Este documento describe el sistema de coordenadas polares, incluyendo cómo representar puntos, curvas y ecuaciones en este sistema. Explica cómo convertir entre coordenadas polares y rectangulares, y cómo representar curvas como el círculo, la línea, la rosa polar y la espiral de Arquímedes a través de ecuaciones polares. También cubre cómo calcular el área de una región limitada por una función polar.
Sistemas De Coordenadas Polares (Elementos De Coordenadas Polares)elementospolares
ESTE ES UN VIDEO QUE TRATA DE LOS SISTEMAS DE COORDENADAS POLARES EN ESPECIAL DE LOS ELEMENTOS POLARES
EN ESTE VIDEO TRATAMOS DE EXPLICAR COMO PODEMOS RESOLVER DISTANTOS PROBLEMAS UTILIZANDO ESTE MEDIO DE OPERACIONES TRATAMOS DE HACERLO PRACTICO PARA QUE LO ENTENDIERAN FACILMENTE Y LO PUEDAN UTILIZAR DIMOS UNA EXPLICACION SENCILLA Y COMPRENSIBLE
LOS ELEMENTOS DE SISTEMAS DE COORDENADAS ES UN SISTEMA PARA DEFINIR LA POSICION DE UN PUNTO EN UN ESPACIO BIDIMENSIONAL CONSISTE EN UN ANGULO Y UNA DISTANCIA, DEFINIDO POR UN ORIGEN O Y UNA LINEA SEMI-INFINITA L SALIENDO DEL ORIGEN QUE SE LE CONOCE COMO EJE POLAR
Funciones de varias variables, sistemas de coordenadas Cartesianas, Cilíndricas, Esféricas, sus transformaciones entre los diferentes sistemas de coordenadas, su simetría, dominio de funciones de varias variables, geometría en el espacio, superficie cilíndricas, paraboloide, elipsoide, hiperboloide.
¿Qué son las coordenadas polares? y ¿Dónde se utilizan?
¿Qué coordenadas polares le corresponden al punto P(3, 4)?
¿Qué son las coordenadas geográficas? y ¿Dónde se utilizan?
¿Cuáles son las coordenadas geográficas de tu ciudad?
Localizar en el plano cartesiano algunos puntos
Escribir las coordenadas que correspondan a dados puntos del plano
Sistemas De Coordenadas Polares (Elementos De Coordenadas Polares)elementospolares
ESTE ES UN VIDEO QUE TRATA DE LOS SISTEMAS DE COORDENADAS POLARES EN ESPECIAL DE LOS ELEMENTOS POLARES
EN ESTE VIDEO TRATAMOS DE EXPLICAR COMO PODEMOS RESOLVER DISTANTOS PROBLEMAS UTILIZANDO ESTE MEDIO DE OPERACIONES TRATAMOS DE HACERLO PRACTICO PARA QUE LO ENTENDIERAN FACILMENTE Y LO PUEDAN UTILIZAR DIMOS UNA EXPLICACION SENCILLA Y COMPRENSIBLE
LOS ELEMENTOS DE SISTEMAS DE COORDENADAS ES UN SISTEMA PARA DEFINIR LA POSICION DE UN PUNTO EN UN ESPACIO BIDIMENSIONAL CONSISTE EN UN ANGULO Y UNA DISTANCIA, DEFINIDO POR UN ORIGEN O Y UNA LINEA SEMI-INFINITA L SALIENDO DEL ORIGEN QUE SE LE CONOCE COMO EJE POLAR
Funciones de varias variables, sistemas de coordenadas Cartesianas, Cilíndricas, Esféricas, sus transformaciones entre los diferentes sistemas de coordenadas, su simetría, dominio de funciones de varias variables, geometría en el espacio, superficie cilíndricas, paraboloide, elipsoide, hiperboloide.
¿Qué son las coordenadas polares? y ¿Dónde se utilizan?
¿Qué coordenadas polares le corresponden al punto P(3, 4)?
¿Qué son las coordenadas geográficas? y ¿Dónde se utilizan?
¿Cuáles son las coordenadas geográficas de tu ciudad?
Localizar en el plano cartesiano algunos puntos
Escribir las coordenadas que correspondan a dados puntos del plano
Coordenadas Polares (Definiciones y Ejemplos)Medwini
Sistema de Coordenadas Polares
Sistema de referencia constituido por un eje que pasa por el origen. La primera coordenada es la distancia existente entre el origen y el punto, mientras que la segunda es el ángulo que forman el eje y la recta que pasa por ambos puntos.
Las coordenadas polares son un sistema que definen la posición de un punto en un espacio bidimensional consistente en un ángulo y una distancia.
En muchos casos es útil utilizar las coordenadas cartesianas para definir una función en el plano o en el espacio. Aunque en muchos otros, definir ciertas funciones en dichas coordenadas puede resultar muy tedioso y complicado. En dichos casos, hacer uso de las coordenadas polares o esféricas puede simplificarnos la vida.
ROMPECABEZAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO OLIMPIADA DE PARÍS 2024. Por JAVIE...JAVIER SOLIS NOYOLA
El Mtro. JAVIER SOLIS NOYOLA crea y desarrolla el “ROMPECABEZAS DE ECUACIONES DE 1ER. GRADO OLIMPIADA DE PARÍS 2024”. Esta actividad de aprendizaje propone retos de cálculo algebraico mediante ecuaciones de 1er. grado, y viso-espacialidad, lo cual dará la oportunidad de formar un rompecabezas. La intención didáctica de esta actividad de aprendizaje es, promover los pensamientos lógicos (convergente) y creativo (divergente o lateral), mediante modelos mentales de: atención, memoria, imaginación, percepción (Geométrica y conceptual), perspicacia, inferencia, viso-espacialidad. Esta actividad de aprendizaje es de enfoques lúdico y transversal, ya que integra diversas áreas del conocimiento, entre ellas: matemático, artístico, lenguaje, historia, y las neurociencias.
Las capacidades sociomotrices son las que hacen posible que el individuo se pueda desenvolver socialmente de acuerdo a la actuación motriz propias de cada edad evolutiva del individuo; Martha Castañer las clasifica en: Interacción y comunicación, introyección, emoción y expresión, creatividad e imaginación.
1. COORDENADAS POLARES
UNIVERDIDAD “FERMÍN TORO”
SISTEMA INTERACTIVOS DE EDUCACIÓN A DISTANCIA “S.A.I.A”
CADUDARE
APELLIDO Y NOMBRE: Domínguez Javier
SECCIÓN: SAIAA
ACTIVIDAD N° 3
FECHA: 14-08-2019
PROFESORA: Domingo Méndez
2. Se utilizan para representar, mediante ecuaciones con dichas coordenadas,
algunas curvas clásicas como la Cardioide, la Lemniscata de Bernoulli, los Lazos, las
Cónicas y algunas espirales, entre otras.
En este tipo de representación los puntos del plano tienen asociados dos
coordenadas: su distancia al polo y el ángulo con el eje polar. A la distancia se le suele
llamar radio y se designa por la letra r o la letra griega r (rho), al ángulo se le suele
designar por la letra griega q (theta).
SISTEMA DE COORDENADAS
Un sistema de coordenadas es un conjunto de valores que permiten definir
unívocamente la posición de cualquier punto de un espacio geométrico respecto de
un punto denominado origen. El conjunto de ejes, puntos o planos que confluyen en
el origen y a partir de los cuales se calculan las coordenadas de cualquier punto,
constituyen lo que se denomina sistema de referencia.
Este sistema de referencia está constituido por un eje que pasa por el origen. La primera
coordenada es la distancia existente entre el origen y el punto, mientras que la segunda es el
ángulo que forman el eje y la recta que pasa por ambos puntos.
3. El plano
cartesiano se
utiliza para
asignarle una
ubicación a
cualquier punto
en el plano. En la
gráfica se indica el
punto +2 en las
abscisas y +3 en
las ordenadas. El
conjunto (2 , 3) se
denomina "par
ordenado" y del
mismo modo se
pueden ubicar
otros puntos.
Al eje horizontal o de las abscisas se le asigna los
números reales de las equis ("x"); y al eje vertical
o de las ordenadas se le asignan los números
reales de las yes ("y"). Al cortarse las dos rectas,
dividen al plano en cuatro regiones o zonas, que
se conocen con el nombre de cuadrantes:
Segundo cuadrante "II": Región superior izquierda
Tercer cuadrante "III": Región inferior izquierda
Cuarto cuadrante "IV": Región inferior derecha.
SISTEMA DE COORDENADAS
Primer cuadrante "I": Región superior derecha
4. CONVERSIÓN DE COORDENADAS
•La representación de un punto en el plano o el espacio, se puede hacer mediante diferentes sistemas de coordenadas. En
estos momentos nos ocupan los sistemas de coordenadas rectangulares y polares.
• Es lógico pensar que existe una equivalencia entre los diferentes sistemas, en este caso nos ocuparemos de la
conversión del rectangular al polar y viceversa.
• En este tópico se incluyen algunas gráficas para mostrar la ubicación de un punto en cada uno de los sistemas
respectivos.
• Conversión de coordenadas rectangulares a polares
• Conversión de coordenadas polares a rectangulares
Definido un punto en coordenadas polares por su ángulo
θ sobre el eje x, y su distancia r al centro de
coordenadas, se tiene:
x = r cos θ
y = r sen θ
Definido un punto del plano por sus coordenadas
rectangulares (x,y), se tiene que la coordenada polar r
es:
r = V x 2 + y 2 (aplicando el Teorema de Pitágoras)
Para determinar la coordenada angular θ, se deben
distinguir dos casos: Para r = 0, el ángulo θ puede
tomar cualquier valor real.
Para r ≠ 0, para obtener un único valor de θ, debe
limitarse a un intervalo de tamaño 2π. Por
convención, los intervalos utilizados son [0, 2π) y (−π,
π].
5. ECUACIONES POLARES
• Se le llama ecuación polar a la ecuación que define una curva expresada en coordenadas polares. En
muchos casos se puede especificar tal ecuación definiendo r como una función de θ. La curva resultante
consiste en una serie de puntos en la forma r(θ), θ) y se puede representar como la gráfica de una
función r.
Se pueden deducir diferentes formas de simetría de la ecuación de una función polar r.Si r(−θ) = r(θ) la
curva será simétrica respecto al eje horizontal (0°/180°), si r(180°−θ) = r(θ) será simétrica respecto al eje
vertical (90°/ 270°), y si r(θ−α°) = r(θ) será simétrico rotacionalmente α° en sentido horario respecto al
polo.
Debido a la naturaleza circular del sistema de coordenadas polar, muchas curvas se pueden describir con
una simple ecuación polar, mientras que en su forma cartesiana sería mucho más intrincado. Algunas de
las curvas más conocidas son la rosa polar, la espiral de Arquímedes, la lemniscata, el caracol de Pascal y
la cardioide.
Para los apartados siguientes se entiende que el círculo, la línea y la rosa polar no tienen restricciones en
el dominio y rango de la curva.
6. CIRCUNFERENCIA
La ecuación general para una
circunferencia con centro en r0, φ) y
radio a es
r 2( al cuadrado) − 2 r r 0 (sub cero)
cos ( θ − φ ) + r 0 2( sub0 al cuadrado)
= a
En ciertos casos específicos, la
ecuación anterior se puede simplificar.
Por ejemplo, para una circunferencia
con centro en el polo y radio a, se
obtiene:
r ( θ ) = a
LINEA
Las líneas radiales (aquellas que
atraviesan el polo) se representan
mediante la ecuación
θ = φ
donde φ es el ángulo de elevación
de la línea, esto es, φ = arctan m
donde m es la pendiente de la línea
en el sistema de coordenadas
cartesianas. La línea no radial que
cruza la línea radial θ = φ
perpendicularmente al punto (r0, φ)
tiene la ecuación
r ( θ ) = r 0(SUB CERO) sec ( θ − φ )
ROSA POLAR
La rosa polar es una famosa curva
matemática que parece una flor con
pétalos, y puede expresarse como
una ecuación polar simple,
r ( θ ) = a cos ( k θ + ϕ 0 )
para cualquier constante ϕ
(incluyendo al 0). Si k es un número
entero, estas ecuaciones
representan una rosa de k pétalos
cuando k es impar, o 2k pétalos si k
es par. Si k es racional pero no
entero, la gráfica es similar a una
rosa pero con los pétalos solapados.
Nótese que estas ecuaciones nunca
definen una rosa con 2, 6, 10, 14,
etc. pétalos. La variable a representa
la longitud de los pétalos de la rosa.
7. ESPIRAL DE ARQUÍMEDES
La espiral de Arquímedes es una famosa
espiral descubierta por Arquímedes, la
cual puede expresarse también como una
ecuación polar simple. Se representa con
la ecuación
r ( θ ) = a + b θ
Un cambio en el parámetro a producirá
un giro en la espiral, mientras que b
controla la distancia entre los brazos, la
cual es constante para una espiral dada.
La espiral de Arquímedes tiene dos
brazos, uno para θ > 0 y otro para θ < 0.
Los dos brazos están conectados en el
polo. La imagen especular de un brazo
sobre el eje vertical produce el otro
brazo. Además es el principal ejemplo de
curva que puede representarse de forma
más fácil con una ecuación polar.
SECCIONES CONICAS
Una sección cónica con un foco en el
polo y el otro en cualquier punto del
eje horizontal (de modo que el
semieje mayor de la cónica descanse
sobre el eje polar) es dada por:
r = ℓ /1 + e cos θ
donde e es la excentricidad y ℓ es el
semilado recto (la distancia
perpendicular a un foco desde el eje
mayor a la curva). Si e > 1, esta
ecuación define una hipérbola; si e =
1, define una parábola; y si e < 1,
define una elipse. Para la elipse, el
caso especial e = 0 resulta en un
círculo de radio ℓ.
8. INTERSECCIÓN DE GRAFICAS
El próximo paso consiste en extender las técnicas del cálculo al caso de intersección de ecuaciones en
dichas coordenadas polares, con el propósito de buscar todos los puntos de dicha intersección.
Puesto que un punto puede representarse de formas diferentes en coordenadas polares, debe
tenerse especial cuidado al determinar los puntos de intersección de dos gráficas polares, por lo que se
sugiere realizar el dibujo de las ecuaciones, inclusive cuando más adelante calculemos el área de una
región polar.
De igual forma el problema de hallar los puntos de intersección de dos gráficas polares con el de
encontrar los puntos de colisión de dos satélites en órbita alrededor de la tierra, dichos satélites no
entrarían en colisión en tanto lleguen a los puntos de intersección en tiempos diferentes (valores de q).
La colisión se producirá solamente en aquellos puntos de intersección que sean "puntos simultáneos",
aquellos a los que se llega en el mismo instante (valor de q).
9. CALCULO DE AREAS DE REGION PLANAS
El desarrollo de una fórmula para el área de una región polar va paralelo al de zonas en sistema de coordenadas
rectangulares, pero con sectores de un círculo en lugar de rectángulos como elementos básicos de dicha área. En la
figura se observa que la superficie de un sector circular de radio r viene dada por:
Consideremos la función
dada por r= f(q), donde f
es continua y no
negativa en el intervalo [
a , b ] . La región limitada
por la gráfica para hallar
el área de esta región,
partimos el intervalo [ a ,
b ] en n subintervalos
iguales a = q < q < q
<........< q < q = b
A continuación aproximamos el área de la región por la suma
de las mismas de los n sectores,
Luego de haber notado el teorema anterior, podemos decir
que usar la fórmula para hallar el área de una región limitada
por la gráfica de una función continua no negativa. Sin
embargo, no es necesariamente válida si f toma valores
positivos y negativos en el intervalo [ a , b ] .
Algunas veces lo más difícil a la hora de hallar el área
de una región polar es determinar los límites de
integración. Un buen dibujo de la región puede ayudar
mucho en estos casos.
A: ½.θ.r2( al cuadrado) θ en
radianes.