ECOGRAFIA RENAL Y SUS VARIANTES ANATOMICAS NORMALES
Geometría Tropical - César Rendón Mayorga - UPN
1. Introducci´on a las Matem´aticas Tropicales
C´esar Rend´on Mayorga
Universidad Pedag´ogica Nacional
Departamento de Matem´aticas
2 de Diciembre de 2013
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2. Resumen
Se pretenden mostrar los elementos b´asicos correspondientes a las
Matem´aticas Tropicales, haciendo un recorrido breve por su ´algebra,
ar´ıtmetica y geometr´ıa particular. As´ı mismo, de manera transversal, se
pretenden observar las relaciones variantes e invariantes con las
matem´aticas ((usuales)).
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4. Introducci´on
Las denominadas Matem´aticas Tropicales esencialmente se constituyen
como el estudio de variedades algebraicas definidas sobre el semianillo
T = ∪ {∞}, denominado comunmente Semianillo tropical.
Figura: Imre Simon
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5. Aritm´etica Tropical
El primer y m´as grande cambio que se har´a sobre las matem´aticas usuales,
ser´a el de redefinir las operaciones de adici´on y multiplicaci´on.
Operaciones tropicales
x ⊕ y = min{x, y}
x ⊗ y = x + y
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6. Aritm´etica Tropical
Propiedades de (T, ⊗, ⊕)
x ⊕ y = y ⊕ x
x ⊕ (y ⊕ z) = (x ⊕ y) ⊕ z
x ⊗ y = y ⊗ x
x ⊗ (y ⊗ z) = (x ⊗ y) ⊗ z
x ⊗ (y ⊕ z) = (x ⊗ y) ⊕ (x ⊗ z)
x ⊕ E = x
x ⊗ E = x
x ⊗ y = E
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7. Aritm´etica Tropical
Potenciaci´on
xn
= x ⊗ x ⊗ x... ⊗ x
n veces
Gracias a esta definici´on de potenciaci´on se puede mostrar la siguiente
propiedad:
Propiedad
(x ⊕ y)2
= x2
⊕ y2
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8. Aritm´etica Tropical
Tambi´en es cierto que
(x ⊕ y)3 = x3 ⊕ y3
En general podemos dar la siguiente afirmaci´on:
Theorem
Para cualquier entero positivo n, vale la igualdad: (x ⊕ y)n = xn ⊕ yn
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9. Polinomios tropicales
Se define el polinomio P de la siguiente manera:
P := an ⊗ xn
⊕ ... ⊕ a1 ⊗ x ⊕ a0; ai ∈ T
Se debe notar que hay polinomios distintos que inducen a la misma
funci´on. Ejemplo:
x2
⊕ 1 ⊗ x ⊕ 2 ˆ x2
⊕ 2
El grado de un polinomio tropical P (deg(P)) es el m´aximo grado entre
sus monomios.
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10. Polinomios tropicales
Theorem (Igualdad de polinomios)
Sean P, Q dos polinomios tropicales tales que P(x) = Q(x) para cada
x ∈ T entonces deg(P) = deg(Q)
La demostraci´on procede de manera usual, por inducci´on. Se supone que
m = n y se debe mostrar que (∀k = 0...n) entonces ak = bk
Comprobamos para el caso k = 0: ¿a0 = b0?
P(0) = Q(0)
a0 = b0
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11. Polinomios tropicales
Suponemos que ak−1 = bk−1
Basta con igualar los polinomios, aplicar la HI, factorizar el t´ermino xk y
hacer l´ımx→0
Se concluye finalmente que ak = bk
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12. Ecuaciones y Curvas Tropicales
Sea el polinomio
P := a ⊗ x ⊕ b (1)
Es de notar que el polinomio no tiene soluci´on si b = 0, lo que genera la
siguiente definici´on:
Ceros de un polinomio
Para un polinomio P := a ⊗ x ⊕ b se define a (b − a) como el cero de P.
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13. Ecuaciones y curvas tropicales
Ejemplo: P := 2 ⊗ x ⊕ 3
Figura: Polinomio 1
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14. Ecuaciones y curvas tropicales
Ejemplo: 3 ⊗ x4 ⊕ 2 ⊗ x2 ⊕ −1 ⊗ x ⊕ 1
min{4x + 3, 2x + 2, x − 1, 2}
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15. Ecuaciones y curvas tropicales
Figura: Polinomio 2
Que es equivalente a P := 3 ⊗ x4 ⊕ −1 ⊗ x ⊕ 1
Las singularidades son: x = −4
3 y x = 2
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16. Ecuaciones y curvas tropicales
1.
1 ⊗ x2
⊕ 2 ⊗ x ⊕ 5
= 1 + 2x ⊕ 2 + x ⊕ 5
= min{1 + 2x, 2 + x, 5}
2.
0 ⊗ x2
⊕ 2 ⊗ x ⊕ 5
= 0 + 2x ⊕ 2 + x ⊕ 5
= min{2x, 2 + x, 5}
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17. Ecuaciones y curvas tropicales
Graficar:
x ⊕ 5
2 ⊗ x ⊕ 1
(x ⊕ 5) ⊗ (2 ⊗ x ⊕ 1)
¿Qu´e significa el producto entre polinomios tropicales?
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18. Rectas Tropicales en T2
Rectas Tropicales
Una recta tropical es el lugar de los puntos (x, y) ∈ T2 donde el m´ınimo
a ⊗ x ⊕ b ⊗ y ⊕ c es asumido por lo menos dos veces, y por lo menos uno
entre a, b es distinto de 0
Ejemplo: 1 ⊗ x ⊕ 2 ⊗ y ⊕ 2
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19. Rectas Tropicales en T2
Figura: Recta 1
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20. Rectas Tropicales en T2
Para que el m´ınimo se alcance al menos dos veces, hay 3 casos:
a + x = b + y ≤ c → y = x + a − b y x ≤ c − a
a + x = c ≤ b + y → x = c − a y y ≥ c − b
b + y = c ≤ a + x → y = c − b y x ≥ c − a
Intersecci´on de rectas
Dos rectas tropicales se pueden encontrar en infinitos puntos sin ser iguales
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21. Rectas Tropicales en T2
R1 : 1 ⊗ x ⊕ 2 ⊗ y ⊕ 2 R2 : 2 ⊗ x ⊕ 3 ⊗ y ⊕ 4
Figura: Intersecci´on de rectas
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23. Referencias
Speyer, D. Sturmfels, B. Tropical Mathematics. (2004). University
of California. Berkeley
Vainsencher, I. Geometria das amebas. (2007)
Ellis, A. Tropical Algebra. (2004)
Mostovoy, J. Las Matem´aticas tropicales. (2008). CINVESTAV
Laface, A. Introducci´on a la Geometr´ıa Tropical. (2010)
Barros, V. Curvas Alg´ebricas e Geometria Tropical. (2007).
Universidade Federal do Rio de Janeiro. Rio de Janeiro
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