Este documento presenta diversas aplicaciones de la función derivada, incluyendo el cálculo de rectas tangentes y normales, la derivabilidad de funciones racionales, a trozos y de valor absoluto, y el estudio del crecimiento y extremos relativos a partir del signo de la función derivada. Se proporcionan ejemplos y ejercicios para aplicar estos conceptos.
Extremos de un intervalo, funciones crecientes y decrecientes y el criterio d...JEANPAULMOSQUERA
Teoremas y fundamentos acerca de Extremos de un intervalo, funciones crecientes y decrecientes y el criterio de la primera derivada; Concavidad y criterio de la Segunda derivada.
Determinar el límite de una función elemental por simple remplazo al valor donde será evaluado el límite buscando su respectiva imagen y resolver una indeterminada
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динамическая балансировка в собственных подшипникахvibroexpert
Дана технология динамической балансировки электродвигателя на месте его установки с помощью единичного уравновешивающего груза. Расчет уравновешивающего груза представлен двумя способами.
MYSQL Query Anti-Patterns That Can Be Moved to SphinxPythian
PalominoDB European Team lead, Vladimir Fedorkov will be discussing how to handle query bottlenecks that can result from increases in dataset and traffic
Maximizing SQL Reviews and Tuning with pt-query-digestPythian
PalominoDB's Mark Filipi feels that pt-query-digest is one of the more valuable components of the Percona Toolkit available as OSS to DBAs. In this talk, Mark will teach with an eye towards real world test cases, output reviews and anecdotal production experience.
This is a great session for those new to this this tooll. PalominoDB's Ben Black will cover common tasks in RDS and gotchas for DBA's that are new to RDS.
Ramp-Tutorial for MYSQL Cluster - Scaling with Continuous AvailabilityPythian
Rene Cannao's Ramp-Tutorial for MYSQL Cluster - Scaling with Continuous Availability. Rene, a Senior Operational DBA at PalominoDB.com, will guide attendees through a hands-on experience in the installation, configuration management and tuning of MySQL Cluster.
Agenda:
- MySQL Cluster Concepts and Architecture: we will review the principle of a fault-tolerant shared nothing architecture, and how this is implemented into NDB;
- MySQL Cluster processes : attendees will understand the various roles and interactions between Data Nodes, API Nodes and Management Nodes;
- Installation : we will install a minimal HA solution with MySQL Cluster on 3 virtual machines;
- Configuration of a basic system : upon describing the most important configuration parameters, Data/API/Management nodes will be configured and the Cluster launched;
- Loading data: the "world" schema will be imported into NDB using "in memory" and "disk based" storages; the attendees will experience how data changes are visible across API Nodes;
- Understand the NDB Storage Engine : internal implementation details will be explained, like synchronous replication, transaction coordinator, heartbeat, communication, failure detection and handling, checkpoint, etc;
- Query and schema design : attendees will understand the execution plan of queries with NDB, how SQL and Data Nodes communicate, how indexes and partitions are implemented, condition pushdown, join pushdown, query cache;
- Management and Administration: the attendees will test High Availability of NDB when a node become unavailable will learn how to read log file, how to stop/start any component of the Cluster to perform a rolling restart with no downtime, and how to handle a degraded setup;
- Backup and Recovery: attendees will be driven through the procedure of using NDB-native online backup and restore, and how this differs from mysqldump;
- Monitor and improve performance: attendee will learn how to boost performance tweaking variables according to hardware configuration and application workload
Laine Campbell, CEO of Blackbird, will explain the options for running MySQL at high volumes at Amazon Web Services, exploring options around database as a service, hosted instances/storages and all appropriate availability, performance and provisioning considerations using real-world examples from Call of Duty, Obama for America and many more. Laine will show how to build highly available, manageable and performant MySQL environments that scale in AWS—how to maintain then, grow them and deal with failure. Some of the specific topics covered are:
* Overview of RDS and EC2 – pros, cons and usage patterns/antipatterns.
* Implementation choices in both offerings: instance sizing, ephemeral SSDs, EBS, provisioned IOPS and advanced techniques (RAID, mixed storage environments, etc…)
* Leveraging regions and availability zones for availability, business continuity and disaster recovery.
* Scaling patterns including read/write splitting, read distribution, functional dataset partitioning and horizontal dataset partitioning (aka sharding)
* Common failure modes – AZ and Region failures, EBS corruption, EBS performance inconsistencies and more.
* Managing and mitigating cost with various instance and storage options
Una función es una correspondencia entre 2 conjuntos, llamados dominio y codominio, de tal manera que a cada elemento del primer conjunto, le corresponde uno y sólo un elemento del segundo conjunto. Existen distintos tipos de funciones, sin embargo nos centraremos en las funciones lineales las cuales son ecuaciones de primer grado y, las funciones cuadráticas que son ecuaciones de segundo grado.
Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3.pdfsandradianelly
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Instrucciones del procedimiento para la oferta y la gestión conjunta del proceso de admisión a los centros públicos de primer ciclo de educación infantil de Pamplona para el curso 2024-2025.
1. Aplicaciones de la función derivada Matemáticas Aplicadas a CC SS II
César Martín- IES Leopoldo Cano Página 1
APLICACIONES DE LA FUNCIÓN DERIVADA
Y DE LA DERIVADA EN UN PUNTO
1.- Recta tangente y recta normal en un punto:
El valor de f´(a), representa la pendiente de la recta tangente a la función en el
punto ( a , f(a) ) ; pretendemos obtener la ecuación de esa recta a partir de la
expresión matemática de la función.
3 ; 1
Para obtener la ecuación de una recta necesitamos un punto y la
pendiente:
PUNTO ( a , b )
PENDIENTE = m = f´(a)
En nuestro caso:
PUNTO: x = 1
y = f(1) = 1 -3 = -2 P ( 1 , -2 )
PENDIENTE: ´ ! "
# ! #
´ 3 6
Recta será 3 1 2 3 1
2. Aplicaciones de la función derivada Matemáticas Aplicadas a CC SS II
César Martín- IES Leopoldo Cano Página 2
La recta NORMAL es perpendicular a la recta tangente; el punto es el
mismo y sólo necesitamos obtener la pendiente; para ello debemos recordar la
relación entre las pendientes de rectas perpendiculares:
! ´ 1 ; ´
& '
(
En nuestro caso m = f´(1) = -3; con lo cual ´
'
(
&'
&
'
RECTA NORMAL:
P ( 1 , -2 )
Pendiente = 1/3 ) * "
3. Aplicaciones de la función derivada Matemáticas Aplicadas a CC SS II
César Martín- IES Leopoldo Cano Página 3
2.- Derivabilidad de una función (RACIONAL, VALOR ABSOLUTO, TROZOS):
Pretendemos estudiar los puntos en los que la función tiene derivada o
estudiar si tiene derivada en un punto concreto.
En todos los casos para estudiar la derivabilidad en un punto, debemos
tener garantizada LA CONTINUIDAD EN EL PUNTO; es decir si no es continua,
nunca puede existir la derivada en ese punto.
FUNCIÓN RACIONAL: Al igual que al estudiar la continuidad, los únicos valores
con problemas son los valores que ANULAN EL DENOMINADOR. Para esos
valores no es continua, con lo cual no existe la derivada.
FUNCIÓN A TROZOS: Si se pide un estudio general, debemos analizar cada
trozo por separado; pero sólo debemos realizar el estudio en el intervalo
abierto correspondiente.
Los puntos de unión de los trozos se analizan de forma individual, pero
estudiando primero la continuidad.
+
2 ,- . 0
2 2 ,- 0 0 . 2
8 ,- 2 2
3
En cada trozo las funciones son continuas y con derivada, ya que son
polinomios y no presentan problemas de cálculo de f(a) ni de f´(a).
Podemos obtener la expresión de f´(x), pero sólo lo podemos garantizar
en los intervalos abiertos:
´ +
3 2 ,- . 0
4 2 ,- 0 . . 2
2 ,- 5 2
3
El estudio de f´( 0) y de f´(2) los hacemos de forma individual:
f´(0) :Primero debemos comprobar si es continua en x= 0
0 2 0 2 0 0
lim
9 : ;<
lim
9 : ;<
2 0
lim
9 : ;=
lim
9 : ;=
2 2 0
f(x) es continua en x=0
Para ver si existe f´(0), debemos estudiar las derivadas laterales:
lim
9 : ;<
´ lim
9 : ;<
3 2 2
lim
9 : ;=
´ lim
9 : ;=
4 2 2
Al ser iguales, f´(0) = -2
4. Aplicaciones de la función derivada Matemáticas Aplicadas a CC SS II
César Martín- IES Leopoldo Cano Página 4
f´(2) :Primero debemos comprobar si es continua en x= 2
2 2 8 12
lim
9 : <
lim
9 : <
2 2 8 4 12
lim
9 : =
lim
9 : =
8 4 8 12
f(x) es continua en x = 2
Para ver si existe f´(2), debemos estudiar las derivadas laterales:
lim
9 : <
´ lim
9 : <
4 2 10
lim
9 : =
´ lim
9 : =
2 4
Al no ser iguales, no existe f´(2)
5. Aplicaciones de la función derivada Matemáticas Aplicadas a CC SS II
César Martín- IES Leopoldo Cano Página 5
FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO: Para realizar el estudio de la continuidad y
derivabilidad es imprescindible expresar la función como una función a trozos y
después se realiza el estudio de la función.
Recuerda que para expresar una función valor absoluto como función a
trozos debemos realizar un estudio del signo:
| 4 |
Estudiamos el signo de 4 :
Soluciones de 4 0 ; 0 ; 4
Signo:
4 4 4
POSITIVO 0 NEGATIVO 4 POSITIVO
La función quedará:
+
4 ,- . 0
4 ,- 0 0 0 4
4 ,- 5 4
3
6. Aplicaciones de la función derivada Matemáticas Aplicadas a CC SS II
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3.- Propiedades de f(x) a partir del signo de la
función derivada:(crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos relativos)
El estudio del signo de la función derivada, nos va a proporcionar información del
CRECIMIENTO, DECRECIMIENTO, MÁXIMOS RELATIVOS y MÍNIMOS RELATIVOS. Los resultados
que podemos aplicar son los siguientes:
?- ´ 5 0 @ A, BA -A CA
?- ´ . 0 @ A, A BA -A CA
?- ´ 0 D , A BA -A CA EA BA -A CA @ C-A A Fá - BAH C-I A
?- ´ 0 D , A EA BA -A CA BA -A CA @ C-A A F- - BAH C-I A
Realizando un estudio completo del signo de la función derivada f´(x), podemos obtener
información completa del crecimiento y extremos relativos de una función.
EJEMPLO1: * *J
" *"
Realizamos un estudio del signo de la función derivada ´ 4 4
a) Veamos cuando se anula: 4 4 K ; 4 1 0
Soluciones: x= 0 ; x = 1 ; x = -1
b) Estudio del signo:
SIG f´(x) NEGAT 0 POSIT 0 NEGAT 0 POSIT
PROP f(x) Decreciente -1 Creciente 0 Decreciente 1 Creciente
min Max min
L M N 1 , 0 P 1 , ∞
E L M : ∞ , 1 P 0 , 1
FÍMLFK T LUK:
En x= -1 hay un mínimo relativo ya que la derivada es cero y pasa de
decreciente a creciente. El punto será ( -1 , f( -1) )
f(-1 ) = (-1) 4
– 2 (-1 )2
= 1 -2 = -1. m ( -1 , -1 )
En x= 1 hay un mínimo relativo ya que la derivada es cero y pasa de
decreciente a creciente. El punto será ( 1 , f( 1) )
f(1 ) = 1 4
– 2 ·1 2
= 1 -2 = -1. m ( 1 , -1 )
7. Aplicaciones de la función derivada Matemáticas Aplicadas a CC SS II
César Martín- IES Leopoldo Cano Página 7
FÁWLFK T LUK:
En x= 0 hay un máximo relativo ya que la derivada es cero y pasa de creciente a
decreciente. El punto será ( 0 , f( 0) )
f(0 ) = 0 4
– 2 ·02
= 0 -0 = 0. M ( 0 , 0 )
Con la información anterior es fácil realizar un esbozo de la gráfica de la función:
EJEMPLO2: *
*"
*&
Realizamos un estudio del signo de la función derivada ´
9X& 9
9&' X
a) Veamos cuando se anula NUMERADOR: 2 K ; 2 0
Soluciones: x= 0 ; x = 2
Veamos cuando se anula DENOMINADOR: 1 K ; 1
b) Estudio del signo:
SIG f´(x) POSIT 0 NEGAT ND NEGAT 0 POSIT
PROP f(x) Creciente 0 Decreciente 1 Decreciente 2 Creciente
Max min
L M N ∞ , 0 P 2 , ∞
E L M : 0 , 1 P 1 , 2
FÁWLFK T LUK:
En x= 0 hay un máximo relativo ya que la derivada es cero y pasa de Creciente
a Decreciente. El punto será ( 0 , f( 0) )
0
;X
;&'
;
&'
0 ; D C F 0 , 0
8. Aplicaciones de la función derivada Matemáticas Aplicadas a CC SS II
César Martín- IES Leopoldo Cano Página 8
En x= 1 no hay ni mínimo relativo ni máximo relativo, ya que la función no
existe (no hay punto) . Si recordamos tendrá ASÍNTOTA VERTICAL EN x = 1 .
FLMLFK T LUK:
En x= 2 hay un mínimo relativo ya que la derivada es cero y pasa de
Decreciente a Creciente. El punto será ( 2 , f( 2) )
2
X
&'
Y
'
4 ; D C 2 , 4
Con la información anterior es fácil realizar un esbozo de la gráfica de la función:
9. Aplicaciones de la función derivada Matemáticas Aplicadas a CC SS II
César Martín- IES Leopoldo Cano Página 9
1.- Halla la ecuación de la recta tangente de la función
9 Z&
9
en x = -1.
2.- Halla la ecuación de la recta tangente de la función T 7 en x = 0.
3.- Halla la ecuación de la recta tangente de la función
9
'& 9 X en x = 3.
4.- Halla los valores de a y b para que la recta tangente a la gráfica de * *"
] en el
punto ( 1 , 5 ) sea la recta y = 3 x + 2.
5.- Estudiar la derivabilidad de la función ^
1 ,- 0 1
T ,- 5 1
3
6.- Sea la función +
,- 0 0
,- 0 . 0 1
3 ,- 5 1
3
a) Calcular los valores de “a “ y “ b “ para que sea continua.
b) Con los valores anteriores, obtener la función derivada.
7.- Sea la función _
9 &
9 ` '
,- 0 0
2 3 ,- 5 0
3
Estudiar su derivabilidad en x = 0.
8.- Sea la función | 6 2 |; calcular su función derivada.
9.- Sea la función +
1 ,- . 1
3 ,- 2 1
3
Calcular los valores de “a” y “b” para que sea siempre derivable.
10.- Sea la función _
4 3 ,- 0 1
2 1 ,- 1 . . 1
a `
9
,- 2 1
3
Calcular el valor de “k”, para que sea continua en toda la recta y representarlo.
Calcular la función derivada.
10. Aplicaciones de la función derivada Matemáticas Aplicadas a CC SS II
César Martín- IES Leopoldo Cano Página 10
11.- Hallar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, así como los máximos y mínimos
relativos de la función 1 .
12.- Hallar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, así como los máximos y mínimos
relativos de la función 8 6 Y
.
13.- Hallar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, así como los máximos y mínimos
relativos de la función 1 .
14.- Hallar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, así como los máximos y mínimos
relativos de la función
9 X & 9 `
9 & '
.
15.- Hallar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, así como los máximos y mínimos
relativos de la función
Y; & b 9
'; & 9
.
16.- Hallar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, así como los máximos y mínimos
relativos de la función
9 c
9 & b
.
17.- Hallar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, así como los máximos y mínimos
relativos de la función A 9
.
18.- Hallar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, así como los máximos y mínimos
relativos de la función A9
3 .
19.- Hallar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, así como los máximos y mínimos
relativos de la función A9X ` 9 `'
.
20.- Hallar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, así como los máximos y mínimos
relativos de la función
de 9
9X .