Mirada matemática de fórmulas básicas presentes en el proceso de cultivo: sustrato --> levadura.

1. Ecuación de Monod
Función Producto y Sustrato
Ayuda para la tarea de matemática
TPICI – 2C2015
FI - UNLZ – IRMA NOEMÍ NO

2. Levadura
Las levaduras son seres vivos, unicelulares,
pertenecientes al reino de los hongos.
Estos microorganismos tienen un papel importante
en los procesos fermentativos, y comprenden un
variado abanico de criaturas “especializadas” en
panificación, vinificación, nutrición, usos
farmacéuticos, usos cerveceros y destilería. (*)
(*)Marzo 2012 –INDEC www.alimentosargentinos.gob.ar Ministerio de Agricultura
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3. Cinética de la Levadura
en Sustrato de Cultivo
El incremento del número de células del producto
“levadura” es proporcional al número de células
presentes en el cultivo (X).
A la “constante” de proporcionalidad (µ) se la llama
“tasa de crecimiento”.
𝒅𝑿
𝒅𝒕
= 𝝁. 𝑿
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Ecuación velocidad de
formación del producto.

4. Función Producto Levadura
𝑑𝑋
𝑑𝑡
= 𝜇. 𝑋
Utilizamos el método de variables
separables para hallar la función X(t)
𝑑𝑋
𝑋
= 𝜇. 𝑑𝑡
𝑑𝑋
𝑋
= 𝜇. 𝑑𝑡 𝐿𝑛 𝑋 = 𝜇. 𝑡 + 𝐶
X = 𝑒 𝜇.𝑡+𝐶 X = 𝑒 𝐶
. 𝑒 𝜇.𝑡
𝑒 𝐶 = 𝑋0Cuando t=0  X= X0 entonces
X = 𝑿 𝟎. 𝒆 𝝁.𝒕
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5. Tasa de crecimiento µ
La ecuación de Monod relaciona la tasa de
crecimiento µ con la concentración de sustrato S.
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𝝁 = 𝝁 𝒎𝒂𝒙
𝑺
𝑲 𝑺 + 𝑺
Donde:
𝝁 𝒎𝒂𝒙
Es la tasa máxima de crecimiento
específico de los microorganismos
𝑲𝒔
Es la constante de velocidad media (el
valor de S cuando μ / μ max = 0,5)

6. Relación lineal útil
A partir de la ecuación de Monod obtenemos una
relación lineal entre 1/µ y 1/S.
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𝝁 = 𝝁 𝒎𝒂𝒙
𝑺
𝑲 𝑺 + 𝑺
𝟏
𝝁
=
𝑲 𝑺 + 𝑺
𝝁 𝒎𝒂𝒙. 𝑺
𝟏
𝝁
=
𝑲 𝑺
𝝁 𝒎𝒂𝒙. 𝑺
+
𝑺
𝝁 𝒎𝒂𝒙. 𝑺
𝟏
𝝁
=
𝑲 𝑺
𝝁 𝒎𝒂𝒙
.
𝟏
𝑺
+
𝟏
𝝁 𝒎𝒂𝒙
pendiente
Ordenada al
origen

7. Hallamos experimentalmente µ
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1) Se miden experimentalmente los valores de S y µ
en diferentes momentos del cultivo.
2) A partir de la tabulación de S y µ se construye la
tabla relacional de los valores 1/S y 1/µ.
3) Se calcula la recta de regresión correspondiente
a los pares (1/S ; 1/µ)
4) La ordenada al origen aproxima a
𝟏
𝝁 𝒎𝒂𝒙
y la
pendiente a
𝑲 𝑺
𝝁 𝒎𝒂𝒙
, según la relación lineal
anterior.

8. Función Sustrato – parte 1
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El cultivo va consumiendo el sustrato, cuya
concentración decrece en forma proporcional al
crecimiento de la biomasa del producto.
A la constante de proporcionalidad se la
llama “rendimiento de utilización del sustrato”.
𝒀 𝒙
𝒔
𝒀 𝒙
𝒔
= −
𝒅𝑿
𝒅𝒕
𝒅𝑺
𝒅𝒕

9. Función Sustrato – parte 2
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Utilizamos los conocimientos y
𝒅𝑿
𝒅𝒕
= 𝝁. 𝑿
X = 𝑿 𝟎. 𝒆 𝝁.𝒕
en la expresión anterior:
𝒀 𝒙
𝒔
= −
𝒅𝑿
𝒅𝒕
𝒅𝑺
𝒅𝒕
= −
𝝁𝑿 𝟎. 𝒆 𝝁.𝒕
𝒅𝑺
𝒅𝒕
𝒅𝑺
𝒅𝒕
= −
𝝁𝑿 𝟎. 𝒆 𝝁.𝒕
𝒀 𝒙
𝒔
𝒅𝑺
𝒅𝒕
𝒅𝒕 = −
𝑿 𝟎
𝒀 𝒙
𝒔
𝝁. 𝒆 𝝁.𝒕 𝒅𝒕
Integrando a.m.:
𝑺 = −
𝑿 𝟎
𝒀 𝒙
𝒔
𝒆 𝝁.𝒕
+ 𝑪

10. Función Sustrato – parte 3
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𝑺 = −
𝑿 𝟎
𝒀 𝒙
𝒔
𝒆 𝝁.𝒕 + 𝑪
Cuando t=0  S= S0
entonces
𝑪 = 𝑺 𝟎 +
𝑿 𝟎
𝒀 𝒙
𝒔
𝑺 = −
𝑿 𝟎
𝒀 𝒙
𝒔
𝒆 𝝁.𝒕 + 𝑺 𝟎 +
𝑿 𝟎
𝒀 𝒙
𝒔
Por lo tanto:
Y finalmente:
𝑺 = 𝑺 𝟎 −
𝑿 𝟎
𝒀 𝒙
𝒔
𝒆 𝝁.𝒕 − 𝟏