Estadística

1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA
FACULTAD DE CIENCIAS Y SISTEMAS
ESTADISTICA I
Tema: *Medidas de Posición
*Medidas de Variariabilidad
Docente
Ing. Verónica Gaitán Muñoz
Correo: vgaitan88@gmail.com

2. 1.4.2. MEDIDAS DE POSICIÓN:
Son medidas de posición, ya que, por debajo de ellas se ubica un
determinado tanto por ciento.
Cuartiles
Dividen en cuatro partes iguales a la información y se representa por
Qi.
Deciles
Dividen en diez partes iguales a la información y se representan por
Di.
Percentiles
Dividen en cien partes iguales a la información y se representa por Pi.

3. Estudiaremos estas medidas para datos agrupados.
La fórmula para los Cuartiles, Deciles y Percentiles para datos agrupados
son:
4
:
; ( 1, 2, 3, 4)
i
n
i F
Q Lir c i
f
 
 

 
 
 
 
  
 
 
 
10
:; ( 1, 2, 3.......10)
i
n
i F
D Lir c i
f
 
 

 
 
 
 
  
 
 
 
100
; ( 1, 2, 3..........100)
i
n
i F
P Lir c i
f
 
 

 
 
 
 
  
 
 
 
Donde:
Lir: Limite inferior real del intervalo que contiene a la medida.
F: Frecuencia acumulada anterior al intervalo que contiene a la medida.
f: Frecuencia absoluta del intervalo que contiene a la medida.
C: Amplitud de clase.

4. Para obtener los Cuartiles, Deciles y Percentiles,
identificamos la clase que contiene a la medida buscada,
la cual será la primera clase donde la frecuencia acumulada
es mayor o igual a:
i (n/4) (para Cuartiles)
i (n/10) (para Deciles)
i (n/100) (para Percentiles).

5. Li Ls f F X LIR LSR
8 26 13 13 17 7.5 26.5
27 45 10 23 36 26.5 45.5
46 64 8 31 55 45.5 64.5
65 83 9 40 74 64.5 83.5
84 102 10 50 93 83.5 102.5
Calcularemos el Q1, el D6 y P82 para datos agrupados del
ejemplo
Para el Cuartil 1, calculamos: i(n/4) = 12.5, Luego observamos en
la columna de frec. Acum., cual es la primer clase q contiene ese
valor
Q1 = 7.5+ ((12.5-0)/13)19 = 25.76. El 25% de las notas son
menores a
25.76

6. Li Ls f F X LIR LSR
8 26 13 13 17 7.5 26.5
27 45 10 23 36 26.5 45.5
46 64 8 31 55 45.5 64.5
65 83 9 40 74 64.5 83.5
84 102 10 50 93 83.5 102.5
Para el Decil 6, calculamos: i(n/10) = 30, Luego observamos en la
columna de frec. Acum., cual es la primer clase q contiene ese valor
D6 = 45.5+ ((30-23)/8)19 = 62.125. El 60% de las notas son
menores a
62.125

7. Li Ls f F X LIR LSR
8 26 13 13 17 7.5 26.5
27 45 10 23 36 26.5 45.5
46 64 8 31 55 45.5 64.5
65 83 9 40 74 64.5 83.5
84 102 10 50 93 83.5 102.5
Para el Percentil 82, calculamos: i(n/100) = 41, Luego observamos
en la columna de frec. Acum., cual es la primer clase q contiene ese
valor
P82 = 83.5+ ((41-40)/10)19 = 85.4. El 82% de las notas son
menores a
85.4

8. Para datos no agrupados calcularemos solamente los Cuartiles, los
cuales se hallan semejantes al caso de la mediana.
Los datos se ordenan de menor a mayor.
SI n ES IMPAR
El Q2 = Dato [posición {(n +1)/2}]. El cuartil 2 es exactamente la
mediana.

9. Para el cuartil 1 y 3, se debe considerar si (n +1) / 2 es par o impar.
Si: (n +1) / 2 es par, entonces:
El Q1 = {Dato [posición {(n +1)/4}] + Dato [posición {(n +5)/4}]} /
2.
El Q3 = {Dato [posición {(3n - 1)/4}] + Dato [posición {(3n
+3)/4}]} / 2
Ojo
Si: (n +1) / 2 es Impar
El Q1 = Dato [posición {(n +3)/4]
El Q3 = Dato [posición {(3n +5)/4}]

10. SI n ES PAR
Q2 = (Dato [posición (n/2)] + Dato [posición {(n +2)/2)}]) / 2; o sea:
el promedio de los datos centrales.
Para el cuartil 1 y 3, se debe considerar si n / 2 es par o impar
Si: n / 2 es par
El Q1 = {Dato [posición (n /4)] + Dato [posición ((n +4)/4)]} / 2.
El Q3 = {Dato [posición (3n /4)] + Dato [posición ((3n +4)/4)]} / 2

11. 1.4.3. MEDIDAS DE VARIABILIDAD:
Son medidas que expresan variabilidad o dispersión alrededor de un
valor promedio. Una vez localizado el centro de distribución de un
conjunto de datos nos vemos en la necesidad de medir el grado en que
se dispersan o diseminan los datos alrededor del valor promedio.
Una característica de casi todos los datos es que los valores no son todos
iguales de ser así el grado de dispersión alrededor del promedio sería
cero. Para medir el grado de dispersión lo hacemos a través de la
varianza y la desviación estándar.

12. Varianza
Expresa variabilidad al cuadrado de los datos alrededor del valor
promedio, representa la media de los cuadrados de las desviaciones de
los datos alrededor de la media aritmética, se Denota por S2 (para una
muestra) y como σ2 (para una población) y se obtiene:
Datos agrupados Datos no agrupados
x: marca de clase x : datos
f: frecuencia : media aritmética
n: total de datos n : total de datos
La varianza es un valor no negativo.
)
(
)
(
1
2
2
2



 
n
n
xf
f
x
n
S
i
i
i
1
)
( 2
2





n
x
S x
x

13. Desviación Estándar
Expresa variabilidad lineal de los datos alrededor del valor promedio,
también se conoce como: Desviación Típica o Dispersión Absoluta.
La unidad es la misma que la de la variable.
Se define como: La raíz cuadrada de la varianza.
Se Denota por: S, para una muestra
σ, para una población.
Se obtiene: tanto para datos agrupados como para no agrupados.
Coeficiente de Variación
CV =
Se utiliza para comparar la variabilidad de dos o más distribuciones,
será más representativa (menos variabilidad) la que tenga el CV más
pequeño.

x
s

14. Bibliografía
1. Estadística para Administración y Economía. Mendenhall W.,
James, R. Tercera edición, Editorial Iberoamericana, 1978.
Traducción en español en 1992.
2. Estadística Matemática con aplicaciones, Freund, John E;
Wallpole, Ronald E. 1ª. Edición. 1990, en español.
3. Introducción a Estadística y Probabilidad, Martínez, R. Elias