Resistencia de materiales II

1. Mg. Cinthya
Alvarado Ruiz
PANDEO DE COLUMNAS
FACULTAD DE INGENIERÍA Y
ARQUITECTURA
2021
VICERRECTORADO ACADÉMICO
Docente: Mg. Ing. Cinthya Alvarado Ruiz

2. Mg. Cinthya
Alvarado Ruiz
Contenido
Facultad de Ingeniería y
Arquitectura
• Introducción
• Estabilidad de Estructuras
• Fórmula de Euler
• Extensión de la fórmula de Euler
• Columnas con carga excéntrica
• Diseño de columnas

3. Mg. Cinthya
Alvarado Ruiz
Introducción
Facultad de Ingeniería y
Arquitectura
Pont du Gard (Francia) de la época de los Romanos
El puente está construido con bloques de
piedra caliza ensamblados sin mortero y
asegurados con abrazaderas de hierro. La
estructura de tres niveles evita la
necesidad de elementos de compresión
largos.

4. Mg. Cinthya
Alvarado Ruiz
Introducción
Facultad de Ingeniería y
Arquitectura
Puente Real de la Frontera (Inglaterra)
Inaugurado en 1850, el puente sigue
utilizándose en la actualidad. La mayor
delgadez de las columnas en comparación
con el Pont du Gard refleja mejoras
tecnológicas durante muchos siglos.

5. Mg. Cinthya
Alvarado Ruiz
Introducción
Facultad de Ingeniería y
Arquitectura
Viaducto de Crymlyn (Reino Unido)
El avance de la mampostería a los delgados
elementos de compresión de metal que
componen cada columna requiere un
refuerzo sustancial para evitar el pandeo.
Inaugurado en 1857; Cerrado en 1964.

6. Mg. Cinthya
Alvarado Ruiz
Introducción
Facultad de Ingeniería y
Arquitectura
Puente de la carretera de Humber
Inaugurado en 1981, consta de un tablero de
carretera de caja cerrada continuamente
soldado suspendido de cables de catenaria
apoyados en torres de hormigón armado. Los
puentes colgantes eliminan la necesidad de
puntales distintos a las dos torres, sin
embargo, evitar pandeos en otros
componentes delgados se convierte en un
problema.

7. Mg. Cinthya
Alvarado Ruiz
Introducción
Facultad de Ingeniería y
Arquitectura
1) Pandeo, se produce porque la columna diseñada es
demasiado esbelta, para soportar las cargas actuantes.
2) Compresión, se produce porque las cargas a soportar
son mayores al cálculo de resistencia característica de
los materiales, posibles fallas: falla el diseño de
hormigón, falla del acero por el diámetro calculado,
falla el diseño de la estructura.
3) Corte, la estructura no está diseñada para soportar
movimientos laterales por sismos u otros, fallas en la
armadura de confinamiento, estribos que no satisfacen
los esfuerzos cortantes, demasiada separación entre
estribos a corte.

8. Mg. Cinthya
Alvarado Ruiz
Introducción
Facultad de Ingeniería y
Arquitectura

9. Mg. Cinthya
Alvarado Ruiz
Objetivos
Facultad de Ingeniería y
Arquitectura
1) Entender el fenómeno de pandeo como una forma de inestabilidad
estructural.
2) Aprender a usar fórmulas de pandeo en el análisis y diseño de
estructuras.

10. Mg. Cinthya
Alvarado Ruiz
Facultad de Ingeniería y
Arquitectura
Estabilidad de estructuras
• En el diseño de columnas, se selecciona la sección transversal para que
- No exceda el esfuerzo admisible
𝜎
𝑃
𝐴
𝜎
- La deformación cumpla con las especificaciones
𝛿
𝑃𝐿
𝐴𝐸
𝛿
• Sin embargo, después de estos cálculos de diseño puede ocurrir que la
columna sea inestable bajo carga aplicada y que de repentinamente se
dobel apreciablemente, produciéndose el llamado “pandeo”.

11. Mg. Cinthya
Alvarado Ruiz
Facultad de Ingeniería y
Arquitectura
Estabilidad de estructuras
• Cuando una estructura (sujeto normalmente
a compresión) sufre desplazamientos
transversales apreciablemente grandes,
entonces se dice que ha pandeado.
• El pandeo es una inestabilidad del
equilibrio.

12. Mg. Cinthya
Alvarado Ruiz
Facultad de Ingeniería y
Arquitectura
Estabilidad de estructuras
• El pandeo y la flexión son similares, pero en ambos casos actúan momentos
flectores.
• En la flexión estos momentos son independientes de la deflexión resultante.
• En el pandeo, en cambio, los momentos y las deflexiones son dependientes entre
sí, por lo que las deflexiones y los esfuerzos no son proporcionales a las cargas.
• Si las deflexiones producidas por el pandeo son demasiado grandes, la estructura
falla. Esto depende de la geometría y no de la resistencia del material.

13. Mg. Cinthya
Alvarado Ruiz
Facultad de Ingeniería y
Arquitectura
Estabilidad de estructuras
• Considerar el siguiente modelo con dos barras rígidas y un resorte
torsional. Después de una pequeña perturbación,
𝐾 2Δ𝜃 momento restaurador
𝑃
𝐿
2
sen Δ 𝜃 momento desestabilizador
• La columna es estable (tiende a su posición vertical original) si
𝑃
𝐿
2
𝑠𝑒𝑛 Δ𝜃 𝐾 2Δ𝜃
𝑃 𝑃
4𝐾
𝐿

14. Mg. Cinthya
Alvarado Ruiz
Facultad de Ingeniería y
Arquitectura
Estabilidad de estructuras
• Asumir que se aplica una carga P. Después de una
perturbación, el sistema se estabiliza en una nueva posición de
equilibrio, formando un ángulo de deflexión finito.
𝑃
𝐿
2
sen 𝜃 𝐾 2𝜃
𝑃𝐿
4𝐾
𝑃
𝑃
𝜃
sen 𝜃
• Notando que sen <  , la posición asumida solo es posible
si P > Pcr.

15. Mg. Cinthya
Alvarado Ruiz
Facultad de Ingeniería y
Arquitectura Fórmula de Euler para columnas con
extremos articulados
El valor mínimo de P se
obtiene cuando n = 1, por lo
que entonces la carga crítica
de la columna es:

16. Mg. Cinthya
Alvarado Ruiz
Facultad de Ingeniería y
Arquitectura Fórmula de Euler para columnas con
extremos articulados
• Considerar una viga cargada axialmente. Si se le da una
pequeña perturbación, el sistema alcanza una posición de
equilibrio tal que
0
2
2
2
2





y
EI
P
dx
y
d
y
EI
P
EI
M
dx
y
d
• La solución asumida solo puede ser obtenida si
 
 2
2
2
2
2
2
2
r
L
E
A
L
Ar
E
A
P
L
EI
P
P
cr
cr












17. Mg. Cinthya
Alvarado Ruiz
Facultad de Ingeniería y
Arquitectura Fórmula de Euler para columnas con
extremos articulados
𝑃 𝑃
𝜋 𝐸𝐼
𝐿
𝜎
𝑃
𝐴
𝜎
𝑃
𝐴
𝜎
𝜋 𝐸 𝐴𝑟
𝐿 𝐴
𝜋 𝐸
𝐿 𝑟
⁄
𝑒𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜 𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜
𝐿
𝑟
relación de 𝑒𝑠𝑏𝑒𝑙𝑡𝑒𝑧
• El valor de esfuerzo que corresponde a la carga crítica,
• El análisis hecho solo es válido para cargas concéntricas.

18. Mg. Cinthya
Alvarado Ruiz
Facultad de Ingeniería y
Arquitectura Fórmula de Euler para columnas con
extremos articulados
Los dos anillos actúan como soportes elásticos
que cambian el valor de la carga crítica de
pandeo de las columnas.
Soportes elásticos en las columnas de un
tanque de agua.

19. Mg. Cinthya
Alvarado Ruiz
Facultad de Ingeniería y
Arquitectura
Extensión de la fórmula de Euler
• Una columna con un extremo empotrado y otro libre, se
comporta como el extremo superior de una columna
doblemente articulada.
• La carga crítica se la calcula de la formula de Euler,
𝑃
𝜋 𝐸𝐼
𝐿
𝜎
𝜋 𝐸
𝐿 𝑟
⁄
𝐿 2𝐿 longitud equivalente

20. Mg. Cinthya
Alvarado Ruiz
Facultad de Ingeniería y
Arquitectura
Extensión de la fórmula de Euler

21. Mg. Cinthya
Alvarado Ruiz
Facultad de Ingeniería y
Arquitectura
Problema ejemplo 10.1
Una columna de aluminio de longitud L y sección rectangular tiene un
extremo fijo en B y soporta una carga concéntrica en A. El extremo A
está restringido en su movimiento de tal manera que puede moverse uno
de los planos verticales de simetría pero no en el otro.
a) Determine la relación a/b de los dos lados de la sección transversal
para obtener el diseño más eficiente que evite el pandeo.
b) Diseñe la sección transversal más eficiente para la columna.
L = 20 in.
E = 10.1 x 106 psi
P = 5 kips
FS = 2.5

22. Mg. Cinthya
Alvarado Ruiz
Facultad de Ingeniería y
Arquitectura
Problema ejemplo 10.1
• Pandeo en el plano xy:
12
7
.
0
12
12
,
2
3
12
1
2
a
L
r
L
a
r
a
ab
ba
A
I
r
z
z
e
z
z
z





• Pandeo en el plano xz:
12
/
2
12
12
,
2
3
12
1
2
b
L
r
L
b
r
b
ab
ab
A
I
r
y
y
e
y
y
y





• Diseño más eficiente:
2
7
.
0
12
/
2
12
7
.
0
,
,



b
a
b
L
a
L
r
L
r
L
y
y
e
z
z
e
35
.
0

b
a
SOLUCIÓN:
El diseño más eficiente ocurre cuando la Resistencia al pandeo es igual en
ambos planos de simetría. Esto ocurre si las relacione de esbeltez son iguales.

23. Mg. Cinthya
Alvarado Ruiz
Facultad de Ingeniería y
Arquitectura
Problema ejemplo 10.1
L = 20 in.
E = 10.1 x 106 psi
P = 5 kips
FS = 2.5
a/b = 0.35
• Diseño:
 
    
 
 
 
 
 
 
 2
6
2
2
6
2
2
2
cr
cr
6
.
138
psi
10
1
.
10
0.35
lbs
12500
6
.
138
psi
10
1
.
10
0.35
lbs
12500
kips
5
.
12
kips
5
5
.
2
6
.
138
12
in
20
2
12
2
b
b
b
b
r
L
E
b
b
A
P
P
FS
P
b
b
b
L
r
L
e
cr
cr
y
e


















in.
567
.
0
35
.
0
in.
620
.
1



b
a
b

24. Mg. Cinthya
Alvarado Ruiz
Facultad de Ingeniería y
Arquitectura
Carga excéntrica: Fórmula de la Secante
• La carga excéntrica es equivalente a una carga concéntrica y un par.
• Ocurre flexión de la columna para cualquier excentricidad de la carga
por pequeña que sea. El problema de pandeo es ahora analizar si la
deflexión o el esfuerzo son excesivos.
2
2
max
2
2
1
2
sec
e
cr
cr L
EI
P
P
P
e
y
EI
Pe
Py
dx
y
d






















• La deflexión se hace infinita cuando la carga P = Pcr
• Esfuerzo máximo  





















 


r
L
EA
P
r
ec
A
P
r
c
e
y
A
P
e
2
1
sec
1
1
2
2
max
max


25. Mg. Cinthya
Alvarado Ruiz
Facultad de Ingeniería y
Arquitectura
Carga excéntrica: Fórmula de la Secante

















r
L
EA
P
r
ec
A
P e
Y
2
1
sec
1 2
max 


26. Mg. Cinthya
Alvarado Ruiz
Facultad de Ingeniería y
Arquitectura
Problema ejemplo 10.2
La columna mostrada está hecha con un tubo structural de 8 pies de
longitude, con la sección mostrada.
a) Usando la fórmula de Euler y un factor de seguridad de 2, determine
la carga concéntrica admisible y el correspondiente esfuerzo normal.
b) Asumiendo que se aplica la carga admisible hallada en la parte a), en
un punto situado a 0.75” del eje geométrico de la columna, determine
la deflexión horizontal del extremo superior de la columna y el
máximo esfuerzo normal en la columna.
.
psi
10
29 6


E

27. Mg. Cinthya
Alvarado Ruiz
Facultad de Ingeniería y
Arquitectura Problema ejemplo 10.2
SOLUCIÓN:
• Máxima carga concéntrica admisible
  in.
192
ft
16
ft
8
2 


e
L
- Longitud efectiva,
  
 
kips
1
.
62
in
192
in
0
.
8
psi
10
29
2
4
6
2
2
2






e
cr
L
EI
P
- Carga crítica,
𝑃
𝑃
𝐹𝑆
62.1 kips
2
𝜎
𝑃
𝐴
31.1 kips
3.54 in
𝑃 31.1 kips
ksi
79
.
8


- Carga admisible,

28. Mg. Cinthya
Alvarado Ruiz
Facultad de Ingeniería y
Arquitectura
Problema ejemplo 10.2
• Carga excéntrica:
in.
939
.
0

m
y
  





























1
2
2
sec
in
075
.
0
1
2
sec


cr
m
P
P
e
y
- Deflexión del extremo,
  
 






























2
2
sec
in
1.50
in
2
in
75
.
0
1
in
3.54
kips
31.1
2
sec
1
2
2
2



cr
m
P
P
r
ec
A
P
ksi
0
.
22

m

- Máximo esfuerzo normal,

29. Mg. Cinthya
Alvarado Ruiz
Facultad de Ingeniería y
Arquitectura Diseño de columnas bajo carga
concéntrica
• Hasta aquí se ha asumido que los esfuerzos no exceden el
límite proporcional y que las columnas son rectas y
homogéneas.
• Experimentalmente se encuentra que
- Para valores grandes de Le/r, cr sigue la fórmula de
Euler y depende de E pero no de Y.
- Para valores intermedios de Le/r, cr depende tanto de
Y como de E.
- Para valores pequeños de Le/r, cr es determinado por
Y y no por E.

30. Mg. Cinthya
Alvarado Ruiz
Facultad de Ingeniería y
Arquitectura Diseño de columnas bajo carga
concéntrica
Acero estructural
American Inst. of Steel Construction
• Para Le/r > Cc
𝜎
𝜋 𝐸
𝐿 /𝑟
𝜎
𝜎
𝐹𝑆
𝐹𝑆 1.92
• Para Le/r > Cc
𝜎 𝜎 1
𝐿 /𝑟
2𝐶
𝜎
𝜎
𝐹𝑆
𝐹𝑆
5
3
3
8
𝐿 /𝑟
𝐶
1
8
𝐿 /𝑟
𝐶
• En Le/r = Cc
Y
c
Y
cr
E
C




2
2
2
1 2



31. Mg. Cinthya
Alvarado Ruiz
Facultad de Ingeniería y
Arquitectura Diseño de columnas bajo carga
concéntrica
Acero estructural
American Inst. of Steel Construction

32. Mg. Cinthya
Alvarado Ruiz
Facultad de Ingeniería y
Arquitectura Diseño de columnas bajo carga
concéntrica
Aluminio
Aluminum Association, Inc.
• Aleación 6061-T6
Le/r < 66:
𝜎 20.2 0.126 𝐿 /𝑟 ksi
139 0.868 𝐿 /𝑟 MPa
Le/r > 66:
𝜎
51000 ksi
𝐿 /𝑟
351 10 MPa
𝐿 /𝑟
• Aleación 2014-T6
Le/r < 55:
𝜎 30.7 0.23 𝐿 /𝑟 ksi
212 1.585 𝐿 /𝑟 MPa
Le/r > 66:
𝜎
54000 ksi
𝐿 /𝑟
372 10 MPa
𝐿 /𝑟

33. Mg. Cinthya
Alvarado Ruiz
Facultad de Ingeniería y
Arquitectura
Problema ejemplo 10.4
Usando la aleación de aluminio 2014-T6,
determine la barra de diámetro más pequeño
que puede ser usado para soportar la carga
concéntrica P = 60 kN si a) L = 750 mm,
b) L = 300 mm
SOLUCIÓN:
• Si se desconoce el diámetro, no se puede evaluar la relación de
esbeltez. Debe suponer qué régimen de razón de esbeltez
utilizar.
• Calcule el diámetro requerido para el régimen de relación de
esbeltez asumido.
• Evalúe la relación de esbeltez y verifique el supuesto inicial.
Repita si es necesario.

34. Mg. Cinthya
Alvarado Ruiz
Facultad de Ingeniería y
Arquitectura
Problema ejemplo 10.4
𝑐 radio del cilindro
𝑟 radio de giro
𝐼
𝐴
𝜋𝑐 4
⁄
𝜋𝑐
𝑐
2
• Para L = 750 mm, asumo que L/r > 55
• Determino el radio del cilindro:
𝜎
𝑃
𝐴
372 10 MPa
L r
⁄
60 10 𝑁
𝜋𝑐
372 10 MPa
0.750 m
c/2
𝑐 18.44mm
• Compruebo el supuesto de relación de esbeltez:
 
55
3
.
81
mm
18.44
mm
750
2
/




c
L
r
L
la suposición era correcta
mm
9
.
36
2 
 c
d

35. Mg. Cinthya
Alvarado Ruiz
Facultad de Ingeniería y
Arquitectura
Problema ejemplo 10.4
• Para L = 300 mm, asumo que L/r < 55
• Determino el radio del cilindro:
𝜎
𝑃
𝐴
212 1.585
𝐿
𝑟
MPa
60 10 𝑁
𝜋𝑐
212 1.585
0.3 m
𝑐/2
10 Pa
𝑐 12.00mm
• Compruebo el supuesto de relación de esbeltez:
 
55
50
mm
12.00
mm
00
3
2
/




c
L
r
L
la suposición era correcta
mm
0
.
24
2 
 c
d

36. Mg. Cinthya
Alvarado Ruiz
Facultad de Ingeniería y
Arquitectura
Problema ejemplo 10.3
La columna AB es hecha con un perfil W10x39 de acero con y = 36 ksi y
E = 29 x 106 psi. Determine la carga concéntrica admisible P, (a) si la
longitud efectiva de la columna es 24 ft en todas las direcciones, (b) si se
proporciona apoyo lateral para evitar el movimiento del punto medio C en
el plano medio xz. (Asuma que el movimiento del punto C en el plano yz
no es afectado por el apoyo lateral.)

37. Mg. Cinthya
Alvarado Ruiz
Facultad de Ingeniería y
Arquitectura
Problema ejemplo 10.3

38. Mg. Cinthya
Alvarado Ruiz
Facultad de Ingeniería y
Arquitectura
Problema ejemplo 10.3

39. Mg. Cinthya
Alvarado Ruiz
UNIVERSIDAD CATÓLICA DE TRUJILLO
Muchas gracias por su atención
Facultad de Ingeniería y
Arquitectura

40. Mg. Cinthya
Alvarado Ruiz