Este documento describe métodos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales parciales (EDP) parabólicas, las cuales modelan procesos de difusión que dependen del tiempo como la conducción de calor y la difusión molecular. Presenta las ecuaciones de conducción de calor unidimensional y bidimensional como ejemplos de EDP parabólicas. Luego, introduce métodos explícitos, implícitos simples y de Crank-Nicolson para discretizar las EDP parabólicas y obtener soluciones numéricas. Finalmente

1. Autor: Ing. William Chauca Nolasco
MÉTODOS NUMÉRICOS II

3. INTRODUCCIÓN
Las ecuaciones que rigen la difusión de partículas en movimiento o la
conducción de calor, son ecuaciones diferenciales parciales (EDP) de tipo
parabólico. Es por esto que los métodos de solución numérica de las EDP
parabólicas son importantes en campos como difusión molecular, la
transferencia de calor, el análisis de reactores nucleares y el flujo de fluidos.
Puesto que las EDP parabólicas representan procesos de difusión que
dependen del tiempo, usualmente utilizaremos las letras t y x como variables
independientes, donde t es el tiempo y x es la coordenada del espacio
unidimensional.
Para las EDP parabólicas en espacios bidimensionales utilizaremos x y y para
las coordenadas espaciales y t como el tiempo. Los siguientes son ejemplos de
EDP parabólicas:

4. Conducción transitoria de calor, con la dimension espacial igual a uno [Incorpera/DeWitt]
Ecuación de difusión transitoria de neutrones, con la dimension espacial igual a uno
[Hetric]:
donde f es el flujo de neutrones

5. Transporte convectivo de una sustancia química con difusión [Brodkey/ Hershey]:
Donde f es la densidad de la sustancia, u(x) es la velocidad del flujo y D es la constante
de difusión.
Las EDP parabólicas para dos y tres dimensiones se pueden escribir mediante la
ampliación de la variable espacial a dos y tres dimensiones del espacio. Por
ejemplo, la ecuación de conducción transitoria de calor, en dimensiones
espaciales iguales a dos, es:

6. En las clases anteriores tratamos las EDP en estado estacionario. Ahora veremos las
ecuaciones parabólicas que se emplean para caracterizar problemas que varían con el
tiempo. también se desarrollan estos problemas en dos dimensiones espaciales para la
placa calentada. Antes, mostraremos cómo se aborda el caso unidimensional más simple.
De manera similar a la deducción de la ecuación de Laplace , se puede utilizar la
conservación del calor para desarrollar un balance de calor del elemento diferencial, en la
barra larga, delgada y aislada que se muestra en la figura. Sin embargo, en lugar de
examinar el caso en estado estacionario, este balance también considera la cantidad de
calor que se almacena en el elemento en un periodo Δt. El balance tiene la forma,
entradas – salidas = acumulación, o
LA ECUACION DE CONDUCCION DE CALOR
Una barra delgada y aislada en todos los
puntos excepto n sus extremos

8. FIGURA 30.2
Una malla utilizada para la solución por diferencias finitas de las EDP
parabólicas con dos variables independientes, por ejemplo la
ecuación de conducción del calor. Observe como, a diferencia de la
figura 29.3, la malla está abierta en los extremos en la dimensión
temporal.
FIGURA 29.3
Malla usada para la solución por diferencias finitas de las EDP
elípticas en dos variables
independientes, como la ecuación de Laplace.

9. que tiene un error de O[(Δx)2]. Observe que el ligero cambio en la notación de los
superíndices se utiliza para denotar tiempo. Esto se hace para que un segundo subíndice
pueda usarse para designar una segunda dimensión espacial cuando el método se
extiende a dos dimensiones espaciales.
Una diferencia dividida finita hacia adelante sirve para aproximar a la derivada con
respecto al tiempo
METODOS EXPLICITOS
la cual tiene un error de O(Δt).

10. Sustituyendo las ecuaciones (30.2) y (30.3) en la ecuación (30.1), se obtiene

11. Figura. 30.3

12. Solucion explicita para la ecuación de conducción de calor unidimensional
X=0 T=100ºC X=10
T=50ºC

13. i=1 l=0
i=2 l=0
i=3 l=0
i=4 l=0

14. X=0, T=200ºC X=10
T=10ºC
t=0.1 s
t=0.2 s
TAREA: Con los datos del ejemplo anterior resolver el problema con las condiciones
dadas, hasta 4 segundos con intervalos de 0.1 seg.

15. CONVERGENCIA Y ESTABILIDAD

16. FIGURA 30.5
Ilustración de la inestabilidad. Solución del ejemplo 30.1, pero
con l= 0.735

18. METODOS IMPLICITO SIMPLE

22. Ejemplo: Solución implícita simple de la ecuación de conducción del calor Planteamiento
del problema. Con la aproximación por diferencias finitas implícita simple resuelva el
problema anterior
30.10

23. t=0.1 s
t=0.2 s

26. −𝝀𝑻𝒊−𝟏
𝒍+𝟏
+ 𝟐 𝟏 + 𝝀 𝑻𝒊
𝒍+𝟏
− 𝝀𝑻𝒊+𝟏
𝒍+𝟏
= 𝝀𝑻𝒊−𝟏
𝒍
+ 𝟐 𝟏 − 𝝀 𝑻𝒊
𝒍
+ 𝝀𝑻𝒊+𝟏
𝒍
(30.14)

27. Ejemplo: Solución de Crank-Nicolson para la ecuación de conducción del calor.
Planteamiento del problema.
Con el método de Crank-Nicolson resuelva el mismo anterior.

29. I = 1 l = 0
I = 2 l = 0
I = 3 l = 0
I = m = 4 l = 0

30. FUENTE NAKAMURA-MATHEEWS

31. Vamos a considerar el modelo unidimensional del flujo del calor
en un alambre aislado de longitud L (figura 10.2) La ecuación de
calor , que nos da la temperatura u(x,t) en la posición x del
alambre y en el instante t, es:
Figura 10.2, La ecuación del calor modela la
temperatura de una alambre aislado

33. ECUACIÓN DE CALOR

38. MÉTODO DE CRANK - NICHOLSON

43. EJEMPLO

51. TAREA COMPLETAR EL CUADRO DESDE T=0.08 HASTA T = 0.20 Y
GRAFICARLO

53. OTRA FORMA DE ANALISIS DE EDP PARABOLICA

67. FUENE- NIEVES