Este documento presenta información sobre las razones trigonométricas de ángulos agudos en triángulos rectángulos. (1) Define las razones trigonométricas como cocientes entre las longitudes de los lados del triángulo con respecto a un ángulo agudo. (2) Explica cómo calcular las razones trigonométricas sen, cos, tg, ctg, sec y csc para un ángulo agudo dado en un triángulo rectángulo. (3) Presenta ejemplos numéricos resueltos de problemas que involucran el

1. I.E “10214” LA RAMADA – SALAS Matemática – 4º Secundaria
- 1 - Prof. Edwin Ronald Cruz Ruiz
a
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE
ÁNGULOS AGUDOS
1. Definición
La razón trigonométrica de un ángulo agudo
en un triángulo rectángulo se define como el
cociente que se obtiene al dividir las
Por ejemplo: sen 
1
3
 csc  = 3
Inversas
medidas de las longitudes de dos de los
lados del triángulo rectángulo con respecto
a uno de los ángulos agudos.
tg 
5
3
 ctg 
3
5
Inversas
Sea el triángulo rectángulo ABC recto en B.
C
Teorema de
b Pitágoras
a
b
2
= a
2
+ c
2
Observación:
1. En un triángulo rectángulo
hipotenusa > catetos
Entonces:
 0 < Sen  < 1  0 < Cos  < 1
A

B  Sec  > 1  Csc  > 1
c
2. sen2
  Sen2
Elementos:
 Hipotenusa (H)  b
 Catetos respecto al ángulo “”
a) Cateto opuesto (C.O.)  a
b) Cateto adyacente (C.A.)  c
 m ∢ CAB   (agudo)
2. Razones Trigonométricas para el
ángulo “”:
3.
sen


sen 
Ejercicios Resueltos
01. En un triángulo rectángulo ABC recto en B
reducir:
E = sen A .sec C + cos C . csc A
Solución:
Seno de   sen 
CO

a Representamos un triángulo que se ajuste
H b
I al problema:
Coseno de   cos 
CA

c
N C Del gráfico:
H b
V E  x
b

a
x
b
Tangente de  
 tg 
CO

a
E b b a b a
CA c a
R
Cotangente de   ctg 
CA

c
S
E = 1 + 1 
CO a
A
A B
E = 2
Secante de  


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sec  
H

b c
CA c S
Cosecante de   csc  
H

b
CO a

3. I.E “10214” LA RAMADA – SALAS Matemática – 4º Secundaria
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a) 4 b) 5 c) 6
d) 8 e) 2
a) 10 b) 12 c) 14
d) 18 e) 20
02. Si:  es un ángulo agudo tal que cos 
1
.
3
Calcular tg .
Solución:
Práctica DirigidaNº 01
01. Si: Cos =
10
y 0º<  < 90º
10
Del dato: cos 
1
3
cateto adyacente
hipotenusa
Calcular: L = Csc – Ctg
“” debe estar dentro de un triángulo
rectángulo.
a)
10 1
3
b)
10 1
3
c)
10
3
C d)
10 3
3
e)
10 3
3
3
02. En un triángulo rectángulo ABC (recto en “C”)
2 2 reducir:
A
 B
1
H = (tgB + ctgB)
2
– (ctgA – tgA)
2
Por Pitágoras:
32  12 2
 BC BC  2 2 03. En un triángulo rectángulo ABC recto en B.
Reducir: E = senA secC + senC secA
Piden: tg 
2 2
1
 2 2
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
03. En un triángulo rectángulo ABC, recto en C,
se cumple que: CosA 
CscB 04. Si: Sec x  7
5
Calcular: P = SecA – CtgB
Solución:
Del enunciado: CosA 
CscB
5
Calcular: E  tg2 x  42 Senx
B c
b

b
05. En un triángulo ABC recto en C se tiene que
a + c = 2.
c c 5
a Cs cB CtgB
5b
2
= c
2
C A
5b c
b
Por el teorema de Pitágoras:
a2
+ b2
= c2
a
2
+ b
2
= 5b
2
a
2
= 4b
2
a = 2b
Nos piden:
Calcular: E 
b
a) 1 b) 2 c) 1/2
d) 1/4 e) 4
06. Del gráfico hallar:
E 3 (T gθ Tgβ )
Ctgα
2
a) 2/3 m
b) 3/2

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P = SecA – CtgB =
c

a
c) 5/3
b b 2m
d) 2 3
P =
5b

2b
 P = 5 - 2   
b b e) 15

5. I.E “10214” LA RAMADA – SALAS Matemática – 4º Secundaria
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a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
a) 1 b) 2 c) 3
d) e)
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
08. A partir de la figura mostrada, calcular:
N = tg + tg
a) 16
b) 18
05. Si: Sen 
2
; ( es agudo)
3
Calcular: Ctg
c) 20 a) 5 b) 2 5 c) 5
d) 22
e) 24
5
d) e)
5
2 5 2
3
TareaNº 01
06. Si: Sec 
5
2
Determinar: E  5Sen Ctg
01. En un triángulo rectángulo ABC recto en C
reducir: E = a.TgB + c.SenA – b.TgA
a) b b) a c) c
d) a + b e) 2a 07. Si: Sen 
3
3
Determinar: E  2 Tg  3 Csc 
02. En un triángulo rectángulo ABC recto en B.
Reducir: E 
b
SenA
b
SenC
c
TgA
a c a
a) a + b + c b) 2a c) b
d) 2c e) 3
08. Si se tiene que “” es agudo y
Calcular: E Csc 2  
4
Ctg
7
3
cos 
4
03. Si: Tgθ 
8
; (es agudo)
15
Calcular: E 
1
Senθ 2Cosθ
2
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
04. Si: Ctgα 
1
, ( es agudo)
4
09. De la figura, calcular:
Tgθ Tg
E =
Senθ
B
a) 1 4
Calcular: M  17 (Sen Cos )
b) 3
c) 2
17 C
 
d) 4 A
e) 8 18
D E

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