1) El documento describe un método para diseñar y analizar losas alabeadas de espesor variable mediante superficies regladas. 2) Se propone utilizar una única tipología de superficie reglada para rellenar el contorno, lo que facilita el desarrollo de algoritmos y el tratamiento informático. 3) Se presenta un algoritmo para generar este tipo de superficies regladas y su implementación para modelar losas alabeadas con espesores variables.

1. XVI CONGRESO INTERNACIONAL
DE INGENIERÍA GRÁFICA
DISEÑO, ANÁLISIS Y TRATAMIENTO INFORMÁTICO DE LAS
LOSAS ALABEADAS DE ESPESOR VARIABLE
DELGADO OLMOS, Angel H.(1); MÁRQUEZ GARCÍA, Maria Luisa (2); RODRÍGUEZ
RUIZ, Francisco de Asís (3); ESCUTIA RECIO, María Teresa (4)
(1)
Universidad de Granada. España
E.T.S. de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos, Departamento de Expresión Gráfica Arquitectónica y en la
Ingeniería
E-mail: ahdolmos@goliat.ugr.es
(2)
Universidad de Granada. España
E.T.S. de Arquitectura, Departamento de Matemática Aplicada
E-mail: mmarquez@goliat.ugr.es
(3)
Universidad de Granada. España
E.T.S. de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos, Departamento de Expresión Gráfica Arquitectónica y en la
Ingeniería
E-mail: asis_ing@hotmail.com
(4)
Universidad de Granada. España
E.T.S. de Arquitectura
E-mail: pheytos@hotmail.com
RESUMEN
Llamamos losa alabeada a aquella cuyos cuatro lados no son coplanarios. Esta definición así
formulada queda incompleta si tenemos en cuenta que un cuadrilátero alabeado se puede
rellenar internamente de infinitas maneras. Es decir, hay infinitas superficies que tienen dicha
poligonal por borde.
Por tanto restringiremos las infinitas soluciones a una única tipología de superficies que
permitan una cobertura del espacio delimitado por una serie de cuadriláteros.
La unicidad del tipo de superficie reglada que configurara las distintas soluciones hace que se
facilite la creación del algoritmo generador de los parches empleados y de la posterior
implementación de las soluciones.
Al ser todas las soluciones obtenidas combinaciones de una misma tipología se facilita el
tratamiento informático de las mediciones del área de cada una de ellas, cuestión ésta de gran
interés para compararlas entre sí.
También al hacer el relleno con una superficie reglada de tipología única se facilita el proceso
de construcción y replanteo de ésta, homogeneizando mucho los trabajos de pie de obra.
La presente comunicación contiene el algoritmo de generación de la superficie usada como
relleno, y su implementación en ordenador.

2. Se han obtenido las definiciones analítica y grafica de cada uno de los parches componentes de
las losas haciendo uso de distintas metodologías que han permitido distintas definiciones
graficas con el uso de distintos tipos de software.
Palabras clave: losa alabeada, parche, superficie reglada, parámetros, implementar
ABSTRACT
We call overhanging flagstone to that whose four sides are not coplanarian. However, this
definition this way formulated it is incomplete, since there are infinite surfaces that have that
polygonal for border.
Therefore we will restrict the infinite solutions to an only surface tipology that cover the space
defined by quadrilaterals.
The unicidad of the type of ruled surface it will facilitate the creation of a generating algorithm
for the used patches and alow the later implementation of the solutions.
To the being all the solutions obtained combinations give oneself tipology, the computer
treatment of the area mesurations is facilitated, question this gives great interest to compare
them to each other.
Also when making the filler with a unique ruled surface tipology, the process of construction
and restated it is facilitated, homogenizing a lot the works.
The present communication contains the generator algorithm used as filler, and its
implementation in computer.
The analytic and grafic definitions of each one of the patches have been obtained using
different methodologies, that have allowed different definitions with the use of different kind
of software.
Key words: overhanging flagstone, patch, ruled surface, parameters, to implement
1. Introducción
El relleno de un contorno, mediante una o varias superficies, es un problema que
aparece frecuentemente durante el proceso de elaboración de los proyectos de
ingeniería y arquitectura.
El caso que se aborda en esta comunicación es aquel en el que el contorno está
formado por un cuadrilátero plano o alabeado.
Dentro de las posibles superficies de relleno que se pueden utilizar, se ha buscado
una solución en la que todas ellas respondan a una única tipología y que además ésta
sea lo más simple posible, tanto desde el punto de vista matemático como
constructivo.
Por estas razones se ha utilizado la superficie, cuyo algoritmo de generación se
desarrolla en el apartado siguiente y que permite crear cuadriláteros planos y

3. alabeados así como triángulos. Con estos elementos se puede rellenar cualquier
contorno delimitado por un polígono plano o alabeado.
Se ha incidido en la resolución de ejemplos en los que el contorno que iba a ser
rellenado era un polígono alabeado ya que este tipo presenta mayor generalidad. El
contorno plano sería un caso particular que se resuelve con la misma metodología que
el caso anterior.
En la presente comunicación mostraremos la metodología de creación de
algoritmos que nos permiten generar las múltiples soluciones a un problema,
haciéndolas depender de una serie de parámetros características.
2. Modelado matemático del problema
Formulación matemática de estas superficies
Si se pretende diseñar una línea recta que pase por dos puntos P0 y P1 (Figura 1)
Fig. 1
Su ecuación vectorial se puede expresar como:
P(t ) = f (t )P0 + f1 (t )P1 Ec. 1
0
donde P0 y P1 y son los vectores de posición de los puntos de paso y fo(t) y f1(t)
dos funciones que tienen que verificar:
f 0 (0 ) = 1; f 0 (1) = 0; f 1 (0 ) = 0; f 1 (1) = 0 Ec.2
para que la recta diseñada pase por P0 y P1
Estas funciones son polinomios de Lagrange que calculados serían:
f 0 (t ) = (1 − t ); f 1 (t ) = t Ec.3
Llevando estos valores a Ec.1 quedaría que la ecuación de la recta sería:
P(t ) = (1 − t )P0 + tP1 Ec.4

4. que, en efecto, pasa por los puntos P0 y P1 como se pretendía
La ecuación 4 puede ponerse en forma matricial como:
(
P(t ) = P
0
P
1
) −11


1  t 
 
0  1 
Ec.5
Si se efectúa el producto tensorial de la ecuación 5 por sí misma se llegaría a:
T P
T  − 1 1   00
P  − 1 1  u 
P (t, u ) = (t 1)    01 
  
 1 0   P10

P  1 0  1 
11 
Ec.6
Que es la ecuación vectorial (puesta en forma matricial) de la superficie (Figura
2) que pasa por los puntos P00, P01 , P10 , y P11.
Fig. 2
En efecto, se cumple que:
ti = i
 Ec.7
P t , u  = P
 i j  ij ∀i = {0,1}, ∀j = {0,1} siendo t j
  j=

Luego la superficie P(t,u) pasa por los cuatros puntos P00, P01 , P10 , y P11
Formulación paramétrica de la superficie
Si en la expresión Ec. 6 se hacen las operaciones allí expresadas y se desglosa en
sus componentes los vectores que en ella aparecen, se llega a las ecuaciones
paramétricas de la superficie (cuadrilátero plano o alabeado) que pasa por la red de
cuatro puntos dados P00, P01, P10 , y P11.
x = acx 00 + bcx10 + adx 01 + bdx11 
 Ec.8
y = acy 00 + bcy10 + ady 01 + bdy11
z = acz 00 + bcz10 + adz 01 + bdz11 


5. donde:
Ec.9
a = t − 1; b = t; c = −u + 1; d =u
y los vectores que aparecían se han desglosado en sus componentes según:
P (t, u ) = (x , y , z ); 
P00 = (x 00, y 00, z 00 );
 Ec. 10

P01 = (x 01, y 01, z 01); 
P10 = (x10, y10, z10 ); 

P11 = (x11, y11, z11)  
Tipología de superficies que responden a esta formulación.
Si en la superficie cuyo diseño buscamos los cuatro puntos P00, P01, P10, y P11. no
son coplanarios la superficie que se obtiene es el cuadrilátero alabeado. Si los puntos
son coplanarios se obtiene el cuadrilátero plano que los tiene por vértices.
Si se contrae un borde del cuadrilátero, por ejemplo, el correspondiente a u=1 o lo
que es lo mismo el punto P01= P11, entonces, la expresión Ec. 6 quedaría como sigue:
T P
T  − 1 1   00
P  − 1 1  u 
P (t, u ) = (t 1)    01 
   Ec.11
 1 0   P10

P  1 0  1 
11 
que es la ecuación de la superficie triangular que tiene los puntos P00, P10 , y P11.
por vértices, ya que se cumple:
P(0,0)=P00; P(1,0)=P10 P(1,1)=P11 Ec.12
Por tanto estas tres superficies: cuadrilátero plano, cuadrilátero alabeado y
triángulo son casos particulares de estas superficies que responden a una formulación
del tipo de la obtenida en Ec. 6.
Implementación
El proceso para diseñar este tipo de superficies responde a un organigrama como
el que aparece seguidamente, en el que partiendo de las funciones previas (a, b, c, d) y
de las coordenadas cartesianas de los puntos vértices de la superficie que queremos
construir, se obtienen las ecuaciones de la superficie (su definición analítica) y su
dibujo (definición formal en modelo 3D).

6. Imput: Parámetros de moldeo
Imput: Funciones previas
Imput: Coordenadas de los vertices
Output: Ecuaciones de los parches
Output: Dibujo 3D de los parches
Output: Dibujo3D de la solución
Ejemplo del uso de estas superficies para el diseño de cubiertas
Estas superficies responden a unas ecuaciones que, según se ve en Ec.8, son
combinaciones lineales de las coordenadas cartesianas de los vértices del polígono.
Por tanto es fácil imponer las simetrías que presente el polígono alabeado,
facilitándose mucho la implementación del algoritmo.
Los parámetros de moldeo con los que se configuran cada una de las losas son las
dimensiones en planta de ésta, las alturas de cada uno de las esquinas (puntos de
control) y los espesores de la losa en cada una de las esquinas.
Usando esta metodología se ha diseñado la hoja de la izquierda de la cubierta
cuya perspectiva aparece en la figura 3.
30
20
10
-40
-30
-20 10
5
-10 0
-5
0-10
Fig.3 -Perspectiva de la hoja izquierda de la obra

7. Mediante una simetría respecto al plano ZY se obtienen las ecuaciones de la hoja
derecha de la cubierta y consecuentemente su perspectiva tal como se muestra en la
figura 4.
10 5
0
-5
-10
30
20
10
40
30
20
10
0
Fig.4.- Perspectiva de la hoja derecha de la obra
En la figura 5 se muestra una perspectiva general de la cubierta total con las dos
hojas que la componen. Esta cubierta es una emulación de la diseñada por Félix
Candela para la iglesia de San José Obrero en Monterrey.
10
5
0
-5
-10
30
20
10
40
20
0
-20
-40
Fig.5- Perspectiva general de la cubierta de la iglesia
Todos los parches que componen la cubierta son cuadriláteros planos o albeados.

8. 3. Conclusiones
La metodología expuesta a lo largo de la ponencia resuelve el problema propuesto
de rellenar un contorno, que es un cuadrilátero alabeado, mediante superficies que son
de la misma tipología: cuadriláteros planos y alabeados.
Además el relleno se hace con superficies de estructura matemática muy simple,
son formas bilineales en los parámetros t y u.
Como las ecuaciones paramétricas de cada uno de los parches que componen la
obra son (ver Ec.10 ) lineales en las coordenadas cartesianas de los puntos de control
resulta fácil imponer traslaciones, giros y simetrías. Así la parte derecha de la obra es
simétrica de la izquierda, respecto al plano ZY, con lo que las ecuaciones de aquella
son inmediatas a partir de una traslación de las de la izquierda.
La metodología aporta además las ecuaciones de cada uno de los parches que
componen la solución adoptada como relleno, información que resulta muy útil para
hacer cualquier análisis profundo de dichas formas ya sea de tipo estructural, de
mediciones o funcional.
También se genera un modelo 3D de la solución de relleno adoptada. Este modelo
se puede hacer depender de unos parámetros de moldeo y por tanto es susceptible de
manipulación. Por tanto puede servir para generar diversas soluciones alternativas; tal
como se muestra en la figura 6
10 10
5 5
0 0
-5 -5
-10 -10
25
25
20 20
15
15
10
10
5
40
20
5
0
-20
20
-40
10
0
-10
-20
10 10
5 5
0 0
-5 -5
-10 -10
25 25
20 20
15 15
10 10
5 5
40
40
20
20
0
0
-20
-20
-40
-40
Fig. 6. – Distintas variantes surgidas durante el estudio de alternativas

9. 4. Revisión Bibliográfica
[1] Delgado Olmos, A.;¨Modelado de superficies polinomiales y su aplicación a
la técnica¨. Tesis Doctoral. Universidad de Granada 1995
[2] Delgado Olmos, A.; Cobos Gutiérrez; C; ¨Modelado de superficies
polinomiales que pasan por una red de puntos fijos¨, Jaén (España) VIII Congreso
Internacional de Ingeniería Gráfica, Publicaciones de la Universidad de Jaén 1996.
ISBN: 84-88942-71-0
[3] Delgado Olmos, A.; ¨Diseño de superficies de acuerdo. Propuestas de
solución¨, Bilbao (España) IX Congreso Internacional de Ingeniería Gráfica,
Departamento de Expresión Gráfica y Proyectos de Ingeniería UPV/EHU 1997. D.P.:
BI-788-97
[4] Delgado Olmos, A.; ¨Diseño de cubiertas. El paraboloide hiperbólico como
elemento configurador de soluciones¨, Barcelona (España) IV Congreso de Expresión
Gráfica Aplicada a la Edificación, Servicio de Publicaciones de la UPC 1997. D.P.: B-
45417-97
[5] Delgado Olmos, A.; ¨Elementos autoencajables. Diseño y uso¨, Málaga
(España) X Congreso Internacional de Ingeniería Gráfica, Departamento de Expresión
Gráfica, Diseño y Proyecto 1998. ISBN: 84-89791-04-x
[6] Delgado Olmos, A.; ¨Diseño de Superficies Regladas de Generatrices
Equiespaciadas¨, Logroño-Pamplona (España) XI Congreso Internacional de
Ingeniería Gráfica, Secretaría del XI Congreso Internacional de Ingeniería
Gráfica.1999. ISBN: 84-699-0475-2
[7] Delgado Olmos, A.;Cobos Gutiérrez, C. ¨Diseño de superficies de borde fijo¨,
Pamplona (España) VI Congreso Internacional de Expresión Gráfica Arquitectónica,
T.G. Ediciones S.L. Navarra .1996. ISBN: 84-921319-718-5
[8] Delgado Olmos, A.; ¨La Formalización Gráfico-Analítica del Proyecto. Un
Proceso Armonizador¨, San Sebastián (España) VII Congreso Internacional de
Expresión Gráfica Arquitectónica, Arkitektura Saila UPV/UPC .1998. ISBN: 84-
8373-073-5
[9] Delgado Olmos, A.; ¨Diseño y análisis de formas arquitectónicas singulares.
Nuevas tecnologías para su realización¨, Barcelona (España) VIII Congreso
Internacional de Expresión Gráfica Arquitectónica, Servei d´Informació, Imatge i
Publicacions UPC 2000 . ISBN: 84-7653-743-3
[10] Delgado Olmos, A.; Marquez García, L.; ¨Two Tools for the Design of
Cover-Roofs: Polynomials Curves and Coons Surfaces¨, San Sebastián (España),
Nathaniel A. Friedman, 1999. ISBN: 84-930669-0-7

10. [11] Delgado Olmos, A.; ¨Sección variable o cercha. Soluciones al diseño de
bóvedas de grandes luces¨, Badajoz (España) XIII Congreso Internacional d e
Ingeniería Gráfica, Departamento de Expresión Gráfica 2001. ISBN: 84-699-5057-6
[12] Delgado Olmos, A.; ¨Diseño de estructuras arbóreas¨, Granada (España) VI
Congreso de Expresión Gráfica Aplicada a la Edificación, S.D.G.LL. Ediciones 2001.
ISBN.: 84-699-6561-1
[13] Delgado Olmos, A.; ¨Diseño de estructuras partiendo de un boceto¨, Granada
(España) VI Congreso de Expresión Gráfica Aplicada a la Edificación, S.D.G.LL.
Ediciones 2001. ISBN.: 84-699-6561-1
[14] Blachman, N.; ¨Mathematica. Un enfoque práctico¨ Ariel Informática,
Barcelona.1993. ISBN:84-344-0478-8
[15] Bohm, W.;¨Geometrics Concepts for Geometric Design A.K. Peters ,
Wellesley, Massachusetts.1994.
[13] Farin, G.; ¨Curves and surfaces for computer aided geometric design¨
Academic Press, INC.1988.