SlideShare una empresa de Scribd logo
1 de 52
Descargar para leer sin conexión
Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com 
www.maestronline.com 
Pide una cotización a nuestros correos. 
Maestros Online Física, matemáticas. Apoyo en ejercicios 
Servicio de asesorías y solución de ejercicios 
Ciencias_help@hotmail.com
Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com 
www.maestronline.com 
El objetivo de la siguiente actividad es poner en práctica la identificación de las partes de una función, la diversidad de representaciones que existen y la evaluación de funciones explícitas. 
Parte A: Instrucciones: Determina lo que se te pide de los siguientes ejemplos de funciones: 
1. Un videoclub captura la cantidad de rentas que tiene por mes durante 2 años. 
Variable independiente : Variable dependiente : 
2. Se tiene la siguiente función: , utilízala para calcular lo siguiente: 
a. 
b. 
c. 
d. ¿Qué puedes concluir de los valores de ? 
3. Se tiene la siguiente función: , utilízala para calcular lo siguiente: 
e. 
f. 
g. 
h. ¿Qué puedes decir acerca de conforme va creciendo? 
4. Un obrero cuenta cuántos objetos defectuosos salen cada diez minutos de una línea de producción durante una hora, da una representación numérica y gráfica de la función en cuestión (inventa los números para la cantidad de objetos defectuosos): 
Hora 
Objetos Defectuosos 12:00 12:10 12:20 12:30 12:40 12:50 13:00
Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com 
www.maestronline.com 
5. Se tiene la siguiente gráfica, da una representación numérica de la función en cuestión: 
Parte B: 
Instrucciones: Contesta lo que se te pide a continuación de manera clara y ordenada, incluye las operaciones matemáticas y justificaciones que sean necesarias para llegar a la respuesta. 
1. Explica con tus palabras lo que es una función: 
2. Da un ejemplo de una función en alguna de tus actividades diarias, distingue la variable independiente y la variable dependiente: 
3. ¿Cómo se representa una función numéricamente? 
4. ¿Es lo siguiente un ejemplo de función? Justifica tu respuesta. 
Matrícula de alumno 
286420 
286421 
286422 
286421 
286422 
286423 
286424 
Calificación Final 95 94 89 86 93 100 78 
5. Realiza una gráfica de la siguiente función:
Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com 
www.maestronline.com 
Instrucciones: 
Contesta lo que se te pide a continuación de manera clara y ordenada, incluye las operaciones matemáticas y justificaciones que sean necesarias para llegar a la respuesta. 
1. Se tiene la siguiente gráfica de una función, además se sabe que los valores se encuentran restringidos entre los dos puntos rojos en la gráfica. 
Da una aproximación del dominio: Da una aproximación del rango: ¿En qué intervalos la función es creciente y decreciente? 
2. Realiza una gráfica de la siguiente función y encuentra su dominio y su rango: 
Dominio: Rango: 
3. Clasifica las siguientes funciones por su estructura de acuerdo a las familias presentadas en este tema, además comenta cómo es que la identificaste: 
a. 
b. 
c. 
d.
Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com 
www.maestronline.com 
4. Menciona qué tienen en común gráficamente las siguientes tres funciones lineales: 
 
 
 
5. Lee lo que se plantea y responde las preguntas. Un supermercado capturó durante el mes de diciembre la siguiente información: Día del mes Árboles de navidad vendidos 1 2 2 4 3 7 4 9 5 11 6 15 7 16 8 16 9 18 10 23 
 Realiza una gráfica con los datos. 
 ¿Qué tipo de función se podría usar para aproximar esta información? 
6. ¿Cómo se puede determinar si una gráfica no corresponde a una función? 
7. Determina si la siguiente función es creciente o decreciente, además da una prueba numérica de ello: 
8. Da dos ejemplos de polinomios de grado 3: 
Instrucciones:
Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com 
www.maestronline.com 
Calcula de forma ordenada y clara lo que se te pide en cada uno de los ejercicios. Recuerda incluir las operaciones y justificaciones necesarias. 
1. Calcula los siguientes límites a partir de una tabla de datos: 
a. 
b. 
2. Usa las propiedades de los límites para evaluar lo siguiente sin usar tablas: 
a. 
b. 
3. Identifica cuáles de los siguientes son límites que tienden a infinito y explica porqué: 
a. 
b. 
c. 
d. 
4. Identifica la recta asíntota que define el siguiente límite y realiza una gráfica para comprobarlo: 
a.
Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com 
www.maestronline.com 
Instrucciones: 
Calcula de forma ordenada y clara lo que se te pide en cada uno de los ejercicios. Recuerda incluir las operaciones y justificaciones necesarias. 
1. Utiliza la definición de continuidad para demostrar que las siguientes funciones son continuas en el número a dado: 
a. 
b. 
c. 
d. 
2. Explica porqué las siguientes funciones son discontinuas: 
a. 
b. 
c. 
3. Utiliza las propiedades y teoremas de continuidad para evaluar los siguientes límites: 
a. 
b.
Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com 
www.maestronline.com 
c. 
4. Da un ejemplo de función continua y realiza su gráfica. 
5. Dibuja 2 ejemplos de gráficas de funciones discontinuas. 
6. Menciona un ejemplo aplicado de discontinuidad en la vida real. 
Instrucciones: 
Calcula de forma ordenada y clara lo que se te pide en cada uno de los ejercicios. No olvides incluir las operaciones y justificaciones necesarias. 
1. Considera la función y responde lo siguiente: 
a. ¿Cuál es la razón promedio de cambio entre x=0 y x=10? 
b. ¿Cuál es la razón promedio de cambio entre x=0 y x=5? 
c. ¿Cuál es la razón promedio de cambio entre x=0 y x=1? 
d. ¿Qué se puede decir de la pendiente de y conforme x es más cercana a cero? 
2. Observa la siguiente gráfica y realiza lo que se te pide: 
a. Dibuja la razón promedio de cambio entre x=5 y x=12. 
b. Dibuja la razón promedio de cambio entre x=6 y x=12. 
c. Dibuja la razón promedio de cambio entre x=10 y x=12. 
d. ¿Qué se puede inferir sobre la razón instantánea de cambio en x=12?
Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com 
www.maestronline.com 
3. ¿Qué dice gráficamente la razón promedio de cambio de una magnitud? 
4. Construye la gráfica de y dibuja la razón promedio de cambio entre los puntos x=2 y x=3. 
5. Si un cañón lanza una bala verticalmente hacia arriba con una velocidad de 150 metros por segundo, su posición h una vez que transcurren t segundos está dada por . Con esta información responde lo siguiente: 
a. ¿Cuál es la velocidad promedio de la bala entre los 1 y los 7 segundos? 
b. ¿Cuál es la velocidad instantánea en t=3 segundos? 
6. Considera la función y responde lo siguiente: 
a. ¿Cuál es la razón promedio de cambio entre x=0 y x=2? 
b. ¿Cuál es la razón promedio de cambio entre x=2 y x=4? 
c. ¿Cuál es la razón promedio de cambio entre x=4 y x=6? 
d. ¿Qué se puede decir de la pendiente de y conforme x es más grande? 
7. La siguiente tabla muestra la cantidad de automóviles producidos por una fábrica por mes. Con dicha información responde las preguntas: 
Mes 
2 
4 
6 
8 
10 
12 Autos 3500 2900 2000 1500 2800 4600 
a. Calcula la razón promedio de producción por mes del mes 4 al mes 10. 
b. Calcula la razón promedio de producción por mes del mes 2 al mes 8. 
c. Calcula la razón promedio de producción por mes del mes 8 al mes 12. 
d. ¿Qué te dicen estas razones sobre el comportamiento de la producción en la fábrica? 
Instrucciones: 
Calcula de forma ordenada y clara lo que se te pide en cada uno de los ejercicios. Recuerda incluir las operaciones y justificaciones necesarias. 
1. Considera la siguiente gráfica y dibuja lo que se te pide:
Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com 
www.maestronline.com 
a. Dibuja la recta secante entre los puntos (1,f(1)) y (2,f(2)). 
b. Dibuja la recta tangente al punto (5,f(5)). 
c. Dibuja la recta normal al punto (3,f(3)). 
2. Define con tus propias palabras lo que es una recta secante a una curva f(x). 
3. ¿Qué se necesita para calcular la pendiente de una recta tangente a una curva f(x)? 
4. ¿Se puede calcular siempre la pendiente de una recta normal en una curva f(x)? 
5. Obtén la pendiente de la recta secante, tangente y normal a la función que pasa por los puntos dados (para la tangente y la normal selecciona el primer punto): 
a. 
b. 
6. Dibuja la gráfica de la siguiente función y da un ejemplo de recta secante, tangente y normal en ella mostrando los puntos elegidos (elije los puntos a tu gusto). 
7. Obtén la representación algebraica de la recta tangente de la siguiente función:
Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com 
www.maestronline.com 
8. Obtén una expresión para la pendiente de la recta tangente de la siguiente función para cualquier punto x=a. 
Instrucciones: 
Calcula de forma ordenada y clara lo que se te pide en cada uno de los ejercicios. Recuerda incluir las operaciones y justificaciones necesarias. 
1. Describe con tus propias palabras qué entiendes por la derivada de una función. 
2. Considera la siguiente gráfica de la función y ordena de mayor a menor las siguientes derivadas, explica tu razonamiento: 
a. 
b. 
c. 
d. 
3. Obtén una expresión general para la derivada de las funciones dadas en el punto x=a por medio de la definición: 
a. 
b. 
c. 
d. 
4. La cantidad de personas atendidas en un restaurant de comida rápida después de t minutos esta expresada por la función
Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com 
www.maestronline.com 
a. ¿Qué significado tiene la derivada ? 
b. ¿Qué determinará los valores que puede tomar la derivada ? 
5. Los siguientes límites expresan la derivada de una función en un punto x=a. Determina cuál es la función que se está derivando y el valor de a que se está utilizando: 
a. 
b. 
c. 
Instrucciones: 
Calcula de forma ordenada y clara lo que se te pide en cada uno de los ejercicios. Recuerda incluir las operaciones y justificaciones necesarias. 
1. Explica con tus propias palabras cómo sacar la derivada de un producto de funciones. 
2. ¿Cuándo se dice que una función es derivable? 
3. Obtén la primer derivada de las siguientes funciones mediante la regla de suma y resta: 
a. 
b. 
4. Obtén la primer derivada de las siguiente funciones mediante la regla del producto: 
a.
Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com 
www.maestronline.com 
b. 
5. Obtén la primer derivada de las siguientes funciones mediante la regla del cociente: 
a. 
b. 
6. Grafica la primer derivada de la siguiente función: 
a. 
7. Obtén la segunda derivada de las siguientes funciones: 
a. 
b. 
8. Evalúa la primer derivada de la siguiente función en el punto dado: 
a. 
9. Evalúa la tercer derivada de las siguientes funciones en el punto dado: 
a. 
b. 
c. 
10. Obtén la derivada de la siguientes funciones usando la regla de la cadena: 
a. 
b. 
Instrucciones: 
Calcula de forma ordenada y clara lo que se te pide en cada uno de los ejercicios. Recuerda incluir las operaciones y justificaciones necesarias.
Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com 
www.maestronline.com 
1. El péndulo de un reloj antiguo oscila con un movimiento armónico simple. La posición de la base del péndulo con respecto a una superficie horizontal está dada por la función , donde x es la posición del objeto en centímetros y t es el tiempo transcurrido en segundos. Con esta información responde lo siguiente: 
a. ¿Cuál es la función de velocidad de la base del péndulo , es decir la primer derivada de ? 
b. ¿Qué valores toman la posición y la velocidad en ? 
2. ¿Cuál es la característica más importante de la derivada de una función exponencial? 
3. Obtén la derivada de la siguiente función trigonométrica a partir de su equivalencia en senos y cosenos y comprueba que se obtiene el resultado planteado en la definición de la derivada: 
4. Obtén la derivada de las siguientes funciones trigonométricas: 
a. 
b. 
5. Obtén la derivada de las siguientes funciones exponenciales: 
a. 
b. 
6. Obtén la derivada de las siguientes funciones logarítmicas: 
a. 
b. 
7. Obtén la derivada de las siguientes funciones compuestas:
Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com 
www.maestronline.com 
a. 
b. 
Instrucciones: 
Calcula de forma ordenada y clara lo que se te pide en cada uno de los ejercicios. Recuerda incluir las operaciones y justificaciones necesarias. 
1. ¿Por qué cuando se deriva la variable dependiente (y) en el método de derivación implícita se usa la regla de la cadena? 
2. Considera la siguiente ecuación y responde lo que se te pide: 
a. Encuentra por el método de derivación implícita. 
b. Despeja y de la ecuación original y deriva con respecto a x. 
c. Comprueba que el resultado obtenido en a) es equivalente al obtenido en b) al sustituir y en el resultado de a). 
4. Encuentra implícitamente las ecuaciones dadas: 
a. 
b. 
c. 
d. 
5. Realiza los siguientes pasos para la ecuación dada: 
 Obtén implícitamente. 
 Sustituye el punto dado para obtener el valor explícito de la pendiente en dicho punto. 
 Utiliza la información de la pendiente y el punto dado para escribir la función de la recta tangente al punto.
Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com 
www.maestronline.com 
a. 
Instrucciones: 
Calcula de forma ordenada y clara lo que se te pide en cada uno de los ejercicios. Recuerda incluir las operaciones y justificaciones necesarias. 
1. ¿Qué significa que una función sea creciente en un intervalo? 
2. ¿Qué es un mínimo global en una función? 
3. ¿Cómo se identifica un máximo local en una función? 
4. Determina si la siguiente función es creciente o decreciente en el intervalo dado: 
 en el intervalo [-4,-2]. 
5. Determina si la siguiente función es cóncava hacia arriba o hacia abajo en el intervalo dado: 
 en el intervalo [-2,0]. 
6. Determina en qué intervalos de la siguiente gráfica se tienen tipos de crecimiento o concavidad: 
7. Clasifica los puntos de la siguiente gráfica como máximo global, mínimo global, máximo local, mínimo local o ninguno de los anteriores:
Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com 
www.maestronline.com 
8. Dibuja la gráfica de una función f(x) que cumpla con las siguientes propiedades: Que tenga máximo global en x=2 y mínimo global en x=4, que tenga un mínimo local en x=6 y que tenga un máximo local en x=0. 
9. Obtén los puntos críticos de la siguiente función y determina si corresponden o no a máximos o mínimos locales: 
a. 
Instrucciones: 
Calcula de forma ordenada y clara lo que se te pide en cada uno de los ejercicios. No olvides incluir las operaciones y justificaciones necesarias. 
1. ¿Cuándo se dice que un límite esta indeterminado? 
2. ¿Qué se necesita para poder aplicar la regla de L´Hopital? 
3. Dadas las siguientes funciones, indica en donde tienen un límite indeterminado. 
a. 
b. 
c. 
d. 
e.
Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com 
www.maestronline.com 
4. Utiliza la regla de L´Hopital para obtener los siguientes límites, de ser necesario y posible, utilízala más de una vez. Si no es posible utilizar la regla, menciona por qué: 
a. 
b. 
c. 
d. 
Calcula de forma ordenada y clara lo que se te pide en cada uno de los ejercicios. Recuerda incluir las operaciones y justificaciones necesarias. 
1. ¿Cómo se utilizan las derivadas en los problemas de optimización? 
2. ¿Por qué la primera derivada de una función de posición expresa la velocidad? 
3. Supongamos que tenemos un terreno rectangular el cual queremos cercar. Para lograrlo contamos con 400 metros de cerca y queremos saber de qué manera podemos usarla para cubrir la mayor área rectangular posible dentro del terreno. 
4. Supongamos que tenemos un terreno rectangular el cual queremos cercar. El terreno ya cuenta con dos muros que lo rodean, por lo que sólo necesitamos cercar los dos restantes. Para lograrlo contamos con 230 metros de cerca y queremos saber de qué manera podemos usarla para cubrir la mayor área rectangular posible dentro del terreno.
Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com 
www.maestronline.com 
5. Un auto que se mueve en una línea recta, tiene la siguiente función de posición: , donde x esta en kilómetros y t en horas. 
a. Obtén la función de velocidad del automóvil. 
b. Obtén la función de aceleración del automóvil. 
c. ¿Qué posición tiene el auto 3 horas después? ¿Qué significa él valor obtenido? 
d. ¿Qué velocidad lleva el auto 8 horas después? ¿Qué significa el valor obtenido? 
e. ¿Qué aceleración lleva el auto cuando han transcurrido 1 hora, 3 horas, 6 horas? 
6. Una empresa que produce sillas, tiene la siguiente función de costo para su producción: , donde x es la cantidad de sillas producidas y c es el costo de la producción en pesos. 
a. Obtén la función de costo marginal. 
b. Obtén la función de costo promedio. 
c. Indica en qué nivel de producción se minimiza el costo promedio. 
d. ¿Qué valor toma el costo en este nivel de producción? 
Practica de ejercicios matemáticos 
Los diferenciales 
Nombre del alumno: ____________________________ Matrícula: ________________ 
Resuelve los siguientes problemas utilizando diferenciales para su solución. Es importante que revises los ejemplos explicados en material del curso para que puedas hacerlos. No olvides incluir todo el procedimiento necesario para llegar a la respuesta.
Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com 
www.maestronline.com 
1) Encuentra el diferencial para la función en cada caso, es decir “dy”. 
a) 4 2 3 2 y   x  x  
b) y 9x 4x 4   
c) 
3 
4 3 6 
x 
y  x  
d) 
2 ( 1) 
1 
 
 
x 
y 
e) y  3 x 
f)  2 y  x  3 
g)  3 y  x  3 
h)  3 y  x  3 
i)  2 4 y  9x  6 
j) 6 2 2   x  
x 
x 
y 
k) 2 / 3 y  (x  2) 
2) Resuelve los siguientes problemas usando diferenciales: 
a) Se midió el lado de un cuadrado y se encontró que es de 5 cm., con un posible 
error de medición de 0.01 cm. Usa diferenciales para encontrar una 
aproximación en el error del área del cuadrado. 

Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com 
www.maestronline.com 
b) Usa diferenciales para aproximar el aumento en el volumen de un cubo si sus 
lados aumentan de 7 cm. a 7.2 cm. 
c) Un cliente de un fabricante de latas cilíndricas que miden 10 cm. de largo y 4 cm. 
de radio está pidiendo aumentar el radio en 0.5 cm. Usando diferenciales 
encuentra una aproximación para el aumento del volumen de la lata. 
d) Un domo esférico tiene un radio de 110 metros con un error de medición de 2 
cm., usando diferenciales encuentra el error en el área superficial del domo. (Para 
este problema necesitas el área superficial de la semi-esfera). 
e) Se construyó una alberca de 25 metros de largo por 10 metros de ancho y 1.6 
metros de profundidad, si en la construcción se cometió un error y la alberca mide 
10.5 metros de ancho. Usando diferenciales encuentra el aumento en el volumen 
de la alberca. ¿Cuántos litros adicionales de agua serán necesarios para llenarla? 
Envía el ejercicio a tu tutor a través del Centro de Mensajes de acuerdo a la fecha 
publicada en la Agenda del Curso en formato de Práctica de ejercicios matemáticos. 
Resuelve los siguientes problemas utilizando diferenciales para su solución. Es importante 
que revises los ejemplos explicados en material del curso para que puedas hacerlos. No 
olvides incluir todo el procedimiento necesario para llegar a la respuesta. 
1) Encuentra la familia de antiderivadas en cada caso: 
a) ( ) 8 5 3 f x  x  
b) ( ) 3 4 2 10 7 4 2 f x  x  x  x  
c) 
3 
3 3 
3 
( ) 
x 
x 
f x   
d) 3 h(x)  x 3 x 
e) 2  7 / 2  y  3x 7x  4x 

Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com 
www.maestronline.com 
f) 
x 
x x x 
g x 
2 3 2 6 9 
( ) 
  
 
g) 
x 
x x 
h x 
3 1/ 4 3 3 
( ) 
 
 
h) 2 y  (2x  3) 
i) h(x)  (3x 5)(4  x) 
j) ( ) ( 1) 2 2    f x x x 
2) Encuentra la antiderivada específica utilizando la condición inicial dada: 
a) 3 ( ) 4  f x  x , considera que F(1)=2 
b) ( ) 6 2 2   x  
x 
x 
g x , considera que G(4)=1 
c) 3 7 h(x)  2 x , considera que H(1)=0 
d) 2  5/ 2  g(x)  x 6x  2x , considera que G(0)=1 
e) 
2 
2 3 
2 
( ) 
x x 
x 
f x   , considera que F(1)=1 
3) Resuelve los siguientes problemas utilizando la antiderivada: 
a) La velocidad de un objeto está dada por 
2 
( ) 
2 t t 
v t 
 
 m/min. Encuentra su 
ecuación de posición y considera que s (1)=4 m.
Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com 
www.maestronline.com 
b) La aceleración de un objeto que se mueve a lo largo de una línea recta está dada 
por a(t)  4t 5 en metros por segundo al cuadrado. Encuentra las ecuaciones 
para su velocidad y aceleración, considera que la velocidad inicial es de 2 m/seg. 
y la posición inicial es de 3 m. 
c) Una empresa ha encontrado que el costo marginal (C ) de fabricar x número de 
artículos está dada por C(x) 1.5x  2 , encuentra la función de costo (C(x)), 
considera que el costo fijo es de $10,000, C (0)=10,000. 
d) La población de cierta especie de animales está creciendo a una razón de 
cambio de ( ) 4 2 2 r t  t  t  animales/año. Encuentra la ecuación para la 
población y considera que la población inicial es de 100 animales. ¿Cuál será la 
población dentro de 10 años? 
e) El área de un lago está disminuyendo con una razón de cambio dada por 
( ) 2 2 r t  t  metros cuadrados/año. Encuentra la ecuación para el área del 
lago, considera que el área inicial del lago es de 1000 m2. 
Resuelve los siguientes problemas utilizando integrales y el área bajo la curva. Es 
importante que revises los ejemplos explicados en material del curso para que puedas 
hacerlos. No olvides incluir todo el procedimiento necesario para llegar a la respuesta. 
1) Integra las siguientes funciones: 
a)  2dx 
b)  x dx 5 4 
c)  x 12x  2dx 2 
d)  xdx 3 
e)  dx 
x2 
9
Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com 
www.maestronline.com 
f)  
  
dx 
x 
x x 
3 
4 3 8 4 
g)  x   dx 3 2 
h) dx 
x 
x 
  
 
( 2) 
( 4) 2 
i) dx 
x    2 ( 2) 
3 
j) dx 
x 
x x 
 
9 5  2 2 
k) dx 
x 
x x 
  
  
( 2) 
( 5 6) 2 
l)  x2x  8x 1dx 2 
2) Calcula las siguientes integrales definidas: 
a)  
2 
1 
6dx 
b)  
5 
2 
3 8x dx 
c)   x  x  dx 
2 
1 
2 4 9 2 
d)  xdx 
9 
0 
4
Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com 
www.maestronline.com 
e)  
6 
2 
3 
4 
dx 
x 
f)     
4 
1 
3 x 1 dx 
3) Resuelve los siguientes problemas utilizando integrales: 
a) La velocidad de un objeto está dada por v(t) t 3t 2   m/seg.; utiliza la integral 
para encontrar su ecuación de posición. Considera que el x (1) = 3 m. 
b) La aceleración de un objeto está dada por a(t)  5  3t m/seg.2, utiliza la integral 
para encontrar su ecuación de velocidad. Considera que v (2) = 4 m/seg. 
Resuelve los siguientes problemas. No olvides incluir todo el procedimiento necesario para 
llegar a la respuesta. 
1) Integra las siguientes funciones: 
a)    dx x 12 
b)  x  e dx x (10 ) 4 
c)  x x dx x 3 2   2 2 
d)  e dx x 2 
e)   dt t 8 
9 
f)  
  
dx 
x e x 
3 
9 2 3
Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com 
www.maestronline.com 
g) Nota: a partir de este problema utiliza leyes de exponentes, ejemplo: 
h) 
i) 
j) 
k) 
l) 
m) e e e dx x x    ( ) 3 
2) Calcula las siguientes integrales definidas: 
a) 
b) 
  dx 2 x 9 
  dx x 9 9 2 
e dx x  3 
e dx 
x 
x  
 
 (7  2 ) 
1 
3 
dx 
e 
e e x x 
   
 
 
  
 
  2 3 
dx x 
x 
   
 
 
  
 
  
3 
32 
dx 
e 
e 
x 
x 
   
 
 
  
 
 
 
 
4 
5 2 
  
2 
1 
0.5 e dx x 
  
5 
2 
3 (x 2 )dx x
Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com 
www.maestronline.com 
c) 
d) 
e) 
f)      
2 
1 
3 2 2 4 dx x x Nota: puedes reescribir usando leyes de exponentes para 
3) Resuelve los siguientes problemas utilizando integrales: 
a) La velocidad de un objeto está dada por v t t t ( )  2  m/seg., utiliza la integral 
para encontrar su ecuación de posición. Considera que el s (0) = 3 m. 
b) La aceleración de un objeto está dada por a t t t ( )  3  3 m/seg.2, utiliza la integral 
para encontrar su ecuación de velocidad. Considera que v (1) = 2 m/seg. 
En esta actividad en equipo trabajaran en problemas donde se requiere utilizar Resuelve 
los siguientes problemas. No olvides incluir todo el procedimiento necesario para llegar a 
la respuesta. 
1) Integra las siguientes funciones: 
a)  2cot xdx 
b)  dx 
cos x 
4 
c)  x  tan x)dx 
2 
3 
cot 
2 
1 
( 
x e dx x     
2 
1 
2 2 2 1 
x dx x   
4 
0 
( 3 ) 
  
6 
2 3 
2 
dx x 
x 4
Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com 
www.maestronline.com 
d)  dx 
cot x 
2 
e)  dx 
senx 
3cos x 
f)  (csc x cot x)dx 
g)    
 
 
  
 
  
dx 
x 
x 
csc 
1 cot 2 
h) dx 
senx 
x 
 
tan 
i) senx dx 
x 
x 
ex  (   ) 
j)  (csc x  cot x)dx 
k) xdx 
x 
senx 
cot 
cos   
 
 
 
l) dx 
senx x   
 
 
 
sec 
5 
m) dx 
x senx 
senx   
 
 
 
 
2 
cos 
1 
n) 3(sec x tan x)dx
Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com 
www.maestronline.com 
2) Calcula las siguientes integrales definidas. Recuerda utilizar tu calculadora en radianes. 
a)  
/ 2 
0 
3 
 
senxdx 
b)  
3 / 2 
cos 
2 
3  
 
xdx 
Entrega el ejercicio a tu profesor de acuerdo a la fecha publicada en la Agenda del Curso 
en formato de Práctica de ejercicios matemáticos. 
Resuelve los siguientes problemas. No olvides incluir todo el procedimiento necesario para 
llegar a la respuesta. 
1) Integra las siguientes funciones: 
a)    
 
 
  
 
   
dx 
x 
4x 5x 9 3 
b)  dx 
3sec x 
2 
c) dx 
x 
x    
 
 
  
 
 
 
2 
9 
3 
2 3 
d)   dx 
e 
ex 
2 
7 
e)  e  e dx x 8 
f)  (csc x  cot x)dx
Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com 
www.maestronline.com 
g)   
 
 
  
dx 
x 
x 
csc 
1 cot 
h) dx 
x 
 3 
tan 
i) senx dx 
x 
x x  (5   2 ) 2 
j)  csc x(csc x  cot x)dx 
k) dx 
x   
 
 
 
2 
cos 
2 
l) dx 
x x 
   
 
 
  
 
  
3 
5 9 
m) dx 
x senx   
 
 
 
 
2 
cos 
1 
n) 3(sec x  csc x)dx 
2) Calcula las siguientes integrales definidas. Recuerda que si estás evaluando funciones 
trigonométricas tu calculadora debe estar en radianes. 
Resuelve los siguientes problemas utilizando el Método de integración por sustitución o 
cambio de variable. Es importante que revises los ejemplos explicados en material del 
curso para que puedas hacerlos. No olvides incluir todo el procedimiento necesario para 
llegar a la respuesta. 
1) La siguiente tabla muestra una lista de funciones. En cada caso identifica la función 
principal, especifica la u y escribe la sustitución necesaria para integrarla. La tabla te 
muestra un ejemplo de cómo debes de llenar la tabla: 
Función Función u Cambio de
Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com 
www.maestronline.com 
principal Variable ó 
Sustitución 
Ejemplo: 
 2 2 f (x)  cos 3x  2x 
Coseno  2 2 u  3x  2x f (u)  cosu 
a) senx f (x)  e 
b) 7 2 ( ) 7   x f x 
c) f (x)  sec(4x  2) tan4x  2 
d)  x x 
x 
f x 
6 3 
18 3 
( ) 3 
2 
 
 
 
e)  2 7 f (x)  4x 5x  4 
2) Integra las siguientes funciones utilizando el Método de sustitución, utiliza tu tabla de 
integrales. 
a) dx 
x x 
x 
   
 
7 12 
6 21 
2 
b) 
  
 dx 
x 
sen x 
2 
1 
c) x dx 
x 5 2 
2 
 
  
d)  x x dx 2 4 cos 2 
e) dz 
z 
z 
 
 2 1 3 
f)  x e dx x5 4 2 3 
g)  x x sen x dx 2 2 cot Utiliza identidades trigonométricas básicas.
Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com 
www.maestronline.com 
h)  4 tan3x cos3xdx Utiliza identidades trigonométricas básicas. 
i)   
dx 
x 7 
6 
j)  dx 
x 
tan x 
3) Encuentra la integral definida en cada caso: 
a) dx 
x 
x 
  
4 
2 2 1 
5 
b) dx 
x   
2 
1 2 3 
1 
c)  
/ 4 
0 
2cos 2 
 
xdx 
4) Las siguientes expresiones representan la ecuación de velocidad de un objeto, 
encuentra la ecuación de posición y utiliza la condición inicial dada: 
a)   
4 3 2  
 
t 
t 
v t , s (2) = 15 
b)   
5 
18 
6 
5 
 
 
t 
t 
v t , s (2) = 200 
Calcula las siguientes integrales, utilizando el método de integración por partes. Es 
importante que revises los ejemplos explicados en material del curso para que puedas 
hacerlos. No olvides incluir todo el procedimiento necesario para llegar a la respuesta. 
1) Calcula la integral indefinida en cada caso: 
a)  xe dx 3x 2
Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com 
www.maestronline.com 
b) 3xsen2x dx 
c)  x x  2 dx 
d)  x cos 5x dx 
e)  xsen 4x dx 
f)  x3 ln x dx 
g)  x cos3xdx 2 
h)  4xsec 2x dx 2 
2) Encuentra la integral definida utilizando integración por partes: 
a) xe dx x  
2 
1 
2 3 
b) x xdx 
e 
1 
ln 
c)  x xdx 
/ 4 
/ 6 
2 2 csc 
 
 
d)  
3 
2 
2 
ln 
dx 
x 
x 
e) x dx x   
1 
0 
2 3 
Resuelve los siguientes problemas utilizando diferenciales para su solución. Es importante 
que revises los ejemplos explicados en material del curso para que puedas hacerlos. No 
olvides incluir todo el procedimiento necesario para llegar a la respuesta.
Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com 
www.maestronline.com 
1) Calcula la integral indefinida en cada caso: 
a)  cos 6xdx 3 
b)  sen 0.5xdx 4 
c)  cos 4xdx 2 
d)  sen 3xdx 5 
e)  sen 2x cos 2xdx 3 2 
f)  sen 5x cos 5xdx 2 2 
g)  sen6x cos 2xdx 
h)  sen3xsen2xdx 
2) Encuentra la integral definida en cada caso: 
a)  xsen xdx 
/ 4 
0 
cos 2 3 

Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com 
www.maestronline.com 
b)  xdx 
3 / 4 
/ 2 
3 cos 3 
 
 
En los siguientes problemas realiza las integrales que se piden utilizando el método de 
sustitución trigonométrica Es importante que revises los ejemplos explicados en material 
del curso para que puedas hacerlos. No olvides incluir todo el procedimiento necesario 
para llegar a la respuesta. 
1)   
 
 
 
dx 
x x 
dx 
2 2 9 
1 
9 
2)  
 4 2 2 x x 
dx 
3)  
 2 1 x 
dx 
4)  
 25 2 x 
dx 
5)   x dx 2 16 
6) dx 
x 
x 
 
 2 
2 
9 
7)  
 2 4 x 
dx 
8) dx 
x 
x 
 
 25 2 
9) dx 
x 
x 
 
 2 1
Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com 
www.maestronline.com 
10)   x dx 2 49 
Resuelve los siguientes problemas utilizando diferenciales para su solución. Es importante 
que revises los ejemplos explicados en material del curso para que puedas hacerlos. No 
olvides incluir todo el procedimiento necesario para llegar a la respuesta. 
1) Descompone en fracciones parciales: 
a) 
( 3)( 1) 
2 
  
 
x x 
x 
b) 
10 25 
2 3 
2   
 
x x 
x 
c) 
2 ( 1)( 3) 
2 2 
  
 
x x 
x 
d) 
( 1)( 2) 
3 1 
2   
 
x x 
x 
2) Integra en cada caso utilizando el método de fracciones parciales. 
a)    
 
dx 
x x 
x 
( 4)( 2) 
2 
b)    
 
dx 
x x 
x 
7 10 
3 
2 
c)   
 
dx 
x x 
x 
( 3) 
6 1
Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com 
www.maestronline.com 
d)    
 
dx 
x x 
x 
( 4)( 7) 
2 1 
2 
Resuelve los siguientes problemas utilizando el método de integración más conveniente. 
Es importante que revises los ejemplos explicados en material del curso para que puedas 
hacerlos. No olvides incluir todo el procedimiento necesario para llegar a la respuesta. 
1) La siguiente tabla presenta una lista de integrales. Escribe en el espacio indicado el 
método que usarías para integrar, justifica plenamente tu respuesta. 
Integral Método de integración Justificación 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
i) 
j) 
2) Encuentra la integral en cada caso, selecciona el método de integración más 
conveniente. 
i) 
 tan 4xdx 
 ln x dx 
 dx 
sen x 
x 
3 
cos3 
 x x  dx 2 3 5 (2 3) 
 xe dx x 
   
 
dx 
x x 
x 
2 
1 
2 
 
 
dx 
x 
x 
16 
2 
2 
 cos 5xdx 3 
 16 2 x 
dx 
 
16 2 x 
dx 
  x   dx 2 3 4
Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com 
www.maestronline.com 
ii) 
iii) 
iv) 
v)  (x 1)sen(x  2x)dx 2 
3) Resuelve los siguientes problemas utilizando integrales. 
a) La ecuación de velocidad de un objeto está dada por m/seg. , 
encuentra su ecuación de posición. Considera que la posición cuanto t = 2 seg. es 
de 5 m. 
b) Una plaga de insectos está reproduciéndose de acuerdo a la razón de cambio 
insectos/mes, encuentra la ecuación para el número de 
insectos, considera que la población inicial es de 5000 insectos. 
c) Encuentra el área bajo la curva  sen x  x dx 
/ 4 
0 
(2 3 cos 2 ) 
 
Resuelve los siguientes problemas de aplicaciones geométricas de la integral definida. 
Para las gráficas puedes utilizar el software de “Graphmatica” que puedes bajar 
gratuitamente del sitio www.graphmatica.com, en la parte izquierda de la página tiene 
una opción para la versión en español. En este software puedes graficar la función ó 
funciones de tu interés, puedes cambiar la escala utilizando la opción de Editar, de 
manera que tengas una visión completa de la gráfica. El software tiene una sección de 
Cálculo que permite encontrar el área al seleccionar con el cursor el intervalo de valores 
   
 
 
dx 
x x 
x 
2 3 2 
4 4 
 dx 
x x 
x 
  
 
2 
4 4 
2 
  
 
dx 
x 
x 
2 ( 2) 
5 2 
( ) 3 2 1 2 v t  x  x  
r t e t t   0.5 ( ) 100
Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com 
www.maestronline.com 
de x donde se desee integrar. También puedes encontrar los puntos de intersección 
seleccionando la opción de Herramientas. Es recomendable que dediques tiempo para 
familiarizarte con las funciones del software, si tienes dudas puedes utilizar la opción de 
Ayuda, para resolverlas. 
Es importante que revises los ejemplos explicados en material del curso para que puedas 
hacerlos. No olvides incluir todo el procedimiento necesario para llegar a la respuesta. 
1) Encuentra el área bajo la curva en cada caso, no olvides graficar primero la función 
para definir si el área es por arriba del eje “x” ó por abajo del eje. 
a) desde x = 0 hasta x = 2 
b) desde x = 1 hasta x = 2 
c) desde x = 1 hasta x = 4 
d) desde x = 1 hasta x = 2 
e) desde t = -2 hasta t = 2 
2) Encuentra el área entre curvas en los siguientes problemas, no olvides graficar las 
funciones para definir cual función está arriba y cual abajo, además de definir los 
límites de la integral. 
a) y la recta 
b) y la curva 
c) y la línea f (x)  2x 
( ) 2 3 2 f x  x  
( ) 5 5 2 g x  x  x  
f (x)  x 
x f (x)  e 
h(t) t 4t 3   
2 f (x)  x f (x)  5 
2 f (x)  x 3 f (x)  x 
f (x)  x
Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com 
www.maestronline.com 
d) y la línea 
e) y la curva 
3) Encuentra la longitud del arco en cada caso: 
b) Encuentra la longitud de la línea desde x = 1 hasta x = 3 utilizando la 
fórmula para la longitud del arco. 
c) Encuentra la longitud de la línea desde x = 2 hasta x = 5 utilizando la 
fórmula para la longitud del arco. 
4) Investiga el teorema del valor medio para integrales. Puedes utilizar libros de la 
biblioteca, sitios de Internet y/o biblioteca digital. Tu investigación debe de incluir qué 
es el teorema del valor medio para integrales, cómo se utiliza y su interpretación 
gráfica. No olvides incluir al menos dos referencias bibliográficas de donde 
encontraste la información. 
Resuelve los siguientes problemas utilizando Ecuaciones Diferenciales. Es importante que 
revises los ejemplos explicados en material del curso para que puedas hacerlos. No 
olvides incluir todo el procedimiento necesario para llegar a la respuesta. 
1) La siguiente tabla muestra una lista de diferentes Ecuaciones Diferenciales, clasifícalas 
según su orden y linealidad. Utiliza el ejemplo como referencia para clasificar y 
justificar tus respuestas. 
Ecuación Diferencial Orden Linealidad 
Ejemplo: 
xy x 
dy 
d x 
4 2 2 
2 
2 
2 
    
 
 
  
 
 
Segundo orden, debido a 
que la derivada de orden 
mayor es segunda 
derivada 
No lineal, debido a que la 
función y su segunda 
derivada estan elevadas al 
cuadrado 
a)3xy 4x 2xy 2    
b) 2 5 xy x 
dx 
dy 
x   
c) x 
dx 
dy 
y 1  2 
d) 2 2 
2 
3   x  
dx 
d y 
y 
dx 
dy 
e) y x  4  y 2 
( ) 4 2 f x  x  f (x)  2x 
2 f (x) 1 x f (x)  3 x 
y  3x  4 
y  5x  4
Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com 
www.maestronline.com 
f) y 
dx 
d y 
x 
2 
3 
3 
3 8   
 
 
  
 
 
  
1) Encuentra la solución general de la Ecuación Diferencial dada utilizando separación 
de variables. Utiliza la condición que se indica para encontrar la solución particular. 
a) xy 
dx 
dy 
 6 ; y = 2 en x = 1 
b)  x  2 
dx 
dy 
; y = 3 en x = 2 
c) t 
dt 
dv 
 ; v = 1 en t = 4 
d) 
u 
t 
dt 
du 
 ; u = 1 en t = 2 
e)  x 1 
dx 
dy 
; y = 1 en x = 3 
f) 1  x e 
dx 
dy 
; y = 1 en x = 0 
g) 
y e 
x 
dx 
dy 4 
 ; y = 0 en x = 1 
h) 
y 
senx 
dx 
dy 
cos 
 ; y = 0 en x = π/2 
i) 2 2 9x y 
dx 
dy 
  ; y = 1 en x = 0 
j)  2  2x 1 
dx 
dy 
; y = 3 en x = 0
Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com 
www.maestronline.com 
2) Resuelve los siguientes problemas. Primero plantea el problema como una Ecuación 
Diferencial y resuelve para encontrar la solución particular empleando la 
condición(es) inicial(es) dada. 
a) Una pelota se lanza hacia arriba con una velocidad inicial de 12 m/seg. 
v(0) 12 , si la posición inicial es de 1.75 m s(0) 1.75y la aceleración es la 
de la gravedad (-9.8 m/seg2). Encuentra la ecuación de velocidad y posición, 
utiliza las condiciones iniciales. 
b) Un objeto se mueve a lo largo de una línea recta con una aceleración de 4 
m/seg2. Encuentra las ecuaciones para su velocidad y posición, considera que 
v(1)  4m/ seg y s(0)  2m 
c) Una piedra se deja caer de lo alto de la Torre Sears en Chicago, si la altura del 
edificio es de 442 metros, ¿Cuál será su velocidad al tocar el piso? ¿Cuánto 
tiempo tardará en llegar al piso? (Recuerda modelar el problema y su solución 
utilizando Ecuaciones Diferenciales). 
d) Una pelota se lanza hacia arriba con una velocidad inicial de 80 pies/seg. , 
v(0)  80 si la posición inicial es de 2 pies, s(0)  2 y la aceleración es la de la 
gravedad (-32 pies/seg2). Encuentra la altura máxima qué alcanza la pelota. 
3) Investiga en libros de la biblioteca, sitios de Internet y biblioteca digital sobre las 
aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales. Busca un mínimo de 4 aplicaciones en 
diferentes ramas del conocimiento (física, química, biología, administración, 
ingeniería, etc.). Describe cada uno de las aplicaciones y la ecuación diferencial que 
se utiliza en la aplicación. No olvides incluir las referencias (mínimo 2) de donde 
obtuviste la información. 
Resuelve los siguientes ejercicios de Modelación matemática elemental. Es importante 
que revises los ejemplos explicados en material del curso para que puedas hacerlos. No 
olvides incluir todo el procedimiento necesario para llegar a la respuesta. 
1) De acuerdo con el INEGI en el II Conteo de Población y Vivienda del año 2005 se 
contabilizó que la población de nuestro país es de 103 millones de personas. 
(Datos de: INEGI http://www.inegi.gob.mx/inegi/default.aspx). De acuerdo al 
mismo Instituto la tasa de crecimiento poblacional es de 1% anual. ¿Cuál será la 
población para el año 2010? ¿En cuantos años la población será de 120 millones 
de personas? 
(Considera al año 2005 como t = 0).
Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com 
www.maestronline.com 
2) Una plaga de insectos que dañan las cosechas en un ejido donde se cultivan hortalizas orgánicas. Debido a que no se puede utilizar insecticidas se ha recurrido a introducir una especie de grillo que acaba con los insectos. Si en un principio se calculaba que la población de insectos era de 200,000 y a los 5 días de introducir a los grillos la población había disminuido a 180,000, ¿en cuántos días la población de insectos será de 100? 
3) El Cobalto-60 es un elemento radioactivo que se utiliza en radiología y tiene una vida media de 5.3 años. Si partimos de una muestra de 100 g, ¿en cuánto tiempo quedará el 10% del material radioactivo original? 
4) Un arqueólogo encontró un cráneo humano en una excavación, se le hizo la prueba del Carbono-14 y se encontró que tenía el 40% del Carbono-14 presente de un organismo vivo. ¿Cuántos años de antigüedad tiene el fósil? (La vida media del Carbono-14 es de 5,730 años) 
5) Un grupo de científicos encontró en una isla una especie de tortugas que solo existe en esa isla. Si la población inicial fue de 350 tortugas y 1 año después había 420, ¿Cuántas tortugas habrá dentro de 5 años? 
6) Una barra de metal con una temperatura de 25° C se sumerge en agua hirviendo a 100° C, después de 5 segundos la temperatura de la barra es de 35° C. ¿Cuánto tiempo tardará la barra en alcanzar 50° C? 
7) El cuerpo de una persona fue encontrado sin vida a las 9 de la noche y su temperatura era de 85 ° F, dos horas mas tarde su temperatura era de 74 ° F. Si la temperatura ambiente es de 68 ° F, encuentra la hora aproximada de la muerte de la persona. Considera que la temperatura normal de una persona es de 98.6 °F. 
8) Para modelar el interés compuesto continuo de una cuenta en el banco podemos utilizar el modelo de crecimiento exponencial. Donde y es saldo en la cuenta y k
Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com 
www.maestronline.com 
es la tasa de interés. Si en una cuenta se depositan $100,000 y el banco paga 4% 
de interés anual y no se hacen depósitos ni retiros, ¿cuál será el saldo en la cuenta 
dentro de 5 años? 
9) Investiga acerca del modelo logístico (para modelar poblaciones) y sobre las 
trayectorias ortogonales y su relación con las Ecuaciones Diferenciales. Encuentra 
qué son, cómo se utilizan y por lo menos dos ejemplos. Utiliza el graficador 
Graphmatica para incluir las gráficas tanto del modelo logístico como de las 
trayectorias ortogonales de tus ejemplos. Puedes utilizar otros libros diferentes al 
texto del curso, páginas de Internet y Biblioteca Digital. Recuerda incluir las 
referencias de las fuentes que utilizaste para encontrar la información. 
Resuelve los siguientes problemas de aplicaciones de Integrales. Es importante que revises 
los ejemplos explicados en material del curso para que puedas hacerlos. No olvides 
incluir todo el procedimiento necesario para llegar a la respuesta. 
1) Encuentra el área bajo la curva ó entre curvas de acuerdo a lo que se solicita. Incluye 
la gráfica que represente el área que calculaste, utiliza Graphmatica para hacer tus 
gráficas. 
a) entre x = 0 y x = 2 
b) entre x = 0 y x = 2 
c) y , encuentra el área comprendida entre las intersecciones 
de ambas gráficas (Nota: encuentra primero las intersecciones). 
d) El área entre y entre x = 0 y x = 1 
2) Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales, utiliza la condición 
inicial dada para encontrar la solución particular. 
vi) , y = 2 en x = 0 
vii) 
y 
x 
dx 
dy 2 1 
 , y = 2 en x = 4 
( ) 6 3 2 f x  x  x  
g(x)  x 1 
3 f (x)  x g(x)  x 
3 f (x)  x f (x)  x 
  
2 
2 
2 3  
 
x x 
dx 
dy
Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com 
www.maestronline.com 
viii) , y = 1 en x = 1 
ix) , T = 1 en t = 1 
2) Resuelve los siguientes problemas de aplicaciones, utiliza el modelo que corresponde 
de acuerdo a cada situación: 
a) La ecuación de aceleración de un objeto está dada por m/seg2. 
Encuentra su ecuación de velocidad y su ecuación de posición. Considera que la 
velocidad inicial es de 2 m/seg. y su posición inicial 3 m. 
b) Un fósil fue encontrado en un sitio arqueológico y se le hizo la prueba del Carbono- 
14. Se encontró que el fósil contenía el 75% del Carbono-14 de un organismo vivo. 
¿Cuál es la antigüedad del fósil? (La vida media del Carbono-14 es de 5,730 años). 
c) Una colonia de bacterias de 5,000 bacterias se duplica cada 3 horas, ¿cuántas 
bacterias habrá en 7 horas? 
d) Un recipiente con agua se calienta en la estufa. Se retira del fuego y su 
temperatura es de 95 ° C, la temperatura de la cocina es de 26 ° C. Quince 
minutos después se mide la temperatura y es de 82 ° C, ¿Cuál será la temperatura 
en 40 minutos? 
a) ¿Qué es una función polinomial? 
Es una función cuya regla esta dada por un polinomio de una sola variable. En la siguiente 
fórmula se describe la forma general de un polinomio de grado : 
Ejemplos: , , 
b) ¿Qué establece el Teorema Fundamental del Cálculo? 
y 
x 
y 
3 
8 
  
2 3t 
dt 
dT 
 
t 
t 
a t   
4 
( ) 
2
Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com 
www.maestronline.com 
Establece que las operaciones de integración y derivación de una función son inversas. En otras palabras, para toda función continua integrable, se cumple que la integral de su derivada es igual a ella misma. 
c) ¿Qué establece el Teorema del Factor? 
Establece que un polinomio tiene un factor si y sólo si es una raíz de , es decir . De esta forma, la multiplicación de todos los factores da como resultado . 
d) En la representación gráfica de una función polinomial, ¿cómo se interpretan los puntos en que la gráfica intercepta al eje horizontal? 
Los puntos de intersección se interpretan como las raíces de la función polinomial. 
I. Resuelve los siguientes ejercicios. 
1. Indica el grado y el número máximo de soluciones para cada una de las siguientes ecuaciones polinomiales. 
a. 
Grado: Segundo 
Número máximo de soluciones: 2 
b. 
Grado: Segundo 
Número máximo de soluciones: 2 
c. 
Grado: Tercer 
Número máximo de soluciones: 3 
d. 
Grado: Cuarto 
Número máximo de soluciones: 4 
2. Determina la ecuación cuyas raíces se indican. Expresa la ecuación como el producto de factores de la forma 
a. , 
b. , , 
c. ,
Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com 
www.maestronline.com 
d. , 
3. A partir de la representación gráfica, obtiene la función. En todos los casos la función tiene solamente raíces reales. Expresa la ecuación como el producto de factores . 
(a) 
(b) 
Ilustración 1: Gráfica de 
Ilustración 2: Gráfica de
Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com 
www.maestronline.com 
(c) 
4. Resuelve los siguientes problemas. 
Ilustración 3: Gráfica de
Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com 
www.maestronline.com 
a. Un granjero tiene 2400m de cerca y desea cercar un campo rectangular que limita con un río recto, de modo que no necesita cercar a lo largo del río. ¿Cuáles son las dimensiones del campo que tiene el área más grande? 
El área a cercar está dada por y el perímetro está dado por . Dado que se quiere maximizar A(x,y), se procede a derivar A con respecto a una variable cualquiera de las dos ( ó ). En este caso se elegirá : 
Despejando y: 
Graficando se observa una parábola que abre hacia abajo y que tiene un máximo en un punto a investigar. Para hallar el máximo se obtienen las intersecciones con el eje de las abscisas (eje x) y se obtiene el punto medio entre ambas intersecciones. Una de las intersecciones es el origen y la otra se halla igualando a cero: 
Como es una parábola, el máximo se encuentra en el vértice, hallado a la mitad de la distancia entre y : 
Sustituyendo el punto medio en 
Ilustración 4: Terreno a cercar junto a un río
Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com 
www.maestronline.com 
Por tanto, las dimensiones que maximizan el área del terreno son . El área máxima está dada por: 
b. La altura de un triángulo es cuatro unidades menor que su base. ¿Qué dimensiones debe tener el triángulo para que su área sea la menor posible? 
El área del triángulo está dada por donde es la base y la altura del triángulo. Si la base está dada por y , entonces el área está dada por: 
Ilustración 5: Gráfica de la función de área 
Ilustración 6: Triángulo de base "x" y altura "x-4"
Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com 
www.maestronline.com 
Graficando se tiene: 
En la gráfica se aprecia un mínimo entre 0 y 4. Sin embargo, este mínimo es un área negativa lo cual es físicamente imposible. Por tanto los valores mínimos de área están dados en las intersecciones, para cuando . La primera intersección está dada en el origen ( ). Si la base es , entonces la altura es igual a , lo cual es físicamente imposible. En cambio, si , entonces , lo cual sí es posible y arroja el valor mínimo de área igual a 0. 
c. Una pelota es lanzada con una rapidez inicial de , la función que describe la altura del cuerpo conforme el tiempo transcurre es: 
¿Cuánto tiempo tarda la pelota en llegar al punto más alto de su trayectoria? 
Considerando movimiento vertical uniformemente acelerado, la velocidad inicial está dada por: y la velocidad final al momento de llegar a su altura máxima es . Se considera que la gravedad es igual a . La gráfica de la función se obtiene sustituyendo la velocidad inicial y la gravedad en : 
Ilustración 7: Gráfica de la función de área
Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com 
www.maestronline.com 
Dado que la función de la altura en términos del tiempo es una parábola que abre hacia abajo, la gráfica tiene un máximo de altura justo en el punto medio de las intersecciones del eje de las abscisas (eje del tiempo). Hallando las intersecciones: 
Las intersecciones están dadas en y . Dividiendo la distancia entre las dos intersecciones entre 2 dará como resultado el tiempo en el que llega la pelota a su altura máxima:

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

C1 mate función valor absoluto - 4º
C1 mate   función valor absoluto - 4ºC1 mate   función valor absoluto - 4º
C1 mate función valor absoluto - 4ºbrisagaela29
 
funciones lineales
funciones linealesfunciones lineales
funciones linealesscholem
 
Programación entera (1)
Programación entera (1)Programación entera (1)
Programación entera (1)BIOPOWER
 
Función lineal y cuadrática teoría y ejercicios (carta)
Función lineal y cuadrática   teoría y ejercicios (carta)Función lineal y cuadrática   teoría y ejercicios (carta)
Función lineal y cuadrática teoría y ejercicios (carta)Solange Zambrano
 
Exponencial y logaritmos 2018 with-numbers
Exponencial y logaritmos 2018 with-numbersExponencial y logaritmos 2018 with-numbers
Exponencial y logaritmos 2018 with-numbersMCMurray
 
Matematicas 3 del 10 al 14 de mayo. 2021
Matematicas 3 del 10 al 14 de mayo. 2021Matematicas 3 del 10 al 14 de mayo. 2021
Matematicas 3 del 10 al 14 de mayo. 2021Esther Acosta
 
Taller de graphmatica
Taller de graphmaticaTaller de graphmatica
Taller de graphmaticaMaximuz177
 
Semana10 mate3-del 31 de mayo al 4 de junio 2021
Semana10 mate3-del 31 de mayo al 4 de junio 2021Semana10 mate3-del 31 de mayo al 4 de junio 2021
Semana10 mate3-del 31 de mayo al 4 de junio 2021LorenaCovarrubias12
 
Ejercicios de econometría (1)
Ejercicios de econometría (1)Ejercicios de econometría (1)
Ejercicios de econometría (1)Bruno Apellidos
 
Operaciones matemáticas con arrays y aplicaciones
Operaciones matemáticas con arrays y aplicacionesOperaciones matemáticas con arrays y aplicaciones
Operaciones matemáticas con arrays y aplicacionesmelman00007
 
Funcion cuadratica clase n°2 prof.cristian maldonado
Funcion cuadratica clase n°2 prof.cristian maldonadoFuncion cuadratica clase n°2 prof.cristian maldonado
Funcion cuadratica clase n°2 prof.cristian maldonadokhrismal
 
Matlab 2 Capitulo 5
Matlab 2 Capitulo 5Matlab 2 Capitulo 5
Matlab 2 Capitulo 5guest4f4d78d
 
Ecuaciones Parabola, Recta , Hiperbola, Eclipse
Ecuaciones  Parabola, Recta , Hiperbola, EclipseEcuaciones  Parabola, Recta , Hiperbola, Eclipse
Ecuaciones Parabola, Recta , Hiperbola, EclipseGiancarlos Juan
 

La actualidad más candente (20)

C1 mate función valor absoluto - 4º
C1 mate   función valor absoluto - 4ºC1 mate   función valor absoluto - 4º
C1 mate función valor absoluto - 4º
 
funciones lineales
funciones linealesfunciones lineales
funciones lineales
 
Programación entera (1)
Programación entera (1)Programación entera (1)
Programación entera (1)
 
Evalucion de matematicas
Evalucion de matematicasEvalucion de matematicas
Evalucion de matematicas
 
Investigacion operaciones
Investigacion operacionesInvestigacion operaciones
Investigacion operaciones
 
Función lineal y cuadrática teoría y ejercicios (carta)
Función lineal y cuadrática   teoría y ejercicios (carta)Función lineal y cuadrática   teoría y ejercicios (carta)
Función lineal y cuadrática teoría y ejercicios (carta)
 
Jeopardy!
Jeopardy!Jeopardy!
Jeopardy!
 
Exponencial y logaritmos 2018 with-numbers
Exponencial y logaritmos 2018 with-numbersExponencial y logaritmos 2018 with-numbers
Exponencial y logaritmos 2018 with-numbers
 
Matematicas 3 del 10 al 14 de mayo. 2021
Matematicas 3 del 10 al 14 de mayo. 2021Matematicas 3 del 10 al 14 de mayo. 2021
Matematicas 3 del 10 al 14 de mayo. 2021
 
Introducción a la programación
Introducción a la programaciónIntroducción a la programación
Introducción a la programación
 
Taller de graphmatica
Taller de graphmaticaTaller de graphmatica
Taller de graphmatica
 
función lineal
función linealfunción lineal
función lineal
 
Semana10 mate3-del 31 de mayo al 4 de junio 2021
Semana10 mate3-del 31 de mayo al 4 de junio 2021Semana10 mate3-del 31 de mayo al 4 de junio 2021
Semana10 mate3-del 31 de mayo al 4 de junio 2021
 
Ejercicios de econometría (1)
Ejercicios de econometría (1)Ejercicios de econometría (1)
Ejercicios de econometría (1)
 
Operaciones matemáticas con arrays y aplicaciones
Operaciones matemáticas con arrays y aplicacionesOperaciones matemáticas con arrays y aplicaciones
Operaciones matemáticas con arrays y aplicaciones
 
Funcion cuadratica clase n°2 prof.cristian maldonado
Funcion cuadratica clase n°2 prof.cristian maldonadoFuncion cuadratica clase n°2 prof.cristian maldonado
Funcion cuadratica clase n°2 prof.cristian maldonado
 
Matlab 2 Capitulo 5
Matlab 2 Capitulo 5Matlab 2 Capitulo 5
Matlab 2 Capitulo 5
 
Tema 3
Tema 3Tema 3
Tema 3
 
Ecuaciones Parabola, Recta , Hiperbola, Eclipse
Ecuaciones  Parabola, Recta , Hiperbola, EclipseEcuaciones  Parabola, Recta , Hiperbola, Eclipse
Ecuaciones Parabola, Recta , Hiperbola, Eclipse
 
Funciones lineales
Funciones linealesFunciones lineales
Funciones lineales
 

Similar a Cálculo (20)

Cálculo
CálculoCálculo
Cálculo
 
Matematicas i 09101 2012
Matematicas i 09101 2012Matematicas i 09101 2012
Matematicas i 09101 2012
 
Matematicas i 09101
Matematicas i 09101Matematicas i 09101
Matematicas i 09101
 
Matematicas i cn09001
Matematicas i cn09001Matematicas i cn09001
Matematicas i cn09001
 
Matematicas i 09101 2012
Matematicas i 09101 2012Matematicas i 09101 2012
Matematicas i 09101 2012
 
Matematicas i
Matematicas iMatematicas i
Matematicas i
 
Matematicas i cn09001
Matematicas i cn09001Matematicas i cn09001
Matematicas i cn09001
 
Matematicas avanzadas i ma09103
Matematicas avanzadas i ma09103Matematicas avanzadas i ma09103
Matematicas avanzadas i ma09103
 
Matematicas avanzadas i 09103
Matematicas avanzadas i 09103Matematicas avanzadas i 09103
Matematicas avanzadas i 09103
 
Matematicas i
Matematicas iMatematicas i
Matematicas i
 
Matematicas i 09101
Matematicas i 09101Matematicas i 09101
Matematicas i 09101
 
Matematicas i 09101 h 2012
Matematicas i 09101 h 2012Matematicas i 09101 h 2012
Matematicas i 09101 h 2012
 
Matematicas avanzadas i ma09103
Matematicas avanzadas i ma09103Matematicas avanzadas i ma09103
Matematicas avanzadas i ma09103
 
Matematicas avanzadas i 09103 2012
Matematicas avanzadas i 09103 2012Matematicas avanzadas i 09103 2012
Matematicas avanzadas i 09103 2012
 
Fundamentos matematicos ma13151
Fundamentos matematicos ma13151Fundamentos matematicos ma13151
Fundamentos matematicos ma13151
 
Fundamentos matematicos ma13151
Fundamentos matematicos ma13151Fundamentos matematicos ma13151
Fundamentos matematicos ma13151
 
Matemáticas y ciencias 4
Matemáticas y ciencias 4Matemáticas y ciencias 4
Matemáticas y ciencias 4
 
Examen #1 precálculo
Examen #1   precálculoExamen #1   precálculo
Examen #1 precálculo
 
Matematicas 1 lenguaje de la ciencia
Matematicas 1 lenguaje de la cienciaMatematicas 1 lenguaje de la ciencia
Matematicas 1 lenguaje de la ciencia
 
Matematicas 1 lenguaje de la ciencia TecM
Matematicas 1 lenguaje de la ciencia TecMMatematicas 1 lenguaje de la ciencia TecM
Matematicas 1 lenguaje de la ciencia TecM
 

Más de Maestros en Linea MX

Tecnologias de informacion y comunicacion
Tecnologias de informacion y comunicacionTecnologias de informacion y comunicacion
Tecnologias de informacion y comunicacionMaestros en Linea MX
 
Topicos selectos de negocios ceneval
Topicos selectos de negocios cenevalTopicos selectos de negocios ceneval
Topicos selectos de negocios cenevalMaestros en Linea MX
 
Topicos selectos de ingenieria in9302
Topicos selectos de ingenieria in9302Topicos selectos de ingenieria in9302
Topicos selectos de ingenieria in9302Maestros en Linea MX
 
Topicos selectos de computacion administrativa ti09311
Topicos selectos de computacion administrativa ti09311Topicos selectos de computacion administrativa ti09311
Topicos selectos de computacion administrativa ti09311Maestros en Linea MX
 
Topicos selectos de comercio internacional ceneval
Topicos selectos de comercio internacional cenevalTopicos selectos de comercio internacional ceneval
Topicos selectos de comercio internacional cenevalMaestros en Linea MX
 
Topicos selectos de administracion de empresas tn09003
Topicos selectos de administracion de empresas tn09003Topicos selectos de administracion de empresas tn09003
Topicos selectos de administracion de empresas tn09003Maestros en Linea MX
 
Teorias modernas de la enseñanza s14
Teorias modernas de la enseñanza s14Teorias modernas de la enseñanza s14
Teorias modernas de la enseñanza s14Maestros en Linea MX
 

Más de Maestros en Linea MX (20)

Calculo ebc
Calculo ebcCalculo ebc
Calculo ebc
 
Asesorias en linea
Asesorias en lineaAsesorias en linea
Asesorias en linea
 
Analisis de decisiones tec
Analisis de decisiones tecAnalisis de decisiones tec
Analisis de decisiones tec
 
Administracion de produccion
Administracion de produccionAdministracion de produccion
Administracion de produccion
 
Estadisticas para economia
Estadisticas para economiaEstadisticas para economia
Estadisticas para economia
 
Algebra
AlgebraAlgebra
Algebra
 
Tecnologias de informacion y comunicacion
Tecnologias de informacion y comunicacionTecnologias de informacion y comunicacion
Tecnologias de informacion y comunicacion
 
Fundamentos de administracion
Fundamentos de administracionFundamentos de administracion
Fundamentos de administracion
 
Estadística descriptiva
Estadística descriptivaEstadística descriptiva
Estadística descriptiva
 
Topicos selectos de negocios ceneval
Topicos selectos de negocios cenevalTopicos selectos de negocios ceneval
Topicos selectos de negocios ceneval
 
Topicos selectos de ingenieria
Topicos selectos de ingenieriaTopicos selectos de ingenieria
Topicos selectos de ingenieria
 
Topicos selectos de ingenieria in9302
Topicos selectos de ingenieria in9302Topicos selectos de ingenieria in9302
Topicos selectos de ingenieria in9302
 
Topicos selectos de ingenieria 14
Topicos selectos de ingenieria 14Topicos selectos de ingenieria 14
Topicos selectos de ingenieria 14
 
Topicos selectos de computacion administrativa ti09311
Topicos selectos de computacion administrativa ti09311Topicos selectos de computacion administrativa ti09311
Topicos selectos de computacion administrativa ti09311
 
Topicos selectos de comercio internacional ceneval
Topicos selectos de comercio internacional cenevalTopicos selectos de comercio internacional ceneval
Topicos selectos de comercio internacional ceneval
 
Topicos selectos de administracion de empresas tn09003
Topicos selectos de administracion de empresas tn09003Topicos selectos de administracion de empresas tn09003
Topicos selectos de administracion de empresas tn09003
 
Titulos de credito
Titulos de creditoTitulos de credito
Titulos de credito
 
Teorias modernas de la enseñanza
Teorias modernas de la enseñanzaTeorias modernas de la enseñanza
Teorias modernas de la enseñanza
 
Teorias modernas de la enseñanza s14
Teorias modernas de la enseñanza s14Teorias modernas de la enseñanza s14
Teorias modernas de la enseñanza s14
 
Teorias modernas de aprendizaje
Teorias modernas de aprendizajeTeorias modernas de aprendizaje
Teorias modernas de aprendizaje
 

Último

5º SOY LECTOR PART1- MD EDUCATIVO.pdfde
5º SOY LECTOR PART1- MD  EDUCATIVO.pdfde5º SOY LECTOR PART1- MD  EDUCATIVO.pdfde
5º SOY LECTOR PART1- MD EDUCATIVO.pdfdeBelnRosales2
 
Cuadernillo de actividades eclipse solar.pdf
Cuadernillo de actividades eclipse solar.pdfCuadernillo de actividades eclipse solar.pdf
Cuadernillo de actividades eclipse solar.pdflizcortes48
 
Apunte de clase Pisos y Revestimientos 1
Apunte de clase Pisos y Revestimientos 1Apunte de clase Pisos y Revestimientos 1
Apunte de clase Pisos y Revestimientos 1Gonella
 
revista dxn 2024.pdf--------------------
revista dxn 2024.pdf--------------------revista dxn 2024.pdf--------------------
revista dxn 2024.pdf--------------------fiorevega666
 
CARTEL DE BIENVENIDA AL ECLIPSE DE SOL A LA CIUDAD DE TORREON. Autor y diseña...
CARTEL DE BIENVENIDA AL ECLIPSE DE SOL A LA CIUDAD DE TORREON. Autor y diseña...CARTEL DE BIENVENIDA AL ECLIPSE DE SOL A LA CIUDAD DE TORREON. Autor y diseña...
CARTEL DE BIENVENIDA AL ECLIPSE DE SOL A LA CIUDAD DE TORREON. Autor y diseña...JAVIER SOLIS NOYOLA
 
CALCULADORA CIENTIFICA - ANALISIS DE ARTEFACTOS
CALCULADORA CIENTIFICA - ANALISIS DE ARTEFACTOSCALCULADORA CIENTIFICA - ANALISIS DE ARTEFACTOS
CALCULADORA CIENTIFICA - ANALISIS DE ARTEFACTOSdarlingreserved
 
tema5 2eso 2024 Europa entre los siglos XII y XV
tema5 2eso 2024 Europa entre los siglos XII y XVtema5 2eso 2024 Europa entre los siglos XII y XV
tema5 2eso 2024 Europa entre los siglos XII y XVChema R.
 
ERAS Y PERIODOS DEL TIEMPO GEOLOGICO.pptx
ERAS Y PERIODOS DEL TIEMPO GEOLOGICO.pptxERAS Y PERIODOS DEL TIEMPO GEOLOGICO.pptx
ERAS Y PERIODOS DEL TIEMPO GEOLOGICO.pptxduquemariact
 
EL MOVIMIENTO Y LA ENERGÍA EN LOS CUERPOS.pptx
EL MOVIMIENTO Y LA ENERGÍA EN LOS CUERPOS.pptxEL MOVIMIENTO Y LA ENERGÍA EN LOS CUERPOS.pptx
EL MOVIMIENTO Y LA ENERGÍA EN LOS CUERPOS.pptxduquemariact
 
BOCA Y NARIZ (2).pdf....................
BOCA Y NARIZ (2).pdf....................BOCA Y NARIZ (2).pdf....................
BOCA Y NARIZ (2).pdf....................ScarletMedina4
 
Presentación MF 1445 EVALUACION COMO Y QUE
Presentación MF 1445 EVALUACION COMO Y QUEPresentación MF 1445 EVALUACION COMO Y QUE
Presentación MF 1445 EVALUACION COMO Y QUEJosé Hecht
 
Biografía del General Eloy Alfaro Delgado
Biografía del General Eloy Alfaro DelgadoBiografía del General Eloy Alfaro Delgado
Biografía del General Eloy Alfaro DelgadoJosé Luis Palma
 
5° Proyecto 13 Cuadernillo para proyectos
5° Proyecto 13 Cuadernillo para proyectos5° Proyecto 13 Cuadernillo para proyectos
5° Proyecto 13 Cuadernillo para proyectosTrishGutirrez
 
Descripción del Proceso de corte y soldadura
Descripción del Proceso de corte y soldaduraDescripción del Proceso de corte y soldadura
Descripción del Proceso de corte y soldaduraJose Sanchez
 
REGISTRO AUXILIAR 2024.pptx - Primaria EBR
REGISTRO AUXILIAR 2024.pptx - Primaria EBRREGISTRO AUXILIAR 2024.pptx - Primaria EBR
REGISTRO AUXILIAR 2024.pptx - Primaria EBRMarielLorena2
 

Último (20)

5º SOY LECTOR PART1- MD EDUCATIVO.pdfde
5º SOY LECTOR PART1- MD  EDUCATIVO.pdfde5º SOY LECTOR PART1- MD  EDUCATIVO.pdfde
5º SOY LECTOR PART1- MD EDUCATIVO.pdfde
 
AO TEATRO, COM ANTÓNIO MOTA! _
AO TEATRO, COM ANTÓNIO MOTA!             _AO TEATRO, COM ANTÓNIO MOTA!             _
AO TEATRO, COM ANTÓNIO MOTA! _
 
Cuadernillo de actividades eclipse solar.pdf
Cuadernillo de actividades eclipse solar.pdfCuadernillo de actividades eclipse solar.pdf
Cuadernillo de actividades eclipse solar.pdf
 
Apunte de clase Pisos y Revestimientos 1
Apunte de clase Pisos y Revestimientos 1Apunte de clase Pisos y Revestimientos 1
Apunte de clase Pisos y Revestimientos 1
 
¿Amor o egoísmo? Esa es la cuestión.pptx
¿Amor o egoísmo? Esa es la cuestión.pptx¿Amor o egoísmo? Esa es la cuestión.pptx
¿Amor o egoísmo? Esa es la cuestión.pptx
 
revista dxn 2024.pdf--------------------
revista dxn 2024.pdf--------------------revista dxn 2024.pdf--------------------
revista dxn 2024.pdf--------------------
 
CARTEL DE BIENVENIDA AL ECLIPSE DE SOL A LA CIUDAD DE TORREON. Autor y diseña...
CARTEL DE BIENVENIDA AL ECLIPSE DE SOL A LA CIUDAD DE TORREON. Autor y diseña...CARTEL DE BIENVENIDA AL ECLIPSE DE SOL A LA CIUDAD DE TORREON. Autor y diseña...
CARTEL DE BIENVENIDA AL ECLIPSE DE SOL A LA CIUDAD DE TORREON. Autor y diseña...
 
CALCULADORA CIENTIFICA - ANALISIS DE ARTEFACTOS
CALCULADORA CIENTIFICA - ANALISIS DE ARTEFACTOSCALCULADORA CIENTIFICA - ANALISIS DE ARTEFACTOS
CALCULADORA CIENTIFICA - ANALISIS DE ARTEFACTOS
 
tema5 2eso 2024 Europa entre los siglos XII y XV
tema5 2eso 2024 Europa entre los siglos XII y XVtema5 2eso 2024 Europa entre los siglos XII y XV
tema5 2eso 2024 Europa entre los siglos XII y XV
 
ERAS Y PERIODOS DEL TIEMPO GEOLOGICO.pptx
ERAS Y PERIODOS DEL TIEMPO GEOLOGICO.pptxERAS Y PERIODOS DEL TIEMPO GEOLOGICO.pptx
ERAS Y PERIODOS DEL TIEMPO GEOLOGICO.pptx
 
EL MOVIMIENTO Y LA ENERGÍA EN LOS CUERPOS.pptx
EL MOVIMIENTO Y LA ENERGÍA EN LOS CUERPOS.pptxEL MOVIMIENTO Y LA ENERGÍA EN LOS CUERPOS.pptx
EL MOVIMIENTO Y LA ENERGÍA EN LOS CUERPOS.pptx
 
Sesión ¿Amor o egoísmo? Esa es la cuestión
Sesión  ¿Amor o egoísmo? Esa es la cuestiónSesión  ¿Amor o egoísmo? Esa es la cuestión
Sesión ¿Amor o egoísmo? Esa es la cuestión
 
BOCA Y NARIZ (2).pdf....................
BOCA Y NARIZ (2).pdf....................BOCA Y NARIZ (2).pdf....................
BOCA Y NARIZ (2).pdf....................
 
Presentación MF 1445 EVALUACION COMO Y QUE
Presentación MF 1445 EVALUACION COMO Y QUEPresentación MF 1445 EVALUACION COMO Y QUE
Presentación MF 1445 EVALUACION COMO Y QUE
 
Acuerdo segundo periodo 2024 - Octavo.pptx
Acuerdo segundo periodo 2024 - Octavo.pptxAcuerdo segundo periodo 2024 - Octavo.pptx
Acuerdo segundo periodo 2024 - Octavo.pptx
 
Biografía del General Eloy Alfaro Delgado
Biografía del General Eloy Alfaro DelgadoBiografía del General Eloy Alfaro Delgado
Biografía del General Eloy Alfaro Delgado
 
5° Proyecto 13 Cuadernillo para proyectos
5° Proyecto 13 Cuadernillo para proyectos5° Proyecto 13 Cuadernillo para proyectos
5° Proyecto 13 Cuadernillo para proyectos
 
Act#24 TDLab. Bosques Contacto Verde 2024
Act#24 TDLab. Bosques Contacto Verde 2024Act#24 TDLab. Bosques Contacto Verde 2024
Act#24 TDLab. Bosques Contacto Verde 2024
 
Descripción del Proceso de corte y soldadura
Descripción del Proceso de corte y soldaduraDescripción del Proceso de corte y soldadura
Descripción del Proceso de corte y soldadura
 
REGISTRO AUXILIAR 2024.pptx - Primaria EBR
REGISTRO AUXILIAR 2024.pptx - Primaria EBRREGISTRO AUXILIAR 2024.pptx - Primaria EBR
REGISTRO AUXILIAR 2024.pptx - Primaria EBR
 

Cálculo

  • 1. Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com www.maestronline.com Pide una cotización a nuestros correos. Maestros Online Física, matemáticas. Apoyo en ejercicios Servicio de asesorías y solución de ejercicios Ciencias_help@hotmail.com
  • 2. Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com www.maestronline.com El objetivo de la siguiente actividad es poner en práctica la identificación de las partes de una función, la diversidad de representaciones que existen y la evaluación de funciones explícitas. Parte A: Instrucciones: Determina lo que se te pide de los siguientes ejemplos de funciones: 1. Un videoclub captura la cantidad de rentas que tiene por mes durante 2 años. Variable independiente : Variable dependiente : 2. Se tiene la siguiente función: , utilízala para calcular lo siguiente: a. b. c. d. ¿Qué puedes concluir de los valores de ? 3. Se tiene la siguiente función: , utilízala para calcular lo siguiente: e. f. g. h. ¿Qué puedes decir acerca de conforme va creciendo? 4. Un obrero cuenta cuántos objetos defectuosos salen cada diez minutos de una línea de producción durante una hora, da una representación numérica y gráfica de la función en cuestión (inventa los números para la cantidad de objetos defectuosos): Hora Objetos Defectuosos 12:00 12:10 12:20 12:30 12:40 12:50 13:00
  • 3. Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com www.maestronline.com 5. Se tiene la siguiente gráfica, da una representación numérica de la función en cuestión: Parte B: Instrucciones: Contesta lo que se te pide a continuación de manera clara y ordenada, incluye las operaciones matemáticas y justificaciones que sean necesarias para llegar a la respuesta. 1. Explica con tus palabras lo que es una función: 2. Da un ejemplo de una función en alguna de tus actividades diarias, distingue la variable independiente y la variable dependiente: 3. ¿Cómo se representa una función numéricamente? 4. ¿Es lo siguiente un ejemplo de función? Justifica tu respuesta. Matrícula de alumno 286420 286421 286422 286421 286422 286423 286424 Calificación Final 95 94 89 86 93 100 78 5. Realiza una gráfica de la siguiente función:
  • 4. Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com www.maestronline.com Instrucciones: Contesta lo que se te pide a continuación de manera clara y ordenada, incluye las operaciones matemáticas y justificaciones que sean necesarias para llegar a la respuesta. 1. Se tiene la siguiente gráfica de una función, además se sabe que los valores se encuentran restringidos entre los dos puntos rojos en la gráfica. Da una aproximación del dominio: Da una aproximación del rango: ¿En qué intervalos la función es creciente y decreciente? 2. Realiza una gráfica de la siguiente función y encuentra su dominio y su rango: Dominio: Rango: 3. Clasifica las siguientes funciones por su estructura de acuerdo a las familias presentadas en este tema, además comenta cómo es que la identificaste: a. b. c. d.
  • 5. Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com www.maestronline.com 4. Menciona qué tienen en común gráficamente las siguientes tres funciones lineales:    5. Lee lo que se plantea y responde las preguntas. Un supermercado capturó durante el mes de diciembre la siguiente información: Día del mes Árboles de navidad vendidos 1 2 2 4 3 7 4 9 5 11 6 15 7 16 8 16 9 18 10 23  Realiza una gráfica con los datos.  ¿Qué tipo de función se podría usar para aproximar esta información? 6. ¿Cómo se puede determinar si una gráfica no corresponde a una función? 7. Determina si la siguiente función es creciente o decreciente, además da una prueba numérica de ello: 8. Da dos ejemplos de polinomios de grado 3: Instrucciones:
  • 6. Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com www.maestronline.com Calcula de forma ordenada y clara lo que se te pide en cada uno de los ejercicios. Recuerda incluir las operaciones y justificaciones necesarias. 1. Calcula los siguientes límites a partir de una tabla de datos: a. b. 2. Usa las propiedades de los límites para evaluar lo siguiente sin usar tablas: a. b. 3. Identifica cuáles de los siguientes son límites que tienden a infinito y explica porqué: a. b. c. d. 4. Identifica la recta asíntota que define el siguiente límite y realiza una gráfica para comprobarlo: a.
  • 7. Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com www.maestronline.com Instrucciones: Calcula de forma ordenada y clara lo que se te pide en cada uno de los ejercicios. Recuerda incluir las operaciones y justificaciones necesarias. 1. Utiliza la definición de continuidad para demostrar que las siguientes funciones son continuas en el número a dado: a. b. c. d. 2. Explica porqué las siguientes funciones son discontinuas: a. b. c. 3. Utiliza las propiedades y teoremas de continuidad para evaluar los siguientes límites: a. b.
  • 8. Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com www.maestronline.com c. 4. Da un ejemplo de función continua y realiza su gráfica. 5. Dibuja 2 ejemplos de gráficas de funciones discontinuas. 6. Menciona un ejemplo aplicado de discontinuidad en la vida real. Instrucciones: Calcula de forma ordenada y clara lo que se te pide en cada uno de los ejercicios. No olvides incluir las operaciones y justificaciones necesarias. 1. Considera la función y responde lo siguiente: a. ¿Cuál es la razón promedio de cambio entre x=0 y x=10? b. ¿Cuál es la razón promedio de cambio entre x=0 y x=5? c. ¿Cuál es la razón promedio de cambio entre x=0 y x=1? d. ¿Qué se puede decir de la pendiente de y conforme x es más cercana a cero? 2. Observa la siguiente gráfica y realiza lo que se te pide: a. Dibuja la razón promedio de cambio entre x=5 y x=12. b. Dibuja la razón promedio de cambio entre x=6 y x=12. c. Dibuja la razón promedio de cambio entre x=10 y x=12. d. ¿Qué se puede inferir sobre la razón instantánea de cambio en x=12?
  • 9. Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com www.maestronline.com 3. ¿Qué dice gráficamente la razón promedio de cambio de una magnitud? 4. Construye la gráfica de y dibuja la razón promedio de cambio entre los puntos x=2 y x=3. 5. Si un cañón lanza una bala verticalmente hacia arriba con una velocidad de 150 metros por segundo, su posición h una vez que transcurren t segundos está dada por . Con esta información responde lo siguiente: a. ¿Cuál es la velocidad promedio de la bala entre los 1 y los 7 segundos? b. ¿Cuál es la velocidad instantánea en t=3 segundos? 6. Considera la función y responde lo siguiente: a. ¿Cuál es la razón promedio de cambio entre x=0 y x=2? b. ¿Cuál es la razón promedio de cambio entre x=2 y x=4? c. ¿Cuál es la razón promedio de cambio entre x=4 y x=6? d. ¿Qué se puede decir de la pendiente de y conforme x es más grande? 7. La siguiente tabla muestra la cantidad de automóviles producidos por una fábrica por mes. Con dicha información responde las preguntas: Mes 2 4 6 8 10 12 Autos 3500 2900 2000 1500 2800 4600 a. Calcula la razón promedio de producción por mes del mes 4 al mes 10. b. Calcula la razón promedio de producción por mes del mes 2 al mes 8. c. Calcula la razón promedio de producción por mes del mes 8 al mes 12. d. ¿Qué te dicen estas razones sobre el comportamiento de la producción en la fábrica? Instrucciones: Calcula de forma ordenada y clara lo que se te pide en cada uno de los ejercicios. Recuerda incluir las operaciones y justificaciones necesarias. 1. Considera la siguiente gráfica y dibuja lo que se te pide:
  • 10. Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com www.maestronline.com a. Dibuja la recta secante entre los puntos (1,f(1)) y (2,f(2)). b. Dibuja la recta tangente al punto (5,f(5)). c. Dibuja la recta normal al punto (3,f(3)). 2. Define con tus propias palabras lo que es una recta secante a una curva f(x). 3. ¿Qué se necesita para calcular la pendiente de una recta tangente a una curva f(x)? 4. ¿Se puede calcular siempre la pendiente de una recta normal en una curva f(x)? 5. Obtén la pendiente de la recta secante, tangente y normal a la función que pasa por los puntos dados (para la tangente y la normal selecciona el primer punto): a. b. 6. Dibuja la gráfica de la siguiente función y da un ejemplo de recta secante, tangente y normal en ella mostrando los puntos elegidos (elije los puntos a tu gusto). 7. Obtén la representación algebraica de la recta tangente de la siguiente función:
  • 11. Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com www.maestronline.com 8. Obtén una expresión para la pendiente de la recta tangente de la siguiente función para cualquier punto x=a. Instrucciones: Calcula de forma ordenada y clara lo que se te pide en cada uno de los ejercicios. Recuerda incluir las operaciones y justificaciones necesarias. 1. Describe con tus propias palabras qué entiendes por la derivada de una función. 2. Considera la siguiente gráfica de la función y ordena de mayor a menor las siguientes derivadas, explica tu razonamiento: a. b. c. d. 3. Obtén una expresión general para la derivada de las funciones dadas en el punto x=a por medio de la definición: a. b. c. d. 4. La cantidad de personas atendidas en un restaurant de comida rápida después de t minutos esta expresada por la función
  • 12. Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com www.maestronline.com a. ¿Qué significado tiene la derivada ? b. ¿Qué determinará los valores que puede tomar la derivada ? 5. Los siguientes límites expresan la derivada de una función en un punto x=a. Determina cuál es la función que se está derivando y el valor de a que se está utilizando: a. b. c. Instrucciones: Calcula de forma ordenada y clara lo que se te pide en cada uno de los ejercicios. Recuerda incluir las operaciones y justificaciones necesarias. 1. Explica con tus propias palabras cómo sacar la derivada de un producto de funciones. 2. ¿Cuándo se dice que una función es derivable? 3. Obtén la primer derivada de las siguientes funciones mediante la regla de suma y resta: a. b. 4. Obtén la primer derivada de las siguiente funciones mediante la regla del producto: a.
  • 13. Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com www.maestronline.com b. 5. Obtén la primer derivada de las siguientes funciones mediante la regla del cociente: a. b. 6. Grafica la primer derivada de la siguiente función: a. 7. Obtén la segunda derivada de las siguientes funciones: a. b. 8. Evalúa la primer derivada de la siguiente función en el punto dado: a. 9. Evalúa la tercer derivada de las siguientes funciones en el punto dado: a. b. c. 10. Obtén la derivada de la siguientes funciones usando la regla de la cadena: a. b. Instrucciones: Calcula de forma ordenada y clara lo que se te pide en cada uno de los ejercicios. Recuerda incluir las operaciones y justificaciones necesarias.
  • 14. Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com www.maestronline.com 1. El péndulo de un reloj antiguo oscila con un movimiento armónico simple. La posición de la base del péndulo con respecto a una superficie horizontal está dada por la función , donde x es la posición del objeto en centímetros y t es el tiempo transcurrido en segundos. Con esta información responde lo siguiente: a. ¿Cuál es la función de velocidad de la base del péndulo , es decir la primer derivada de ? b. ¿Qué valores toman la posición y la velocidad en ? 2. ¿Cuál es la característica más importante de la derivada de una función exponencial? 3. Obtén la derivada de la siguiente función trigonométrica a partir de su equivalencia en senos y cosenos y comprueba que se obtiene el resultado planteado en la definición de la derivada: 4. Obtén la derivada de las siguientes funciones trigonométricas: a. b. 5. Obtén la derivada de las siguientes funciones exponenciales: a. b. 6. Obtén la derivada de las siguientes funciones logarítmicas: a. b. 7. Obtén la derivada de las siguientes funciones compuestas:
  • 15. Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com www.maestronline.com a. b. Instrucciones: Calcula de forma ordenada y clara lo que se te pide en cada uno de los ejercicios. Recuerda incluir las operaciones y justificaciones necesarias. 1. ¿Por qué cuando se deriva la variable dependiente (y) en el método de derivación implícita se usa la regla de la cadena? 2. Considera la siguiente ecuación y responde lo que se te pide: a. Encuentra por el método de derivación implícita. b. Despeja y de la ecuación original y deriva con respecto a x. c. Comprueba que el resultado obtenido en a) es equivalente al obtenido en b) al sustituir y en el resultado de a). 4. Encuentra implícitamente las ecuaciones dadas: a. b. c. d. 5. Realiza los siguientes pasos para la ecuación dada:  Obtén implícitamente.  Sustituye el punto dado para obtener el valor explícito de la pendiente en dicho punto.  Utiliza la información de la pendiente y el punto dado para escribir la función de la recta tangente al punto.
  • 16. Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com www.maestronline.com a. Instrucciones: Calcula de forma ordenada y clara lo que se te pide en cada uno de los ejercicios. Recuerda incluir las operaciones y justificaciones necesarias. 1. ¿Qué significa que una función sea creciente en un intervalo? 2. ¿Qué es un mínimo global en una función? 3. ¿Cómo se identifica un máximo local en una función? 4. Determina si la siguiente función es creciente o decreciente en el intervalo dado:  en el intervalo [-4,-2]. 5. Determina si la siguiente función es cóncava hacia arriba o hacia abajo en el intervalo dado:  en el intervalo [-2,0]. 6. Determina en qué intervalos de la siguiente gráfica se tienen tipos de crecimiento o concavidad: 7. Clasifica los puntos de la siguiente gráfica como máximo global, mínimo global, máximo local, mínimo local o ninguno de los anteriores:
  • 17. Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com www.maestronline.com 8. Dibuja la gráfica de una función f(x) que cumpla con las siguientes propiedades: Que tenga máximo global en x=2 y mínimo global en x=4, que tenga un mínimo local en x=6 y que tenga un máximo local en x=0. 9. Obtén los puntos críticos de la siguiente función y determina si corresponden o no a máximos o mínimos locales: a. Instrucciones: Calcula de forma ordenada y clara lo que se te pide en cada uno de los ejercicios. No olvides incluir las operaciones y justificaciones necesarias. 1. ¿Cuándo se dice que un límite esta indeterminado? 2. ¿Qué se necesita para poder aplicar la regla de L´Hopital? 3. Dadas las siguientes funciones, indica en donde tienen un límite indeterminado. a. b. c. d. e.
  • 18. Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com www.maestronline.com 4. Utiliza la regla de L´Hopital para obtener los siguientes límites, de ser necesario y posible, utilízala más de una vez. Si no es posible utilizar la regla, menciona por qué: a. b. c. d. Calcula de forma ordenada y clara lo que se te pide en cada uno de los ejercicios. Recuerda incluir las operaciones y justificaciones necesarias. 1. ¿Cómo se utilizan las derivadas en los problemas de optimización? 2. ¿Por qué la primera derivada de una función de posición expresa la velocidad? 3. Supongamos que tenemos un terreno rectangular el cual queremos cercar. Para lograrlo contamos con 400 metros de cerca y queremos saber de qué manera podemos usarla para cubrir la mayor área rectangular posible dentro del terreno. 4. Supongamos que tenemos un terreno rectangular el cual queremos cercar. El terreno ya cuenta con dos muros que lo rodean, por lo que sólo necesitamos cercar los dos restantes. Para lograrlo contamos con 230 metros de cerca y queremos saber de qué manera podemos usarla para cubrir la mayor área rectangular posible dentro del terreno.
  • 19. Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com www.maestronline.com 5. Un auto que se mueve en una línea recta, tiene la siguiente función de posición: , donde x esta en kilómetros y t en horas. a. Obtén la función de velocidad del automóvil. b. Obtén la función de aceleración del automóvil. c. ¿Qué posición tiene el auto 3 horas después? ¿Qué significa él valor obtenido? d. ¿Qué velocidad lleva el auto 8 horas después? ¿Qué significa el valor obtenido? e. ¿Qué aceleración lleva el auto cuando han transcurrido 1 hora, 3 horas, 6 horas? 6. Una empresa que produce sillas, tiene la siguiente función de costo para su producción: , donde x es la cantidad de sillas producidas y c es el costo de la producción en pesos. a. Obtén la función de costo marginal. b. Obtén la función de costo promedio. c. Indica en qué nivel de producción se minimiza el costo promedio. d. ¿Qué valor toma el costo en este nivel de producción? Practica de ejercicios matemáticos Los diferenciales Nombre del alumno: ____________________________ Matrícula: ________________ Resuelve los siguientes problemas utilizando diferenciales para su solución. Es importante que revises los ejemplos explicados en material del curso para que puedas hacerlos. No olvides incluir todo el procedimiento necesario para llegar a la respuesta.
  • 20. Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com www.maestronline.com 1) Encuentra el diferencial para la función en cada caso, es decir “dy”. a) 4 2 3 2 y   x  x  b) y 9x 4x 4   c) 3 4 3 6 x y  x  d) 2 ( 1) 1   x y e) y  3 x f)  2 y  x  3 g)  3 y  x  3 h)  3 y  x  3 i)  2 4 y  9x  6 j) 6 2 2   x  x x y k) 2 / 3 y  (x  2) 2) Resuelve los siguientes problemas usando diferenciales: a) Se midió el lado de un cuadrado y se encontró que es de 5 cm., con un posible error de medición de 0.01 cm. Usa diferenciales para encontrar una aproximación en el error del área del cuadrado. 
  • 21. Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com www.maestronline.com b) Usa diferenciales para aproximar el aumento en el volumen de un cubo si sus lados aumentan de 7 cm. a 7.2 cm. c) Un cliente de un fabricante de latas cilíndricas que miden 10 cm. de largo y 4 cm. de radio está pidiendo aumentar el radio en 0.5 cm. Usando diferenciales encuentra una aproximación para el aumento del volumen de la lata. d) Un domo esférico tiene un radio de 110 metros con un error de medición de 2 cm., usando diferenciales encuentra el error en el área superficial del domo. (Para este problema necesitas el área superficial de la semi-esfera). e) Se construyó una alberca de 25 metros de largo por 10 metros de ancho y 1.6 metros de profundidad, si en la construcción se cometió un error y la alberca mide 10.5 metros de ancho. Usando diferenciales encuentra el aumento en el volumen de la alberca. ¿Cuántos litros adicionales de agua serán necesarios para llenarla? Envía el ejercicio a tu tutor a través del Centro de Mensajes de acuerdo a la fecha publicada en la Agenda del Curso en formato de Práctica de ejercicios matemáticos. Resuelve los siguientes problemas utilizando diferenciales para su solución. Es importante que revises los ejemplos explicados en material del curso para que puedas hacerlos. No olvides incluir todo el procedimiento necesario para llegar a la respuesta. 1) Encuentra la familia de antiderivadas en cada caso: a) ( ) 8 5 3 f x  x  b) ( ) 3 4 2 10 7 4 2 f x  x  x  x  c) 3 3 3 3 ( ) x x f x   d) 3 h(x)  x 3 x e) 2  7 / 2  y  3x 7x  4x 
  • 22. Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com www.maestronline.com f) x x x x g x 2 3 2 6 9 ( )    g) x x x h x 3 1/ 4 3 3 ( )   h) 2 y  (2x  3) i) h(x)  (3x 5)(4  x) j) ( ) ( 1) 2 2    f x x x 2) Encuentra la antiderivada específica utilizando la condición inicial dada: a) 3 ( ) 4  f x  x , considera que F(1)=2 b) ( ) 6 2 2   x  x x g x , considera que G(4)=1 c) 3 7 h(x)  2 x , considera que H(1)=0 d) 2  5/ 2  g(x)  x 6x  2x , considera que G(0)=1 e) 2 2 3 2 ( ) x x x f x   , considera que F(1)=1 3) Resuelve los siguientes problemas utilizando la antiderivada: a) La velocidad de un objeto está dada por 2 ( ) 2 t t v t   m/min. Encuentra su ecuación de posición y considera que s (1)=4 m.
  • 23. Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com www.maestronline.com b) La aceleración de un objeto que se mueve a lo largo de una línea recta está dada por a(t)  4t 5 en metros por segundo al cuadrado. Encuentra las ecuaciones para su velocidad y aceleración, considera que la velocidad inicial es de 2 m/seg. y la posición inicial es de 3 m. c) Una empresa ha encontrado que el costo marginal (C ) de fabricar x número de artículos está dada por C(x) 1.5x  2 , encuentra la función de costo (C(x)), considera que el costo fijo es de $10,000, C (0)=10,000. d) La población de cierta especie de animales está creciendo a una razón de cambio de ( ) 4 2 2 r t  t  t  animales/año. Encuentra la ecuación para la población y considera que la población inicial es de 100 animales. ¿Cuál será la población dentro de 10 años? e) El área de un lago está disminuyendo con una razón de cambio dada por ( ) 2 2 r t  t  metros cuadrados/año. Encuentra la ecuación para el área del lago, considera que el área inicial del lago es de 1000 m2. Resuelve los siguientes problemas utilizando integrales y el área bajo la curva. Es importante que revises los ejemplos explicados en material del curso para que puedas hacerlos. No olvides incluir todo el procedimiento necesario para llegar a la respuesta. 1) Integra las siguientes funciones: a)  2dx b)  x dx 5 4 c)  x 12x  2dx 2 d)  xdx 3 e)  dx x2 9
  • 24. Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com www.maestronline.com f)    dx x x x 3 4 3 8 4 g)  x   dx 3 2 h) dx x x    ( 2) ( 4) 2 i) dx x    2 ( 2) 3 j) dx x x x  9 5  2 2 k) dx x x x     ( 2) ( 5 6) 2 l)  x2x  8x 1dx 2 2) Calcula las siguientes integrales definidas: a)  2 1 6dx b)  5 2 3 8x dx c)   x  x  dx 2 1 2 4 9 2 d)  xdx 9 0 4
  • 25. Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com www.maestronline.com e)  6 2 3 4 dx x f)     4 1 3 x 1 dx 3) Resuelve los siguientes problemas utilizando integrales: a) La velocidad de un objeto está dada por v(t) t 3t 2   m/seg.; utiliza la integral para encontrar su ecuación de posición. Considera que el x (1) = 3 m. b) La aceleración de un objeto está dada por a(t)  5  3t m/seg.2, utiliza la integral para encontrar su ecuación de velocidad. Considera que v (2) = 4 m/seg. Resuelve los siguientes problemas. No olvides incluir todo el procedimiento necesario para llegar a la respuesta. 1) Integra las siguientes funciones: a)    dx x 12 b)  x  e dx x (10 ) 4 c)  x x dx x 3 2   2 2 d)  e dx x 2 e)   dt t 8 9 f)    dx x e x 3 9 2 3
  • 26. Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com www.maestronline.com g) Nota: a partir de este problema utiliza leyes de exponentes, ejemplo: h) i) j) k) l) m) e e e dx x x    ( ) 3 2) Calcula las siguientes integrales definidas: a) b)   dx 2 x 9   dx x 9 9 2 e dx x  3 e dx x x    (7  2 ) 1 3 dx e e e x x           2 3 dx x x           3 32 dx e e x x            4 5 2   2 1 0.5 e dx x   5 2 3 (x 2 )dx x
  • 27. Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com www.maestronline.com c) d) e) f)      2 1 3 2 2 4 dx x x Nota: puedes reescribir usando leyes de exponentes para 3) Resuelve los siguientes problemas utilizando integrales: a) La velocidad de un objeto está dada por v t t t ( )  2  m/seg., utiliza la integral para encontrar su ecuación de posición. Considera que el s (0) = 3 m. b) La aceleración de un objeto está dada por a t t t ( )  3  3 m/seg.2, utiliza la integral para encontrar su ecuación de velocidad. Considera que v (1) = 2 m/seg. En esta actividad en equipo trabajaran en problemas donde se requiere utilizar Resuelve los siguientes problemas. No olvides incluir todo el procedimiento necesario para llegar a la respuesta. 1) Integra las siguientes funciones: a)  2cot xdx b)  dx cos x 4 c)  x  tan x)dx 2 3 cot 2 1 ( x e dx x     2 1 2 2 2 1 x dx x   4 0 ( 3 )   6 2 3 2 dx x x 4
  • 28. Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com www.maestronline.com d)  dx cot x 2 e)  dx senx 3cos x f)  (csc x cot x)dx g)           dx x x csc 1 cot 2 h) dx senx x  tan i) senx dx x x ex  (   ) j)  (csc x  cot x)dx k) xdx x senx cot cos      l) dx senx x      sec 5 m) dx x senx senx       2 cos 1 n) 3(sec x tan x)dx
  • 29. Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com www.maestronline.com 2) Calcula las siguientes integrales definidas. Recuerda utilizar tu calculadora en radianes. a)  / 2 0 3  senxdx b)  3 / 2 cos 2 3   xdx Entrega el ejercicio a tu profesor de acuerdo a la fecha publicada en la Agenda del Curso en formato de Práctica de ejercicios matemáticos. Resuelve los siguientes problemas. No olvides incluir todo el procedimiento necesario para llegar a la respuesta. 1) Integra las siguientes funciones: a)            dx x 4x 5x 9 3 b)  dx 3sec x 2 c) dx x x           2 9 3 2 3 d)   dx e ex 2 7 e)  e  e dx x 8 f)  (csc x  cot x)dx
  • 30. Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com www.maestronline.com g)       dx x x csc 1 cot h) dx x  3 tan i) senx dx x x x  (5   2 ) 2 j)  csc x(csc x  cot x)dx k) dx x      2 cos 2 l) dx x x           3 5 9 m) dx x senx       2 cos 1 n) 3(sec x  csc x)dx 2) Calcula las siguientes integrales definidas. Recuerda que si estás evaluando funciones trigonométricas tu calculadora debe estar en radianes. Resuelve los siguientes problemas utilizando el Método de integración por sustitución o cambio de variable. Es importante que revises los ejemplos explicados en material del curso para que puedas hacerlos. No olvides incluir todo el procedimiento necesario para llegar a la respuesta. 1) La siguiente tabla muestra una lista de funciones. En cada caso identifica la función principal, especifica la u y escribe la sustitución necesaria para integrarla. La tabla te muestra un ejemplo de cómo debes de llenar la tabla: Función Función u Cambio de
  • 31. Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com www.maestronline.com principal Variable ó Sustitución Ejemplo:  2 2 f (x)  cos 3x  2x Coseno  2 2 u  3x  2x f (u)  cosu a) senx f (x)  e b) 7 2 ( ) 7   x f x c) f (x)  sec(4x  2) tan4x  2 d)  x x x f x 6 3 18 3 ( ) 3 2    e)  2 7 f (x)  4x 5x  4 2) Integra las siguientes funciones utilizando el Método de sustitución, utiliza tu tabla de integrales. a) dx x x x     7 12 6 21 2 b)    dx x sen x 2 1 c) x dx x 5 2 2    d)  x x dx 2 4 cos 2 e) dz z z   2 1 3 f)  x e dx x5 4 2 3 g)  x x sen x dx 2 2 cot Utiliza identidades trigonométricas básicas.
  • 32. Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com www.maestronline.com h)  4 tan3x cos3xdx Utiliza identidades trigonométricas básicas. i)   dx x 7 6 j)  dx x tan x 3) Encuentra la integral definida en cada caso: a) dx x x   4 2 2 1 5 b) dx x   2 1 2 3 1 c)  / 4 0 2cos 2  xdx 4) Las siguientes expresiones representan la ecuación de velocidad de un objeto, encuentra la ecuación de posición y utiliza la condición inicial dada: a)   4 3 2   t t v t , s (2) = 15 b)   5 18 6 5   t t v t , s (2) = 200 Calcula las siguientes integrales, utilizando el método de integración por partes. Es importante que revises los ejemplos explicados en material del curso para que puedas hacerlos. No olvides incluir todo el procedimiento necesario para llegar a la respuesta. 1) Calcula la integral indefinida en cada caso: a)  xe dx 3x 2
  • 33. Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com www.maestronline.com b) 3xsen2x dx c)  x x  2 dx d)  x cos 5x dx e)  xsen 4x dx f)  x3 ln x dx g)  x cos3xdx 2 h)  4xsec 2x dx 2 2) Encuentra la integral definida utilizando integración por partes: a) xe dx x  2 1 2 3 b) x xdx e 1 ln c)  x xdx / 4 / 6 2 2 csc   d)  3 2 2 ln dx x x e) x dx x   1 0 2 3 Resuelve los siguientes problemas utilizando diferenciales para su solución. Es importante que revises los ejemplos explicados en material del curso para que puedas hacerlos. No olvides incluir todo el procedimiento necesario para llegar a la respuesta.
  • 34. Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com www.maestronline.com 1) Calcula la integral indefinida en cada caso: a)  cos 6xdx 3 b)  sen 0.5xdx 4 c)  cos 4xdx 2 d)  sen 3xdx 5 e)  sen 2x cos 2xdx 3 2 f)  sen 5x cos 5xdx 2 2 g)  sen6x cos 2xdx h)  sen3xsen2xdx 2) Encuentra la integral definida en cada caso: a)  xsen xdx / 4 0 cos 2 3 
  • 35. Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com www.maestronline.com b)  xdx 3 / 4 / 2 3 cos 3   En los siguientes problemas realiza las integrales que se piden utilizando el método de sustitución trigonométrica Es importante que revises los ejemplos explicados en material del curso para que puedas hacerlos. No olvides incluir todo el procedimiento necesario para llegar a la respuesta. 1)      dx x x dx 2 2 9 1 9 2)   4 2 2 x x dx 3)   2 1 x dx 4)   25 2 x dx 5)   x dx 2 16 6) dx x x   2 2 9 7)   2 4 x dx 8) dx x x   25 2 9) dx x x   2 1
  • 36. Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com www.maestronline.com 10)   x dx 2 49 Resuelve los siguientes problemas utilizando diferenciales para su solución. Es importante que revises los ejemplos explicados en material del curso para que puedas hacerlos. No olvides incluir todo el procedimiento necesario para llegar a la respuesta. 1) Descompone en fracciones parciales: a) ( 3)( 1) 2    x x x b) 10 25 2 3 2    x x x c) 2 ( 1)( 3) 2 2    x x x d) ( 1)( 2) 3 1 2    x x x 2) Integra en cada caso utilizando el método de fracciones parciales. a)     dx x x x ( 4)( 2) 2 b)     dx x x x 7 10 3 2 c)    dx x x x ( 3) 6 1
  • 37. Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com www.maestronline.com d)     dx x x x ( 4)( 7) 2 1 2 Resuelve los siguientes problemas utilizando el método de integración más conveniente. Es importante que revises los ejemplos explicados en material del curso para que puedas hacerlos. No olvides incluir todo el procedimiento necesario para llegar a la respuesta. 1) La siguiente tabla presenta una lista de integrales. Escribe en el espacio indicado el método que usarías para integrar, justifica plenamente tu respuesta. Integral Método de integración Justificación a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) 2) Encuentra la integral en cada caso, selecciona el método de integración más conveniente. i)  tan 4xdx  ln x dx  dx sen x x 3 cos3  x x  dx 2 3 5 (2 3)  xe dx x     dx x x x 2 1 2   dx x x 16 2 2  cos 5xdx 3  16 2 x dx  16 2 x dx   x   dx 2 3 4
  • 38. Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com www.maestronline.com ii) iii) iv) v)  (x 1)sen(x  2x)dx 2 3) Resuelve los siguientes problemas utilizando integrales. a) La ecuación de velocidad de un objeto está dada por m/seg. , encuentra su ecuación de posición. Considera que la posición cuanto t = 2 seg. es de 5 m. b) Una plaga de insectos está reproduciéndose de acuerdo a la razón de cambio insectos/mes, encuentra la ecuación para el número de insectos, considera que la población inicial es de 5000 insectos. c) Encuentra el área bajo la curva  sen x  x dx / 4 0 (2 3 cos 2 )  Resuelve los siguientes problemas de aplicaciones geométricas de la integral definida. Para las gráficas puedes utilizar el software de “Graphmatica” que puedes bajar gratuitamente del sitio www.graphmatica.com, en la parte izquierda de la página tiene una opción para la versión en español. En este software puedes graficar la función ó funciones de tu interés, puedes cambiar la escala utilizando la opción de Editar, de manera que tengas una visión completa de la gráfica. El software tiene una sección de Cálculo que permite encontrar el área al seleccionar con el cursor el intervalo de valores      dx x x x 2 3 2 4 4  dx x x x    2 4 4 2    dx x x 2 ( 2) 5 2 ( ) 3 2 1 2 v t  x  x  r t e t t   0.5 ( ) 100
  • 39. Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com www.maestronline.com de x donde se desee integrar. También puedes encontrar los puntos de intersección seleccionando la opción de Herramientas. Es recomendable que dediques tiempo para familiarizarte con las funciones del software, si tienes dudas puedes utilizar la opción de Ayuda, para resolverlas. Es importante que revises los ejemplos explicados en material del curso para que puedas hacerlos. No olvides incluir todo el procedimiento necesario para llegar a la respuesta. 1) Encuentra el área bajo la curva en cada caso, no olvides graficar primero la función para definir si el área es por arriba del eje “x” ó por abajo del eje. a) desde x = 0 hasta x = 2 b) desde x = 1 hasta x = 2 c) desde x = 1 hasta x = 4 d) desde x = 1 hasta x = 2 e) desde t = -2 hasta t = 2 2) Encuentra el área entre curvas en los siguientes problemas, no olvides graficar las funciones para definir cual función está arriba y cual abajo, además de definir los límites de la integral. a) y la recta b) y la curva c) y la línea f (x)  2x ( ) 2 3 2 f x  x  ( ) 5 5 2 g x  x  x  f (x)  x x f (x)  e h(t) t 4t 3   2 f (x)  x f (x)  5 2 f (x)  x 3 f (x)  x f (x)  x
  • 40. Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com www.maestronline.com d) y la línea e) y la curva 3) Encuentra la longitud del arco en cada caso: b) Encuentra la longitud de la línea desde x = 1 hasta x = 3 utilizando la fórmula para la longitud del arco. c) Encuentra la longitud de la línea desde x = 2 hasta x = 5 utilizando la fórmula para la longitud del arco. 4) Investiga el teorema del valor medio para integrales. Puedes utilizar libros de la biblioteca, sitios de Internet y/o biblioteca digital. Tu investigación debe de incluir qué es el teorema del valor medio para integrales, cómo se utiliza y su interpretación gráfica. No olvides incluir al menos dos referencias bibliográficas de donde encontraste la información. Resuelve los siguientes problemas utilizando Ecuaciones Diferenciales. Es importante que revises los ejemplos explicados en material del curso para que puedas hacerlos. No olvides incluir todo el procedimiento necesario para llegar a la respuesta. 1) La siguiente tabla muestra una lista de diferentes Ecuaciones Diferenciales, clasifícalas según su orden y linealidad. Utiliza el ejemplo como referencia para clasificar y justificar tus respuestas. Ecuación Diferencial Orden Linealidad Ejemplo: xy x dy d x 4 2 2 2 2 2           Segundo orden, debido a que la derivada de orden mayor es segunda derivada No lineal, debido a que la función y su segunda derivada estan elevadas al cuadrado a)3xy 4x 2xy 2    b) 2 5 xy x dx dy x   c) x dx dy y 1  2 d) 2 2 2 3   x  dx d y y dx dy e) y x  4  y 2 ( ) 4 2 f x  x  f (x)  2x 2 f (x) 1 x f (x)  3 x y  3x  4 y  5x  4
  • 41. Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com www.maestronline.com f) y dx d y x 2 3 3 3 8           1) Encuentra la solución general de la Ecuación Diferencial dada utilizando separación de variables. Utiliza la condición que se indica para encontrar la solución particular. a) xy dx dy  6 ; y = 2 en x = 1 b)  x  2 dx dy ; y = 3 en x = 2 c) t dt dv  ; v = 1 en t = 4 d) u t dt du  ; u = 1 en t = 2 e)  x 1 dx dy ; y = 1 en x = 3 f) 1  x e dx dy ; y = 1 en x = 0 g) y e x dx dy 4  ; y = 0 en x = 1 h) y senx dx dy cos  ; y = 0 en x = π/2 i) 2 2 9x y dx dy   ; y = 1 en x = 0 j)  2  2x 1 dx dy ; y = 3 en x = 0
  • 42. Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com www.maestronline.com 2) Resuelve los siguientes problemas. Primero plantea el problema como una Ecuación Diferencial y resuelve para encontrar la solución particular empleando la condición(es) inicial(es) dada. a) Una pelota se lanza hacia arriba con una velocidad inicial de 12 m/seg. v(0) 12 , si la posición inicial es de 1.75 m s(0) 1.75y la aceleración es la de la gravedad (-9.8 m/seg2). Encuentra la ecuación de velocidad y posición, utiliza las condiciones iniciales. b) Un objeto se mueve a lo largo de una línea recta con una aceleración de 4 m/seg2. Encuentra las ecuaciones para su velocidad y posición, considera que v(1)  4m/ seg y s(0)  2m c) Una piedra se deja caer de lo alto de la Torre Sears en Chicago, si la altura del edificio es de 442 metros, ¿Cuál será su velocidad al tocar el piso? ¿Cuánto tiempo tardará en llegar al piso? (Recuerda modelar el problema y su solución utilizando Ecuaciones Diferenciales). d) Una pelota se lanza hacia arriba con una velocidad inicial de 80 pies/seg. , v(0)  80 si la posición inicial es de 2 pies, s(0)  2 y la aceleración es la de la gravedad (-32 pies/seg2). Encuentra la altura máxima qué alcanza la pelota. 3) Investiga en libros de la biblioteca, sitios de Internet y biblioteca digital sobre las aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales. Busca un mínimo de 4 aplicaciones en diferentes ramas del conocimiento (física, química, biología, administración, ingeniería, etc.). Describe cada uno de las aplicaciones y la ecuación diferencial que se utiliza en la aplicación. No olvides incluir las referencias (mínimo 2) de donde obtuviste la información. Resuelve los siguientes ejercicios de Modelación matemática elemental. Es importante que revises los ejemplos explicados en material del curso para que puedas hacerlos. No olvides incluir todo el procedimiento necesario para llegar a la respuesta. 1) De acuerdo con el INEGI en el II Conteo de Población y Vivienda del año 2005 se contabilizó que la población de nuestro país es de 103 millones de personas. (Datos de: INEGI http://www.inegi.gob.mx/inegi/default.aspx). De acuerdo al mismo Instituto la tasa de crecimiento poblacional es de 1% anual. ¿Cuál será la población para el año 2010? ¿En cuantos años la población será de 120 millones de personas? (Considera al año 2005 como t = 0).
  • 43. Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com www.maestronline.com 2) Una plaga de insectos que dañan las cosechas en un ejido donde se cultivan hortalizas orgánicas. Debido a que no se puede utilizar insecticidas se ha recurrido a introducir una especie de grillo que acaba con los insectos. Si en un principio se calculaba que la población de insectos era de 200,000 y a los 5 días de introducir a los grillos la población había disminuido a 180,000, ¿en cuántos días la población de insectos será de 100? 3) El Cobalto-60 es un elemento radioactivo que se utiliza en radiología y tiene una vida media de 5.3 años. Si partimos de una muestra de 100 g, ¿en cuánto tiempo quedará el 10% del material radioactivo original? 4) Un arqueólogo encontró un cráneo humano en una excavación, se le hizo la prueba del Carbono-14 y se encontró que tenía el 40% del Carbono-14 presente de un organismo vivo. ¿Cuántos años de antigüedad tiene el fósil? (La vida media del Carbono-14 es de 5,730 años) 5) Un grupo de científicos encontró en una isla una especie de tortugas que solo existe en esa isla. Si la población inicial fue de 350 tortugas y 1 año después había 420, ¿Cuántas tortugas habrá dentro de 5 años? 6) Una barra de metal con una temperatura de 25° C se sumerge en agua hirviendo a 100° C, después de 5 segundos la temperatura de la barra es de 35° C. ¿Cuánto tiempo tardará la barra en alcanzar 50° C? 7) El cuerpo de una persona fue encontrado sin vida a las 9 de la noche y su temperatura era de 85 ° F, dos horas mas tarde su temperatura era de 74 ° F. Si la temperatura ambiente es de 68 ° F, encuentra la hora aproximada de la muerte de la persona. Considera que la temperatura normal de una persona es de 98.6 °F. 8) Para modelar el interés compuesto continuo de una cuenta en el banco podemos utilizar el modelo de crecimiento exponencial. Donde y es saldo en la cuenta y k
  • 44. Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com www.maestronline.com es la tasa de interés. Si en una cuenta se depositan $100,000 y el banco paga 4% de interés anual y no se hacen depósitos ni retiros, ¿cuál será el saldo en la cuenta dentro de 5 años? 9) Investiga acerca del modelo logístico (para modelar poblaciones) y sobre las trayectorias ortogonales y su relación con las Ecuaciones Diferenciales. Encuentra qué son, cómo se utilizan y por lo menos dos ejemplos. Utiliza el graficador Graphmatica para incluir las gráficas tanto del modelo logístico como de las trayectorias ortogonales de tus ejemplos. Puedes utilizar otros libros diferentes al texto del curso, páginas de Internet y Biblioteca Digital. Recuerda incluir las referencias de las fuentes que utilizaste para encontrar la información. Resuelve los siguientes problemas de aplicaciones de Integrales. Es importante que revises los ejemplos explicados en material del curso para que puedas hacerlos. No olvides incluir todo el procedimiento necesario para llegar a la respuesta. 1) Encuentra el área bajo la curva ó entre curvas de acuerdo a lo que se solicita. Incluye la gráfica que represente el área que calculaste, utiliza Graphmatica para hacer tus gráficas. a) entre x = 0 y x = 2 b) entre x = 0 y x = 2 c) y , encuentra el área comprendida entre las intersecciones de ambas gráficas (Nota: encuentra primero las intersecciones). d) El área entre y entre x = 0 y x = 1 2) Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales, utiliza la condición inicial dada para encontrar la solución particular. vi) , y = 2 en x = 0 vii) y x dx dy 2 1  , y = 2 en x = 4 ( ) 6 3 2 f x  x  x  g(x)  x 1 3 f (x)  x g(x)  x 3 f (x)  x f (x)  x   2 2 2 3   x x dx dy
  • 45. Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com www.maestronline.com viii) , y = 1 en x = 1 ix) , T = 1 en t = 1 2) Resuelve los siguientes problemas de aplicaciones, utiliza el modelo que corresponde de acuerdo a cada situación: a) La ecuación de aceleración de un objeto está dada por m/seg2. Encuentra su ecuación de velocidad y su ecuación de posición. Considera que la velocidad inicial es de 2 m/seg. y su posición inicial 3 m. b) Un fósil fue encontrado en un sitio arqueológico y se le hizo la prueba del Carbono- 14. Se encontró que el fósil contenía el 75% del Carbono-14 de un organismo vivo. ¿Cuál es la antigüedad del fósil? (La vida media del Carbono-14 es de 5,730 años). c) Una colonia de bacterias de 5,000 bacterias se duplica cada 3 horas, ¿cuántas bacterias habrá en 7 horas? d) Un recipiente con agua se calienta en la estufa. Se retira del fuego y su temperatura es de 95 ° C, la temperatura de la cocina es de 26 ° C. Quince minutos después se mide la temperatura y es de 82 ° C, ¿Cuál será la temperatura en 40 minutos? a) ¿Qué es una función polinomial? Es una función cuya regla esta dada por un polinomio de una sola variable. En la siguiente fórmula se describe la forma general de un polinomio de grado : Ejemplos: , , b) ¿Qué establece el Teorema Fundamental del Cálculo? y x y 3 8   2 3t dt dT  t t a t   4 ( ) 2
  • 46. Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com www.maestronline.com Establece que las operaciones de integración y derivación de una función son inversas. En otras palabras, para toda función continua integrable, se cumple que la integral de su derivada es igual a ella misma. c) ¿Qué establece el Teorema del Factor? Establece que un polinomio tiene un factor si y sólo si es una raíz de , es decir . De esta forma, la multiplicación de todos los factores da como resultado . d) En la representación gráfica de una función polinomial, ¿cómo se interpretan los puntos en que la gráfica intercepta al eje horizontal? Los puntos de intersección se interpretan como las raíces de la función polinomial. I. Resuelve los siguientes ejercicios. 1. Indica el grado y el número máximo de soluciones para cada una de las siguientes ecuaciones polinomiales. a. Grado: Segundo Número máximo de soluciones: 2 b. Grado: Segundo Número máximo de soluciones: 2 c. Grado: Tercer Número máximo de soluciones: 3 d. Grado: Cuarto Número máximo de soluciones: 4 2. Determina la ecuación cuyas raíces se indican. Expresa la ecuación como el producto de factores de la forma a. , b. , , c. ,
  • 47. Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com www.maestronline.com d. , 3. A partir de la representación gráfica, obtiene la función. En todos los casos la función tiene solamente raíces reales. Expresa la ecuación como el producto de factores . (a) (b) Ilustración 1: Gráfica de Ilustración 2: Gráfica de
  • 48. Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com www.maestronline.com (c) 4. Resuelve los siguientes problemas. Ilustración 3: Gráfica de
  • 49. Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com www.maestronline.com a. Un granjero tiene 2400m de cerca y desea cercar un campo rectangular que limita con un río recto, de modo que no necesita cercar a lo largo del río. ¿Cuáles son las dimensiones del campo que tiene el área más grande? El área a cercar está dada por y el perímetro está dado por . Dado que se quiere maximizar A(x,y), se procede a derivar A con respecto a una variable cualquiera de las dos ( ó ). En este caso se elegirá : Despejando y: Graficando se observa una parábola que abre hacia abajo y que tiene un máximo en un punto a investigar. Para hallar el máximo se obtienen las intersecciones con el eje de las abscisas (eje x) y se obtiene el punto medio entre ambas intersecciones. Una de las intersecciones es el origen y la otra se halla igualando a cero: Como es una parábola, el máximo se encuentra en el vértice, hallado a la mitad de la distancia entre y : Sustituyendo el punto medio en Ilustración 4: Terreno a cercar junto a un río
  • 50. Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com www.maestronline.com Por tanto, las dimensiones que maximizan el área del terreno son . El área máxima está dada por: b. La altura de un triángulo es cuatro unidades menor que su base. ¿Qué dimensiones debe tener el triángulo para que su área sea la menor posible? El área del triángulo está dada por donde es la base y la altura del triángulo. Si la base está dada por y , entonces el área está dada por: Ilustración 5: Gráfica de la función de área Ilustración 6: Triángulo de base "x" y altura "x-4"
  • 51. Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com www.maestronline.com Graficando se tiene: En la gráfica se aprecia un mínimo entre 0 y 4. Sin embargo, este mínimo es un área negativa lo cual es físicamente imposible. Por tanto los valores mínimos de área están dados en las intersecciones, para cuando . La primera intersección está dada en el origen ( ). Si la base es , entonces la altura es igual a , lo cual es físicamente imposible. En cambio, si , entonces , lo cual sí es posible y arroja el valor mínimo de área igual a 0. c. Una pelota es lanzada con una rapidez inicial de , la función que describe la altura del cuerpo conforme el tiempo transcurre es: ¿Cuánto tiempo tarda la pelota en llegar al punto más alto de su trayectoria? Considerando movimiento vertical uniformemente acelerado, la velocidad inicial está dada por: y la velocidad final al momento de llegar a su altura máxima es . Se considera que la gravedad es igual a . La gráfica de la función se obtiene sustituyendo la velocidad inicial y la gravedad en : Ilustración 7: Gráfica de la función de área
  • 52. Servicio de asesoría y resolución de ejercicios ciencias_help@hotmail.com www.maestronline.com Dado que la función de la altura en términos del tiempo es una parábola que abre hacia abajo, la gráfica tiene un máximo de altura justo en el punto medio de las intersecciones del eje de las abscisas (eje del tiempo). Hallando las intersecciones: Las intersecciones están dadas en y . Dividiendo la distancia entre las dos intersecciones entre 2 dará como resultado el tiempo en el que llega la pelota a su altura máxima: