CLASE MODELO de razones trigonometricas.

RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS
DE ÁNGULOS AGUDOS
NOTABLES
SEMANA
1
Lic. Angel Alcides ATENCIO CARHUARICRA
CPPe N° 0535811

CPPe N° 0535811
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS NOTABLES
I. INTRODUCCIÓN
1.1 Triángulo Rectángulo
𝛼°
𝛽° Cateto
Cateto
A
a
B
b
C
c
𝛼° + 𝛽°= 90°
Donde:
• Catetos:
AB = c
CA = b
• Hipotenusa:
BC = a
• Ángulos Agudos:
m∡𝛼 = B
m∡𝛽 = C

CPPe N° 0535811
I. INTRODUCCIÓN
1.2 Posición de los catetos según la ubicación del ángulo
Para 𝜶° Para 𝜷°
𝛼°
A
B
C
Cateto OPUESTO
Cateto
ADYACENTE
𝛽°
A
B
C
Cateto
OPUESTO
Cateto ADYACENTE
• Hipotenusa = BC
• Cateto Adyacente = BA
• Cateto Opuesto = AC
• Hipotenusa = BC
• Cateto Adyacente = AC
• Cateto Opuesto = BA

CPPe N° 0535811
I. INTRODUCCIÓN
1.3 Teorema de Pitágoras (T.P)
Establece que, en todo triángulo
rectángulo, la longitud de la hipotenusa
es igual a la raíz cuadrada de la suma del
área de los cuadrados de las respectivas
longitudes de los catetos.
𝑐2
= 𝑎2
+ 𝑏2
Desarrollando:
𝑐 = 𝑎2+ 𝑏2
𝑎 = 𝑐2 − 𝑏2 𝑏 = 𝑐2 − 𝑎2
•Hipotenusa = c
•Catetos = a y b

CPPe N° 0535811
x
8
6
I. INTRODUCCIÓN
Ejemplo 1: Hallar la HIPOTENUSA:
Ejemplo 2: Hallar el CATETO:
12
x
9
𝑥2 = 62+ 82
𝑥2 = 36 + 64
𝑥 = 100
𝒙 = 𝟏𝟎
Solución:
Solución:
RPTA.
1.3 Teorema de Pitágoras (T.P) 𝑐2
= 𝑎2
+ 𝑏2
122 = 92+ 𝑥2
122 − 92 = 𝑥2
144 − 81 = 𝑥2
𝟕. 𝟗𝟑 = 𝒙 RPTA.

CPPe N° 0535811
II. CÁLCULO DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
NOMBRE DEFINICIÓN RESPECTO A 𝜶 RESPECTO A 𝛃
SENO
(Sen)
𝑆𝑒𝑛 =
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑂𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝑆𝑒𝑛 𝜶° =
𝒃
𝒂
𝑆𝑒𝑛 𝜷° =
𝒄
𝒂
COSENO
(Cos)
𝐶𝑜𝑠 =
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝐴𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝐶𝑜𝑠 𝜶° =
𝒄
𝒂 𝐶𝑜𝑠 𝜷° =
𝒃
𝒂
TANGENTE
(Tg)
𝑇𝑔 =
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝐴𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑇𝑔 𝜶° =
𝒃
𝒄
𝑇𝑔 𝜷° =
𝒄
𝒃
COTANGENTE
(Ctg)
𝐶𝑡𝑔 =
𝐶𝑡𝑔 𝜶° =
𝒄
𝒃 𝐶𝑡𝑔 𝜷° =
𝒃
𝒄
SECANTE
(Sec)
𝑆𝑒𝑐 =
𝑆𝑒𝑐 𝜶° =
𝒂
𝒄
𝑆𝑒𝑐 𝜷° =
𝒂
𝒃
COSECANT
E (Csc)
𝐶𝑠𝑐 =
𝐶𝑠𝑐 𝜶° =
𝒂
𝒃
𝐶𝑠𝑐 𝜷° =
𝒂
𝒄
𝜶°
𝜷°
Cateto
Cateto
a
b
c
A
B
C
NEMOTECNIA:
𝑆
𝑂
𝐻
𝐶
𝐴
𝐻
𝑇
𝑂
𝐴
OH AH OA

CPPe N° 0535811
III. TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES
3.1 Triángulos
Rectángulos
Notables EXACTOS:
30° 𝑦 60°
3.2 Triángulos
Rectángulos Notables
APROXIMADOS:
45° 𝑦 45° 37° 𝑦 53° 16° 𝑦 74°
2k
k 3
1k
60°
30°
k 2
k
k
45°
45°
K = constante
5k
4k
3k
53°
37°
25k
24k
7k
74°
16°
A mayor ángulo se le opone mayor lado del triángulo
A menor ángulo se le opone menor lado del triángulo

CPPe N° 0535811
3.3 Tabla de las R. T. de Ángulos Notables
30º 60º 45º 37º 53º 16º 74º
Sen 1/2 3/2 2/2 3/5 4/5 7/25 24/25
Cos 3/2 1/2 2/2 4/5 3/5 24/25 7/25
Tg 3/3 3 1 3/4 4/3 7/24 24/7
Ctg 3 3/3 1 4/3 3/4 24/7 7/24
Sec 2 3/3 2 2 5/4 5/3 25/24 25/7
Csc 2 2 3/3 2 5/3 5/4 25/7 25/24
3
2
3
2
3
3
3
3
3
2
3
2

CPPe N° 0535811
3.3 Tabla de las R. T. de Ángulos Notables
Ejemplo: Calcular el valor de:
º
45
.
2
º
37
.
10
º
60
.
3
º
30
.
4
Sec
Cos
Tg
Sen
F



30º 60º 45º 37º 53º 16º 74º
Sen 1/2 3/2 2/2 3/5 4/5 7/25 24/25
Cos 3/2 1/2 2/2 4/5 3/5 24/25 7/25
Tg 3/3 3 1 3/4 4/3 7/24 24/7
Ctg 3 3/3 1 4/3 3/4 24/7 7/24
Sec 2 3/3 2 2 5/4 5/3 25/24 25/7
Csc 2 2 3/3 2 5/3 5/4 25/7 25/24
𝐹 =
4
1
2
+ 3( 3)
10
4
5
+ 2( 2)
𝐹 =
2 + 9
8 + 4
𝐹 =
2 + 3
8 + 2
𝐹 =
5
10
𝑭 =
𝟏
𝟐 RPTA.

EJERCICIOS PROPUESTOS
SEMANA
1
CPPe N° 0535811

CPPe N° 0535811
1. Hallar sen 𝛼°:
11
15
𝛼°
DEFINICIÓN
𝑆𝑒𝑛 =
11
15
𝛼°
x
𝑥2 = 112+ 152
𝑥2
= 121 + 225
𝑥 = 346
𝑥 = 18.60
𝐱 = 𝟏𝟗
𝑻. 𝑷
𝑺𝒆𝒏𝜶° =
𝟏𝟓
𝟏𝟗 RPTA.
2. Calcular tg 𝜃°:
2
6
DEFINICIÓN
𝑇𝑔 =
2
6
x
𝑻. 𝑷
62 = ( 2)2+ 𝑥2
36 = 2 + 𝑥2
36 − 2 = 𝑥2
34 = 𝑥2
34 = 𝑥
5.83 = x
6 = x
𝑻𝒈𝜽° =
𝟐
𝟔 RPTA.

CPPe N° 0535811
3. Hallar cos 𝛼°:
3
8
𝛼°
DEFINICIÓN
𝐶𝑜𝑠 =
3
8
𝛼°
x
𝑥2 = 82+ 32
𝑥2
= 64 + 9
𝑥 = 73
𝑥 = 8.54
𝐱 = 𝟗
𝑻. 𝑷
𝑺𝒆𝒏𝜶° =
𝟑
𝟗
=
𝟏
𝟑 RPTA.
4. Calcular ctg 𝜃°:
17
4
DEFINICIÓN
𝐶𝑡𝑔 =
𝑻. 𝑷
( 17)2= 42+ 𝑥2
17 = 16 + 𝑥2
17 − 16 = 𝑥2
1 = 𝑥2
1 = 𝑥2
𝐱 = 𝟏
𝑻𝒈𝜽° =
𝟏
𝟒 RPTA.
17
4
x

CPPe N° 0535811
5. Calcular el valor de:
30º 60º 45º 37º 53º 16º 74º
Sen 1/2 3/2 2/2 3/5 4/5 7/25 24/25
Cos 3/2 1/2 2/2 4/5 3/5 24/25 7/25
Tg 3/3 3 1 3/4 4/3 7/24 24/7
Ctg 3 3/3 1 4/3 3/4 24/7 7/24
Sec 2 3/3 2 2 5/4 5/3 25/24 25/7
Csc 2 2 3/3 2 5/3 5/4 25/7 25/24
𝐻 = 𝑆𝑒𝑛 30° + 𝐶𝑜𝑠 60° . 𝑡𝑔 37°
𝐻 =
1
2
+
1
2
.
3
4
𝐻 = 1 .
3
4
𝑯 =
𝟑
𝟒 RPTA.
6. Encontrar el valor de :
𝑄 = 𝑆𝑒𝑛 37° + 𝐶𝑜𝑠 53° . (𝑡𝑔 45° + 𝑐𝑡𝑔45°)
𝑄 =
3
5
+
3
5
. 1 + 1 𝑄 =
6
5
. 2
𝑸 =
𝟏𝟐
𝟓 RPTA.
7. Hallar el valor de :
𝐷 = 3
2
𝑐𝑡𝑔37° + 𝑐𝑡𝑔60° + 𝑠𝑒𝑐245° + 𝑐𝑡𝑔74° + 3𝑠𝑒𝑐53°
𝐷 = 3.
4
3
+
3
3
+ ( 2)2 +
7
24
+ 3
5
3
𝐷 = 4 +
3
3
+ 2 +
7
24
+ 5
𝑫 = 𝟑. 𝟒𝟒 RPTA.

CPPe N° 0535811
8. En un triangulo rectángulo ABC (A=90°), se cumple que:
ctg C + ctg B = 4
Calcule: M=16 senB . senC . cosB . CosC
Solución:
a
c
b
C
A
B
ctg C + ctg B = 4
𝑆
𝑂
𝐻
𝐶
𝐴
𝐻
𝑇
𝑂
𝐴
Nemotecnia para recordar
𝑏
𝑐
+
𝑐
𝑏
= 4
𝑏2
+ 𝑐2
𝑏𝑐
= 4
𝑏2
+ 𝑐2
= 4𝑏𝑐 𝑎2
= 4𝑏𝑐
M=16
𝑏
𝑎
.
𝑐
𝑎
𝑐
𝑎
.
𝑏
𝑎
Reemplazando tenemos:
M=16
𝑏2. 𝑐2
𝑎4 .
M=16
𝑏2. 𝑐2
16𝑏2𝑐2 .
M=1 RPTA.
(𝑎2)2= (4𝑏𝑐 )2

CPPe N° 0535811
9. Del gráfico mostrado, halle
W= sen𝛟 − cos𝛟
127º
10
9

Solución:
17
15
8
9
6
37º
10
127º
53º

127º
10
9

180°
5k
4k
3k
53°
37°
𝑆
𝑂
𝐻
𝐶
𝐴
𝐻
𝑇
𝑂
𝐴
Nemotecnia para recordar
W =
8
17
+
15
17
W =
−𝟕
𝟏𝟕 RPTA.

CPPe N° 0535811
B
C
D
A
x
37º
37º
10. Halle tgx, si ABCD es un cuadrado
B
C
D
A
x
37º
37º
16
12
16
13
x
4
3 53º
53º
5k
4k
3k
53°
37°
Recordamos que:
DEFINICIÓN
𝑇𝑔 =
𝑻𝒈𝒙 =
𝟏𝟑
𝟏𝟔
ℎ2 = 132+ 162
𝑥2
= 169 + 256
𝑥 = 425
𝑥 = 20.61
𝐱 = 𝟐𝟎
𝑻. 𝑷
RPTA.

MUCHAS GRACIAS
Nos vemos en el desarrollo del módulo
SEMANA
1
CPPe N° 0535811

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