Cálculo

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El objetivo de la siguiente actividad es poner en práctica la identificación de las partes de una función, la diversidad de representaciones que existen y la evaluación de funciones explícitas.
Parte A: Instrucciones: Determina lo que se te pide de los siguientes ejemplos de funciones:
1. Un videoclub captura la cantidad de rentas que tiene por mes durante 2 años.
Variable independiente : Variable dependiente :
2. Se tiene la siguiente función: , utilízala para calcular lo siguiente:
a.
b.
c.
d. ¿Qué puedes concluir de los valores de ?
3. Se tiene la siguiente función: , utilízala para calcular lo siguiente:
e.
f.
g.
h. ¿Qué puedes decir acerca de conforme va creciendo?
4. Un obrero cuenta cuántos objetos defectuosos salen cada diez minutos de una línea de producción durante una hora, da una representación numérica y gráfica de la función en cuestión (inventa los números para la cantidad de objetos defectuosos):
Hora
Objetos Defectuosos 12:00 12:10 12:20 12:30 12:40 12:50 13:00

5. Se tiene la siguiente gráfica, da una representación numérica de la función en cuestión:
Parte B:
Instrucciones: Contesta lo que se te pide a continuación de manera clara y ordenada, incluye las operaciones matemáticas y justificaciones que sean necesarias para llegar a la respuesta.
1. Explica con tus palabras lo que es una función:
2. Da un ejemplo de una función en alguna de tus actividades diarias, distingue la variable independiente y la variable dependiente:
3. ¿Cómo se representa una función numéricamente?
4. ¿Es lo siguiente un ejemplo de función? Justifica tu respuesta.
Matrícula de alumno
286420
286421
286422
286421
286422
286423
286424
Calificación Final 95 94 89 86 93 100 78
5. Realiza una gráfica de la siguiente función:

Instrucciones:
Contesta lo que se te pide a continuación de manera clara y ordenada, incluye las operaciones matemáticas y justificaciones que sean necesarias para llegar a la respuesta.
1. Se tiene la siguiente gráfica de una función, además se sabe que los valores se encuentran restringidos entre los dos puntos rojos en la gráfica.
Da una aproximación del dominio: Da una aproximación del rango: ¿En qué intervalos la función es creciente y decreciente?
2. Realiza una gráfica de la siguiente función y encuentra su dominio y su rango:
Dominio: Rango:
3. Clasifica las siguientes funciones por su estructura de acuerdo a las familias presentadas en este tema, además comenta cómo es que la identificaste:
a.
b.
c.
d.

4. Menciona qué tienen en común gráficamente las siguientes tres funciones lineales:



5. Lee lo que se plantea y responde las preguntas. Un supermercado capturó durante el mes de diciembre la siguiente información: Día del mes Árboles de navidad vendidos 1 2 2 4 3 7 4 9 5 11 6 15 7 16 8 16 9 18 10 23
 Realiza una gráfica con los datos.
 ¿Qué tipo de función se podría usar para aproximar esta información?
6. ¿Cómo se puede determinar si una gráfica no corresponde a una función?
7. Determina si la siguiente función es creciente o decreciente, además da una prueba numérica de ello:
8. Da dos ejemplos de polinomios de grado 3:
Instrucciones:

Calcula de forma ordenada y clara lo que se te pide en cada uno de los ejercicios. Recuerda incluir las operaciones y justificaciones necesarias.
1. Calcula los siguientes límites a partir de una tabla de datos:
a.
b.
2. Usa las propiedades de los límites para evaluar lo siguiente sin usar tablas:
a.
b.
3. Identifica cuáles de los siguientes son límites que tienden a infinito y explica porqué:
a.
b.
c.
d.
4. Identifica la recta asíntota que define el siguiente límite y realiza una gráfica para comprobarlo:
a.

Instrucciones:
1. Utiliza la definición de continuidad para demostrar que las siguientes funciones son continuas en el número a dado:
a.
b.
c.
d.
2. Explica porqué las siguientes funciones son discontinuas:
a.
b.
c.
3. Utiliza las propiedades y teoremas de continuidad para evaluar los siguientes límites:
a.
b.

c.
4. Da un ejemplo de función continua y realiza su gráfica.
5. Dibuja 2 ejemplos de gráficas de funciones discontinuas.
6. Menciona un ejemplo aplicado de discontinuidad en la vida real.
Instrucciones:
Calcula de forma ordenada y clara lo que se te pide en cada uno de los ejercicios. No olvides incluir las operaciones y justificaciones necesarias.
1. Considera la función y responde lo siguiente:
a. ¿Cuál es la razón promedio de cambio entre x=0 y x=10?
b. ¿Cuál es la razón promedio de cambio entre x=0 y x=5?
c. ¿Cuál es la razón promedio de cambio entre x=0 y x=1?
d. ¿Qué se puede decir de la pendiente de y conforme x es más cercana a cero?
2. Observa la siguiente gráfica y realiza lo que se te pide:
a. Dibuja la razón promedio de cambio entre x=5 y x=12.
b. Dibuja la razón promedio de cambio entre x=6 y x=12.
c. Dibuja la razón promedio de cambio entre x=10 y x=12.
d. ¿Qué se puede inferir sobre la razón instantánea de cambio en x=12?

3. ¿Qué dice gráficamente la razón promedio de cambio de una magnitud?
4. Construye la gráfica de y dibuja la razón promedio de cambio entre los puntos x=2 y x=3.
5. Si un cañón lanza una bala verticalmente hacia arriba con una velocidad de 150 metros por segundo, su posición h una vez que transcurren t segundos está dada por . Con esta información responde lo siguiente:
a. ¿Cuál es la velocidad promedio de la bala entre los 1 y los 7 segundos?
b. ¿Cuál es la velocidad instantánea en t=3 segundos?
6. Considera la función y responde lo siguiente:
a. ¿Cuál es la razón promedio de cambio entre x=0 y x=2?
b. ¿Cuál es la razón promedio de cambio entre x=2 y x=4?
c. ¿Cuál es la razón promedio de cambio entre x=4 y x=6?
d. ¿Qué se puede decir de la pendiente de y conforme x es más grande?
7. La siguiente tabla muestra la cantidad de automóviles producidos por una fábrica por mes. Con dicha información responde las preguntas:
Mes
2
4
6
8
10
12 Autos 3500 2900 2000 1500 2800 4600
a. Calcula la razón promedio de producción por mes del mes 4 al mes 10.
b. Calcula la razón promedio de producción por mes del mes 2 al mes 8.
c. Calcula la razón promedio de producción por mes del mes 8 al mes 12.
d. ¿Qué te dicen estas razones sobre el comportamiento de la producción en la fábrica?
Instrucciones:
1. Considera la siguiente gráfica y dibuja lo que se te pide:

a. Dibuja la recta secante entre los puntos (1,f(1)) y (2,f(2)).
b. Dibuja la recta tangente al punto (5,f(5)).
c. Dibuja la recta normal al punto (3,f(3)).
2. Define con tus propias palabras lo que es una recta secante a una curva f(x).
3. ¿Qué se necesita para calcular la pendiente de una recta tangente a una curva f(x)?
4. ¿Se puede calcular siempre la pendiente de una recta normal en una curva f(x)?
5. Obtén la pendiente de la recta secante, tangente y normal a la función que pasa por los puntos dados (para la tangente y la normal selecciona el primer punto):
a.
b.
6. Dibuja la gráfica de la siguiente función y da un ejemplo de recta secante, tangente y normal en ella mostrando los puntos elegidos (elije los puntos a tu gusto).
7. Obtén la representación algebraica de la recta tangente de la siguiente función:

8. Obtén una expresión para la pendiente de la recta tangente de la siguiente función para cualquier punto x=a.
Instrucciones:
1. Describe con tus propias palabras qué entiendes por la derivada de una función.
2. Considera la siguiente gráfica de la función y ordena de mayor a menor las siguientes derivadas, explica tu razonamiento:
a.
b.
c.
d.
3. Obtén una expresión general para la derivada de las funciones dadas en el punto x=a por medio de la definición:
a.
b.
c.
d.
4. La cantidad de personas atendidas en un restaurant de comida rápida después de t minutos esta expresada por la función

a. ¿Qué significado tiene la derivada ?
b. ¿Qué determinará los valores que puede tomar la derivada ?
5. Los siguientes límites expresan la derivada de una función en un punto x=a. Determina cuál es la función que se está derivando y el valor de a que se está utilizando:
a.
b.
c.
Instrucciones:
1. Explica con tus propias palabras cómo sacar la derivada de un producto de funciones.
2. ¿Cuándo se dice que una función es derivable?
3. Obtén la primer derivada de las siguientes funciones mediante la regla de suma y resta:
a.
b.
4. Obtén la primer derivada de las siguiente funciones mediante la regla del producto:
a.

b.
5. Obtén la primer derivada de las siguientes funciones mediante la regla del cociente:
a.
b.
6. Grafica la primer derivada de la siguiente función:
a.
7. Obtén la segunda derivada de las siguientes funciones:
a.
b.
8. Evalúa la primer derivada de la siguiente función en el punto dado:
a.
9. Evalúa la tercer derivada de las siguientes funciones en el punto dado:
a.
b.
c.
10. Obtén la derivada de la siguientes funciones usando la regla de la cadena:
a.
b.
Instrucciones:

1. El péndulo de un reloj antiguo oscila con un movimiento armónico simple. La posición de la base del péndulo con respecto a una superficie horizontal está dada por la función , donde x es la posición del objeto en centímetros y t es el tiempo transcurrido en segundos. Con esta información responde lo siguiente:
a. ¿Cuál es la función de velocidad de la base del péndulo , es decir la primer derivada de ?
b. ¿Qué valores toman la posición y la velocidad en ?
2. ¿Cuál es la característica más importante de la derivada de una función exponencial?
3. Obtén la derivada de la siguiente función trigonométrica a partir de su equivalencia en senos y cosenos y comprueba que se obtiene el resultado planteado en la definición de la derivada:
4. Obtén la derivada de las siguientes funciones trigonométricas:
a.
b.
5. Obtén la derivada de las siguientes funciones exponenciales:
a.
b.
6. Obtén la derivada de las siguientes funciones logarítmicas:
a.
b.
7. Obtén la derivada de las siguientes funciones compuestas:

a.
b.
Instrucciones:
1. ¿Por qué cuando se deriva la variable dependiente (y) en el método de derivación implícita se usa la regla de la cadena?
2. Considera la siguiente ecuación y responde lo que se te pide:
a. Encuentra por el método de derivación implícita.
b. Despeja y de la ecuación original y deriva con respecto a x.
c. Comprueba que el resultado obtenido en a) es equivalente al obtenido en b) al sustituir y en el resultado de a).
4. Encuentra implícitamente las ecuaciones dadas:
a.
b.
c.
d.
5. Realiza los siguientes pasos para la ecuación dada:
 Obtén implícitamente.
 Sustituye el punto dado para obtener el valor explícito de la pendiente en dicho punto.
 Utiliza la información de la pendiente y el punto dado para escribir la función de la recta tangente al punto.

a.
Instrucciones:
1. ¿Qué significa que una función sea creciente en un intervalo?
2. ¿Qué es un mínimo global en una función?
3. ¿Cómo se identifica un máximo local en una función?
4. Determina si la siguiente función es creciente o decreciente en el intervalo dado:
 en el intervalo [-4,-2].
5. Determina si la siguiente función es cóncava hacia arriba o hacia abajo en el intervalo dado:
 en el intervalo [-2,0].
6. Determina en qué intervalos de la siguiente gráfica se tienen tipos de crecimiento o concavidad:
7. Clasifica los puntos de la siguiente gráfica como máximo global, mínimo global, máximo local, mínimo local o ninguno de los anteriores:

8. Dibuja la gráfica de una función f(x) que cumpla con las siguientes propiedades: Que tenga máximo global en x=2 y mínimo global en x=4, que tenga un mínimo local en x=6 y que tenga un máximo local en x=0.
9. Obtén los puntos críticos de la siguiente función y determina si corresponden o no a máximos o mínimos locales:
a.
Instrucciones:
Calcula de forma ordenada y clara lo que se te pide en cada uno de los ejercicios. No olvides incluir las operaciones y justificaciones necesarias.
1. ¿Cuándo se dice que un límite esta indeterminado?
2. ¿Qué se necesita para poder aplicar la regla de L´Hopital?
3. Dadas las siguientes funciones, indica en donde tienen un límite indeterminado.
a.
b.
c.
d.
e.

4. Utiliza la regla de L´Hopital para obtener los siguientes límites, de ser necesario y posible, utilízala más de una vez. Si no es posible utilizar la regla, menciona por qué:
a.
b.
c.
d.
1. ¿Cómo se utilizan las derivadas en los problemas de optimización?
2. ¿Por qué la primera derivada de una función de posición expresa la velocidad?
3. Supongamos que tenemos un terreno rectangular el cual queremos cercar. Para lograrlo contamos con 400 metros de cerca y queremos saber de qué manera podemos usarla para cubrir la mayor área rectangular posible dentro del terreno.
4. Supongamos que tenemos un terreno rectangular el cual queremos cercar. El terreno ya cuenta con dos muros que lo rodean, por lo que sólo necesitamos cercar los dos restantes. Para lograrlo contamos con 230 metros de cerca y queremos saber de qué manera podemos usarla para cubrir la mayor área rectangular posible dentro del terreno.

5. Un auto que se mueve en una línea recta, tiene la siguiente función de posición: , donde x esta en kilómetros y t en horas.
a. Obtén la función de velocidad del automóvil.
b. Obtén la función de aceleración del automóvil.
c. ¿Qué posición tiene el auto 3 horas después? ¿Qué significa él valor obtenido?
d. ¿Qué velocidad lleva el auto 8 horas después? ¿Qué significa el valor obtenido?
e. ¿Qué aceleración lleva el auto cuando han transcurrido 1 hora, 3 horas, 6 horas?
6. Una empresa que produce sillas, tiene la siguiente función de costo para su producción: , donde x es la cantidad de sillas producidas y c es el costo de la producción en pesos.
a. Obtén la función de costo marginal.
b. Obtén la función de costo promedio.
c. Indica en qué nivel de producción se minimiza el costo promedio.
d. ¿Qué valor toma el costo en este nivel de producción?
Practica de ejercicios matemáticos
Los diferenciales
Nombre del alumno: ____________________________ Matrícula: ________________
Resuelve los siguientes problemas utilizando diferenciales para su solución. Es importante que revises los ejemplos explicados en material del curso para que puedas hacerlos. No olvides incluir todo el procedimiento necesario para llegar a la respuesta.

1) Encuentra el diferencial para la función en cada caso, es decir “dy”.
a) 4 2 3 2 y   x  x 
b) y 9x 4x 4  
c)
3
4 3 6
x
y  x 
d)
2 ( 1)
1


x
y
e) y  3 x
f)  2 y  x  3
g)  3 y  x  3
h)  3 y  x  3
i)  2 4 y  9x  6
j) 6 2 2   x 
x
x
y
k) 2 / 3 y  (x  2)
2) Resuelve los siguientes problemas usando diferenciales:
a) Se midió el lado de un cuadrado y se encontró que es de 5 cm., con un posible
error de medición de 0.01 cm. Usa diferenciales para encontrar una
aproximación en el error del área del cuadrado.


b) Usa diferenciales para aproximar el aumento en el volumen de un cubo si sus
lados aumentan de 7 cm. a 7.2 cm.
c) Un cliente de un fabricante de latas cilíndricas que miden 10 cm. de largo y 4 cm.
de radio está pidiendo aumentar el radio en 0.5 cm. Usando diferenciales
encuentra una aproximación para el aumento del volumen de la lata.
d) Un domo esférico tiene un radio de 110 metros con un error de medición de 2
cm., usando diferenciales encuentra el error en el área superficial del domo. (Para
este problema necesitas el área superficial de la semi-esfera).
e) Se construyó una alberca de 25 metros de largo por 10 metros de ancho y 1.6
metros de profundidad, si en la construcción se cometió un error y la alberca mide
10.5 metros de ancho. Usando diferenciales encuentra el aumento en el volumen
de la alberca. ¿Cuántos litros adicionales de agua serán necesarios para llenarla?
Envía el ejercicio a tu tutor a través del Centro de Mensajes de acuerdo a la fecha
publicada en la Agenda del Curso en formato de Práctica de ejercicios matemáticos.
Resuelve los siguientes problemas utilizando diferenciales para su solución. Es importante
que revises los ejemplos explicados en material del curso para que puedas hacerlos. No
olvides incluir todo el procedimiento necesario para llegar a la respuesta.
1) Encuentra la familia de antiderivadas en cada caso:
a) ( ) 8 5 3 f x  x 
b) ( ) 3 4 2 10 7 4 2 f x  x  x  x 
c)
3
3 3
3
( )
x
x
f x  
d) 3 h(x)  x 3 x
e) 2  7 / 2  y  3x 7x  4x


f)
x
x x x
g x
2 3 2 6 9
( )
 

g)
x
x x
h x
3 1/ 4 3 3
( )


h) 2 y  (2x  3)
i) h(x)  (3x 5)(4  x)
j) ( ) ( 1) 2 2    f x x x
2) Encuentra la antiderivada específica utilizando la condición inicial dada:
a) 3 ( ) 4  f x  x , considera que F(1)=2
b) ( ) 6 2 2   x 
x
x
g x , considera que G(4)=1
c) 3 7 h(x)  2 x , considera que H(1)=0
d) 2  5/ 2  g(x)  x 6x  2x , considera que G(0)=1
e)
2
2 3
2
( )
x x
x
f x   , considera que F(1)=1
3) Resuelve los siguientes problemas utilizando la antiderivada:
a) La velocidad de un objeto está dada por
2
( )
2 t t
v t

 m/min. Encuentra su
ecuación de posición y considera que s (1)=4 m.

b) La aceleración de un objeto que se mueve a lo largo de una línea recta está dada
por a(t)  4t 5 en metros por segundo al cuadrado. Encuentra las ecuaciones
para su velocidad y aceleración, considera que la velocidad inicial es de 2 m/seg.
y la posición inicial es de 3 m.
c) Una empresa ha encontrado que el costo marginal (C ) de fabricar x número de
artículos está dada por C(x) 1.5x  2 , encuentra la función de costo (C(x)),
considera que el costo fijo es de $10,000, C (0)=10,000.
d) La población de cierta especie de animales está creciendo a una razón de
cambio de ( ) 4 2 2 r t  t  t  animales/año. Encuentra la ecuación para la
población y considera que la población inicial es de 100 animales. ¿Cuál será la
población dentro de 10 años?
e) El área de un lago está disminuyendo con una razón de cambio dada por
( ) 2 2 r t  t  metros cuadrados/año. Encuentra la ecuación para el área del
lago, considera que el área inicial del lago es de 1000 m2.
Resuelve los siguientes problemas utilizando integrales y el área bajo la curva. Es
importante que revises los ejemplos explicados en material del curso para que puedas
hacerlos. No olvides incluir todo el procedimiento necesario para llegar a la respuesta.
1) Integra las siguientes funciones:
a)  2dx
b)  x dx 5 4
c)  x 12x  2dx 2
d)  xdx 3
e)  dx
x2
9

f) 
 
dx
x
x x
3
4 3 8 4
g)  x   dx 3 2
h) dx
x
x
 

( 2)
( 4) 2
i) dx
x    2 ( 2)
3
j) dx
x
x x

9 5  2 2
k) dx
x
x x
 
 
( 2)
( 5 6) 2
l)  x2x  8x 1dx 2
2) Calcula las siguientes integrales definidas:
a) 
2
1
6dx
b) 
5
2
3 8x dx
c)   x  x  dx
2
1
2 4 9 2
d)  xdx
9
0
4

e) 
6
2
3
4
dx
x
f)    
4
1
3 x 1 dx
3) Resuelve los siguientes problemas utilizando integrales:
a) La velocidad de un objeto está dada por v(t) t 3t 2   m/seg.; utiliza la integral
para encontrar su ecuación de posición. Considera que el x (1) = 3 m.
b) La aceleración de un objeto está dada por a(t)  5  3t m/seg.2, utiliza la integral
para encontrar su ecuación de velocidad. Considera que v (2) = 4 m/seg.
Resuelve los siguientes problemas. No olvides incluir todo el procedimiento necesario para
llegar a la respuesta.
a)    dx x 12
b)  x  e dx x (10 ) 4
c)  x x dx x 3 2   2 2
d)  e dx x 2
e)   dt t 8
9
f) 
 
dx
x e x
3
9 2 3

g) Nota: a partir de este problema utiliza leyes de exponentes, ejemplo:
h)
i)
j)
k)
l)
m) e e e dx x x    ( ) 3
2) Calcula las siguientes integrales definidas:
a)
b)
  dx 2 x 9
  dx x 9 9 2
e dx x  3
e dx
x
x 

 (7  2 )
1
3
dx
e
e e x x
  


 

  2 3
dx x
x
  


 

 
3
32
dx
e
e
x
x
  


 




4
5 2
 
2
1
0.5 e dx x
 
5
2
3 (x 2 )dx x

c)
d)
e)
f)     
2
1
3 2 2 4 dx x x Nota: puedes reescribir usando leyes de exponentes para
3) Resuelve los siguientes problemas utilizando integrales:
a) La velocidad de un objeto está dada por v t t t ( )  2  m/seg., utiliza la integral
para encontrar su ecuación de posición. Considera que el s (0) = 3 m.
b) La aceleración de un objeto está dada por a t t t ( )  3  3 m/seg.2, utiliza la integral
para encontrar su ecuación de velocidad. Considera que v (1) = 2 m/seg.
En esta actividad en equipo trabajaran en problemas donde se requiere utilizar Resuelve
los siguientes problemas. No olvides incluir todo el procedimiento necesario para llegar a
la respuesta.
a)  2cot xdx
b)  dx
cos x
4
c)  x  tan x)dx
2
3
cot
2
1
(
x e dx x    
2
1
2 2 2 1
x dx x  
4
0
( 3 )
 
6
2 3
2
dx x
x 4

d)  dx
cot x
2
e)  dx
senx
3cos x
f)  (csc x cot x)dx
g)   


 

 
dx
x
x
csc
1 cot 2
h) dx
senx
x

tan
i) senx dx
x
x
ex  (   )
j)  (csc x  cot x)dx
k) xdx
x
senx
cot
cos  



l) dx
senx x  



sec
5
m) dx
x senx
senx  




2
cos
1
n) 3(sec x tan x)dx

2) Calcula las siguientes integrales definidas. Recuerda utilizar tu calculadora en radianes.
a) 
/ 2
0
3

senxdx
b) 
3 / 2
cos
2
3 

xdx
Entrega el ejercicio a tu profesor de acuerdo a la fecha publicada en la Agenda del Curso
en formato de Práctica de ejercicios matemáticos.
Resuelve los siguientes problemas. No olvides incluir todo el procedimiento necesario para
a)   


 

  
dx
x
4x 5x 9 3
b)  dx
3sec x
2
c) dx
x
x   


 



2
9
3
2 3
d)   dx
e
ex
2
7
e)  e  e dx x 8
f)  (csc x  cot x)dx

g)  


 
dx
x
x
csc
1 cot
h) dx
x
 3
tan
i) senx dx
x
x x  (5   2 ) 2
j)  csc x(csc x  cot x)dx
k) dx
x  



2
cos
2
l) dx
x x
  


 

 
3
5 9
m) dx
x senx  




2
cos
1
n) 3(sec x  csc x)dx
2) Calcula las siguientes integrales definidas. Recuerda que si estás evaluando funciones
trigonométricas tu calculadora debe estar en radianes.
Resuelve los siguientes problemas utilizando el Método de integración por sustitución o
cambio de variable. Es importante que revises los ejemplos explicados en material del
curso para que puedas hacerlos. No olvides incluir todo el procedimiento necesario para
1) La siguiente tabla muestra una lista de funciones. En cada caso identifica la función
principal, especifica la u y escribe la sustitución necesaria para integrarla. La tabla te
muestra un ejemplo de cómo debes de llenar la tabla:
Función Función u Cambio de

principal Variable ó
Sustitución
Ejemplo:
 2 2 f (x)  cos 3x  2x
Coseno  2 2 u  3x  2x f (u)  cosu
a) senx f (x)  e
b) 7 2 ( ) 7   x f x
c) f (x)  sec(4x  2) tan4x  2
d)  x x
x
f x
6 3
18 3
( ) 3
2



e)  2 7 f (x)  4x 5x  4
2) Integra las siguientes funciones utilizando el Método de sustitución, utiliza tu tabla de
integrales.
a) dx
x x
x
  

7 12
6 21
2
b)
 
 dx
x
sen x
2
1
c) x dx
x 5 2
2

 
d)  x x dx 2 4 cos 2
e) dz
z
z

 2 1 3
f)  x e dx x5 4 2 3
g)  x x sen x dx 2 2 cot Utiliza identidades trigonométricas básicas.

h)  4 tan3x cos3xdx Utiliza identidades trigonométricas básicas.
i)  
dx
x 7
6
j)  dx
x
tan x
3) Encuentra la integral definida en cada caso:
a) dx
x
x
 
4
2 2 1
5
b) dx
x  
2
1 2 3
1
c) 
/ 4
0
2cos 2

xdx
4) Las siguientes expresiones representan la ecuación de velocidad de un objeto,
encuentra la ecuación de posición y utiliza la condición inicial dada:
a)  
4 3 2 

t
t
v t , s (2) = 15
b)  
5
18
6
5


t
t
v t , s (2) = 200
Calcula las siguientes integrales, utilizando el método de integración por partes. Es
importante que revises los ejemplos explicados en material del curso para que puedas
1) Calcula la integral indefinida en cada caso:
a)  xe dx 3x 2

b) 3xsen2x dx
c)  x x  2 dx
d)  x cos 5x dx
e)  xsen 4x dx
f)  x3 ln x dx
g)  x cos3xdx 2
h)  4xsec 2x dx 2
2) Encuentra la integral definida utilizando integración por partes:
a) xe dx x 
2
1
2 3
b) x xdx
e
1
ln
c)  x xdx
/ 4
/ 6
2 2 csc


d) 
3
2
2
ln
dx
x
x
e) x dx x  
1
0
2 3

1) Calcula la integral indefinida en cada caso:
a)  cos 6xdx 3
b)  sen 0.5xdx 4
c)  cos 4xdx 2
d)  sen 3xdx 5
e)  sen 2x cos 2xdx 3 2
f)  sen 5x cos 5xdx 2 2
g)  sen6x cos 2xdx
h)  sen3xsen2xdx
2) Encuentra la integral definida en cada caso:
a)  xsen xdx
/ 4
0
cos 2 3


b)  xdx
3 / 4
/ 2
3 cos 3


En los siguientes problemas realiza las integrales que se piden utilizando el método de
sustitución trigonométrica Es importante que revises los ejemplos explicados en material
del curso para que puedas hacerlos. No olvides incluir todo el procedimiento necesario
para llegar a la respuesta.
1)  



dx
x x
dx
2 2 9
1
9
2) 
 4 2 2 x x
dx
3) 
 2 1 x
dx
4) 
 25 2 x
dx
5)   x dx 2 16
6) dx
x
x

 2
2
9
7) 
 2 4 x
dx
8) dx
x
x

 25 2
9) dx
x
x

 2 1

10)   x dx 2 49
1) Descompone en fracciones parciales:
a)
( 3)( 1)
2
 

x x
x
b)
10 25
2 3
2  

x x
x
c)
2 ( 1)( 3)
2 2
 

x x
x
d)
( 1)( 2)
3 1
2  

x x
x
2) Integra en cada caso utilizando el método de fracciones parciales.
a)   

dx
x x
x
( 4)( 2)
2
b)   

dx
x x
x
7 10
3
2
c)  

dx
x x
x
( 3)
6 1

d)   

dx
x x
x
( 4)( 7)
2 1
2
Resuelve los siguientes problemas utilizando el método de integración más conveniente.
Es importante que revises los ejemplos explicados en material del curso para que puedas
1) La siguiente tabla presenta una lista de integrales. Escribe en el espacio indicado el
método que usarías para integrar, justifica plenamente tu respuesta.
Integral Método de integración Justificación
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
2) Encuentra la integral en cada caso, selecciona el método de integración más
conveniente.
i)
 tan 4xdx
 ln x dx
 dx
sen x
x
3
cos3
 x x  dx 2 3 5 (2 3)
 xe dx x
  

dx
x x
x
2
1
2


dx
x
x
16
2
2
 cos 5xdx 3
 16 2 x
dx

16 2 x
dx
  x   dx 2 3 4

ii)
iii)
iv)
v)  (x 1)sen(x  2x)dx 2
3) Resuelve los siguientes problemas utilizando integrales.
a) La ecuación de velocidad de un objeto está dada por m/seg. ,
encuentra su ecuación de posición. Considera que la posición cuanto t = 2 seg. es
de 5 m.
b) Una plaga de insectos está reproduciéndose de acuerdo a la razón de cambio
insectos/mes, encuentra la ecuación para el número de
insectos, considera que la población inicial es de 5000 insectos.
c) Encuentra el área bajo la curva  sen x  x dx
/ 4
0
(2 3 cos 2 )

Resuelve los siguientes problemas de aplicaciones geométricas de la integral definida.
Para las gráficas puedes utilizar el software de “Graphmatica” que puedes bajar
gratuitamente del sitio www.graphmatica.com, en la parte izquierda de la página tiene
una opción para la versión en español. En este software puedes graficar la función ó
funciones de tu interés, puedes cambiar la escala utilizando la opción de Editar, de
manera que tengas una visión completa de la gráfica. El software tiene una sección de
Cálculo que permite encontrar el área al seleccionar con el cursor el intervalo de valores
  


dx
x x
x
2 3 2
4 4
 dx
x x
x
 

2
4 4
2
 

dx
x
x
2 ( 2)
5 2
( ) 3 2 1 2 v t  x  x 
r t e t t   0.5 ( ) 100

de x donde se desee integrar. También puedes encontrar los puntos de intersección
seleccionando la opción de Herramientas. Es recomendable que dediques tiempo para
familiarizarte con las funciones del software, si tienes dudas puedes utilizar la opción de
Ayuda, para resolverlas.
Es importante que revises los ejemplos explicados en material del curso para que puedas
1) Encuentra el área bajo la curva en cada caso, no olvides graficar primero la función
para definir si el área es por arriba del eje “x” ó por abajo del eje.
a) desde x = 0 hasta x = 2
b) desde x = 1 hasta x = 2
c) desde x = 1 hasta x = 4
d) desde x = 1 hasta x = 2
e) desde t = -2 hasta t = 2
2) Encuentra el área entre curvas en los siguientes problemas, no olvides graficar las
funciones para definir cual función está arriba y cual abajo, además de definir los
límites de la integral.
a) y la recta
b) y la curva
c) y la línea f (x)  2x
( ) 2 3 2 f x  x 
( ) 5 5 2 g x  x  x 
f (x)  x
x f (x)  e
h(t) t 4t 3  
2 f (x)  x f (x)  5
2 f (x)  x 3 f (x)  x
f (x)  x

d) y la línea
e) y la curva
3) Encuentra la longitud del arco en cada caso:
b) Encuentra la longitud de la línea desde x = 1 hasta x = 3 utilizando la
fórmula para la longitud del arco.
c) Encuentra la longitud de la línea desde x = 2 hasta x = 5 utilizando la
fórmula para la longitud del arco.
4) Investiga el teorema del valor medio para integrales. Puedes utilizar libros de la
biblioteca, sitios de Internet y/o biblioteca digital. Tu investigación debe de incluir qué
es el teorema del valor medio para integrales, cómo se utiliza y su interpretación
gráfica. No olvides incluir al menos dos referencias bibliográficas de donde
encontraste la información.
Resuelve los siguientes problemas utilizando Ecuaciones Diferenciales. Es importante que
revises los ejemplos explicados en material del curso para que puedas hacerlos. No
1) La siguiente tabla muestra una lista de diferentes Ecuaciones Diferenciales, clasifícalas
según su orden y linealidad. Utiliza el ejemplo como referencia para clasificar y
justificar tus respuestas.
Ecuación Diferencial Orden Linealidad
Ejemplo:
xy x
dy
d x
4 2 2
2
2
2
   


 


Segundo orden, debido a
que la derivada de orden
mayor es segunda
derivada
No lineal, debido a que la
función y su segunda
derivada estan elevadas al
cuadrado
a)3xy 4x 2xy 2   
b) 2 5 xy x
dx
dy
x  
c) x
dx
dy
y 1  2
d) 2 2
2
3   x 
dx
d y
y
dx
dy
e) y x  4  y 2
( ) 4 2 f x  x  f (x)  2x
2 f (x) 1 x f (x)  3 x
y  3x  4
y  5x  4

f) y
dx
d y
x
2
3
3
3 8  


 


 
1) Encuentra la solución general de la Ecuación Diferencial dada utilizando separación
de variables. Utiliza la condición que se indica para encontrar la solución particular.
a) xy
dx
dy
 6 ; y = 2 en x = 1
b)  x  2
dx
dy
; y = 3 en x = 2
c) t
dt
dv
 ; v = 1 en t = 4
d)
u
t
dt
du
 ; u = 1 en t = 2
e)  x 1
dx
dy
; y = 1 en x = 3
f) 1  x e
dx
dy
; y = 1 en x = 0
g)
y e
x
dx
dy 4
 ; y = 0 en x = 1
h)
y
senx
dx
dy
cos
 ; y = 0 en x = π/2
i) 2 2 9x y
dx
dy
  ; y = 1 en x = 0
j)  2  2x 1
dx
dy
; y = 3 en x = 0

2) Resuelve los siguientes problemas. Primero plantea el problema como una Ecuación
Diferencial y resuelve para encontrar la solución particular empleando la
condición(es) inicial(es) dada.
a) Una pelota se lanza hacia arriba con una velocidad inicial de 12 m/seg.
v(0) 12 , si la posición inicial es de 1.75 m s(0) 1.75y la aceleración es la
de la gravedad (-9.8 m/seg2). Encuentra la ecuación de velocidad y posición,
utiliza las condiciones iniciales.
b) Un objeto se mueve a lo largo de una línea recta con una aceleración de 4
m/seg2. Encuentra las ecuaciones para su velocidad y posición, considera que
v(1)  4m/ seg y s(0)  2m
c) Una piedra se deja caer de lo alto de la Torre Sears en Chicago, si la altura del
edificio es de 442 metros, ¿Cuál será su velocidad al tocar el piso? ¿Cuánto
tiempo tardará en llegar al piso? (Recuerda modelar el problema y su solución
utilizando Ecuaciones Diferenciales).
d) Una pelota se lanza hacia arriba con una velocidad inicial de 80 pies/seg. ,
v(0)  80 si la posición inicial es de 2 pies, s(0)  2 y la aceleración es la de la
gravedad (-32 pies/seg2). Encuentra la altura máxima qué alcanza la pelota.
3) Investiga en libros de la biblioteca, sitios de Internet y biblioteca digital sobre las
aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales. Busca un mínimo de 4 aplicaciones en
diferentes ramas del conocimiento (física, química, biología, administración,
ingeniería, etc.). Describe cada uno de las aplicaciones y la ecuación diferencial que
se utiliza en la aplicación. No olvides incluir las referencias (mínimo 2) de donde
obtuviste la información.
Resuelve los siguientes ejercicios de Modelación matemática elemental. Es importante
1) De acuerdo con el INEGI en el II Conteo de Población y Vivienda del año 2005 se
contabilizó que la población de nuestro país es de 103 millones de personas.
(Datos de: INEGI http://www.inegi.gob.mx/inegi/default.aspx). De acuerdo al
mismo Instituto la tasa de crecimiento poblacional es de 1% anual. ¿Cuál será la
población para el año 2010? ¿En cuantos años la población será de 120 millones
de personas?
(Considera al año 2005 como t = 0).

2) Una plaga de insectos que dañan las cosechas en un ejido donde se cultivan hortalizas orgánicas. Debido a que no se puede utilizar insecticidas se ha recurrido a introducir una especie de grillo que acaba con los insectos. Si en un principio se calculaba que la población de insectos era de 200,000 y a los 5 días de introducir a los grillos la población había disminuido a 180,000, ¿en cuántos días la población de insectos será de 100?
3) El Cobalto-60 es un elemento radioactivo que se utiliza en radiología y tiene una vida media de 5.3 años. Si partimos de una muestra de 100 g, ¿en cuánto tiempo quedará el 10% del material radioactivo original?
4) Un arqueólogo encontró un cráneo humano en una excavación, se le hizo la prueba del Carbono-14 y se encontró que tenía el 40% del Carbono-14 presente de un organismo vivo. ¿Cuántos años de antigüedad tiene el fósil? (La vida media del Carbono-14 es de 5,730 años)
5) Un grupo de científicos encontró en una isla una especie de tortugas que solo existe en esa isla. Si la población inicial fue de 350 tortugas y 1 año después había 420, ¿Cuántas tortugas habrá dentro de 5 años?
6) Una barra de metal con una temperatura de 25° C se sumerge en agua hirviendo a 100° C, después de 5 segundos la temperatura de la barra es de 35° C. ¿Cuánto tiempo tardará la barra en alcanzar 50° C?
7) El cuerpo de una persona fue encontrado sin vida a las 9 de la noche y su temperatura era de 85 ° F, dos horas mas tarde su temperatura era de 74 ° F. Si la temperatura ambiente es de 68 ° F, encuentra la hora aproximada de la muerte de la persona. Considera que la temperatura normal de una persona es de 98.6 °F.
8) Para modelar el interés compuesto continuo de una cuenta en el banco podemos utilizar el modelo de crecimiento exponencial. Donde y es saldo en la cuenta y k

es la tasa de interés. Si en una cuenta se depositan $100,000 y el banco paga 4%
de interés anual y no se hacen depósitos ni retiros, ¿cuál será el saldo en la cuenta
dentro de 5 años?
9) Investiga acerca del modelo logístico (para modelar poblaciones) y sobre las
trayectorias ortogonales y su relación con las Ecuaciones Diferenciales. Encuentra
qué son, cómo se utilizan y por lo menos dos ejemplos. Utiliza el graficador
Graphmatica para incluir las gráficas tanto del modelo logístico como de las
trayectorias ortogonales de tus ejemplos. Puedes utilizar otros libros diferentes al
texto del curso, páginas de Internet y Biblioteca Digital. Recuerda incluir las
referencias de las fuentes que utilizaste para encontrar la información.
Resuelve los siguientes problemas de aplicaciones de Integrales. Es importante que revises
los ejemplos explicados en material del curso para que puedas hacerlos. No olvides
incluir todo el procedimiento necesario para llegar a la respuesta.
1) Encuentra el área bajo la curva ó entre curvas de acuerdo a lo que se solicita. Incluye
la gráfica que represente el área que calculaste, utiliza Graphmatica para hacer tus
gráficas.
a) entre x = 0 y x = 2
b) entre x = 0 y x = 2
c) y , encuentra el área comprendida entre las intersecciones
de ambas gráficas (Nota: encuentra primero las intersecciones).
d) El área entre y entre x = 0 y x = 1
2) Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales, utiliza la condición
inicial dada para encontrar la solución particular.
vi) , y = 2 en x = 0
vii)
y
x
dx
dy 2 1
 , y = 2 en x = 4
( ) 6 3 2 f x  x  x 
g(x)  x 1
3 f (x)  x g(x)  x
3 f (x)  x f (x)  x
 
2
2
2 3 

x x
dx
dy

viii) , y = 1 en x = 1
ix) , T = 1 en t = 1
2) Resuelve los siguientes problemas de aplicaciones, utiliza el modelo que corresponde
de acuerdo a cada situación:
a) La ecuación de aceleración de un objeto está dada por m/seg2.
Encuentra su ecuación de velocidad y su ecuación de posición. Considera que la
velocidad inicial es de 2 m/seg. y su posición inicial 3 m.
b) Un fósil fue encontrado en un sitio arqueológico y se le hizo la prueba del Carbono-
14. Se encontró que el fósil contenía el 75% del Carbono-14 de un organismo vivo.
¿Cuál es la antigüedad del fósil? (La vida media del Carbono-14 es de 5,730 años).
c) Una colonia de bacterias de 5,000 bacterias se duplica cada 3 horas, ¿cuántas
bacterias habrá en 7 horas?
d) Un recipiente con agua se calienta en la estufa. Se retira del fuego y su
temperatura es de 95 ° C, la temperatura de la cocina es de 26 ° C. Quince
minutos después se mide la temperatura y es de 82 ° C, ¿Cuál será la temperatura
en 40 minutos?
a) ¿Qué es una función polinomial?
Es una función cuya regla esta dada por un polinomio de una sola variable. En la siguiente
fórmula se describe la forma general de un polinomio de grado :
Ejemplos: , ,
b) ¿Qué establece el Teorema Fundamental del Cálculo?
y
x
y
3
8
 
2 3t
dt
dT

t
t
a t  
4
( )
2

Establece que las operaciones de integración y derivación de una función son inversas. En otras palabras, para toda función continua integrable, se cumple que la integral de su derivada es igual a ella misma.
c) ¿Qué establece el Teorema del Factor?
Establece que un polinomio tiene un factor si y sólo si es una raíz de , es decir . De esta forma, la multiplicación de todos los factores da como resultado .
d) En la representación gráfica de una función polinomial, ¿cómo se interpretan los puntos en que la gráfica intercepta al eje horizontal?
Los puntos de intersección se interpretan como las raíces de la función polinomial.
I. Resuelve los siguientes ejercicios.
1. Indica el grado y el número máximo de soluciones para cada una de las siguientes ecuaciones polinomiales.
a.
Grado: Segundo
Número máximo de soluciones: 2
b.
Grado: Segundo
c.
Grado: Tercer
d.
Grado: Cuarto
2. Determina la ecuación cuyas raíces se indican. Expresa la ecuación como el producto de factores de la forma
a. ,
b. , ,
c. ,

d. ,
3. A partir de la representación gráfica, obtiene la función. En todos los casos la función tiene solamente raíces reales. Expresa la ecuación como el producto de factores .
(a)
(b)
Ilustración 1: Gráfica de

(c)
4. Resuelve los siguientes problemas.

a. Un granjero tiene 2400m de cerca y desea cercar un campo rectangular que limita con un río recto, de modo que no necesita cercar a lo largo del río. ¿Cuáles son las dimensiones del campo que tiene el área más grande?
El área a cercar está dada por y el perímetro está dado por . Dado que se quiere maximizar A(x,y), se procede a derivar A con respecto a una variable cualquiera de las dos ( ó ). En este caso se elegirá :
Despejando y:
Graficando se observa una parábola que abre hacia abajo y que tiene un máximo en un punto a investigar. Para hallar el máximo se obtienen las intersecciones con el eje de las abscisas (eje x) y se obtiene el punto medio entre ambas intersecciones. Una de las intersecciones es el origen y la otra se halla igualando a cero:
Como es una parábola, el máximo se encuentra en el vértice, hallado a la mitad de la distancia entre y :
Sustituyendo el punto medio en
Ilustración 4: Terreno a cercar junto a un río

Por tanto, las dimensiones que maximizan el área del terreno son . El área máxima está dada por:
b. La altura de un triángulo es cuatro unidades menor que su base. ¿Qué dimensiones debe tener el triángulo para que su área sea la menor posible?
El área del triángulo está dada por donde es la base y la altura del triángulo. Si la base está dada por y , entonces el área está dada por:
Ilustración 5: Gráfica de la función de área
Ilustración 6: Triángulo de base "x" y altura "x-4"

Graficando se tiene:
En la gráfica se aprecia un mínimo entre 0 y 4. Sin embargo, este mínimo es un área negativa lo cual es físicamente imposible. Por tanto los valores mínimos de área están dados en las intersecciones, para cuando . La primera intersección está dada en el origen ( ). Si la base es , entonces la altura es igual a , lo cual es físicamente imposible. En cambio, si , entonces , lo cual sí es posible y arroja el valor mínimo de área igual a 0.
c. Una pelota es lanzada con una rapidez inicial de , la función que describe la altura del cuerpo conforme el tiempo transcurre es:
¿Cuánto tiempo tarda la pelota en llegar al punto más alto de su trayectoria?
Considerando movimiento vertical uniformemente acelerado, la velocidad inicial está dada por: y la velocidad final al momento de llegar a su altura máxima es . Se considera que la gravedad es igual a . La gráfica de la función se obtiene sustituyendo la velocidad inicial y la gravedad en :
Ilustración 7: Gráfica de la función de área

Dado que la función de la altura en términos del tiempo es una parábola que abre hacia abajo, la gráfica tiene un máximo de altura justo en el punto medio de las intersecciones del eje de las abscisas (eje del tiempo). Hallando las intersecciones:
Las intersecciones están dadas en y . Dividiendo la distancia entre las dos intersecciones entre 2 dará como resultado el tiempo en el que llega la pelota a su altura máxima:

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