Breve introducción al álgebra: métodos básicos de Factorización. Documento con introducción, ejercicios y métodos comunes de factorización. Matemáticas sencillas. Elaborado por Fernando Félix Solís Cortés

1. Profesor / Autor:
Fernando Félix Solís Cortés
Curso
Introducción al Álgebra
Octubre 2015 Versión 1.0

2. Facultad de Pedagogía e Innovación Educativa - UABC
Curso Intersemestral 2016-1 “Introducción al Álgebra”
Contenidos
Introducción ....................................................................................... 1
Propiedades de los números reales.................................................. 2
Leyes de los exponentes.................................................................. 2
5.1 Factorización por factor común ................................................... 3
5.2 Factorización de diferencias de cuadrados .................................. 5
5.3 Factorización de sumas y diferencias de cubos........................... 6
5.4 Otros tipos de factorización comunes.......................................... 8
5.4.1 Factorización de trinomios cuadrados de la forma cxbxa ++2
8
5.4.2 Factorización de trinomios cuadrados no perfectos............. 10
Bibliografía....................................................................................... 14

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Módulo 5
FACTORIZACIÓN
Introducción
La factorización es considerada uno de los procesos fundamentales del álgebra y
básicamente significa “deshacer una multiplicación”. Cuando hablamos de factores
matemáticos hacemos referencia a cantidades o expresiones que multiplicadas entre sí
forman un producto.
Por ejemplo, en términos numéricos podemos exhibir el número 8 de la siguiente manera
(2) (4) = 8, donde cada uno de los términos que conforman la multiplicación se le conoce
como factores (observe que obtuvimos dos factores). También es posible expresarlo
como (2) (2) (2) = 8; aquí obtuvimos 3 factores.
En muchas ocasiones será conveniente aplicar un proceso para determinar qué
expresiones se multiplicaron para obtener un producto, y a ese proceso de encontrar
factores se le conoce como factorización.
Ahora consideremos otro caso en donde tenemos la sumatoria de dos términos: 9 + 3.
Aplicando un breve proceso de factorización podemos expresar dicha sumatoria como
9 + 3 = 3 (3 + 1).
Observe que en ambos lados de la igualdad el resultado es 12, sin embargo, en el lado
derecho de la igualdad esta expresado como una suma y en el lado izquierdo de expresa
como un producto o multiplicación. Tal como indica el nombre del proceso, factorización
implica expresar un término matemático como un producto de factores.
Factorizar una expresión algebraica consiste básicamente en aplicar las
propiedades de los números reales y las leyes de los exponentes para
reescribir dicha expresión en forma de producto matemático, es decir,
involucrar al menos una multiplicación.
1

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Propiedades de los números reales
Estas propiedades juegan un rol fundamental en todo proceso de factorización. En el
siguiente cuadro recordamos sus características.
ADICIÓN MULTIPLICACIÓN
1. Ley Clausurativa i) a + b es un número real ii) a ⋅ b es un número real.
2. Ley Asociativa I) a + ( b + c ) = ( a + b ) + c ii) a (b⋅c) = (a⋅b) c
3. Ley Conmutativa I) a + b = b+ a ii) a⋅b = b⋅a
4. Propiedad de Identidad. El número real 0 es llamado
identidad aditiva ya que
para todo número real a:
i) a + 0 = a = 0 + a
El número real 1 es llamado
Identidad multiplicativo, ya
que para todo número real
a:
ii) a⋅1 = a = 1⋅a
5. Propiedad del Inverso. Para todo número real a
existe un único número real
llamado negativo o
inverso aditivo de a
representado por –a de tal
manera que:
i) a + (-a) = 0 = (-a) + a
Para todo número real
diferente
de cero existe un único
número real llamado
recíproco o inverso
multiplicativo de “a”
representado por 1
/a de tal
forma que:
ii) a⋅(1/a) = 1 = (1/a)⋅a
6. Propiedad Distributiva. i) a ( b + c ) = ab + ac
ii) (a+b) c = ac + bc
7. Ley Cancelativa o
Anulativa
i) Si a + c = b + c entonces a = b
ii) Si ac = bc y c ≠ 0 entonces a = b
8. Ley de la Multiplicación
por cero.
i) a⋅0 = 0 = 0⋅a
ii) Si a⋅b = 0; entonces a = 0 o b = 0; o ambas
Leyes de los exponentes
De igual manera, las leyes de los exponentes continuamente son aplicadas en la
factorización. Recordando dichas leyes tenemos:
Sean las variables x y y números reales y los índices m y n números enteros, entonces:
a) nmnm
xxx +
= b) mnnm
xx =)( c) nnn
yxxy =)(
2

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d) n
nn
y
x
y
x
=





e) nm
n
m
x
x
x −
=
Veamos otro ejemplo de factorización, ahora considerando la siguiente expresión
matemática )3( 2
xx + . Observe la presencia de la variable x en ambos términos de la
suma. Respetando la propiedad distributiva de los números reales y las leyes de los
exponentes recordadas con anterioridad podemos reescribir dicha expresión así:
)3(32
+=+ xxxx
Analizando la parte izquierda de la igualdad, podemos notar la presencia de la variable x
en ambos término de la suma (razón por la que se le denomina factor común) y dicha
variable conforma parte de la “multiplicación” en el lado derecho de la igualdad.
Factorizar una expresión puede ser desde una actividad muy sencilla a una muy laboriosa
y extensa; todo depende de las características matemáticas de la expresión a factorizar.
Verificar si un proceso de factorización se ha desarrollado correctamente es
muy fácil. Basta con aplicar la propiedad distributiva y la ley de los exponentes
al resultado; la expresión resultante debe ser igual a la expresión matemática
antes de factorizar.
Dadas las características del concepto ya mencionado, existen diversos tipos de
factorización, siendo algunas de las más comunes los siguientes:
5.1 Factorización por factor común
Se le considera como el tipo más sencillo de factorización y básicamente es lo contrario
de la ley distributiva de la multiplicación. Como su nombre lo indica, en este tipo de
factorización se posee la presencia de un término o factor común identificado en la
expresión a factorizar.
Ejemplo número 1:
Factoricemos el trinomio (tres términos matemáticos) rsrqrp −+
3

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Podemos observar que la variable r representa un factor común ya que se encuentra en
todos los términos de la sumatoria algebraica. Considerando la propiedad distributiva de
los números reales se puede identificar que el otro factor está conformado por )( sqp −+
por lo que la factorización nos genera:
rsrqrp −+ = )(r )( sqp −+
Existen casos en donde el factor común no necesariamente se encuentra presente en
todos los términos de la expresión a factorizar. Veamos el siguiente ejemplo:
Ejemplo número 2:
Factoricemos el multinomio (dos o más términos matemáticos):
m
ktm
1
35 +−+
Tomando a la variable m como factor común procedemos a determinar el otro factor que
multiplicado nos da por resultado precisamente
m
ktm
1
35 +−+
Respetando las propiedades de los números reales se puede comprobar que el factor
complementario es )
13
5( 2
mm
k
m
t
+−+ ya que:
.
m
ktm
1
35 +−+ = )(m )
13
5( 2
mm
k
m
t
+−+
Así como en un principio se estableció como factor común la variable m, también se
podría contemplar otro término como factor común, digamos por ejemplo 3t, obteniendo lo
siguiente:
m
ktm
1
35 +−+ = ( ) 





+−+
mtt
k
t
m
t
3
1
3
1
3
5
3
Con frecuencia llevar a cabo un proceso de factorización puede ayudar a reducir
y simplificar una expresión algebraica para que su manipulación pueda ser más
eficiente; uno de los tipos más utilizados es la factorización por factor común.
4

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5.2 Factorización de diferencias de
cuadrados
Para factorizar una diferencia de cuadrados es muy importante saber identificarlos
primero. Como lo dice su nombre esta expresión consta de la diferencia (resta) de dos
términos que poseen raíces cuadradas, por ejemplo:
46
49 rx −
El procedimiento de factorización consiste en obtener la raíz cuadrada del primer término
(minuendo) y del segundo término (sustraendo). En este caso el minuendo es 36
39 xx =
y el sustraendo es 24
24 rr = . Una vez obtenidas las raíces se procede a estructurar los
dos factores, siendo conformado el primero por una resta y el segundo por una suma, tal
como se muestra a continuación:
)23)(23(49 232346
rxrxrx +−=−
Tal como se ha mencionado, una manera sencilla de verificar el procedimiento de
factorización consiste en aplicar la propiedad distributiva a los factores obtenidos. En este
ejemplo tendríamos lo siguiente:
464322362323
494669)23)(23( rxrxrrxxrxrx −=−−+=+−
Como se puede observar el resultado final es la diferencia de cuadrados que se procedió
a factorizar. De esta forma comprobamos que ambas expresiones son equivalentes, solo
que una está expresada como una diferencia mientras que la otra representa un producto
(conformado por factores).
Ejemplo número 3:
Factoricemos el binomio 42
2516 rx −
Las raíces cuadradas del minuendo y sustraendo respectivamente son: x4 y 2
5r .
Por consiguiente los factores son: )54( 2
rx − y )54( 2
rx + .
De esta manera la factorización puede expresarse como:
42
2516 rx − = )54( 2
rx − )54( 2
rx +
5

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Ejemplo número 4:
Factoricemos el binomio 6
2
3
25
n
m
−
Las raíces cuadradas correspondientes son:
m
5
y 3
3n por lo que los factores son:
)3
5
( 3
n
m
− y )3
5
( 3
n
m
+ y finalmente la factorización puede expresarse como:
6
2
3
25
n
m
− = )3
5
( 3
n
m
− )3
5
( 3
n
m
+
Ejemplo número 5:
Factoricemos el binomio 2
7
5
4
yx −
Las raíces cuadradas correspondientes son: x
5
2
y y7 por lo que los factores son:
)7
5
2
( yx − y )7
5
2
( yx + y finalmente la factorización puede expresarse como:
2
7
5
4
yx − = )7
5
2
( yx − )7
5
2
( yx +
5.3 Factorización de sumas y diferencias de
cubos
El término suma y diferencia de cubos tiene un origen muy similar al de diferencia de
cuadrados: se hace referencia a la suma o diferencia de dos términos que poseen una
raíz cúbica y tienen su base en los siguientes productos notables:
3322
))(( yxyxyxyx +=+−+
3322
))(( yxyxyxyx −=++−
Se llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se
encuentran frecuentemente y expresan como lo dice su nombre, un producto.
Otros ejemplos son un binomio al cuadrado 2
)( yx + , binomio al cubo 3
)( yx +
entre otros.
6

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La idea principal es hacer un proceso inverso para obtener los factores que conforman
dicho producto notable. La factorización consiste en encontrar los factores que dan como
resultado una suma o diferencia de cubos.
Podemos establecer de manera literal a la diferencia de cubos como: el primer factor es la
diferencia de las raíces cúbicas respectivas. El segundo factor se construye a partir de los
términos del primer factor: el cuadrado del primer término más el producto del primero por
el segundo más el cuadrado del segundo término. Veamos algunos ejemplos.
Ejemplo número 6:
Factoricemos 63
278 nm −
Procedemos a obtener las raíces cúbicas de ambos términos, por lo que el minuendo es
mm 283 3
= y el sustraendo es 23 6
327 nn = . Con ambas raíces podemos establecer
nuestro primer factor el cual es )32( 2
nm − . Para obtener el segundo factor tomamos
como base las raíces cúbicas obtenidas y atendemos el siguiente enunciado “el cuadrado
del primer término más el producto del primero por el segundo más el cuadrado del
segundo término” para obtener )964( 422
nmnm ++ .
Finalmente podemos decir que nuestra factorización es así:
63
278 nm − = )32( 2
nm − )964( 422
nmnm ++
Ejemplo número 7:
Factoricemos
n
y
x
7
125
9
2
−
Obteniendo los términos que conformarán el primer factor tenemos:
3 23
2
3 2
55125 xxx == para el minuendo. Y para el sustraendo 3
3
3
9
77 n
y
n
y
=
7

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El primer factor es 





− 3
3
3 2
7
5
n
y
x y atendiendo las características del producto notable
base (diferencia de cubos) el segundo factor es ( ) ( )
2
3
3
3
3
3 2
2
3 2
77
55 





+





+
n
y
n
y
xx
Por lo que nuestra factorización queda:








++





−=−
3 2
6
3 2
3 23
3 4
3
3
3 2
9
2
49
5
25
7
5
7
125
n
y
x
xy
x
n
y
x
n
y
x
Ejemplo número 8:
Factoricemos 123
1664 rt +
Ahora tenemos una suma de cubos involucrada, así que recordando la estructura de los
productos notables podemos observar que ))(( 2233
babababa +−+=+ , lo cual puede
corroborarse de igual forma que en la diferencia de cubos, notando que su única
diferencia radica en los signos de sus factores.
Aplicando las raíces cúbicas el primer factor es )164( 43
rt + y el segundo factor
)1616416( 83 2342
rtrt +− por lo que:
123
1664 rt + = )164( 43
rt + )1616416( 83 2342
rtrt +−
5.4 Otros tipos de factorización comunes
5.4.1 Factorización de trinomios cuadrados de la forma cxbxa ++2
Los trinomios cuadrados están compuestos de la suma de tres términos: uno cuadrático,
uno lineal y un término independiente (constante) y en muchas ocasiones pueden ser
factorizados como el producto de dos binomios, tal como se muestra a continuación:
( )( )δβ ++=++ xxcxβxa 2
8

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Es importante señalar que existen trinomios cuadrados que son factorizables y algunos
que no lo son. Aquellos trinomios que son factorizables y que provienen del producto de
dos binomios iguales se les conocen como trinomios cuadrados perfectos (TCP). Por
ejemplo el trinomio 442
++ xx es un TCP ya que proviene de la multiplicación de los
binomios ( )( )22 ++ xx , es decir de ( )2
2+x . También existen trinomios que provienen del
producto de dos binomios diferentes, tal como ( )( ) 12743 2
++=++ xxxx .
Habrá trinomios cuadrados que no podrán ser factorizados con los métodos
aquí expuestos. Cuando esto suceda es por una de las siguientes dos
razones: una es que β y δ sean números decimales, o que los elementos
β y δ no pertenezcan al conjunto de los números reales (sean números complejos)
Para factorizar un TCP siempre será recomendable acomodar los términos presentes de
mayor a menor grado, de tal forma que se pueda escribir así cxbxa ++2
. Después es
importante verificar que realmente se trata de un TCP, así que se procede a obtener la
raíz cuadrada del término cuadrático (
2
xa ) y del término independiente ( c ). Si la
multiplicación de ambas raíces es igual a 2 veces el término central xb entonces
estamos hablando de un TCP.
Por ejemplo al analizar el trinomio 25102
++ xx , obtenemos las raíces
2
x y 25 ,
siendo x y 5 respectivamente. Tomando como referencia el término central, se puede
observar que ( )( )5210 xx = por lo que dicho trinomio si es un TCP.
Con la verificación ya realizada, completar la factorización es muy sencillo: colocamos los
resultados de las raíces obtenidas al interior de un binomio elevado al cuadrado (el
término cuadrático primero y después el independiente) siendo separados por el signo
matemático del término central xb (en nuestro ejemplo, el signo es positivo por ser
x10+ ). En nuestro ejemplo la factorización del TCP queda de la siguiente manera:
( )22
52510 +=++ xxx
9

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Ejemplo número 9:
Factoricemos 9124 2
+− xx
Primero procedemos a verificar si corresponde a un TCP. Por lo tanto obtenemos las
raíces cuadradas del término cuadrático (primer término) y del término independiente
(tercer término) siendo xx 24 2
= y 39 = correspondientemente.
Debido a que el término central del trinomio ( x12− ) es dos veces el producto de las
raíces ya mencionadas deducimos que si se trata de un TCP, tal como se muestra
algebraicamente a continuación.
( )( ) xx 12322 =
Una vez comprobado que estamos frente a un TCP, podemos estructurarlo de la siguiente
manera.
( )22
329124 −=+− xxx
Es importante observar que el signo matemático del término lineal (segundo término del
TCP) siempre será el mismo que el signo matemático intermedio del binomio al cuadrado.
5.4.2 Factorización de trinomios cuadrados no perfectos
Los trinomios cuadrados no perfectos son aquellos cuya factorización resulta del producto
de dos binomios diferentes y no pueden ser representados como un binomio al cuadrado.
Ejemplo número 10:
Factoricemos el trinomio 253 2
−− xx
Se puede comprobar que este trinomio no es un TCP, sin embargo si puede ser
factorizado. Es muy importante que el trinomio se encuentre ordenado de mayor a menor
grado.
La estructura que analizaremos en este proceso de factorización se ilustra a continuación:
10

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( )( )________253 2
±±=−− xx
Observe que el término cuadrático es determinado por los factores colocados en la
posición A, el término lineal por la suma algebraica de las posiciones B, y el término
independiente (constante) por la posición C.
El objetivo en este proceso de factorización es encontrar aquellos factores que
acomodados en dichas posiciones, nos generen el trinomio cuadrado no perfecto inicial.
Iniciaremos analizando el término cuadrado de la posición A. Básicamente sus factores
son x3 y x . La pregunta principal es ¿quién va primero? ¿ x3 ó x ? En realidad puede
ser colocado de cualquiera de ambas maneras, ya que como podremos observar más
adelante podemos llegar al mismo resultado. Iniciaremos colocando los factores así:
( )( )____3253 2
±±=−− xxxx
Ahora procedemos a analizar el término independiente (constante) de la posición C.
Debido a que valor es 2 sus factores solo pueden ser 2 y 1, así que procedemos a colocar
dichos factores en su respectiva posición iniciando con el 2 y luego el 1. El resultado se
presenta en la siguiente figura.
A
B
B
C
A B C
A
B
B
C
A B C
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( )( )123253 2
±±=−− xxxx
Con nuestros factores en posición, ahora se presenta la parte fundamental de nuestro
proceso de factorización: determinar si dichos factores son los adecuados o será
necesario cambiarlos de posición. Para averiguarlo, el término de la posición B en el
trinomio siempre será la referencia principal, ya que dicho término debe ser igual a la
sumatoria algebraica de los dos términos en la posición B en la parte ya factorizada.
Cuando hacemos referencia a una sumatoria algebraica, hablamos de tener
presente una suma de elementos que bien pueden ser positivos o negativos.
Por ejemplo la siguiente resta 8-3 puede ser expresada como una sumatoria
algebraica de 8 + (-3), es decir, la suma de un número positivo más un número negativo.
Como se puede observar, en todas las figuras anteriores se encuentran presentes los
siguientes signos “ ± ”, que indican que dichos elementos puedes ser positivos o
negativos. Para determinar correctamente dichos signos debemos preguntarnos: ¿cuáles
términos debemos colocar en las posiciones B para que su suma algebraica sea x5− ?
¿Deben ser positivos o negativos? Desde el momento en que los signos en cuestión son
2, existen 4 posibles casos que son dignos de análisis mismos que son:
( )( )123 −− xx
( )( )123 ++ xx
( )( )123 −+ xx
( )( )123 +− xx
Aplicando la propiedad distributiva a cada uno de los casos propuestos tenemos:
B
B
A
C
A B C
12

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( )( ) 253253123 22
−−≠+−=−− xxxxxx
( )( ) 253253123 22
−−≠++=++ xxxxxx
( )( ) 25323123 22
−−≠−−=−+ xxxxxx
( )( ) 25323123 22
−−≠−+=+− xxxxxx
Como se puede observar ninguno de los 4 casos posibles nos genera una factorización
correcta del trinomio presente, lo que significa que los factores presentes en las
posiciones B son inadecuados, así que procederemos a intercambiarlos como primera
acción alternativa. Si aun así no se genera una factorización correcta será necesario
buscar otro par de factores diferente. Si después de esta acción sigue sin lograrse una
solución correcta, es posible que dicho trinomio cuadrado no pueda ser factorizado por
este método.
Analizando los nuevos posibles casos tenemos lo siguiente:
( )( ) 253273213 22
−−≠+−=−− xxxxxx
( )( ) 253273213 22
−−≠++=++ xxxxxx
( )( ) 253253213 22
−−≠−+=+− xxxxxx
( )( ) 253253213 22
−−=−−=−+ xxxxxx
Como se puede observar, diversos casos tenían como diferencia tan solo un signo,
suficiente para no generar una correcta factorización del trinomio. Finalmente la
combinación de signos del caso 4 es apropiada para nuestro objetivo: factorizar un
trinomio cuadrado no perfecto.
Es importante señalar que este proceso de factorización podría parecer
extenso y complicado en un principio, pero la continua práctica y
familiarización con las propiedades algebraicas logrará en usted disipar tal
espejismo.
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Bibliografía
Larson, R. & Hostetler, R. (2008). Precálculo. México: Ediciones Reverté.
Spiegel, M. & Moyer, R. (2007). Álgebra superior. México: Mc Graw-Hill.
Steward, J. (2001). Cálculo de una variable. México: Thompson Internacional.
Swokowski, E. (2011). Algebra y trigonometría con geometría analítica. México:
Grupo Editorial Iberoamérica.
Zill, D. & Dewar, J. (2012). Precálculo: con avances de cálculo. México: Mc Graw-
Hill Interamericana.
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