Capitulo 3 parte 1 (1)

Curso: Resistencia II
CAPÍTULO 3
ELEMENTOS A COMPRESIÓN: PANDEO
3.1

Introducción

Una columna es un elemento axial sometido a compresión, lo bastante delgado respecto de su
longitud, para que bajo la acción de una carga gradualmente creciente falle por flexión lateral o
pandeo ante una carga mucho menor que la necesaria para romperla por aplastamiento.
Las columnas se suelen dividir en 3 grupos: Cortas, intermedias y largas.
Las columnas se consideran cortas cuando su longitud es menor o igual a 10 veces su dimensión
transversal menor. Se las suele denominar también “poste”.

Figura 3.1 Elemento sujeto a compresión: Elevación y sección transversal

Las columnas cortas suelen fallar por aplastamiento.
Las columnas largas suelen fallar por flexión lateral o pandeo.
Las columnas intermedias suelen fallar por una combinación de aplastamiento y pandeo.
Las columnas suelen tener siempre pequeñas imperfecciones de material y de fabricación, así
como una inevitable excentricidad accidental en la aplicación de la carga.

1


Figura 3.2 Factores que intervienen en la excentricidad de las cargas en las columnas
(Tomado de Singer 2008).
Si la excentricidad es pequeña y el elemento es corto, la flexión lateral es despreciable, y el
esfuerzo de flexión es insignificante comparado con el esfuerzo de compresión directo. Sin
embargo, en un elemento largo, que es mucho más flexible ya que las deflexiones son
proporcionales al cubo de la longitud, con un valor relativamente pequeño de la carga P puede
producirse un esfuerzo de flexión grande acompañado de un esfuerzo directo de compresión
despreciable. Así pues, en las dos situaciones extremas, una columna corta soporta
fundamentalmente el esfuerzo directo de compresión, y una columna larga está sometida
principalmente al esfuerzo de flexión.
Para columnas intermedias, no es posible determinar exactamente la forma en que varían estos
dos tipos de esfuerzos, o la proporción con la que cada una contribuye al esfuerzo total.

3.2

Carga Crítica

Coloquemos verticalmente una viga esbelta, articulémosla en sus extremos mediante rótulas que
permitan la flexión en todas sus direcciones.
En la figura 3.3(a) se aplica una carga H en la mitad de la viga mientras que en la figura 3.3(b)
se aplica una carga P que aumenta gradualmente mientras que la carga H disminuye
gradualmente. De esta figura, si tomamos momento con respecto al punto de aplicación de la
carga H se tiene por equilibrio:

Si H

0

‫ܮ ܪ‬
‫ ܯ‬ൌ ൬ ൰ ൅ ܲߜ
2 2
‫ ܯ‬ൌ ሺܲ ሻߜ
௖௥

(3.1)

2


Figura 3.3 Viga y columna con la misma flexión (Tomado de Singer 2008).

Como se indica en la figura 3.3(c), Pcr es la carga crítica necesaria para mantener la columna
deformada sin empuje lateral alguno. Un pequeño incremento de P sobre este valor crítico hará
que aumente la deflexión δ, lo que incrementará M, con lo cual volverá a aumentar δ y así
sucesivamente hasta que la columna falle por pandeo.

3

3.3

Fórmula de Euler para columnas largas o muy esbeltas

3.3.1

Columnas articuladas

En el año 1757, el gran matemático suizo Leonhard Euler realizó un análisis teórico de la carga
crítica para columnas esbeltas basado en la ecuación diferencial de la elástica (ver Cap. 1).
‫ ܫܧ‬

݀ଶ‫ݕ‬
ൌ‫ܯ‬
݀‫ ݔ‬ଶ

Ahora se sabe que este análisis es válido hasta que los esfuerzos alcanzan el límite de
proporcionalidad. En los tiempos de Euler, no se habían establecido los conceptos de esfuerzo,
ni de límite de proporcionalidad, por lo que él no tuvo en cuenta la existencia de un límite
superior de la carga crítica.

Figura 3.4 Columna pandeada con sus extremos articulados.
La deflexión máxima δ es lo suficientemente pequeña para que no exista diferencia apreciable
entre la longitud inicial de la columna y su proyección sobre un eje vertical. En estas
condiciones,
de una viga.

ௗ௬
ௗ௫

es pequeña y se puede aplicar la ecuación diferencial aproximada de la elástica

M es positivo cuando la columna se pandea en el sentido indicado.
ௗమ௬

‫ ܫܧ‬ௗ௫మ ൌ ‫ ܯ‬ൌ ܲ ሺെ‫ݕ‬ሻ

(1.2)

݀ଶ‫ܲ ݕ‬
ܲ
൅ ‫ ݕ‬ൌ 0 ; ݇ ଶ ൌ
ଶ
݀‫ݔ‬
‫ܫܧ‬
‫ܫܧ‬
Condiciones de frontera (CF):

‫ ݕ‬ൌ ‫ܥ‬ଵ ‫ ݔ݇ ݊݁ݏ‬൅ ‫ܥ‬ଶ cos ݇‫ݔ‬
‫ ݔ :1ܨܥ‬ൌ 0,

‫ݕ‬ൌ0
4

0 ൌ 0 ൅ ‫ܥ‬ଶ ‫ܥ‬ଶ ൌ 0
‫ ݔ :2ܨܥ‬ൌ ‫ ݕ ,ܮ‬ൌ 0

Tres soluciones: (1) C1= 0

0 ൌ ‫ܥ‬ଵ ‫ ܮ݇ ݊݁ݏ‬

No hay pandeo.

(2) kL= 0: Como L no es cero

(3) sen kL= 0

P no existe.

kL= nπ (n= 0, 1, 2, 3, …. )
ܲ
ඨ ‫ ߨ݊ = ܮ‬
‫ܫܧ‬

ܲ ଶ
‫݊ = ܮ‬ଶ ߨ ଶ
‫ܫܧ‬
ܲ=

n=0

Pଵ =

n=2

P2 = 4P1

n=3

(3.2)

P0 = 0

n=1

݊ଶ ߨ ଶ
‫ ܫܧ‬
‫ܮ‬ଶ

P3 = 9P1

୉୍ πమ

୐మ

Figura 3.5 Efecto de n en el valor de la carga crítica (Tomado de Singer 2008)
Por lo tanto, la carga crítica, para una columna articulada en sus extremos, es
ܲ =
௖௥

‫ ߨ ܫܧ‬ଶ

‫ܮ‬ଶ

(3.3)

Pcr = Carga crítica = Carga de Euler o de Pandeo.
E = Módulo de Elasticidad

I = Momento de Inercia con respecto al eje sobre el cual ocurre el pandeo (mínimo).

5


3.3.2

Columna Empotrada

Reemplazando (3.3) con L = Le
en donde Le se denomina Longitud efectiva de la columna y representa la distancia entre los
puntos de inflexión en la configuración pandeada de la columna.

ܲ =
௖௥
ܲ =
௖௥

‫ ߨ ܫܧ‬ଶ
‫ ݁ܮ‬ଶ
‫ ߨ ܫܧ‬ଶ
‫ ܮ‬ଶ
ቀ 2ቁ

ܲ =
௖௥

4 ‫ ߨ ܫܧ‬ଶ

‫ܮ‬ଶ

(3.4)

Figura 3.6 Columna pandeada con sus extremos empotrados y diagrama de cuerpo libre
3.3.3

Columna Empotrada y Libre

Para esta columna usamos la ecuación (3.4) pero teniendo en cuenta que la longitud de la
columna doblemente empotrada es cuatro veces más larga (ver figura 3.6(b)) entonces:

ܲ =
௖௥
ܲ =
௖௥
ܲ =
௖௥

4 ‫ ߨ ܫܧ‬ଶ
‫ ݁ܮ‬ଶ
4 ‫ ߨ ܫܧ‬ଶ
(4‫)ܮ‬ଶ

‫ ߨ ܫܧ‬ଶ

4 ‫ܮ‬ଶ

(3.5)

Figura 3.7 Columna pandeada con sus extremos empotrado - libre y diagrama de cuerpo libre

6

3.3.4

Columna Empotrada y Articulada
ܲ =
௖௥
ܲ =
௖௥
ܲ ൎ
௖௥

‫ ߨ ܫܧ‬ଶ
‫ ݁ܮ‬ଶ

‫ ߨ ܫܧ‬ଶ
(0.7 ‫ܮ‬ሻଶ

2 ‫ ߨ ܫܧ‬ଶ

‫ܮ‬ଶ

(3.6)

Figura 3.8 Columna pandeada con sus extremos empotrado - articulado
Generalizando las fórmulas
ܲ ൌ
௖௥

‫ ߨ ܫܧ‬ଶ
‫ ݁ܮ‬ଶ

ܲ =
௖௥
k = Factor de longitud efectiva.

‫ ߨ ܫܧ‬ଶ

(݇‫)ܮ‬ଶ

(3.7)

Le = Longitud efectiva de la columna.
Condiciones de Sujeción
Ambos extremos articulados
Ambos extremos empotrados
Un extremo empotrado y el otro libre
Un extremo empotrado y el otro
articulado

Le = kL
L
1/2 L
2L
0.7 L

7

3.3.5

Estabilidad

P
Equilibrio
inestable
Equilibrio
neutro

Punto de
bifurcación
Pcr

Equilibrio
estable

Comportamiento
posterior al pandeo

P =Pcr

o

δ

Figura 3.9 Diagrama carga axial-deflexión lateral para una columna
Si P > Pcr : Equilibrio Inestable

Si P = Pcr : Equilibrio Neutro

Si P < Pcr : Equilibrio Estable

8

3.4 Limitaciones de la fórmula de Euler
Una columna tiende a pandearse siempre en la dirección en la cual es más flexible.
El valor de I en la fórmula de Euler es siempre el MENOR momento de inercia de la sección
recta. La tendencia al pandeo tiene lugar, pues con respecto al eje principal de momento de
inercia MÍNIMO de la sección recta.

‫ܫ‬௫ =
‫ܫ‬௬ ൌ

ܾ݄ଷ
12

݄ܾଷ
12

‫ ܫ‬ൌ ‫ܫ‬௬

Figura 3.10 Momentos de Inercia para una columna con sección rectangular
La carga crítica que produce el pandeo NO DEPENDE de la resistencia del material, sino de sus
dimensiones y del modulo elástico. Dos barras de idénticas dimensiones, una de acero de alta
resistencia y otra de acero suave, se pandearán bajo la misma carga crítica ya que aunque sus
resistencias son muy diferentes, tienen prácticamente el mismo módulo de elasticidad.nmmnkj

ߪ

σ୳ ൌ
σ୷ ൌ

ߝ

Figura 3.11 Diagrama esfuerzo-deformación unitaria para dos tipos de acero estructural.

9

Para un área dada, el material debe distribuirse tan lejos como sea posible del centro de
gravedad y de tal manera que los momentos de inercia con respecto a los ejes principales sean
iguales o a lo más parecidos posibles. O sea: ‫ܫ‬௫ ൎ ‫ܫ‬௬
Para que la fórmula de Euler sea aplicable, el esfuerzo que se produzca en el pandeo NO DEBE
EXCEDER el límite de proporcionalidad (ߪ௅ ሻ. De (3.7):
ܲ ൌ
௖௥

‫ ߨ ܫܧ‬ଶ
ሺ݇‫ܮ‬ሻଶ

‫ ܫ‬ൌ ‫ ݎܣ‬ଶ ܲ௖௥ ൌ
ܲ
‫ ݎܧ‬ଶ ߨ ଶ
௖௥
ൌ
‫ܣ‬
ሺ݇‫ܮ‬ሻଶ

ߪ௖௥ =
En donde:

‫ܧ‬ሺ‫ ݎܣ‬ଶ ሻ ߨ ଶ
ሺ݇‫ܮ‬ሻଶ

ܲ
‫ ߨܧ‬ଶ
௖௥
=
‫ܣ‬
݇‫ ܮ‬ଶ
ቀ‫ݎ‬ቁ

(3.8)

A = área de la sección transversal
r = radio de giro mínimo
Pcr = Carga critica, carga de Euler, carga de pandeo

σୡ୰ୀ Esfuerzo crítico, esfuerzo de Euler, esfuerzo de pandeo
௞௅
௥

= Relación de esbeltez (adimensional)

El valor P/A es el esfuerzo medio en la columna cargada con su carga crítica, y se llama
esfuerzo crítico. Su límite superior es el esfuerzo en el límite de proporcionalidad. La relación
kL/r se llama esbeltez mecánica, o simplemente esbeltez, de la columna.
ߪ௖௥ ≤ ߪ௅

(3.9)

Se define como columnas largas o muy esbeltas aquellas a las que se puede aplicar la fórmula
de Euler.
ܲ =
En donde:

ܲ
௖௥
‫ܵܨ‬

(3.10)

P = Carga de trabajo, carga admisible, carga permisible.
También se puede abreviar como PT o PW.
FS = Factor de seguridad (varía de 2 a 3 y depende del material y de ciertas
condiciones).

10


ߪ௖௥
ߪ௅

ߪ௖௥
൬

݇‫ܮ‬
൰
‫ݎ‬

݇‫ܮ‬
‫ݎ‬
Figura 3.12 Diagrama esfuerzo crítico – Relación de Esbeltez (Tomado de Singer 1994).
ܲ
ܲ
௖௥
=
‫ܵܨ ܣ ܣ‬
ߪ=

ߪ௖௥
‫ܵܨ‬

(3.11)

ߪ = Esfuerzo de trabajo, esfuerzo admisible, esfuerzo permisible.
También se puede abreviar como σT o σW.

11

Ejemplo 3.1 Una columna de acero con sus extremos articulados tiene un límite de
proporcionalidad de 200 MPa. El módulo de elasticidad es de 200 Gpa. Determinar:
a) Esfuerzo crítico si kL/r = 50, 75, 100, 150 y 200
b) La grafica kL/r vs. ࣌ࢉ࢘
c) Esfuerzo de trabajo σ para un FS de 3 y kL/r = 100
a) De (3.8) y (3.9):
σୡ୰ =

E πଶ

kL ଶ
ቀrቁ

൑ σ୐ ; k ൌ 1 Para una columna articulada

σୡ୰ ൌ

‫ۺ‬
‫ܚ‬
50
75
100
150
200
b)

E πଶ

L ଶ
ቀr ቁ

ൌ

200 x 10ଷ x πଶ
L ଶ
ቀr ቁ

ൌ

1972 x 10ଷ
L ଶ
ቀrቁ

ો‫( ܚ܋‬MPa)

789 > ߪ௅ ߪ௖௥ ൌ ߪ௅ ൌ 200‫ ܽܲܯ‬
σcr = σL = 200 MPa
350 > ߪ௅
197.2 ൎ 200‫ ܽܲܯ‬ൌ ߪ௅ ; o.k.
87.6 < ߪ௅ ; o.k.
49.3 < ߪ௅ ; o.k.

ߪ௖௥

൬

݇‫ܮ‬
൰
‫ݎ‬

Nota 1: El esfuerzo crítico es el representado por la línea continua.
Nota 2: El esfuerzo crítico en una columna disminuye rápidamente cuando aumenta la esbeltez,
por lo que al proyectar una columna de este tipo, la esbeltez debe ser lo menor posible.

12


c)
ߪ = ? FS = 3 kL/r = 100

σୡ୰ = 200MPa, valor obtenido del literal a)

Aplicando la fórmula (3.11):
ߪ=
ߪ=

ߪ௖௥
‫ܵܨ‬

200 ‫ܽܲܯ‬
3

࣌ = ૟૟. ૠ ࡹࡼࢇ

13


Ejemplo 3.2 Una pieza de madera rectangular de 5 x 10 cm se emplea como
columna con los extremos empotrados (Singer, problema # 1102 pág. # 419).
a) Calcular la longitud mínima para que
pueda aplicarse la fórmula de Euler si E = 105
kg/cm2 y el límite de proporcionalidad es de
350 kg/cm2.
b) ¿Qué carga axial podrá soportar con un factor
de seguridad igual a 3 si la longitud es de 2.50
m?
a) Lmin = ?
Paso 1. Hallar kL/r.
La longitud mínima se determina cuando las
ecuaciones (3.8) y (3.9) son iguales:
σୡ୰ =

E πଶ

kL ଶ
ቀrቁ

ൌ σ୐
݇‫ܮ‬
‫ ߨܧ‬ଶ
൬ ൰ൌඨ
‫ݎ‬
ߪ௅
10ହ ߨ ଶ
݇‫ܮ‬
ൌ 53.08
൬ ൰ൌඨ
‫ݎ‬
350

Paso 2. Hallar Radio de Giro mínimo r. Véase Sección 3.4.

hb 3 10 × 53
=
= 104.17 cm 4
12
12
A = 5 × 10 = 50 cm 2

I min = I Y =

r=

I
104.17
=
= 1.443 cm
A
50

Paso 3. Hallar la longitud mínima.
Lmin = 53.08r/k; k =0.5 para una columna doblemente empotrada.
Lmin = 53.08 * 1.443/0.5 = 153.2 cm ≈ 1.53 m.

14


b)

P=?

De la ec. (3.4) para una columna doblemente empotrada se tiene:
ܲ =
௖௥

4‫ ߨ ܫܧ‬ଶ

‫ܮ‬ଶ

Pcr = 4* 105 * 104.17* π2/(2502) = 6573 kg
Aplicando (3.10):
P = Pcr/FS = 6573/3 = 2191 kg.
Otro método:
De ec. (3.8):
σୡ୰ =
σୡ୰ =
σୡ୰ =

E πଶ

kL ଶ
ቀrቁ

10ହ πଶ

0.5 ∗ 250 ଶ
ቀ 1.443 ቁ

10ହ πଶ
= 131.39 kg/cm2
ሺ86.81ሻଶ

Pcr = σcr * A = 131.39 * 50 = 6573 kg

P = Pcr/FS = 6573/3 = 2191 kg.

15

3.4.1

Selección de Perfiles

En Ingeniería Civil se presentan generalmente dos tipos de problemas:
Problema Tipo 1:
Datos:
a) Conoce el material: CR, AE, Madera (E, σl).
b) Conocen las dimensiones: L, b, h o el perfil (I, A, r)
c) Conoce el tipo de soporte: k
Incógnita:
•

Se desea hallar su carga de trabajo P o esfuerzo de trabajo σ.
ܲ =
ߪ=

ܲ
௖௥
‫ܵܨ‬

ߪ௖௥
‫ܵܨ‬

(3.10)

(3.11)

Este fue el caso de la parte b) del ejemplo 3.2.
Problema Tipo 2: Problema más común.
Datos:
a)
b)
c)
d)

Conoce el material: CR, AE, Madera (E, σl).
Conoce solamente L
Conoce el tipo de soporte: k
Conoce la carga de trabajo P o esfuerzo de trabajo σ

Incógnita:
•
•
•

Se desea hallar las dimensiones del elemento (I, A, r). Este problema se conoce con el
nombre de “Selección de Perfiles” en el caso de elementos de acero estructural.
Para elementos principales se recomienda trabajar con columnas en donde 40 ≤ kL/r ≤
120 pero bajo ningún concepto kL/r > 200.
ߪ௖௥ = ߪ௅
Recordar ejemplo 3.1 en donde kL/r ≤ 100,
y que si kL/r > 100, la fórmula de Euler es aplicable.

16


Ejemplo 3.3 Para el tubo articulado en ambos extremos de acero de forma
rectangular de la figura encuentre la carga crítica, el esfuerzo crítico, la carga de
trabajo y el esfuerzo de trabajo asumiendo un FS de 2.5. Tome L = 4.20 m, E = 2.1
x 106 kg/cm2. use fórmula de Euler, si ello es posible.
y

x

Este es un Problema Tipo 1.
Paso 1. Hallar radio de giro mínimo r. En este caso Ix = Imin.
12.5 × 7.5 3 11.25 × 6.25 3
I min =
−
= 210.57 cm 4
12
12
A = 7.5 × 12.5 − 6.25 × 11.25 = 23.44 cm 2

rmin =

I min
=
A

210.57
= 3.00 cm
23.44

Paso 2. Encontrar Pcr. k = 1.0 (extremos articulados)

kL 1* 420
=
= 140 > 100
r
3
De (3.7):

Pc r =

π 2 EI
(kL) 2

=

se puede aplicar la fórmula de Euler (ver ejemplo 3.1)

π 2 × 2.1× 10 6 × 210.57

(1* 420)2

≈ 24741 kg

Paso 3. Encontrar σcr. De (3.8):
Pc r 24741
σ cr =
=
= 1055.50 kg cm 2
A
23.44
Paso 4. Hallar P y σ. De (3.10) y (3.11):
P = Pcr/FS = 24741/2.5 ≈ 9900 kg
σ = σcr/FS = 1055.5/2.5 = 422 kg/cm2

17


Ejemplo 3.4 Escoger el perfil I de ala ancha europeo más económico para una
columna de 8 m de longitud con extremos empotrados que ha de soportar una
carga admisible de 30000 kg con un coeficiente de seguridad de 2.5. El límite de
proporcionalidad es de 2100 kg/cm2. E = 2.1 x 106 kg/cm2. Use la fórmula de Euler.
(Singer, problema # 1108 pág. # 419).
Este es un Problema Tipo 2.
Paso 1. Hallar radio de giro mínimo r. De (3.8) y (3.9) con el signo igual:
σୡ୰ =

E πଶ

kL ଶ
ቀrቁ

= σ୐

‫ ߨܧ‬ଶ
݇‫ܮ‬
൬ ൰=ඨ
ߪ௅
‫ݎ‬

݇‫ܮ‬
2.1‫ ߨ ଺01 ݔ‬ଶ
≈ 100
൬ ൰=ඨ
‫ݎ‬
2100
k =1/2, L = 8 metros

r = kL/100 = ½*800/100 = 4 cm.

Paso 2. Encontrar Pcr. De (3.10): P = Pcr/FS
Pcr = P*FS = 30000 * 2.5 = 75000 kg
Paso 3. Encontrar Imin. De (3.7) y con k =1/2
ܲ =
௖௥

I=

Pc r (kL) 2
2

π E

=

‫ ߨ ܫܧ‬ଶ

ሺ݇‫ܮ‬ሻଶ

(75000)(1/ 2 * 800)2
2

π × 2.1×10

6

= 578.98 cm 4

Así pues, la sección debe tener un momento de inercia mínimo mayor que 578.98 cm4 y
un radio de giro mayor de 4 cm. Se puede elegir, considerando tabla B-8 pág. # 614 del
libro de Singer, un perfil I de ala ancha de 16 cm que tiene I min = 922 cm 4 y un radio de
giro mínimo de 4.06 cm, con peso 44 kg/m.
Otro método. En lugar de hallar Imin en el paso 3, se puede hallar el área mínima. De
(3.11):

σ cr =

Pc r
A

⇒ Amin =

75000
= 35.71 cm 2
2100

y con un valor de radio de giro mínimo cercano a 4 cm, mayor preferible, se obtiene el
mismo perfil.
18

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