Integracion numerica

1. DIFERENCIACIÓN E
INTEGRACIÓN NUMÉRICAS
EJEMPLO DE INTEGRACIÓN
NUMÉRICA
Pervys Rengifo Rengifo
MÉTODOS NUMÉRICOS

2. EJEMPLO 1
La siguiente tabla contiene valores de la función f(x)
xi
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
f(x)
0.010
0.252
0.582
1.024
1.578
i
0
1
2
3
4=n
1.4
Estime el valor de la integral
 f x dx
1.0
Mediante la aplicación de método del rectángulo, trapecio y
Simpson(1/3)

3. MÉTODO DEL RECTÁNGULO
Observe que los nodos xi están igualmente
espaciados , por lo tanto es válido utilizar las
fórmulas vistas.
El tamaño del intervalo h=xi+1-xi=0.1
n=4
Al aplicar el método de los rectángulos a los
datos del problema planteado se obtiene:

4. MÉTODO DEL RECTÁNGULO
1.4
n 1
3
 f xdx  h f x   h f x   0.1  f x   f x   f x   f x 
1.0
1.4
i 0
i
i 0
n 1
i
0
1
2
3
 f x dx  h f x   0.1 0.010  0.252  0.586  1.024  0.187
1.0
i 0
i

5. MÉTODO DEL TRAPECIO
Al aplicar el método del trapecio al problema en cuestión, se
obtiene:
n 1
h

0 f x dx  h f xi   2  f x0   f xn   2 f xi 
i 0
i 1


1.
n 1
1.4
3
h

0 f x dx  2  f x0   f x4   2 f xi 
i 1


1.
1.4

6. MÉTODO DEL TRAPECIO
1.4
h
0 f x dx  2  f x0   f x4   2 f x1   f x2   f x3 
1.
1.4
0.1
0 f x  dx  2 0.010  1.578  20.252  0.586  1.025
1.
1.4
 f x  dx  0.266
1.0

7. MÉTODO DE SIMPSON(1/3)
El método de Simpson (1/3) exige que el número de intervalos n,
sea par. En este caso n=4, por lo tanto, cumple con este
requerimiento y se puede aplicar este método, obteniendo lo
siguiente:
1
1
h

0 f x  dx  3  f x0   f x4   4 f x2i1   2 f x2i 
i 0
i 1


1.
1.4

h
0 f x  dx  3  f x0   f xn   4 f x2i1   2 f x2i 


i 0
i 1
1.


1.4
n2
2
n2
2

8. MÉTODO DE SIMPSON(1/3)
1.4
0.1
0 f x  dx  3  f x0   f x4   4 f x1   f x3   2 f x2 
1.
1.4
0.1
0 f x dx  3 0.010  1.578  40.252  1.024  20.586
1.
1.4
 f x  dx  0.262
1.0

9. EJEMPLO 2
Considere la función f(x)=x2, de la cual se ha construido
una tabla para valores de x con incrementos iguales a 0.25
i
xi
f(xi)
0
0
0
1
0.25
0.0625
2
0.50
0.25
3
0.75
0.5625
4
1.00
1.00
5
1.25
1.5625
6
1.50
2.25
7
1.75
3.0625
8
2.00
4
9
2.25
5.0625
10
2.50
6.25
11
2.75
7.5625
12
3.00
9
3
Estime el valor de la integral
x 2 dx

0
Utilizando el método de los rectángulos, de los
trapecios, de Simpson(1/3) y Simpson(3/8)
Integrando directamente, se obtiene:
3
x 
 x dx  3   9
0
0
3
3
2

10. MÉTODO DE LOS RECTÁNGULOS
El tamaño del intervalo es h=xi+1-xi=0.25
Aplicando el método de los rectángulos, se
obtiene:
3
n 1
11
0
i 0
i 0
x 2 dx  h f xi   0.25   f xi 

 f x0   f x1   f x2   f x3   f x4   f x5   
 x dx  0.25   f x6   f x7   f x8   f x9   f x10   f x11 


0
3
2

11. MÉTODO DE LOS RECTÁNGULOS
0  0.0625  0.25  0.5625  1.00  1.5625  
 x dx  0.25   2.25  3.0625  4  5.0625  6.25  7.5625


0
3
2
3
x dx  0.25  31.625  7.90625

2
0

12. MÉTODO DE LOS TRAPECIOS
Aplicando el método de los trapecios a los datos del
problema planteado, se obtiene
n 1
h

2
 x dx  2  f x0   f xn   2 f xi 
i 1


0
3
3
0.25
 x dx  2  f x0   f x12   2 f x1   f x2   ...  f x11 
0
2

13. MÉTODO DE LOS TRAPECIOS
 f 0.25  f 0.50  f 0.75  f 1.00  f 1.25 

0.25 
 x dx  2  f 0  f 3  2 f 1.5  f 1.75  f 2.00  f 2.25  f 2.50  f 2.75


0

3
2
0.0625  0.25  0.5625  1.00  1.5625   
0.25 
 x dx  2 0  9  22.25  3.0625  4  5.0625  6.25  7.5625


0

3
2
3
0.25
 x dx  2 0  9  2  31625  9.03125
0
2

14. MÉTODO DE SIMPSON(1/3)
El método de Simpson(1/3) requiere el número
de intervalos, n, sea par. Para este caso n=12,
por lo tanto se cumple este requisito.

h
 x dx  3  f x0   f xn   4 f x2i1   2 f x2i 


i 0
i 1
0


3
2
n2
2
n 2
2
5
5
0.25 

2
 x dx  3  f x0   f x12   4 f x2i1   2 f x2i 
i 0
i 1


0
3

15. MÉTODO DE SIMPSON(1/3)
3
x 2 dx 

0
0.25  f x0   f x12   4 f x1   f x3   f x5   f x7   f x9   f x11   


3 2 f x2   f x4   f x6   f x8   f x10 

0.25 0  9  40.0625  0.5625  1.5625  3.0625  5.0625  7.5625  

 x dx  3 20.25  1.00  2.25  4.00  6.25


0
3
2
3
0.25
 x dx  3 9  417.875  213.75
0
2
3
x 2 dx  9.0

0

16. MÉTODO DE SIMPSON(3/8)
El método de Simpson (3/8), exige que el número de intervalos
debe ser múltiplo de 3. En este caso n=12, el cual es múltiplo de 3,
por lo tanto se puede aplicar el método

3h 
 x dx  8  f x0   f xn   3 f x3i1   3 f x3i2   2 f x3i 


i 0
i 0
i 1
0


3
2
n3
3
n3
3
n3
3
3
3
3
3h 

 x dx  8  f x0   f x12   3 f x3i1   3 f x3i2   2 f x3i 
i 0
i 0
i 1


0
3
2

17. MÉTODO DE SIMPSON(3/8)

3h  f 0  f 3  3 f x1   f x4   f x7   f x10  
x dx 



8 3 f x2   f x5   f x8   f x11   2 f x3   f x6   f x9 
0
3
2
3
x 2 dx 

0

3  0.25 0  9  30.0625  1.00  3.0625  6.25 
30.25  1.5625  4.00  7.5625  20.5625  2.25  5.0625
8


3
x 2 dx 

0
3  0.25
9  3 10.375  3 13.375  2  7.875
8
3
x 2 dx  9.0

0