Este documento presenta los conceptos de potencias y raíces. Define potencia como la multiplicación reiterada de una base un número de veces dado por el exponente. Define raíz como una potencia con exponente fraccionario. Explica las propiedades de potenciación y radicación como la multiplicación y división de potencias, y la racionalización de fracciones con raíces en el denominador. Finalmente, presenta ejemplos para ilustrar estos conceptos.

1. CLASE Nº 4
Potencias y Raíces

2. Aprendizajes esperados:
• Reconocer la definición de potencia de base entera
y de exponente entero.
• Reconocer la definición de raíz como una potencia
de base entera y exponente racional.
• Aplicar las propiedades de la potenciación y
radicación en la resolución de ejercicios.

3. 1. Potenciación
1.1 Definición
1.2 Propiedades
1.3 Potencias de base 10
1.4 Signos de una potencia
2. Raíces
2.1 Definición
2.2 Propiedades
2.3 Racionalización
Potencias y raíces

4. 1.1 Definición
Corresponde a una multiplicación reiterada de
términos o números iguales. El término o número
que se va multiplicando, se llama “base” y la
cantidad de veces que se multiplica dicha base se
llama “exponente”.
1. Potenciación
an
= a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ …a ∙ ∙ a
n veces
Ejemplo:
73
= 7 ∙ 7 ∙ 7 =
(-6)2
= (-6) ∙ (-6)= 36
Libro, página 38
343

5. -32
= (-3)2
ya que: -32
= - 3 ∙ 3 = -9 y
(-3)2
= (-3)·(-3) = 9
=
2
3
3
23
3
ya que:
y =23
3
= 2∙2∙2
3
8
3
2
3
3
= = 8
27
2
3
2
3
2
3
∙ ∙

6. 1.2 Propiedades
• Multiplicación de Potencias:
De igual base
Se conserva la base y se suman los exponentes.
an+m
an
∙ am
=
Ejemplo:
5x+3x5x
∙ 53x
= = 54x
Libro, página 38

7. De igual exponente:
Se multiplican las bases, conservando el exponente.
(a ∙ b)n
an
∙ bn
=
Ejemplo:
85
∙ 42
∙ 22
= 85
∙ (4 ∙ 2)2
= 85
∙ 82
= 87

8. • División de Potencias:
De igual base:
Se conserva la base y se restan los exponentes.
an-m
an
: am
=
Ejemplo:
923
96
= = 917
923-6
Resolver ejercicios 1, 2 y 5 de “EJERCICIOS P.S.U.”,
libro, página 49.

9. De igual exponente:
Se dividen las bases y se conserva el exponente.
(a : b)n
an
: bn
=
Ejemplo:
75
:
42
282
= 75
: (28:4)2
= 75
: 72
= 73

10. • Potencia de Potencia:
Se multiplican los exponentes.
(an
)m
= am ∙ n
Ejemplo:
(210
)4
= 210 ∙ 4
= 240

11. • Potencia de Exponente Negativo:
Se invierte la base y se eleva al exponente positivo.
Potencia de exponente negativo
y base entera:
1a-n
=
a
n
(Con a, distinto de cero)
Ejemplo:
5-2
∙ 15
3
2
= ∙ (5)2
5
2
1 =
25
1
∙ 25 = 1

12. 33 =
43
Potencia de exponente negativo
y base fraccionaria:
a
b
-n
=
b
a
n
(Con a, distinto de cero
y b distinto de cero)
Ejemplo:
3
4
-3
=
3
4
3 =
64
27

13. • Potencias de exponente cero:
a0
= 1
(para todo a, distinto de cero)
00
: indefinido
Ejemplo:
x
3
- 4y
7 – (15-8)
=
x
3
- 4y
0
= 1

14. 1.3 Potencias de base 10
• Con exponente positivo:
Libro, página 41
101
= 10
102
= 100
103
= 1000…
Ejemplo:
54.000.000 = 54 ∙ 1.000.000
= 54 ∙ 106
100
= 1

15. 4 ∙ 10 -5
• Con exponente negativo:
Ejemplo:
10
=1 0,1
100
=1 0,01
10-3
= 1
1.000
= 0,001…
10-1
=
10-2
=
Libro, página 41
0,00004 = 4
100.000
=

16. 1.4 Signos de una potencia
• Potencias con exponente par:
Las potencias con exponente par, son siempre
positivas.
Ejemplo:
(-11) ∙ (-11) = 121
2) -3
5
4
= 81
6255
(-3)
4
4
=
Libro, página 42
1) (-11)2
= (-11) ∙ (-11) =

17. • Potencias con exponente impar:
En Las potencias con exponente impar, la potencia
conserva el signo de la base.
Ejemplo:
1) (-12)3
= (-12) ∙ (-12) ∙ (-12) = -1.728
2) -2
3
-5
=
3
-2
5
=
(3)
5
(-2)
=5
243
-32
= 243
32
-

18. 3
16
1 3
4
-2
=2)
xxb
a
= ab
64
5
Toda raíz corresponde a una potencia con exponente
fraccionario.
2.Raíces
(Con b, distinto de cero)
Ejemplos:
2.1 Definición
=3
4
2
=4
2
3
85
2
=1) 8
5
=2

19. 9∙3 =
3
2.2 Propiedades
• Multiplicación de raíces de igual índice:
Al multiplicar raíces de igual índice, se multiplican las
partes subradicales conservando el índice que tienen en
común.
n
∙ b
n
= a∙ba
n
Ejemplo:
9
3
3
3
=∙ 3=
3
27

20. 512:2
4
=
• División de raíces de igual índice:
Al dividir raíces de igual índice, se dividen las partes
subradicales conservando el índice que tienen en común.
Ejemplo:
a:b
n
a
n
b
n
=:
4
512
4
: 2 = 256 =4
4

21. 4
162
• Composición y Descomposición de raíces:
Composición:
Se utiliza para ingresar un factor a una raíz.
a b = a ∙ b
n
nn
Ejemplo:
23 =
4
3 ∙ 2
4 =4 4
81∙2
=

22. Descomposición:
Se utiliza cuando un factor de la cantidad subradical
tiene raíz exacta.
Ejemplo:
162 = 81 2∙ = 2981 2∙ =

23. • Raíz de Raíz:
a =
m
a
n m∙n
2 =
5 4
2
5∙4
= 2
20
Ejemplo:

24. 2.3 Racionalización
Cuando tenemos fracciones con raíces en el
denominador conviene obtener fracciones equivalentes
pero que no tengan raíces en el denominador. A este
proceso se le llama racionalización.
Ejemplos:
1) Racionalizar
4
3
=∙ 3
3
3
4 = ?
( )2
4 3
3
= 4
3
3
Libro, página 46

25. =
3 - 23
4
+ 2
∙ 3 - 2
2) Racionalizar
=
5 5
34
3
∙
3
3
32
5
3
3
4 =
5
3
5 5
4
3
27
5
4
5 2
3
= ?
3) Racionalizar
3
4 = ?
+ 2
4( - 23 )
3 - 2
= 4( - 23 )
1
Libro, página 46

26. Los contenidos revisados anteriormente los puedes
encontrar en tu libro, desde la página 38 a la 48.