Esquema molecular Tablas de verdad Tipos de fórmulas. Evaluación Leyes de equivalencia Equivalencias Lógicas

1. SEMESTRE ACADÉMICO 2014-II
Agosto 2010
“Firmes en nuestro compromiso de alcanzar nuestra
visión de ser competitivos e innovadores para tener
acreditación internacional y contribuir al desarrollo
sostenido.”
MATEMÁTICA
BÁSICA
-
VERDAD FORMAL
EQUIVALENCIAS
LOGICAS
1

2. CONTENIDOS
Esquema molecular
Tablas de verdad
Tipos de fórmulas.
Evaluación
Equivalencias Lógicas
2
Leyes de equivalencia

3. INTRODUCCIÓN
3
¿Cuál es valor de verdad de las siguientes proposiciones?
El aire puro es insípido, transparente,
inodoro e incoloro en pequeñas
cantidades
El aire es una mezcla de gases que
tiene la propiedad de ser elástico
El aire limpio del campo puede contener monóxido de carbono,
metano, amoniaco, bióxido de carbono, óxidos de nitrógeno y ozono.
Estos gases, que normalmente se consideran contaminantes, pueden
tener su origen en procesos naturales que los producen en pequeñas
cantidades.

4. 4
VERDAD FORMAL
Es aquella que se obtiene evaluando
esquemas moleculares haciendo uso de
reglas de operadores lógicos y tablas de
verdad.
ESQUEMAS MOLECULARES
Llamados también fórmulas lógicas, están
compuestas por variables, operadores
lógicos y signos de agrupación.

5. 5
qp qp qp qp  qp  qp  qp  qp  qp 
V V
V F
F V
F F F
F
F
V
F
V
V
V
F
V
V
V V
V
V
F
V
V
F
F
F
F
V
V
V
F
F
F
V
V
V
F
TABLA DE VERDAD

6. 6
TABLAS DE VERDAD
Tiposdefórmula
Tautología
Contradicción
Contingente
Los valores de verdad de su matriz
principal son todos verdaderos.
Los valores de verdad de su matriz
principal son todos falsos.
Existen valores verdaderos y falsos
en su matriz principal.

7. 7
Circuitoseléctricos
Encendido
Apagado
Interminencia
eléctrica
Corto circuito
Verdadero
En relación a un aparato eléctrico (foco, lámpara,
motor)
Falso
Verdadero, falso, verdadero ,falso
Todos falsos

8. 8
Se colocan
las
variables
(p,q,r,…)
Fórmula
que se va
analizar
Valores de
las
variables
Valores de
las
fórmulas
DIAGRAMA DE LA TABLA DE VERDAD
Fórmula de
distribución de
valores 2 𝑛

9. 9
Ejemplo 1
¿Qué tipo de fórmula y/o cuántos focos amarillos permite encender
en un circuito la siguiente fórmula?
   qpqp 
p q    qpqp 
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
V
V
V
V
V
F
V
V
V
V
F
F
V
F
V
F
F
F
V
V
V
F
V
F
Tautología
Por lo tanto, la fórmula es una tautología y permite encender cuatro
focos amarillos.

10. 10
Ejemplo 2
Determinar si las siguientes fórmulas son una tautología,
contradicción o contingencia.
a)  [p ( p  q) ]  (p ← q)
b) (p  r) ∆ [q  ( q  r) ]

11. 11
Ejemplo 1
p : La lógica formal no estudia la validez del razonamiento.
q : La lógica es una ciencia formal.
r : Los refranes son consideradas proposiciones lógicas.
MÉTODO DIRECTO
Das las proposiciones:
Analizamos el valor de verdad de la siguiente fórmula
a) (𝑝𝑣~𝑞) ← ~(𝑟 ↔ q)
b) 𝑟 ∆ 𝑝𝑣𝑞 ~(𝑝  𝑟)

12. 12
Ejemplo 2
p : Las proposiciones compuestas carecen de conectores lógicos.
q : “Ollanta y Nadine son esposos” es una proposición compuesta.
r : (𝑝  𝑞) → ~(𝑟 ↔ ~q) es una fórmula implicativa.
MÉTODO DIRECTO
Das las proposiciones:
Determinar el valor de verdad de los siguientes esquemas
a) (𝑝 ∆~𝑞) ↔ ~(𝑟  q)
b) ~(𝑠 ← 𝑟)  𝑞 ∆ ~𝑝  𝑠
s : “ Aprobaré el curso” no es una proposición lógica.

13. 13
MÉTODO DIRECTO
Ejemplo 3
Si el valor de verdad de [(p  q)  (r  s)] es falsa, hallar el valor de
verdad de:
a)  p ↔ [(q  r)  s]
b) (p ∆ q)   [(p ↔ r)  s]

14. 14
CRITERIO DE POST
Solo se usa en fórmulas implicativas, para saber si el
esquema es o no válido.
Pasos para aplicar el criterio de Post
Se asigna el valor de falso a la fórmula
Se determinan los valores de verdad de cada
variable.
Si existe alguna contradicción en el proceso, se
dice que la fórmula es válida. En caso contrario
será no válida.
1°
2°
3°

15. 15
Ejemplo 1
   qpqp 
F
V F
V V
V V
Por lo tanto, la fórmula es válida

16. 16
Ejemplo 2
Determinar si las siguientes fórmulas son válidas o no
1.
2. ((p → q)^(q → r) ) → (r → p)
𝒒 → 𝒑 ^(𝒓 𝒗 ~𝒑)^(~𝒒 𝒗 ~ 𝒓) → ~ q

17. 17
EQUIVALENCIAS LÓGICAS
Dos fórmulas o esquemas moleculares A y B son
equivalentes si:
Los valores de verdad de sus
matrices principales son iguales
Al unirlos con una bicondicional
el resultado es una tautología.

18. 18
MÉTODOS DE SOLUCIÓN
Tablas de verdad
Leyes de equivalencia

19. 19
TABLAS DE VERDAD
Ejemplo 1
Sea A: ( p  q )   p B:  p  q
Verificar si A es equivalente a B
P q (p → q) v ~p ~p v q
V V
V F
F V
F F
V V V V F
V F F F F
F V V V V
F V F V V
F V V
F F F
V V V
V V F
IGUALES
Solución
FORMA 1
Por lo tanto, A es equivalente a B

20. 20
FORMA 2
P q [(p → q) v ~p] ↔ (~p v q)
V V
V F
F V
F F
V V V V F
V F F F F
F V V V V
F V F V V
V
V
V
V
F V V
F F F
V V V
V V F
Tautología
Por lo tanto, A es equivalente a B

21. 21
Ejemplo 2
Determinar, mediante tablas, si las siguientes fórmulas
son equivalentes.
A: ( p  q ) B:  p   q
A: ( p  q )   p B: p   ( q  p )
1.
2.

22. 22
LEYES DE EQUIVALENCIAS
1. LEYES CONMUTATIVAS
a) A  B  B  A
b) A  B  B  A
c) A  B  B  A
7. LEYES IMPLICATIVAS
a) A  B   A  B
b) A  B   ( A   B )
2. LEYES ASOCIATIVAS
a) ( A  B )  C  A  ( B  C )
b) ( A  B )  C  A  ( B  C )
c) ( A  B )  C  A  ( B  C )
8. LEYES DE LA BIIMPLICACIÓN
a) A B  (A  B )  (B  A )
b) A  B  (A  B )  (  A   B )
3. LEYES DE IDEMPOTENCIA
a) ( A  A )  A
b) ( A  A )  A
9. LEYES DE DISYUNCION FUERTE
a) A  B  ( A   B )  ( B   A )
b) A  B  ( A  B )   ( A  B )
4. LEYES DISTRIBUTIVAS
a) A  (B  C )  (A  B)  (A  C )
b) A  (B  C)  (A  B)  (A  C )
c) A(B C)  (A  B)  (A  C )
d) A (B C)  (A B)  (A  C)
10. LEYES DE TRANSPOSICION
a) A  B   B   A
b) A  B   B   A
5. LEYES DE ABSORCION
a) A  ( A  B )  A
b) A  ( A  B )  A
c) A  (  A  B )  A  B
d) A  (  A  B )  A  B
11. LEYES ADICIONALES
a) A  F  A
b) A  V  V
c) A  F  F
d) A  V  A
e) A   A  F
f) A   A  V
6. LEYES DE MORGAN
a)  ( A  B )   A   B
b)  ( A  B )   A   B
c) A  B   (  A   B )
d) A  B   (  A   B )
12. LEYES DE DOBLE NEGACIÓN
a)  (  A )  A

23. 23
Ejemplo
1. “Es imposible que Juan no estudie “
equivale a decir que:
“Juan estudia”
2. “Si hoy llueve, estamos en invierno” es
equivalente a decir:
“Jamás llueve o estamos en invierno”
~ ~p ≡ p (Doble negación)
p → q ≡ ~p v q (Ley implicativa)

24. 24
3. “Mi rendimiento académico es excelente de
modo que obtengo una beca para estudiar”.
Es equivalente a decir:
“Si no obtengo la beca, jamás tuve un rendimiento
excelente”
4. “No es cierto que Julio canta y toca guitarra”.
Equivale a decir:
“Julio no canta o incluso no toca guitarra ”
p → q ≡ ~q → ~ p (Ley de transposición)
~ (p Λ q) ≡ ~ p v ~ q (Ley De Morgan)

25. 25
5. Determine cuáles de las alternativas son
equivalente a la proposición dada.
“Los refranes y los mitos no son proposiciones lógicas”.
No es cierto que, los refranes y los mitos sean
proposiciones lógicas.
No es cierto que, los refranes o los mitos sean
proposiciones lógicas.
No es cierto que, los refranes son proposiciones lógicas
ya que los mitos no son proposiciones lógicas.
a)
b)
c)

26. 26
Obtienes buenas calificaciones y estudias puesto que
apruebas el curso.
6. Determine cuáles de las alternativas son
equivalente a la proposición dada.
“Si estudias y obtienes buenas calificaciones, apruebas
el curso”
Si apruebas el curso, entonces estudias y obtienes buenas
calificaciones
Apruebas el curso o no es cierto que, estudias y obtienes
buenas calificaciones
No obtienes buenas calificaciones o incluso no estudias, salvo
que apruebas el curso.
a)
b)
c)
d)

27. 27
TRABAJO EN EQUIPO
TALLER 1