición original y después de 1999 dobleces tendremos la misma
posición que había después del primer doblez.
La respuesta es (d).
Solución 18. Un rectángulo, como se observa en la figura. La respuesta
es (b).
Solución 19. En dos horas el entrenador lava 3 elefantes y su hijo lava
1, así que juntos lavan 4 elefantes en 2 horas y lavarán 3 elefantes en 3
x 2/4 = 1.5 horas. La respuesta es (d).
Solución 20. El área de la rebanada es proporcional al ángulo
comprendido entre los radios. Así, cuando el ángulo es de 360o, el área
de la rebanada es igual a la del pastel. Entonces, para que el sector sea
el 15 % del área del círculo, el ángulo debe medir 15 % de 360o: 54o. La
respuesta es (c).
Solución 21. 100 pesos tienen el mismo valor que 100/8 = 12.5 lipras.
12.5 lipras equivalen a 250 bólares, así que 100 bólares tienen el mismo
valor que 12.5/2.5 = 5 lipras. La respuesta es (b).
Solución 22. Una acción vale 1400 + 140 a fin de junio, o sea 1540
pesos. Después pierde el 10 % de su valor que son 154 pesos, o sea
que al final vale 1386 pesos. La respuesta es (d).

47. Solución 23. Todo número impar multiplicado por 5 termina en 5. El
producto de números impares siempre es impar. Por lo anterior el
producto termina en 5. La respuesta es (c).
Solución 24. Para las centenas tenemos cinco opciones: 4, 9, 2, 1 y 5.
La menor de ellas es 1, así que eliminamos los que están antes que 4, 9
y 2. Para las decenas hay dos opciones: 5 y 0, de las cuales la menor es
0, así que eliminamos el 5. Queda el número 108. La respuesta es (d).
Solución 25. Dibujamos los cuartos de la tira de papel y los
numeramos de izquierda a derecha. Si cortamos por esas marcas,
quedan los cuatro pedazos numerados, todos del mismo tamaño. Ahora,
las marcas que dividen el papel en terceras partes quedan en los
pedazos número 2 y 3, y, si volviéramos a unirlos, las marcas serían
simétricas, por lo que, al cortarlos nuevamente, ambos pedazos (2 y 3)
quedarían divididos de la misma forma. Pero este último corte dividió
cada segmento en dos pedazos de longitudes diferentes además de los
pedazos 1 y 4 que son de igual longitud. Por lo tanto hay piezas de tres
longitudes diferentes. La respuesta es (b).
Solución 26. Trazando las diagonales del rectángulo encontramos 12
triángulos. Cada lado del rectángulo contiene la base de 3 triángulos,
uno blanco y uno gris, de la misma área, pues sus bases y sus alturas
son iguales. Así, la razón de las áreas es de 1 a 2. La respuesta es (b).
Solución 27. El número 1092 se escribe como un 1 seguido de 92 ceros.
Entonces 1092-92 se escribe como noventa 9's seguidos de un 0 y un 8.
Tenemos que 9 x 90 + 0 + 8 = 818. La respuesta es (c).
Solución 28. Escribí 5 cien veces como cifra de las unidades: 5, 15, 25,
..., 95, ..., 995. Escribí 5 cien veces como cifra de las decenas: 50,
...,59, 150, ..., 159, ..., 950, ..., 959. Escribí 5 cien veces como cifra de
las centenas: 500, 501, ..., 599. En total escribí 300 veces la cifra 5. La
respuesta es (e).
Solución 29. Por ser el número múltiplo de 5, debe terminar en 0 o 5,
pero como no debe tener 0's, el número termina en 5. Ahora hay que
buscar tres números cuya suma sea 4 (pues la suma de todas las cifras
del número es 9); como ninguno debe ser cero la única posibilidad es
que sean 1,1,2 y, como el número debe ser mayor que 1995, debe ser
2115. Por lo tanto su tercera cifra es 1. La respuesta es (a).

48. Solución 30. El segmento MS es la diagonal de un rectángulo, por lo
cual los 2 triángulos que lo tienen como lado son de la misma área. Lo
mismo pasa con MQ y con QS, lo cual implica que las áreas de los
rectángulos grises siempre son iguales. La respuesta es (c).
Solución 31. Por ser el número múltiplo de 5, debe terminar en 0 o 5,
pero como no debe tener 0's, el número termina en 5. Ahora hay que
buscar tres números cuya suma sea 4 (pues la suma de todas las cifras
del número es 9); como ninguno debe ser cero la única posibilidad es
que sean 1,1,2 y, como el número debe ser mayor que 1995, debe ser
2115. Por lo tanto su tercera cifra es 1. La respuesta es (a).
Solución 32. Hay 6 formas de ir de la ciudad A a la ciudad D pasando
porB, y hay 10 formas pasando por C. Por lo tanto hay 16 rutas de la
ciudad A a D. La respuesta es (b).
Solución 33. Tenemos tres direcciones que pueden seguir las líneas de
alambre, las cuales podríamos pensar como: de izquierda a derecha, de
adelante a atrás y de arriba a abajo. En cada una de estas direcciones
hay 16 líneas de 3 cm cada una pues son 4 niveles y en cada nivel hay 4
líneas. De esta manera tenemos que el resultado es 3 x 3 x 16 = 144.
La respuesta es (e).
Solución 34. Llamemos a y b a los catetos del triángulo y c a su
hipotenusa. Sabemos que c = 6 y que a+b+c=14. Por lo tanto a+b=8.
Elevando al cuadrado tenemos que(a+b)2=82, lo cual implica
que a2+2ab+b2=64. El área que buscamos es ab/2. Por el Teorema de
Pitágorasc2+2ab=64, sustituyendo c obtenemos que ab/2=7, que es el
área que buscábamos. La respuesta es (b).
Solución 35. La cantidad de días que pasan antes de que vuelvan a
reunirse todos debe ser divisible por 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7. Si
multiplicamos 4 x 3 x 5 x 7=420 tenemos el mínimo común múltiplo los
números, así, el menor número de días en el que se reencontrarán es
420. La respuesta es (d).
Solución 36. El área del círculo es x ( /2)2= /2. El área de la
superficie delimitada por los segmentos AD, DC y el arcoAC es 1 - /4.
El área de la región delimitada por el segmento BC y el arco BC es la
cuarta parte de restarle al área del círculo el área del cuadrado, o sea (
/2 - 1)/4 =1 - /8 - 1/4}. Así, el área de la región sombreada es 2( /8 -
1/4 + 1 - /4)=1/2. La respuesta es (c).

49. Solución 37. Uno de los enteros, digamos a, debe ser par, mientras
que el otro, b, debe ser impar. Como 43 = 64 > 57, tenemos que a = 2;
entonces es fácil ver que b=5. La respuesta es (b).
Solución 38. El triángulo ABC es isósceles (AB = AC), lo que implica
que ABC = ACB = 75o, y que BAC = 180o-(75o+75o) = 30o. El
triángulo ADC es isósceles (AD=DC), lo que implica
que DAC = DCA = (180o-50o)/2 = 65o. Observemos
que BAD = CAB + DAC = 30o+65o=95o. La respuesta es (d).
Solución 39. En la figura, el área del triángulo ABC es igual a la del
triángulo FGH, y el área del triángulo ACD es igual a la delEIJ. Así, el
área sombreada es igual al área del cuadradoEFHI, que es 9. Entonces
la respuesta es (a).
Solución 40. Si el promedio de los cinco números es 40, entonces su
suma es 40 x 5=200. De la misma manera, la suma de los tres que no
se eliminaron es 108. Entonces, los dos eliminados suman 92 y su
promedio es 46. La respuesta es (d).
Solución 41. Tenemos que CANGUROS = 10,000 x CANG + UROS,
así es que
10,000 x UROS- 10,000 x CANG+ 10,000 x CANG+UROS=10,000
x UROS+ UROS= UROSUROS.
La respuesta es (a).
Solución 42. El ángulo A'BC mide 180o - 2(72o)=36o. Por lo tanto, la
región sombreada es 360o/36o=1/10 del área total del círculo con centro
en B y radio AB, que es (12)=/pi. El área de la región sombreada es
igual a /10}. La respuesta es (c).
Solución 43. Queremos que el número sea múltiplo de 6, por tanto
debe serlo de 2 y de 3. Al pedir que la suma de sus cifras sea 21 el
número ya será múltiplo de 3. El número deberá además par, así es que
pensemos en las posibilidades para su última cifra. El número no puede
terminar en 0 ni 2 porque no tenemos posibilidades para las primeras
dos cifras de forma que la suma alcance 21. Si la última cifra es 4, las
dos primeras deben sumar 17, así es que deben ser 8 y 9, y hay dos
combinaciones posibles: 984 y 894. Si la última cifra es 6, las primeras

50. pueden ser 8 y 7, o bien 9 y 6, con los que se pueden formar cuatro
números: 876, 786, 966 y 696. Si la última cifra es 8, las posibilidades
para las primeras son 6 y 7, 5 y 8, o bien 4 y 9; y hay 6 números: 768,
678, 588, 858, 498, 948. En total hay 12 números. La respuesta es (c).
Solución 44. x2/2 es par siempre. Como x es par, entonces x es
múltiplo de 2 y, por lo tanto, x2 es múltiplo de 4. Entoncesx2/2 es
múltiplo de 2, es decir, es par. La respuesta es (c) .
Solución 45. Observemos que 343=73. Como los números son de
cuatro cifras, 3 de ellas son 7 y la otra es 1. Entonces las únicas
posibilidades son 7177, 7717, 7771. La respuesta es (c).
Solución 46. El área del círculo es (12)= , así que estamos buscando
la altura de un triángulo equilátero que tiene área . AB'C' es un
triángulo equilátero, aplicando el Teorema de Pitágoras al triángulo
rectángulo que tiene como hipotenusa a AC' y como catetos a la altura
trazada desde el vértice A y a la mitad del lado B'C'. Si AC' mide b y la
altura es h, tenemos que h2=b2-(b/2)2=(3/4)b2, de donde b=(2/ )h.
El área del triángulo es hb/2. Así, (1/ )h2= y h= . La respuesta
es (a).
Solución 47. Aplicando el Teorema de Pitágoras al triángulo cuya
hipotenusa es el radio de la esfera y uno de cuyos lados es el radio del
agujero, vemos que la distancia desde el centro de la esfera hasta el
nivel de la mesa es =8. Así, la distancia del punto más alto de la
esfera al piso es 10+8+30=48. La respuesta es (d).
Solución 48. Si la fecha menor del cuadrado es x, la suma de todas las
fechas del cuadrado es
x + x + 1 + x + 2 + x + 7 + x + 8 + x + 9 + x + 14 + x+ 15 + x +
16 = 9x + 72 = 9x + 7x(10) + 2.
Necesitamos que 9x termine en 8, lo cual es posible si xtermina en 2.
Para que x sea múltiplo de 4 la única posibilidad es x=12. Entonces, la
fecha de la esquina inferior derecha es 28. La respuesta es (e).
Solución 49. Como sabemos cuánto vale f(2), podríamos
calcular f(11)si conociéramos el valor de f(3) ya que 11 = 4+4+3 =
(2+2)+(2+2)+3. Tenemos que f(4) = f(2+2) = f(2) +f(2) + 4 = 10.
Por otra parte f(4) = 10 = f(3) + f(1) + 3, de donde f(3) = 7-f(1).
Ademásf(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)+2=f(1)+5. Tenemos dos ecuaciones
que involucran a f(3) y a f(1). Resolviendo obtenemos f(1)=1

51. y f(3)=6. Entonces f(11) = f(4+7) =f(4) + f(4+3) + 28 = 10
+ f(4) + f(3) + 12 + 28 = 50 + 10 + 6 = 66. La respuesta es (e).
Solución 50. En (1+12)+(2+22)+(3+32)+ ... +(2001+20012) podemos
reemplazar cada número por su última cifra sin alterar la última cifra del
resultado. Asi, la última cifra de la suma es la misma que la última cifra
de 200 x ((1+12) + (2+22) + (3+32) + ... + (10+102)) + (1+12) =
88002. Por lo tanto, la cifra que buscábamos es 2. La respuesta es (b).
Solución 51. Observemos que <2, así que la moneda toca a lo más 3
cuadros horizontales y 3 verticales. Entonces el problema se reduce a
considerar una cuadrícula de 3 x 3. Si la moneda cubre un pedazo de
algún cuadro de la esquina, entonces no cubre el de la esquina contraria
porque la mínima distancia entre las dos esquinas opuestas es (la
diagonal del cuadrado). Son 4 esquinas, entonces hasta ahora hemos
visto que a lo más la moneda cubre 7 cuadritos. Ahora veamos que sí es
posible lograr cubrir 7 cuadritos. Para esto observemos que si colocamos
la moneda circunscribiendo el cuadro central, entonces cubrirá
(parcialmente) 5 cuadros; la recorremos hacia arriba un poco (menos
de /2)para lograr que cubra todos los cuadros salvo las esquinas
inferiores. La respuesta es (d).
Solución 52. En vista de que a medio camino estábamos en el mismo
lugar, de que las velocidades fueron constantes y de que el otro
automóvil llegó 1h antes, entonces también salió 1:30h después: a las
9:30 de la mañana. La respuesta es (d).
Solución 53. Observemos que cada vértice lo es de cada pentágono y
que dos pentágonos no comparten ningun vértice. Como son 12
pentágonos y cada uno tiene 5 vértices, en total hay 60 vértices. (De
otra manera: Hay 20 hexágonos, cada uno con 6 vértices, para un total
de 120 vértices. Hay 12 pentágonos, cada uno con 5 vértices, para un
total de 60 vértices. Pero cada vértice es compartido por tres figuras,
por lo tanto el poliedro tiene (120+60)/3 = 60 vértices.) La respuesta es
(c).
Solución 54. Por el enunciado sabemos que sólo una de las respuestas
es imposible, así es que basta dar un ejemplo de los casos que sí son
posibles:
La respuesta es (b).

52. Solución 55. Tenemos que x es la longitud de la diagonal de un
rectángulo. La otra diagonal del mismo rectángulo es un radio del
círculo. Como el diámetro del círculo mide 10 + 4 + 4 = 18, tenemos
que x mide 9. La respuesta es (c).
Solución 56. Del 1 al 100 hay 50 números impares que, sumados a los
otros 50 números pares, dan un número par. Si cambiamos un
signo + por uno -, por ejemplo si escribimos - 5 en lugar de + 5, le
estamos restando 10 a S; es decir, si escribimos - n en lugar de + n, en
realidad le estamos restando 2n a S. Pero, tanto S como 2n son pares,
por lo tanto S - 2n es número par siempre. Entonces no es posible
obtener 1991 de esta manera. La respuesta es (a).
Solución 57. Si Q le hubiera dado la mano a T, entonces
ni P ni Q ni T le hubieran dado la mano a nadie más, lo cual no es
posible pues R le dio la mano a dos amigos. La respuesta es (d).
Solución 58. Observemos que 5.625 = 5625/1000 = 45/8, que es una
fracción simplificada y, por lo tanto, tenemos que multiplicar por 8 para
poder obtener un entero que sea la suma de las calificaciones de los
jueces. La respuesta es (c).
Solución 59. Como el número de chocolates del piso de arriba es 77, la
cantidad de chocolates a lo largo por la cantidad de chocolates a lo
ancho es 77. Las posibilidades son 11 a lo largo y 7 a lo ancho, o 77 a lo
largo, en una sola hilera. Como al final quedan chocolates en la caja, la
posibilidad correcta es la primera: 11 x 7. Como después de comerse el
piso de arriba quedan 55 en un costado, cuando la caja estaba llena
debió tener 6 chocolates a lo alto. Así, inicialmente había 7 x 6 x 11 =
462 chocolates. Originalmente en el frente de la caja había 7 x 6=42
chocolates, de los cuales Sara se comió primero 7 de la fila de arriba y 5
que quedaban en la fila de un costado. Quedan 462 - 77 - 55 - 30 = 300
chocolates. La respuesta es (d).
Solución 60. Como se quedó con 3 dulces, el número inicial de dulces
termina en 3 o en 8, pero como es un múltiplo de 6, es par, por lo que
termina en 8. La única posibilidad es 78. La respuesta es (b).
Solución 61. Doblando dos cuadrados que tengan las regiones
inmediatas a una misma arista del mismo color, nos damos cuenta de
que necesitamos que los vértices en que esas aristas convergen tengan
todas las regiones que incluyen a esa arista del mismo color. Cada arista
tiene tres regiones cercanas, por lo cual el número de regiones de cada

53. color debe ser divisible entre tres. Solamente a) y d) cumplen con este
requisito, y es fácil darse cuenta de que al doblar a) hay varias aristas
que no comparten regiones del mismo color. La respuesta es (d).
Solución 62. Dibujamos paralelas al lado AD por P y R y también al
lado AB por S y Q. Cada uno de los rectángulos pequeños representa
1/9 del área original. El área de los triángulos rectángulos que tienen
como cateto un lado del rectángulo PQRS es un 1/9 del área de ABCD.
Así, el área de PQRS es 1/9 + 4/9 = 5/9 del área de ABCD. La
respuesta es (d).
Solución 63. Cada montón, al final, tenía 16 canicas (en total había 48
y cada uno tenía el mismo número de canicas). El montón Atenía 16
canicas y, como del C pasamos al A tantas canicas como éste tenía,
el A tenía 8 y le pasamos 8 canicas del C, luego el C tenía 16+8=24
canicas. Del B pasamos al C tantas canicas como había en el C, entonces
pasamos 24/2=12 canicas del B al C, y el B tenía 16+12=28 canicas.
Por último, del A pasamos al $B$ tantas canicas como éste tenía,
entonces pasamos 28/2=14 canicas del A al B, luego el Atenía 14+8=22
canicas. Por lo tanto, había al principio 22 canicas en el montón A. La
respuesta es (d).
Solución 64.
Observemos que 1500=22 x 53 x 3. Tenemos que repartir los tres 5's
que aparecen en la factorización de 1500 entre los tres números que
buscamos. Es claro que los tres no pueden quedar en un mismo número
pues 53 = 125 > 45. Entonces, por lo menos dos de los números son
múltiplos de 5; pero el tercero es la diferencia de 45, que es múltiplo de
5, y la suma de los otros dos números también lo es; así, también ese
número debe ser múltiplo de 5. Ahora ya sólo tenemos que repartir los
dos 2's y el 3, buscando que la suma sea 45. Probando todas las
posibilidades vemos que la única es que los números sean 30, 10 y 5. La
respuesta es (d).
Solución 65.
Si r el radio de la circunferencia más pequeña y R el de la más grande,
tenemos que 2 r + 1 = 2 R, y por lo tanto R-r =1/2 . La respuesta es
(a).

54. Solución 66.
Si agrupamos las celdas por parejas según vértices vecinos como se
muestra en la figura (a), sabemos que en cada pareja una celda está
ocupada y la otra no. Así, cuando más, puede usarse la mitad de las
celdas del zoológico para acomodar a todos los animales y, por lo tanto,
necesitaremos al menos 2000 celdas para acomodarlos. La figura (b)
muestra cómo es posible acomodar animales en un zoológico hexagonal
utilizando la mitad de las celdas. Es fácil observar que en un triángulo
equilátero de lado n hay n2 triángulos de lado 1. Un hexágono regular
está compuesto por 6 triángulos equiláteros, como se muestra en la
figura (c). Como un hexágono de lado n tiene 6n2 celdas tenemos que
6n2 2000, por lo cual necesitamos n 19, así que 19 es suficiente. La
respuesta es (c).
Solución 67.
El número total de cifras de G es
9+2(99-9)+3(999-99)+4(2001-999)=9+180+2700+3990=6879.
Entonces la cifra central está en el lugar 3440. Para llegar a esa cifra
necesitamos todos los números del 1 al 999 (pues 9+180+2700=2889)
y otras 551 cifras más. Como a partir del 1000 todos los números que se
escriben tienen 4 cifras y 137 x 4=548, necesitaremos 137 números
después del 999 y 3 cifras más, es decir, la tercera cifra que se escriba
después de 1136, que es el 3 de 1137. La respuesta es (b).
Solución 68.
El triángulo ABC es semejante al triángulo CEF en razón 1:2, y por lo
tanto el área de CEF es 4 (la base y la altura miden el doble que las
de CEF). De la misma manera el triánguloABC es semejante al
triángulo ADE en razón 1:3, y el área de ADE es 9. Entonces, el área de
la figura es (9-1) x 3+ (4 x 3)+1 = 37. La respuesta es (c).
Solución 69.
Reagrupemos los sumandos de la siguiente manera: ((1 - 2) + (5 - 6) +
... + (1997 - 1998)) + ((-3 + 4) + (-7 + 8) + ... + (-1999+2000))= (1)
x 500 + (-1) x 500 = 0. La respuesta es (d).

55. Solución 70.
Llamemos r al radio. Cada uno de los 6 arcos dibujados mide 1/3 del
perímetro del círculo; entonces r satisface 6 x 1/3 /x 2 r = 2. La
respuesta es (a)
Solución 71.
Como a y b son enteros positivos y (a+b)(a-b)=15, entonces (a+b) es
un entero positivo, (a-b) también lo es, y(a+b)>(a-b). Hay dos
posibilidades: (a-b)=1 y (a+b)=15 o (a+b)=3 y (a-b)=5. Si (a-b)=1
y (a+b)=15 tenemos que a=8 y b=7. Si (a-b)=3 y (a+b)=5 tenemos
que a=4 yb=1. Entonces solamente hay 2 parejas de enteros positivos
que cumplen la ecuación. La respuesta es (c).
Solución 72.
Utilizaremos varias veces el resultado de que la suma de los ángulos
internos de un triángulo es 180o. Todos los ángulos del pentágono miden
(180o x 5 - 360o)/5=108o. Entonces PBC=48o.
Observemos que PBC es un triángulo isósceles, luego
BCP= BPC=(180o-48o)/2=66o. La respuesta es (d).
Solución 73.
Como -1 es solución de la ecuación, entonces 3-b+c=0, de ahí b-c=3,
por lo cual uno de ellos (b o c) tiene que ser impar, y el otro debe ser 2
(b y c son primos y su diferencia es impar). Como b=c+3 y ambos son
positivos, necesariamente c=2 y b=5. Por lo tanto 3c - b =3 x 2 - 5 =
1. La respuesta es (b).
Solución 74.
Cada término de la sucesión después del primero (2, que es primo) es
de la forma n2-1=(n+1)(n-1) con n entero positivo. La única manera
de que un número de la sucesión sea primo es que n-1=1, lo que
implica que n=2. En este caso, n2-1=3, el segundo número de la
sucesión. Por lo tanto el 2 y el 3 son los únicos primos que aparecen. La
respuesta es (b).
Solución 75.
Llamemos A, B, C y D a los vértices como se indica en la figura. Un
triángulo con vértices sobre los puntos de la figura debe tener
forzosamente 1 o 2 vértices sobre los puntos del segmento AC. Hay 10
parejas distintas de puntos sobre ACque pueden ser vértices de un
triángulo junto con otro punto de los dos que hay sobre el
segmento BC (sin contar el puntoB), por lo tanto hay 10 x 2=20
triángulos de este tipo. Si sólo hay un punto sobre AC, quiere decir que
es alguno de los 4 puntos sobre AC que son distintos a B. Los otros dos

56. vértices en el segmento BD que son distintos a B son la pareja de
vértices que hace falta para completar un triángulo, por lo cual sólo hay
4 triángulos de este tipo. En total hay 20 + 4 = 24 triángulos sobre los
puntos de la figura. La respuesta es (b).
Solución 76.
Si XYZ es un triángulo, denotemos su área como (XYZ). El
triángulo ADO es semejante al triángulo ONP en razón 1:2,
así OD=2OP. Como los triángulos ODN y ONP comparten la altura
trazada desde el vértice N, entonces (ONP) = 1/2(ODN). Por el mismo
argumento 1/2 (ODN)=(ADO). Luego entonces (ADO) + (ONP)=
5/6 (ADN) = 5/6(1/4) = 5/24.Análogamente el área de la región
sombreada en el paralelogramo MBCN también es 5/24, y el total del
área sombreada es 2(5/24)=5/12. La respuesta es (c).
Solución 77.
Llamemos a los ciclistas A y B. Si el ciclista A se encuentra con el
ciclista B en la primera esquina a la que llega una vez iniciado su
recorrido, significa que B recorrió tres lados del cuadrado
mientras A recorrió uno, y la razón entre sus velocidades es 1:3. Si se
encuentran en la segunda esquina a partir de que A inició su recorrido,
entonces la velocidad de A es la misma que la de B (recorrieron la
misma distancia en el mismo tiempo), pero la tercera vez se
encontrarían en la misma esquina donde empezaron, lo cual no puede
ser. Por el mismo razonamiento del primer caso, si se encuentran en la
tercera esquina a la que llegó A, la razón entre sus velocidades es 1:3.
La respuesta es (b).
Solución 78.
Como se comió los dulces de 3 en 3, sólo pueden quedar dulces de
aquéllos de los que originalmente no había una cantidad múltiplo de 3:
los verdes. La respuesta es (d).
Solución 79.
Tracemos por A una paralela a BC y por B una paralela aAC. Si D es su
punto de intersección, cada uno de los segmentos paralelos a AC que se

57. han dibujado son del mismo tamaño. La suma de las longitudes de los
segmentos paralelos dentro del triángulo ABC es igual a la suma de las
longitudes de los segmentos paralelos dentro del triánguloABD. Así, la
suma de los segmentos en un solo triángulo es igual a (7x10)/2 = 35.
La respuesta es (d).
Solución 80.
El perímetro del cuadrado redondeado es 4 x 2 + (4 x 2 x 2/4) = 12 ,
y esto es es 6 veces el perimetro de la rueda, que es de 2 . La
respuesta es (b).
Solución 81.
Cada vez que se concede un deseo el pedazo de piel se reduce a 1/6 de
su área. Después de conceder 3 deseos, el pedazo de piel tiene un área
de 1/6 x 1/6 x 1/6 = 1/216 veces el área original. Al principio, el pedazo
de piel tenía un área de 4 x 216=864 cm2, y como se trataba de un
rectángulo donde una arista medía 9 cm, la otra medía 96 cm. La
respuesta es (b).
Solución 82.
Observemos que 96 = 25 x 3. Entonces los únicos divisores de 96 que
están entre 5 y 20 son 2 x 3 = 6, 22 x 3=12, 23=8 y 24=16. Por lo tanto
sólo podemos hacer equipos de cuatro maneras diferentes. La respuesta
es (d).
Solución 83.
Dividir 1 entre 52000 es lo mismo que calcular (1/ 5)2000 = (0.2)^2000. Al
elevar 0.2 a alguna potencia, observemos el comportamiento de su
última cifra:
(0.2)1 = ... 2
(0.2)2 = ... 4
(0.2)3 = ... 8
(0.2)4 = ... 6
(0.2)5 = ... 2
.

58. .
.
La secuencia se repite en lo sucesivo cada 4 números y, como 2000 es
múltiplo de 4, es fácil observar que la última cifra no cero en la división
será 6. La respuesta es (c).
Solución 84.
Tenemos que
415 = (22)15 = 230
811 = (23)11 = 233
168 = (24)8 = 232
326 = (25)6 = 230
El más grande es 811. La respuesta es (c).
Solución 85.
Agrupemos todos los 2's y los 5's que podamos:21998 x 52002=(2 x
5)1998 x 54=625 x 101998. La respuesta es (c).
Solución 86.
De la A a la Z, en orden, hay 26 letras, así que de AAA aAAZ hay 26
códigos (AAZ es el número 26). De la misma manera,
de AAA a AZZ hay 26 x 26 = 676 códigos. Podemos ver que 2203 =
676 x 3 + 175, así que aún nos faltan 175 códigos después de CZZ, que
es el código 3 x 26 x 26 = 2028. Como 175 = 6 x 26 + 19, después
de DFZ(que es el código 626 + 26 x 6) nos faltan aún 19 códigos, así
que la etiqueta es DGS. La respuesta es (c).
Regresar al problema
Solución 87.
La sucesión de flechas es periódica y se repite cada 6 números.
Tenemos que 1997 = (6 ... 332) + 5, así es que la sucesión de 1997 a
2000 es la misma que de 5 a 8. La respuesta es (e).
Solución 88.
Para un triángulo XYZ, denotemos su área por (XYZ). Tenemos
entonces que
(BAP) / (BCP) = AP x h / PC x h = AP / PC
(DAP) / (CDP) = AP x h / PC x h = AP / PC
(DAP) / (CDP) = (BAP) / (BCP), de donde
(BAP) / 120 = 300 / 200 y
(BAP) = 180
La respuesta es (b).

59. Solución 89.
Observemos que los lados de los triángulos que se forman al tomar tres
vértices, sólo pueden ser aristas del cubo, diagonales de alguna cara o
diagonales del cubo. Es fácil observar que todos los triángulos que
tienen a una diagonal del cubo como uno de sus lados son rectángulos
(y por lo tanto no son equiláteros). Por otra parte, los triángulos
quetienen aristas como dos de sus lados (a partir del mismo vértice)
también son rectángulos. Fijándonos ahora en las diagonales de
caras,observemos que los únicos triángulos equiláteros se forman con
las diagonales de tres caras que coinciden en un vértice y que no pasan
por él, y habrá tantos triángulos equiláteros como vértices tiene el cubo:
ocho. La respuesta es (b).
Solución 90.
Como a+f+d es par, y b+f+d es par también, tenemos quea y b son
los dos pares o los dos impares. Usando el mismo argumento, llegamos
a que a,b,c,d y e tienen la misma paridad. Así f tiene que ser par,
puesto que a+d es par (suma de dos pares o de dos impares).
Luego a,b,c,d y etienen que ser impares porque la suma de las áreas es
31. Entonces a,b,c,d y e son los números del 1 al 9 en algún orden,
y f=31-1-3-5-7-9=6. La respuesta es (d).
Solución 91.
Los triángulo ABT y ARO son semejantes en razón 2:1pues O es el
punto medio de AT, y RO es paralela a BT; así, como en el
triángulo ARO los lados AO y RO son iguales, también lo son sus
correspondientes en el triánguloABT, es decir, BT=AT; por tanto BT=3.
El área buscada es: área (ABT) - área (ARO) - 1/4 área ( = 3 x 3/2 -
(3/2 x(3/2)/2) - 1 /4 x (3/2)2=27/8-9 /16. La respuesta es (e) .
Solución 92.
El triángulo ABC es isósceles y ABC= ACB. Como el
triángulo BCD es isósceles también, ABD= BDA. ComoBCD es
isósceles también, y usando que la suma de los ángulos internos de un
triángulo es 180o, tenemos BCD= BDC=180o-
BDA= ABD + BAD= 2 ABD. Luego 5 ABD= 180o y ABD=36o.
La respuesta es (b).
Solución 93.
Observemos que el triángulo ABO es semejante al triánguloDCO en
razón 2:1 (AB=2CD). Entonces AO=2DO, pero como AO+DO=6,
tenemos que AO=4. Por lo tanto el área del triángulo sombreado es
(AB x AO)/2= 6 x 4/2=12. La respuesta es (c).

60. Solución 94.
Si alguno de los números que salen (o en el dado o en la moneda) es
par, el resultado es par. Hay probabilidad de 1/2 de que salga el 2 en la
moneda, y la probabilidad de que si salga 1 en la moneda y un número
par en el dado es de 1/2 x 1/2 = 1/4. Así, la probabilidad de que gane
Edgar es 1/2 + 1/4 = 3/4. La respuesta es (c).
Solución 95.
Representemos cada camino como una cadena deletras. Así, el
camino ACEDB es el que recorre los segmentos AC, CE,ED y DB. Todas
las cadenas deben empezar en A y terminar en B, y tienen a lo más 5
letras (no se puede pasar por el mismo vértice dos veces). Hay una sola
cadena de dos letras que representa un camino válido: AB. Hay 3
cadenas de tres letras que representan caminos
válidos:ACB, ADB, AEB. Los caminos que pasan por cuatro vértices son
de la forma A _ _ B, donde hay 6 opciones para poner en lugar de las
líneas: CD, DE, CE, DC, ED y EC. Por la misma razón, pasando por los
cinco vértices hay tantos caminos como cadenas diferentes con tres
letras distintas:CED, CED, EDC, ECD, DEC y DCE. En total son
1+3+6+6=16 formas. La respuesta es (c).
Solución 96.
Tenemos que (x+y)2=x2+2xy+y2=8xy, así que, despejando, x+y=
. De la misma manera, de (x-y)2=x2-
2xy+y2=4xy obtenemos x+y= . Entonces (x+y)/(x-y)= / =
= . La respuesta es (c).

61. Solución 97.
Tenemos que BE=1 - EC, FC=EC y AE=2EF. Aplicando el Teorema de
Pitágoras en EFC obtenemos EF2=EC2+EC2, de donde EC=(1/ )EF.
Apliquemos el Teorema de Pitágoras al triángulo ABE y sustituyamos el
valor de EC que acabamos de obtener:
(2EF)2 = 1+(1-EC)2
4EF2 = 1+1- 2EC+EC2 = 2-2EC+EC2 = 2-2((1/ )EF)+1/2 x EF2
7/2EF2+ EF-2= 0
Resolviendo obtenemos EF =1/7(- ). Como EF es una longitud,
tomamos el valor positivo en la raíz y, por lo tantoEF=1/7(- + ). La
respuesta es (c).
Solución 98.
Los tres arcos fueron trazados con el mismo radio, luego el
triángulo ABC es equilátero de lado 1. Como en el triángulo equilátero
todos los ángulos son iguales a 60o entonces tenemos que el área del
sector CB es una sexta parte del área del círculo, es decir, ( r2)/6= /6;
análogamente las áreas de los sectores AB y AC son /6,
respectivamente. El área de la figura es la suma del área de los tres
sectores menos dos veces el área del triángulo ABC. La altura del
triángulo ABC es /2, entonces su área es bh/2=(1 x ( /2)/2= /4
Por lo tanto, el área de la figura es: A=3( /6)-2( /over4)=( - )/2. La
respuesta es (d).
Solución 99.
El área del triángulo ADE es 1. La altura trazada desde el vértice A de
los triángulos ADE y AEF es la misma, pero la base del triángulo AEF es
el doble de la base del triánguloADE, por lo tanto, el área del
triángulo AEF es 2.
Análogamente, la altura del triángulo ADE es igual a la altura del
triángulo AFC y, como la base del triángulo AFCes el triple de la base
del triángulo ADE, el área del triángulo AFC es 3. El área del
triángulo DBE es igual al área del triángulo ADE ya que tienen la misma
base y la misma altura. De la misma manera que en los casos
anteriores, las áreas de los triángulos BEF y BFC son el doble y el triple,

62. respectivamente, del área del triánguloBDE; entonces tenemos que el
área del triángulo ABC=2 x 1+2 x 2+2 x 3=12. La respuesta es (e).
Solución 100.
Sumando las dos últimas ecuaciones obtenemos 2x2=8, de donde x=2.
Sumando la primera y tercera ecuaciones tenemos que 2x2+2z=9.
Sustituyendo el valor de x y despejando llegamos a z=3.
Sustituyendo x y z en la segunda ecuación, tenemos que y=1/2. Por lo
tanto xyz=3. La respuesta es (d).

63. Respuestas
1.- (e) 26.- (c) 51.- (d) 76.- (b)
2.- (c) 27.- (b) 52.- (d) 77.- (b)
3.- (d) 28.- (c) 53.- (c) 78.- (b)
4.- (b) 29.- (e) 54.- (c) 79.- (d)
5.- (d) 30.- (c) 55.- (b) 80.- (d)
6.- (b) 31.- (a) 56.- (a) 81.- (b)
7.- (b) 32.- (b) 57.- (d) 82.- (d)
8.- (d) 33.- (e) 58.- (c) 83.- (c)
9.- (c) 34.- (b) 59.- (d) 84.- (c)
10.- (d) 35.- (c) 60.- (b) 85.- (c)
11.- (d) 36.- (d) 61.- (d) 86.- (e)
12.- (b) 37.- (b) 62.- (d) 87.- (b)
13.- (d) 38.- (d) 63.- (d) 88.- (d)
14.- (e) 39.- (a) 64.- (c) 89.- (e)
15.- (b) 40.- (a) 65.- (d) 90.- (b)
16.- (e) 41.- (d) 66.- (a) 91.- (b)
17.- (d) 42.- (c) 67.- (b) 92.- (c)
18.- (d) 43.- (c) 68.- (c) 93.- (c)
19.- (d) 44.- (c) 69.- (d) 94.- (c)
20.- (b) 45.- (a) 70.- (a) 95.- (c)
21.- (b) 46.- (d) 71.- (c) 96.- (d)
22.- (d) 47.- (e) 72.- (d) 97.- (c)
23.- (b) 48.- (e) 73.- (b) 98.- (c)
24.- (c) 49.- (b) 74.- (b) 99.- (e)
25.- (b) 50.- (c) 75.- (c) 100.- (d)