El documento describe el crecimiento celular y su modelado matemático a través de la ecuación de Monod. Explica las fases de crecimiento celular y cómo se puede representar matemáticamente la duplicación celular, el tiempo de duplicación y la cinética de crecimiento. También presenta una variante de la ecuación de Monod para sistemas que dependen de la concentración de sustrato.

1. UniversidadAutónomadel Estadode México
FacultaddeQuímica
UA:REACTORESBIOLÓGICOS
Presentado por:
Nolasco Terrón Eder Yair
Grupo 85 IQ
“Cinética de crecimiento celular: Ecuación de Monod”

2. Crecimiento Microbiano
Es el incremento en el número de células o aumento en la masa
microbiana(biomasa). El crecimiento es un componente esencial
de la función microbiana, ya que una célula tiene un periodo de
vida determinado y la especie se mantiene como resultado del
crecimiento continuo de la población celular

3. Modelamiento matemático
Dicho crecimiento celular se puede modelar matemáticamente
a tal modo de predecir el aumento de población en un cultivo
microbiano; adquiere relevancia ya que este modelamiento
influye en el diseño de un biorreactor, en consecuencia va a
repercutir en el aumento de biomasa y en los productos que se
pueden llegar a obtener del crecimiento microbiano.

4. Los microrganismos presentan un crecimiento catalítico y se
puede describir mediante el siguiente modelo matemático:
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 𝜇𝑥
Donde:
𝑥: 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑒𝑙𝑢𝑙𝑎𝑟
𝜇: 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐í𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜
𝑡: 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜

5. La representación gráfica de dicha ecuación diferencial se
visualiza de la siguiente manera:

6. Fases de crecimiento celular
• Fase I(Lag phase): O llamada fase de adaptación,
no hay crecimiento microbiano aunque hay
metabolismo microbiano activo. Asimilan el
medio de cultivo y lo procesan según sus
necesidades nutricionales.

7. • Fase II(Log phase): recibe el nombre de fase exponencial,
aquí hay duplicación celular de manera acelerada. Al
tiempo en que una célula se duplica se le conoce como
tiempo de duplicación o regeneración. En el caso de las
bacterias el tiempo de duplicación es de 20 min a 20 hrs
donde cada intervalo de tiempo es menor a 1 h.

8. Duplicación celular
modelado matemático
Se tiene que una célula crece progresivamente y se divide en
dos células iguales.
Contando que se tiene un número inicial de células llamado 𝑁0 y
queremos averiguar el número final de células 𝑁 la duplicación
celular es la siguiente:
𝑁 = 2𝑁0
Si la célula que se duplicó se vuelve a duplicar tenemos que:
𝑁 = 2 ∗ 2𝑁0
𝑁 = 22
𝑁0

9. Si la duplicación celular ocurre en potencias de dos la
recurrencia se da de la siguiente manera:
𝑁 = 23
𝑁0
𝑁 = 24 𝑁0
⋮
𝑁 = 2 𝑛
𝑁0
Se tiene que la última ecuación es el número de células que
finales que se obtienen después de un cierto número de
divisiones celulares.

10. Tiempo de duplicación celular
modelado matemático
Es el tiempo que en que una célula se duplica. En el caso de las
bacterias el tiempo de regeneración es de 20 min a 20 hrs en
donde cada intervalo es menor a 1 hr
Para obtener el tiempo de duplicación como modelo
matemático usamos la ecuación diferencial de crecimiento
celular:
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 𝜇𝑥
Resolviendo la ecuación diferencial por el método de variables
separables tenemos lo siguiente:

11. 𝑑𝑥
𝑥
= 𝜇 𝑑𝑡
Queda como:
ln 𝑥 = 𝜇𝑡 + 𝑐
Rearreglando y usando antilogaritmos:
𝑥 = 𝑐𝑒 𝜇𝑡
Evaluando la condición inicial:
A 𝑡 = 0; 𝑥 = 𝑥0

12. Se tiene:
𝑥 = 𝑥0 𝑒 𝜇𝑡
Si evaluamos la siguiente condición 𝑥 𝑡 = 2𝑥0
Obtenemos el tiempo de duplicación celular:
𝑡 =
ln 2
𝜇

13. • Fase III(Fase estacionaria): la velocidad de división celular
ha decrecido a tal grado de que la nuevas células son
producidas al mismo ritmo que cuando mueran las
células viejas, por lo tanto el número de células es
constante.
La cantidad de nutrientes es limitada y pueden aparecer
desechos tóxicos.

14. • Fase IV(muerte celular): también llamada fase de
declive, en esta etapa ya no es posible la división
celular, por lo tanto, las células mueren y su
población decrece exponencialmente.

15. Ahora surge una interrogante:

16. El parámetro μ es la velocidad específica de crecimiento celular
y es la relación de crecimiento de la célula en función de los
nutrientes del medio.
Esta variable la podemos obtener por medio de la ecuación de
Monod:
𝜇 = 𝜇 𝑚𝑎𝑥
𝑆
𝑘 𝑆 + 𝑆
Donde:
𝑆: 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑟𝑎𝑡𝑜 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
𝜇 𝑚𝑎𝑥: 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜
𝑘 𝑆: 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜

17. Dicha ecuación es usada como parámetro de diseño
en los biorreactores ya que es la ecuación que más
tiene similitud con el comportamiento poblacional de
microorganismos y que depende también de la
cantidad de sustrato contenido en el biorreactor.
La ecuación de Monod se utiliza para encontrar la tasa
de crecimiento a velocidad de crecimiento constante.

18. Combinando la ecuación de Monod y la ecuación de
crecimiento microbiano se tiene la siguiente ecuación:
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 𝜇 𝑚𝑎𝑥
𝑆
𝑘 𝑆 + 𝑆
𝑥
cuando se desea obtener 𝜇 𝑚𝑎𝑥 y 𝑘 𝑆 se linealiza la
ecuación diferencial de la siguiente manera:
si
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 𝑟𝑥

19. 𝑟𝑥 = 𝜇 𝑚𝑎𝑥
𝑆𝑥
𝑘 𝑆 + 𝑆
1
𝑟𝑥
=
𝑘 𝑆 + 𝑆
𝜇 𝑚𝑎𝑥 𝑆𝑥
1
𝑟𝑥
=
𝑘 𝑆
𝜇 𝑚𝑎𝑥 𝑆𝑥
+
1
𝜇 𝑚𝑎𝑥 𝑥
Multiplicando por 𝑆𝑥:
𝑆𝑥
𝑟𝑥
=
𝑘 𝑆
𝜇 𝑚𝑎𝑥
+
1
𝜇 𝑚𝑎𝑥
𝑆

20. La linealización anterior se hace cuando se desea
averiguar el crecimiento celular para el caso que la
velocidad específica de crecimiento sea constante.

21. Para el caso de que la velocidad de crecimiento se halle en
un sistema(reactor) Batch y dependa a su vez de la
concentración del sustrato se tiene que introducir el
concepto de rendimiento de la reacción, que se define
como:
𝑌 = −
∆𝑥
∆𝑆
En términos de diferencial:
𝑌 = −
𝑑𝑥
𝑑𝑆

22. Integrando la ecuación diferencial de 𝑥0 a 𝑥 y de 𝑆0 a 𝑆
𝑥0
𝑥
𝑑𝑥 = −𝑌
𝑆0
𝑆
𝑑𝑆
Tenemos la siguiente ecuación
𝑥 − 𝑥0 = 𝑌 𝑆0 − 𝑆
Despejando a S:
𝑆 = 𝑆0 +
𝑥0 − 𝑥
𝑌
Y sustituyendo en la ecuación diferencial
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 𝜇 𝑚𝑎𝑥
𝑆
𝑘 𝑆 + 𝑆
𝑥

23. Queda de la siguiente manera:
𝑑𝑥
𝑑𝑡
=
𝜇 𝑚á𝑥 𝑥
𝑆0 +
𝑥0 − 𝑥
𝑌
+ 𝑘 𝑆
𝑆0 +
𝑥0 − 𝑥
𝑌
Arreglando términos
𝑑𝑥
𝑑𝑡
=
𝜇 𝑚á𝑥 𝑥 𝑌𝑆0 + 𝑥0 − 𝑥
𝑌𝑆0 + 𝑌𝑘 𝑆 + 𝑥0 − 𝑥
Resolviendo la ecuación diferencial por el método de variables
separables

24. 𝜇 𝑚á𝑥
0
𝑡
𝑑𝑡 =
𝑥0
𝑥1 𝑑𝑥
𝑥
𝑌𝑆0 + 𝑌𝑘 𝑆 + 𝑥0 − 𝑥
𝑌𝑆0 + 𝑥0 − 𝑥
Resolviendo por fracciones parciales la integral se ve como:
𝜇 𝑚á𝑥
0
𝑡
𝑑𝑡 =
𝑥0
𝑥1 𝑌𝑆0 + 𝑌𝑘 𝑆 + 𝑥0
𝑌𝑆0 + 𝑥0
∗
1
𝑥
+
𝑌𝑘 𝑆
𝑌𝑆0 + 𝑥0 𝑌𝑆0 + 𝑥0 − 𝑥
𝑑𝑥
Integrando queda como:
𝑌𝑆0 + 𝑌𝑘 𝑆 + 𝑥0
𝑌𝑆0 + 𝑥0
ln
𝑥1
𝑥0
+
𝑌𝑘 𝑆
𝑌𝑆0 + 𝑥0
ln
𝑌𝑆0
𝑌𝑆0 + 𝑥0 − 𝑥1
= 𝜇 𝑚á𝑥 𝑡

25. La ecuación antes deducida es la variante de la ecuación de
Monod para sistemas que dependen directamente de la
concentración del sustrato ya que de el depende si el
crecimiento celular es eficiente o provocará la muerte
celular, asimismo, es una consideración en el diseño de
reactores biológicos .

26. Cinética de Monod para
fermentaciones
La ecuación de Monod describe de antemano el crecimiento
celular, aunque si hacemos que esta ecuación se vea de modo
cinético adopta la forma siguiente:
𝑟𝑔 = 𝜇𝐶𝑐
Que toma la forma de la ecuación diferencial en crecimiento
microbiano. Bajo esta forma se diseñan las curvas de
crecimiento óptimas en Biorreactores ya sea en forma Batch o
en un Quimiostato.

27. Curva cinética de
crecimiento
Crecimiento microbiano en
un biorreactor

30. Referencias bibliográficas
Fogler H. Scott, Elementos de ingeniería de las reacciones químicas,
Cuarta edición, Edit. Pearson Prentice Hall, Naucalpan de Juárez
México, 2008.
Quintero R. Rodolfo, Ingeniería bioquímica: teoría y aplicaciones,
Primera Edición, Edit. Alhambra Mexicana, México DF. México, 1981.
http://www.diversidadmicrobiana.com/index.php?option=com_conte
nt&view=article&id=182&Itemid=225, consultado el día 15 de marzo
de 2015 a las 20:00 hrs.
http://www2.cbm.uam.es/jl sanz/docencia/archivos/08.pdf,
consutado el día 15 de marzo de 2015 a las 21:30.