Este documento resume tres teoremas límite que describen cómo distribuciones de probabilidad discretas como la hipergeométrica, binomial y de Poisson se aproximan a distribuciones continuas como la normal a medida que los parámetros varían de cierta manera. Explica cómo calcular la probabilidad de eventos raros usando estas distribuciones y provee ejemplos numéricos para ilustrar los conceptos.

1. Teorema límite 1 (Cómo y cuándo una distribución hipergeométrica se
aproxima a una binomial)
Sea X Hg (N; R; n) : (SIN SUSTITUCIÓN)
Supogamos que 1. N; R ! +1 (N y R son muy grandes)
2.
R
N
p.
3. n tiene que ser muy pequeño con respecto (a la
población) N: n << N, es decir, N n N.
Entonces: X Bin (n; p) (entonces Hg (N; R; n) Bin (n; p)). (CON
SUSTITUCIÓN: METER Y SACAR LO MISMO)
BAJO 1, 2 y 3 PIERDO EL NO TENER SUSTITUCIÓN.
Solucion problema:
X :=“Número de personas que votaron NO”
X Hg (2000000; 2000000 0:509; 10)
Si lo hacemos por hipergeométrica:
P (X = 3) =
2000000 1018000
7
1018000
3
2000000
10
(ES UN ALTO COM-
PUTACIONAL)
1. SI PORQUE LAS POBLACIONES SON GRANDES
2.
R
2000000
= 0:509 = p.
3. 2000000 10 = 1999990 2000000.
X Bin (10; 0:509)
P (X = 3) =
10
3
0:5093
(1 0:509)
10 3
=
10
3
0:5093
(1 0:509)
7
=0.031753517127200623730970525965
P (X 2) = 1 P (X < 2) = 1 P (X = 0) P (X = 1) =
1
10
0
0:5090
(1 0:509)
10 10
1
0:5091
(1 0:509)
9
Teorema límite 2 (Cómo y cuándo una distribución binomial se aproxima
a una Poisson)
1

2. Sea X Bin (n; p) : (CON SUSTITUCIÓN donde se saca y se mete lo
mismo)
Supongamos que: 1. n ! +1 (n es muy grande)
2. p ! 0 (la probabilidad es muy pequeña)
3. np > 0
Entonces X P ( ) (X tiene una distribución Poisson de parámetro )
EN LA PRACTICA: Cuando n > 100, p < 0:1 y np 20 (bajo estas
condiciones del n y el p no utilizamos binomial, sino Poisson)
Ejemplo:
Y :=“Número de personas que están de cumpleaños el mismo día de un
grupo de 135”
Probabilidad de éxito=Probabilidad de que una persona cumpla años ese
día=p = 1
365
P (Y 3) = 1 P (Y < 3) = 1 P (Y = 0) P (Y = 1) P (Y = 2)
= 1
135
0
1
365
0
1 1
365
135 135
1
1
365
1
1 1
365
134
135
2
1
365
2
1 1
365
133
1. SI
2. SI
3. np = 0:37 (si)
Mejor por la Poisson: Y P (0:37)
QUÉ ES UN EVENTO EXTRAÑO:
Supongamos que: 1. n ! +1 (EL TAMAÑO DE LA POBLACIÓN ES
MUY GRANDE)
2. p ! 0 (LA PROBABILIDAD DEL EVENTO ES
MUY PEQUEÑA)
3. np > 0 (SE ESPERA TENER POBLACIÓN
QUE CUMPLA EL EVENTO).
Si tenemos 1, 2 y 3 tenemos que el evento de la probabilidad muy pequeña
es UN EVENTO EXTRAÑO.
Distribución Poisson.
La distribución Poisson se utiliza cuando se quiere calcular la probabilidad
de tener unos individuos con una condición con probabilidad de ocurrencia baja
sobre una población muy grande.
Sea la variable aleatoria X de…nida como
2

3. X :=“Número de veces que ocurre el suceso (muy raro o muy extraño de
ocurrir)”
= Tasa de la distribución Poisson=Número de veces que se espera que
ocurra el evento raro o extraño = Número de veces que en promedio ocurre el
evento raro o extraño.
La probabilidad de que el número de sucesos raros o extraños ocurran es
igual a:
P (X = k) =
e k
k!
Una variable aleatoria con fdp dada por P (X = k) se dice que tiene dis-
tribución Poisson de parámetro y se escribe X P ( ).
Continuación del ejemplo de teorema límite 2: Y P(0:37), = 0:37
P (Y 3) = 1 P (Y < 3) = 1 P (Y = 0) P (Y = 1) P (Y = 2)
= 1
e 0:37
0:370
0!
e 0:37
0:371
1!
e 0:37
0:372
2!
=0.0064132020946972
Solución problema:
Z :=“Número de accidentes laborales al mes”
= 3 accidentes laborales=mes, Z P (3)
Tasa=proporción por unidad de tiempo.
Ejemplo: En el año 1994 hubo 3 personas. La tasa de 1994 fue de 3
personas=a~no
( probabilidad subjetiva: cuando antes fue calculada)
P (X 2) = 1 P (X < 2) = 1 P (X = 0) P (X = 1)
= 1
e 3
30
0!
e 3
31
1!
=0.8008517265285442
Reespuesta: La probabilidad de que al mes ocurran por lo menos 2 acci-
dentes laborales es de 80%.
E (Z) = = 3 (número de accidentes por mes)
Zi :=“Número de accidentes laborales en el mes i ésimo”
E (Z1 + Z2 + Z3) = E (Z1) + E (Z2) + E (Z3) = 3 + 3 + 3 = 9 accidentes
laborales=3 meses
Solución problema:
3

4. W :=“Número de personas que tienen la enfermedad T”
= np = 500000 0:003% = 500000 0:00003 = 15
W P (15)
P (X 2) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2)
=
e 15
0:150
0!
+
e 15
0:151
1!
+
e 15
152
2!
E (W) = = 15
Respuesta: Se espera que 15 personas tengan la enfermedad
Solución problema:
= 3 accidentes laborales/mes = 36 accidentes laborales/AÑO
Cuando > 20 entonces no utilizaremos una distribución Poisson sino una
distribución normal: P ( ) N ;
p
.
Teorema límite 3 (cómo y cuando se aproxima una distribución Poisson a
una normal)
Sea X P ( ).
Supongamos que ! +1 (cuando es muy grande)
En la práctica > 20 utilizaremos una distribución normal.
Entonces X N ;
p
.
Ejemplo: Sea X P (21). De acuerdo al teorema anterior X N 21;
p
21
Sea X P (45). De acuerdo al teorema anterior X N 45;
p
45
Sea X P (1000). De acuerdo al teorema anterior X N 1000;
p
1000
4