Conceptos Básicos de Matemáticas

Conceptos
Básicos de
Matemáticas
UNIVERSIDAD POLITECNICA TERRITORIAL DEL ESTADO LARA
Elaborado por: Eliana Rivas
Sección: CO0401

Operaciones con Conjuntos
Las operaciones con conjuntos también conocidas como álgebra de
conjuntos, nos permiten realizar operaciones sobre los conjuntos
para obtener otro conjunto. De las operaciones con conjuntos
veremos las siguientes unión, intersección, diferencia, diferencia
simétrica y complemento.
Es la operación que nos permite unir dos o más conjuntos para formar otro conjunto
que contendrá a todos los elementos que queremos unir pero sin que se repitan. Es
decir dado un conjunto A y un conjunto B, la unión de los conjuntos A y B será otro
conjunto formado por todos los elementos de A, con todos los elementos de B sin
repetir ningún elemento. El símbolo que se usa para indicar la operación de unión es
el siguiente: ∪. Cuando usamos diagramas de Venn, para representar la unió de
conjuntos, se sombrean los conjuntos que se unen o se forma uno nuevo. Luego se
escribe por fuera la operación de unión.
Ejemplo 1.
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5,6,7,} y
B={8,9,10,11} la unión de estos conjuntos
será A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}. Usando
diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
Ejemplo 2.
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y
B={4,5,6,7,8,9} la unión de estos conjuntos
será A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Usando
diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
Concepto
Unión o
Reunión de
conjuntos

Ejemplo 3.
Dados dos conjuntos F=
{x/x estudiantes que juegan
fútbol} y B= {x/x
estudiantes que juegan
básquet}, la unión será
F∪B={x/x estudiantes que
juegan fútbol o básquet}.
Usando diagramas de Venn
se tendría lo siguiente:
Ejemplo 4.
Dados los dos conjuntos
A={3, 5, 6, 7} y B={unión
será AUB={3,5,6,7}. Usando
diagramas de Venn se
tendría
Es la operación que nos permite formar un conjunto, sólo con los elementos comunes involucrados en la
operación. Es decir dados dos conjuntos A y B, la de intersección de los conjuntos A y B, estará formado
por los elementos de A y los elementos de B que sean comunes, los elementos no comunes A y B, será
excluidos. El símbolo que se usa para indicar la operación de intersección es el siguiente: ∩.
Intersección de Conjuntos
Ejemplo 1.
Dados dos conjuntos
A={1,2,3,4,5} y
B={4,5,6,7,8,9} la
intersección de estos
conjuntos será A∩B={4,5}.
Ejemplo 3.
Dados dos conjuntos F=
{x/x estudiantes que juegan
fútbol} y B= {x/x
básquet}, la unión será
F∪B={x/x estudiantes que
juegan fútbol o básquet}.

Es la operación que nos permite formar un
conjunto, en donde de dos conjuntos el conjunto
resultante es el que tendrá todos los elementos
que pertenecen al primero pero no al segundo. Es
decir dados dos conjuntos A y B, la diferencia de los
conjuntos entra A y B, estará formado por todos los
elementos de A que no pertenezcan a B. El símbolo
que se usa para esta operación es el mismo que se
usa para la resta o sustracción, que es el siguiente:
-.
Diferencias de Conjuntos
Ejemplo 1.
Dados dos conjuntos
A={1,2,3,4,5} y
B={4,5,6,7,8,9} la diferencia
de estos conjuntos será A-
B={1,2,3}. Usando
tendría lo siguiente:
Ejemplo 2.
Dados dos conjuntos
A={1,2,3,4,5} y
de estos conjuntos será B-
A={6,7,8,9}. Usando
Ejemplo 2.
Dados dos conjuntos
A={1,2,3,4,5} y
de estos conjuntos será B-
A={6,7,8,9}. Usando

Es la operación que nos permite formar un conjunto, en donde de dos conjuntos el conjunto
resultante es el que tendrá todos los elementos que no sean comunes a ambos conjuntos. Es decir
dados dos conjuntos A y B, la diferencia simétrica estará formado por todos los elementos no
comunes a los conjuntos A y B. El símbolo que se usa para indicar la operación de diferencia
simétrica es el siguiente: △
Diferencias Simétricas de Conjuntos
Ejemplo 1.
Dados dos conjuntos
A={1,2,3,4,5} y
simétrica de estos
conjuntos será A △
B={1,2,3,6,7,8,9}. Usando
Ejemplo 2.
Dados dos conjuntos F={x/x
fútbol} y B={x/x estudiantes
que juegan básquet}, la
diferencia simétrica será F
△ B={x/x estudiantes que
sólo juegan fútbol y
básquet}. Usando

Es la operación que nos permite formar un
conjunto con todos los elementos del
conjunto de referencia o universal, que no
están en el conjunto. Es decir dado un
conjunto A que esta incluido en el conjunto
universal U, entonces el conjunto
complemento de A es el conjunto formado
por todos los elementos del conjunto
universal pero sin considerar a los elementos
que pertenezcan al conjunto A. En esta
operación el complemento de un conjunto se
denota con un apostrofe sobre el conjunto
que se opera, algo como esto A' en donde el
el conjunto A es el conjunto del cual se hace
la operación de complemento.
Complementos de
de Conjuntos
Ejemplo 1.
Dado el conjunto Universal
U={1,2,3,4,5,6,7,8,9} y el
conjunto A={1,2,9}, el
conjunto A' estará formado
por los siguientes
elementos A'={3,4,5,6,7,8}.
Ejemplo 2.
Dado el conjunto Universal
U={x/x estudiantes de un
colegio} y el conjunto
V={x/x estudiantes que
juegan vóley}, el conjunto
V' estará formado por los
siguientes elementos
V'={x/x estudiantes que no
juegan vóley}. Usando

Números Reales
Se puede definir a los números reales como
aquellos números que tienen expansión decimal
periódica o tienen expansión decimal no
periódica.
a) 3 es un número real ya que 3 = 3,00000000000….
b) ½ es un número real ya que ½ = 0,5000000000….
c) 1/3 es un número real ya que 1/3 = 0,3333333333333….
d) 2 es un número real ya que 2= 1,4142135623730950488016887242097
e) 0,1234567891011121314151617181920212223…. Es un número real.
f) 1,01001000100001000001000000100000001….
g) π también es real
Como puede verse algunos tienen
expansión decimal periódica a, b y c y otros
tienen expansión decimal no periódica d, e,
f y g. Los números que tienen expansión
decimal periódica se llaman números
Racionales (denotados por Q) y los
números que tienen expansión decimal no
periódica se llaman Irracionales
(denotados por I). En consecuencia a, b y c
son números racionales y d, e, f y g son
números irracionales
Como puede verse algunos tienen
expansión decimal periódica a, b y c y otros
tienen expansión decimal no periódica d, e,
f y g. Los números que tienen expansión
decimal periódica se llaman números
Racionales (denotados por Q) y los
números que tienen expansión decimal no
periódica se llaman Irracionales
(denotados por I). En consecuencia a, b y c
son números racionales y d, e, f y g son
números irracionales
Concepto
Ejemplos

NUMEROS
NATURALES (N)
•Los que usamos para
contar. Por ejemplo, 1,
2, 3, 4, 5,6, 7, 8, 9, 10,
11, …
NUMEROS
ENTEROS (Z)
•Son los números
naturales, sus negativos
y el cero. Por ejemplo: -
3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…
NUMEROS
FRACCIONARIOS
•son aquellos números
que se pueden expresar
como cociente de dos
números enteros, es
decir, son números de
la forma a/b Con a, b
enteros y b ≠ 0
NUMEROS
ALGEBRAICOS
•son aquellos que
provienen de la
solución de alguna
ecuación algebraica y se
representan por un
número finito de
radicales libres o
anidados. Por ejemplo
√3
NUMEROS
TRASCENDENTALES
•No pueden
representarse mediante
un número finito de
raíces libres o anidadas;
provienen de las
llamadas funciones
trascendentes:
trigonométricas,
logarítmicas y
exponenciales
Conjunto de los números Reales
De acuerdo a lo anteriormente expuesto, el
conjunto de los números reales se define
como la unión de dos tipos de números, a
saber; los números racionales, los números
irracionales.
La recta real
Llamamos recta real a la recta donde cada punto que la conforma es un número real. Como cada punto de ella
está identificado con un número racional o irracional esta recta es una recta compacta donde no queda ningún
“espacio libre” entre dos puntos de ella. Para tener una idea de esta propiedad imagine que dados dos números
racionales siempre es posible encontrar uno entre ellos. Esto es simple considerando que la semisuma de dos
números cualquiera siempre está entre ellos dos. En la recta real representamos todos los números (recuerde
que todo punto de la recta esta etiquetado con un número real) y en ella podemos visualizar el orden en que se
ubican

Conmutativa
Operación: Suma y Resta
Definición: a+b = b+a
Que dice: El orden al sumar o multiplicar
reales no afecta el resultado.
Ejemplo: 2+8 = 8+2 5(-3) = ( -3)5
Propiedades de los números Reales
Asociativa
Operación: Suma y Multiplicación
Definición: a + (b+c) = (a+b) + c------
a(bc) = (ab)c
Que dice: Puedes hacer diferentes
asociaciones al sumar o multiplicar reales
y no se afecta el resultado.
Ejemplo:7+(6+1)=(7+6)+1 -2(4x7)= (-2x4)7
Identidad
Definición: a + 0 = a------ a x 1= a
Que dice: Todo real sumado a 0 se queda
igual; el 0 es la identidad aditiva. Todo
real multiplicado por 1 se queda igual; el
1 es la identidad multiplicativa.
Ejemplo: -11 + 0 = 11 17 x 1 = 17
Inversos
Definición: a + (-a) = 0------(a)1/a = 1
Que dice: La suma de opuestos es cero. El
producto de recíprocos es 1.
Ejemplos:15+ (-15) = 0 1/4(4) = 1

Distributiva
Operación: Suma a Multiplicación
Definición: a (b + c) = ab + a c
Que dice: El factor se distribuye a cada
sumando.
Ejemplos: 2(x+8) = 2(x) + 2(8)
Simétrica
Consiste en poder cambiar el orden de los
miembros sin que la igualdad se altere.
Ejemplo: Si 39 + 11 = 50, entonces 50 = 39
+ 11Si a - b = c, entonces c = a – b Si x = y,
entonces y = x
Reflexiva
Establece que toda cantidad o expresión
es igual a sí misma.
Ejemplo: 2a = 2a; 7 + 8 = 7 + 8; x = x
Transitiva
Enuncia que si dos igualdades tienen
un miembro en común los otros dos
miembros también son iguales.
Ejemplo: Si 4 + 6 = 10 y 5 + 5 = 10,
entonces 4 + 6 = 5 + 5Si x + y = z y a + b =
z, entonces x + y = a + b Si m = n y n = p,
entonces m = p

Uniforme
Establece que si se aumenta o disminuye
la misma cantidad en ambos miembros,
la igualdad se conserva.
Ejemplo: Si 2 + 5 = 7, entonces (2 + 5) (3)
= (7) (3)Si a = b, entonces a + x = b + x
Cancelativa
Dice que en una igualdad se pueden
suprimir dos elementos iguales en ambos
miembros y la igualdad no se altera.
Ejemplos: Si (2 x 6) - 4 = 12 - 4, entonces 2
x 6 = 12Si a + b = c + b, entonces a = c

• 2x − 1 < 7
Menor que
• 2x − 1 ≤ 7
Menor o igual
que
• 2x − 1 > 7
Mayor que
• 2x − 1 ≥ 7
Menor o igual
que
Inecuaciones y Desigualdades
Las inecuaciones son desigualdades algebraicas en la que sus dos miembros se relacionan por uno de estos signos:

Inecuaciones y Desigualdades
2x − 1 < 7
2x < 8 x < 4
La solución de una inecuación es el conjunto de valores de la variable que la verifica.
La solución de la inecuación se expresa mediante:
1. Una representación gráfica.
2. 2. Un intervalo.
(-∞, 4]
2x − 1 > 7
2x > 8 x > 4
(-∞, 4)
2x − 1 ≤ 7
2x ≤ 8 x ≤ 4
[4, ∞)

Inecuaciones Equivalentes Inecuaciones de primer grado
Si a los dos miembros de una inecuación se
les suma o se les resta un mismo número, la
inecuación resultante es equivalente a la
dada.
3x + 4 < 5 3x + 4 − 4 < 5 − 4 3x <1
les multiplica o divide por un mismo
número positivo, la inecuación resultante es
equivalente a la dada.
2x < 6 2x : 2 < 6 : 2 x < 3
les multiplica o divide por un mismo
número negativo, la inecuación resultante
cambia de sentido y es equivalente a la
dada.
−x < 5 (−x) · (−1) > 5 · (−1) x >−5
Inecuaciones de primer grado con una incógnita
1º Quitar corchetes y paréntesis.
2º Quitar denominadores.
3º Agrupar los términos en x a un lado de la desigualdad y
los términos independientes en el otro.
4º Efectuar las operaciones
5º Si el coeficiente de la x es negativo multiplicamos por
−1, por lo que cambiará el sentido de la desigualdad.
6º Despejamos la incógnita.
7º Expresar la solución de forma gráfica y con un intervalo.

Inecuaciones de segundo Grado
Consideremos la inecuación: x2− 6x + 8 > 0
La resolveremos aplicando los siguientes pasos:
1ºIgualamos el polinomio del primer miembro a cero y
obtenemos las raíces de la ecuación de segundo grado.
x2− 6x + 8 = 0
2º Representamos estos valores en la recta real.
Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el
signo en cada intervalo:
P(0) = 0² − 6 · 0 + 8 > 0
P(3) = 3² − 6 · 3 + 8 = 17 − 18 < 0
p(5) = 5² − 6 · 5 + 8 = 33 − 30 > 0
3º La solución está compuesta por los intervalos (o el
intervalo) que tengan el mismo signo que el polinomio.
S = (-∞, 2) (4, ∞)
x² + 2x +1 ≥ 0
x² + 2x +1 = 0
Como un número elevado al cuadrado es siempre positivo
la soluciones
Solución
x² + 2x +1 ≥ 0 (x + 1) ² ≥ 0
x² + 2x +1 > 0 (x + 1) ² > 0
x² + 2x +1 ≤ 0 (x + 1) ² ≤ 0 x = − 1
x² + 2x +1 < 0 (x + 1) ² < 0
x² + x + 1 > 0
x² + x + 1 = 0
Cuando no tiene raíces reales, le damos al polinomio
cualquier valor si:
El signo obtenido coincide con el de la desigualdad, la solu
ción es .El signo obtenido no coincide con el de la
desigualdad, no tiene solución.
x² + x +1 ≥ 0 ®
x² + x +1 > 0 Ø
x² + x +1 ≤ 0 Ø
x² + x +1 < 0 Ø

Inecuaciones de Racionales
Las inecuaciones racionales se resuelven de
un modo similar a las de segundo grado,
pero hay que tener presente que el
denominador no puede ser cero.
1º Hallamos las raíces del numerador y del
denominador.
x − 2 = 0 x = 2x − 4 = 0 x = 4
2º Representamos estos valores en la recta
real, teniendo en cuenta que las raíces del
denominador, independientemente del
signo de la desigualdad, tienen que ser
abiertas.3ºTomamos un punto de cada
intervalo y evaluamos el signo en cada
intervalo:

Valor Absoluto
La noción de valor absoluto se utiliza en el terreno de las matemáticas para
nombrar al valor que tiene un número más allá de su signo. Esto quiere
decir que el valor absoluto, que también se conoce como módulo, es la
magnitud numérica de la cifra sin importar si su signo es positivo o
negativo.
Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que tiene un signo
de valor absoluto con una variable dentro.
Desigualdades con Valor Absoluto
Cuando se resuelven desigualdades de valor absoluto, hay dos casos a
considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos.
En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b , si | a | < b ,
entonces a < b Y a > - b .

Ejemplo 1 :
Resuelva y grafique.
| x – 7| < 3
Para resolver este tipo de
desigualdad,
necesitamos
descomponerla en una
desigualdad compuesta .
x – 7 < 3 Y x – 7 > –3
–3 < x – 7 < 3
Sume 7 en cada expresión.
-3 + 7 < x - 7 + 7 < 3 + 7
4 < x <10
La gráfica se vería así:
Ejemplo 2 :
Resuelva y grafique.
| x +2| ≤ 4
Separe en dos
desigualdades.
Reste 2 de cada lado en
cada desigualdad.
La gráfica se vería así:
Desigualdades de
valor absoluto (<):
Desigualdades de
valor absoluto (>):

Se conoce como plano cartesiano, coordenadas cartesianas o sistema cartesiano, a dos rectas
numéricas perpendiculares, una horizontal y otra vertical, que se cortan en un punto llamado
origen o punto cero.
Plano Numérico
Distancia entre puntos
Para poder calcular la distancia entre dos puntos
primeramente debemos conocer las
coordenadas de estos puntos. Tomaremos dos
puntos cualquieras para luego, a partir de estos
generar un criterio para cualquiera sea el par de
puntos a los que posteriormente calculemos la
distancia.
Sean los puntos A=(x,y) y B=(w,z), dos puntos que
pertenecen al primer cuadrante del plano
cartesiano. Calcular la distancia entre ambos.
La distancia de los catetos AC será (w-x) y la del cateto BC será (z-y), por lo tanto, por teorema de Pitágoras
definimos lo siguiente.

Punto Medio de un
Segmento
El punto medio del segmento AB. Para eso
utilizaremos el concepto de promedio, para calcular
la distancia intermedia entre dos longitudes
debemos calcular el promedio de estas. Si queremos
saber cual es la distancia promedio entre 5 y 7,
sumamos las variables y dividimos por 2, el
resultado claramente es 6. Entonces ahora para
calcular una distancia media entre dos puntos se
deberá ocupar el mismo concepto. Se debe analizar
por separado cada eje coordenado y así se poder
encontrar el punto medio, según los puntos
encontrados para cada eje coordenado.
Sean los puntos A=(x,y) y B=(w,z), dos puntos que pertenecen al
primer cuadrante del plano cartesiano. Calcular el punto medio del
segmento AB.
Calculamos la distancia media en ambos ejes coordenados, primero en
el eje «x» y luego en el eje «y».
En el eje «x» el promedio de las longitudes será frac{x + w}{2}
En tanto, el promedio en el eje y será frac{y + z}{2}
Finalmente el punto medio es:
(frac{x + w}{2}, frac{y + z}{2})

Representación Graficas
de las Crónicas
Una superficie cónica esta engendrada por el giro de una
recta g, que llamamos generatriz, alrededor de otra recta e,
eje, con el cual se corta en un punto V, vértice.
g = la generatriz
e = el eje
V = el vértice
Elementos
Superficie - una superficie cónica de revolución está engendrada por la rotación de una recta alrededor de otra
recta fija, llamada eje, a la que corta de modo oblicuo.
Generatriz - la generatriz es una cualquiera de las rectas oblicuas.
Vértice - el vértice es el punto central donde se cortan las generatrices.
Hojas - las hojas son las dos partes en las que el vértice divide a la superficie cónica de revolución.
Sección - se denomina sección cónica a la curva intersección de un cono con un plano que no pasa por su vértice.
En función de la relación existente entre el ángulo de conicidad (alpha ) y la inclinación del plano respecto del eje
del cono (beta ), pueden obtenerse diferentes secciones cónicas.

Elipse
La elipse es la sección producida en una superficie cónica de
revolución por un plano oblicuo al eje, que no sea paralelo a
la generatriz y que forme con el mismo un ángulo mayor que
el que forman eje y generatriz.
alpha < beta < 90^o
La elipse es una curva cerrada.

Circunferencia
La circunferencia es la sección producida por un plano
perpendicular al eje.
beta = 90^o
La circunferencia es un caso particular de elipse.

Parábola
La parábola es la sección producida en una superficie cónica
de revolución por un plano oblicuo al eje, siendo paralelo a la
generatriz.
alpha = beta
La parábola es una curva abierta que se prolonga hasta el
infinito.

Hipérbola
La hipérbola es la sección producida en una superficie cónica
de revolución por un plano oblicuo al eje, formando con él
un ángulo menor al que forman eje y generatriz, por lo que
incide en las dos hojas de la superficie cónica.
alpha > beta
La hipérbola es una curva abierta que se prolonga
indefinidamente y consta de dos ramas separadas.

EJERCICIO 1
Resolver esta operación con conjuntos
1. De un grupo de estudiantes de la Universidad UPTAEB, se sabe que 22
practican futbol, y de los 22 varones, 12 practican solo futbol. De las
mujeres, 14 practican futbol y vóley y 4 no practican esos dos deportes.
¿Cuántos estudiantes como mínimo solo practican vóley?
A) 6 B) 7 C) 8 D) 12 E)10
Solución
Varones
(20)
22) F V
2-Y
Mujeres 4
12
a
6
b
y
x
A + x + b = 14
A + x + y = 10 b – y = 4 b = 4 si y = 0 b = 4
Mínimo (b+6) = 10 Respuesta: E

EJERCICIO 2
Resolver la siguiente Ecuación con valor absoluto
2. El valor absoluto de x-1 es
Supongamos que x−3 es mayor o igual que 0:
Esto ocurre cuando x≥3
El valor absoluto de x−3 es x−3, así que
la ecuación que tenemos es
Supongamos ahora que x−3 es menor que 0
Esto ocurre cuando x<3.
El valor absoluto de x−3 es −(x−3), así
que la ecuación que tenemos es
La ecuación tiene dos soluciones: x=5 y x=1.

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