Este documento trata sobre los diferentes conjuntos de números y sus propiedades. Explica que los números naturales fueron extendidos a los enteros mediante la introducción de los números negativos, y luego a los racionales al permitir fracciones. Finalmente, los reales incluyen tanto números racionales como irracionales en la recta numérica.

1. Conjuntos de Números - Números Reales.
CONJUNTOS DE NÚMEROS (NÚMEROS REALES).
Origen de los números.
- La notación numérica usada universalmente en la actualidad procede de sistemas de numeración
hindúes ya existentes hacia el siglo VI d.C. Estos sistemas ofrecían respecto de los utilizados en
Europa hasta entonces dos ventajas sustanciales:
- El concepto del número 0, que, aunque probablemente fue importado de las culturas
mesopotámicas, se integró por primera vez en un sistema decimal junto con las otras nueve
cifras del sistema. (La noción de cero había sido también desarrollada en América por la cultura
maya).
- La asignación de un valor posicional a cada cifra, de manera que un mismo guarismo tenía un
valor diferente según su posición global en la expresión de la cantidad numérica.
- Este sistema fue adoptado por los árabes antes del siglo IX, y popularizado por los escritos de
Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi (780 d.C. – 850 d.C.), autor del primer manual de aritmética
inspirado en el sistema decimal posicional.
Sistemas de numeración:
- Un sistema de numeración puede definirse como un conjunto de signos, relaciones, convenios y
normas destinados a expresar de modo gráfico y verbal el valor de los números y las cantidades
numéricas.
- Sistemas de carácter posicional.
- En un sistema de numeración se contemplan varios elementos fundamentales:
- La base del sistema, que se define como un convenio de agrupación de sus unidades. Por
ejemplo, la base 10 o decimal agrupa diez unidades, mientras que la binaria únicamente agrupa
dos.
- Los numerales del sistema, o cifras elementales que se utilizan, según la base. En el sistema
decimal, se usan los numerales 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. En cambio, en el sistema binario tan
sólo se emplean el 0 y el 1.
- Las normas de combinación de los numerales para formar los números. Según ello, a cada cifra
se le ascoian dos propiedades: su valor absoluto intrínseco y su valor posicional o relativo, que
depende de la posición que ocupa en la cantidad numérica.
Dado un número n escrito como la sucesión de numerales an ,an-1,....a2,a1,a0 en la base
b , puede descomponerse en forma polinómica del modo siguiente:
n
n
n
n =an , an 1,.... a 2, a 1, a =a +a ×b+a ×b 2
( b - 0 0 1 2 + ....
+an -
1
-
1
×b +a ×b Pag. 1 / 10

2. Conjuntos de Números - Números Reales.
Cambios de base:
Las equivalencias entre cantidades numéricas escritas en diferentes bases de numeración se obtienen
habitualmente mediante una conversión intermeia a la base decinal. Así, por ejemplo, para escribir
341(5 en base 4 se procedería del modo siguiente:
- Se convertiría 341(5 a base 10.
- Se transformaría el resultado decimal obtenido a base 4.
- Para pasar un número de una base cualquiera a la decimal, se recurre a la forma polinómica. Por
ejemplo:
(10
2
341(5 =1+ 4 ×5 +3×5 =1+ 20 +75 = 96
- Para transformar un número de base decimal a otra base, se divide por esta base tantas veces como
sea necesario hasta obtener un resto menor que la base; después, se anotan como numerales el último
cociente y, en orden inverso, los sucesivos restos obtenidos.
96 4
16 24 4
0 0 6 4
= = 2 1
= =
Luego: 341(5 =96(10 =1200(4
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3. Conjuntos de Números - Números Reales.
Conjuntos de Números.
N Los números naturales: N = {1,2,3,...} N* = {0,1,2,3,...}.
Ver: "Axiomas construcción Números Naturales".
Z Los números enteros: Z = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}.
Nota: Un número n sólo será número primo, si tiene cuatro divisores (+n,-n,+1,-1) . El 0 y el 1
no son números primos, ya que tienen solamente dos divisores (+1,-1) .
Números primos enteros positivos ={2,3,5,7,11,13,.....}
Q Los números racionales: Q = {x / x = a/b; donde a,bÎZ, b¹0}
1/3, 8/4, 5'6, -4'2333..,..
(Conjunto que engloba a los números enteros y a los fraccionarios positivos y negativos).
- Los números que tienen un número finito de decimales Þ son racionales.
- Los números que son periódicos Þ son racionales.
Q' Los números irracionales: Q' = {x / x  a/b; donde a,bÎZ, b¹0}
3 , p, 1'24587215963...,.....
- Los números que tienen infinitos decimales y no son periódicos Þ son irracionales.
- Los números irracionales se dividen, a su vez, en:
- Algebraicos: aquellos que son solución de alguna ecuación algebraica
- Trascendentes: aquellos que no son solución de ninguna ecuación algebraica
· Como curiosidad, podemos decir que existen más números trascendentes que algebraicos.
R Los números reales: R = {números decimales, incluso con infinitos decimales} = QÈQ' .
- Con los números reales llenamos la recta.
C Los números complejos: C = {a+bi / a,b pertenecen a los reales , i = -1 }
- Los números complejos se representan en el plano.
- Con los números complejos toda ecuación tiene solución.
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4. Conjuntos de Números - Números Reales.
Relaciones entre los conjuntos numéricos:
(1) Se puede probar que no existe xÎN t.q. : n +x =0
Y para resolver esta ecuación en la igualdad se introduce el símbolo (-n) que llamaremos
el negativo de n. Esto implica que el conjunto de los naturales ha sido extendido al conjunto
de los enteros.
(2) Se puede observar que para algunos naturales a y b no existe xÎN t.q. : ax =b
(ej.: no existe xÎN t.q. : 8x =3 ).
Ahora extenderemos el conjunto de los números enteros al conjunto de los racionales.
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N Naturales.
Z Enteros.
Q Racionales.
R Reales.
C Complejos.
Enteros negativos. (1)
Fracciones. (2)
Irracionales.
Imaginarios.

5. Conjuntos de Números - Números Reales.
Axiomas construcción Números Naturales1.
i) 1ÎN.
Indica que por lo menos N posee un elemento (N ¹Æ) .
ii) Si nÎN entonces, existe un número natural único llamado siguiente de n (sig(n)). Esto significa que N
es un conjunto infinito, osea:
N={1, sig(1), sig(sig(1)),....} ={1,2,3,....}
El hecho de que sea único impide que un número tenga dos siguientes.
iii) Sig(n) 1 para todo n que está en N.
Este axioma indica que el 1 es el primer elemento del conjunto N, es decir, no existe ningún elemento antes del 1.
iv) Si sig(n) = sig(m) entonces n = m.
Osea, que no hay dos naturales diferentes que tengan el mismo siguiente.
v) Si K Ì N que tiene las siguientes propiedades:
i) 1ÎK
ii) Si P Î K , entonces sig(P)ÎK ,
entonces K = N .
Principio de Inducción. Permite probar propiedades de los Números Naturales. 
Def.: A cada dos números naturales podemos asociarle un número natural por medio de una operación
llamada suma en N. Esta suma tiene las siguientes propiedades:
a) n +1 = sig(n)
b) n +sig(m) = sig(n +m)
Def.: Dados dos números naturales podemos asociarle un número natural por medio de la operación
llamada producto en N. Este producto tiene las siguientes propiedades:
c) n´1 = n
d) n´sig(m) =nm +n (cuando nm está definida).
Propiedades operaciones con Números Naturales. (1)
OPERACIONES.
Propiedades. Adición. Producto.
Conmutativa. "a,bÎN,a +b =b +a "a,bÎN,a ×b =b ×a
Asociativa. "a,b,cÎN, (a +b) +c =a +(b +c")a,b,cÎN, (a ×b) ×c =a ×(b ×c)
Elemento neutro. "aÎN,$ 0ÎN,t.q. : a +0 =0 +a"a=ÎaN,$ 1ÎN, t.q. : a ×1=1×a =a
Distributiva. "a,b,cÎN, a ×(b +c) =a ×b +a ×c
(1) Ver "propiedad cerradura Operaciones binarias" N, Z (suma, multiplicación).
1 Mediante estos axiomas se define / construye el conjunto de los números naturales.
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6. Conjuntos de Números - Números Reales.
Propiedades operaciones con Números Enteros. (1)
OPERACIONES.
Propiedades. Adición. Producto.
Conmutativa. "a,bÎZ,a +b =b +a "a,bÎZ,a ×b =b ×a
Asociativa. "a,b,cÎZ, (a +b) +c =a +(b +c) "a,b,cÎZ, (a ×b) ×c =a ×(b ×c)
Elemento neutro. "aÎZ,$ 0ÎZ,t.q. : a +0 =0 +a =a "aÎZ,$ 1ÎZ, t.q. : a ×1=1×a =a
Elemento simétrico. "aÎZ,$ -a ÎZ,t.q. : a +(-a) =(-a) N+Oa s=e c0umple.
Distributiva. "a,b,cÎZ, a ×(b +c) =a ×b +a ×c
(1) Ver "propiedad cerradura Operaciones binarias" N, Z (suma, multiplicación).
Propiedades operaciones con Números Reales.
Cerradura. "a,bÎR a + bÎ R ; a ×bÎ R
Conmutativa. "a,bÎR a + b = b + a ; a ×b = b × a
Asociativa. "a,b,cÎR
(a +b) + c = a + (b + c)
(a ×b) × c = a × (b × c)
Distributiva. "a,b,cÎR a × (b ± c) = a ×b ± a × c
Identidad. a) Para la suma :
Cero es el elemento idéntico de la suma:
"aÎR , a + 0 = 0 + a = a
b) Para el producto :
El uno es el elemento idéntico para el producto:
"aÎR , a ×1 = 1× a = a
Inverso. a) Inverso aditivo:
"aÎR,-aÎR es el inverso aditivo de a, tal que:
a +(-a) = 0
Observación:
Si a,bÎR a -b = a +(-b)
b) Inverso multiplicativo:
"aÎR,a ¹ 0, 1 Î R
1 es el inverso multiplicativo de a, tal que: × =1
a
a
a
Observación:
( ) a b R a b 1
b
Si , Î a = ×
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7. Conjuntos de Números - Números Reales.
Obtención fracción generatriz.
Las fracciones nos dan números decimales exactos, periódicos puros (sin anteperiodo) o periódicos
mixtos (con anteperiodo).

10/4=2.5 exacto 1/3= 0'3

periódico puro 743/90=8'25
periódico mixto
A partir de una fracción obtenemos un número decimal, pero ¿A partir de un número decimal podemos
obtener la fracción de donde proviene?. Puede ocurrir dos casos:
a) Si el número es decimal exacto , se divide el número sin comas, entre un 1 seguido de tantos ceros
como cifras tenga la parte decimal:
87 256 87256
1000
' =
b) Si el número es decimal periódico se pone el número entero sin decimales ni ''gorritos'', se le resta la
parte no periódica y se divide por tantos nueves como cifras tenga el periodo y tantos ceros como
cifras tenga el anteperiodo (si lo hay).
10 3 103 10
9
93
9
31
3
' = - = =
5 235 5235 523
900
4712
900
1178
225
'  = - = =
Ordenación de los números.
La ordenación de los números se hace en una recta que se llama recta real.
| | | | | | | | | | |
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Una vez situados los números, será más grande aquel que esté situado más a la derecha, así por ejemplo
el -2 es mayor que el -5.
Una forma de comparar dos números es utilizar los siguientes símbolos:
> mayor que 6 > -4
< menor que -5 < -2
³ mayor o igual que 8 ³ 8
£ menor o igual que -1 £ 6
Si lo que se está comparando son fracciones, entonces tenemos dos opciones, o realizamos la división y
comparamos los números decimales, o a partir de fracciones equivalentes comparamos las fracciones.
Por ejemplo: ¿Qué es mayor 8/5 o 11/6?
8/5 = 1'6 y 11/6 = 1'83, luego 8/5 < 11/6.
La otra forma de hacerlo sería multiplicar el numerador y denominador de las dos fracciones por
números de tal forma que el denominador sea el mismo: 8/5 = 48/30 y 11/6 = 55/30 luego es mayor 11/6
que 8/5 ya que 55 es más grande que 48.
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8. Conjuntos de Números - Números Reales.
Intervalos sobre la recta real:
Notación y características de los intervalos de la recta real.
Nombre Símbolo Significado
Intervalo abierto (n, m) o ]n, m[ {x / n < x < m} números comprendidos entre n y m.
Intervalo cerrado [n, m] {x / n £ x £ m} números comprendidos entre n y
m, con estos dos incluidos.
Intervalos semiabiertos
]n, m] {x / n < x £ m} abierto por la izquierda y cerrado
por la derecha.
]n, m) {x / n £ x < m} cerrado por la izquierda y abierto
por la derecha.
Otros intervalos
(-, m) {x / x < m} números menores que m.
(-, m] {x / x £m} números menores o iguales que m.
(n, ) {x / x > n} números mayores que n.
[n, ) {x / x ³ n} números mayores o iguales que n.
Representación gráfica de los intervalos sobre la recta real:
1) Intervalo abierto (n, m):
n m
2) Intervalo cerrado [n, m]:
n m
3) Intervalos semiabiertos:
n (n, m] m
n [n, m) m
4) Otros intervalos:
(-, m) m
(-, m] m
n (n, )
n [n, )
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9. Conjuntos de Números - Números Reales.
El valor absoluto a de un número real a es:
a a
a
î í ì
³
si 0
a a
- <
=
si 0
Por definición, el valor absoluto de un número es siempre no negativo y verifica:
i) a =-a "aÎR .
ii) ab =a b"a,bÎR .
iii) a =0Ûa =0 .
iv) a+b £a +b . (Desigualdad triangular).
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10. Conjuntos de Números - Números Reales.
Jaime Martínez Rubio.
e-mail:
jaimemtnezrubio@yahoo.com
jaume.martinez@grupobbva.com
5 de November de 水曜日
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