El documento explica el concepto de producto vectorial. El producto vectorial de dos vectores es un vector perpendicular a ambos vectores, cuyo módulo es igual al área del paralelogramo formado por los dos vectores. Se proporcionan ejemplos de cálculo del producto vectorial y aplicaciones como determinar el área de un triángulo.

1. Leonor Gutiérrez
5ºB
Ana Mendoza
Andrea Rincón
Rafaella Rincón

2. El producto
vectorial de dos
vectores es
otro vector cuya dirección es perpendicular a
los dos vectores y su sentido sería igual al
avance de un sacacorchos al girar de u a v.
Su módulo es igual a:
|‫ ݑ‬ൈ ‫ |ݒ‬ൌ |‫ |ݒ||ݑ‬sin ‫ן‬
ሬԦ Ԧ
ሬԦ Ԧ
El producto
vectorial se
mediante un determinante:
puede
expresar
ଓ ଔ ݇
Ԧ Ԧ ሬԦ
‫ݑ‬ଶ ‫ݑ‬ଷ
‫ݑ‬ଵ ‫ݑ‬ଷ
‫ݑ‬ଵ ‫ݑ‬ଶ
ሬԦ
‫ ݑ‬ൈ ‫ ݒ‬ൌ ቮ‫ݑ‬ଵ ‫ݑ‬ଶ ‫ݑ‬ଷ ቮ ൌ ቚ ‫ ݒ ݒ‬ቚ ଓ െ ቚ ‫ ݒ ݒ‬ቚ ଔ ൅ ቚ ‫ ݒ ݒ‬ቚ ݇
ሬԦ Ԧ
Ԧ
Ԧ
ଶ ଷ
ଵ ଷ
ଵ ଶ
‫ݒ‬ଵ ‫ݒ‬ଶ ‫ݒ‬ଷ

3. Ejemplos
•
Calcular
el producto
vectorial de
vectores
= (1, 2, 3) y
los
= (−1, 1, 2).
ଓ ଔ ݇
Ԧ Ԧ ሬԦ
2 3
1 3
1 2 ሬԦ
ሬԦ
‫ݑ‬ൈ‫ ݒ‬ൌอ 1 2 3 อൌቚ
ሬԦ Ԧ
Ԧ
Ԧ
ቚଓ െ ቚ
Ԧ
ቚଔ ൅ ቚ
Ԧ
ቚ ݇ ൌ ଓ െ 5ଔ ൅ 3݇
1 2
െ1 2
െ1 1
െ1 1 2
•
Dados
los
vectores
y
,
hallar el producto vectorial de dichos
vectores. Comprobar que el vector hallado
es ortogonal a
ଓ
Ԧ ଔ
Ԧ
‫ ݑ‬ൈ ‫ ݒ‬ൌ อ3 െ1
ሬԦ Ԧ
1
1
y .
ሬԦ
݇
െ1 1
3 1
3 െ 1 ሬԦ
ሬԦ
Ԧ
Ԧ
Ԧ
Ԧ
1 อ ൌ ቚ 1 1 ቚ ଓ െ ቚ1 1ቚ ଔ ൅ ቚ 1 1 ቚ ݇ ൌ െ2ଓ െ 2ଔ ൅ 4݇
1
ሺ‫ ݑ‬ൈ ‫ ݒ‬ሻ⊥ ‫ݑ‬
ሬԦ Ԧ ሬԦ
ሺെ2, െ2,4ሻ. ሺ3, െ1,1ሻ ൌ െ6 ൅ 2 ൅ 4 ൌ 0
ሺ‫ ݑ‬ൈ ‫ ݒ‬ሻ⊥ ‫ݒ‬
ሬԦ Ԧ
Ԧ
ሺെ2, െ2,4ሻ. ሺ1,1,1ሻ ൌ െ2 െ 2 ൅ 4 ൌ 0
El producto vectorial de
vectores
y
.
es ortogonal a los

4. Área del paralelogramo
Geométricamente, el módulo del producto
vectorial de dos vectores coincide con el área
del paralelogramo que tiene por lados a esos
vectores.
‫ ܣ‬ൌ |‫ ݄ .|ݑ‬ൌ |‫ |ݒ||ݑ‬sin ‫ ן‬ൌ |‫ ݑ‬ൈ ‫| ݒ‬
ሬԦ
ሬԦ Ԧ
ሬԦ Ԧ

5. Ejemplos
•
Dados
los
vectores
y
,
hallar el área del paralelogramo que tiene
por lados los vectores
ଓ
Ԧ
‫ ݑ‬ൈ ‫ ݒ‬ൌ อ3
ሬԦ Ԧ
2
y
—
ሬԦ
ଔ
Ԧ
݇
1 െ1
3 1 ሬԦ
3 െ1
ሬԦ
ቚଓ െ ቚ
Ԧ
ቚଔ ൅ ቚ
Ԧ
ቚ ݇ ൌ 7ଓ െ 14ଔ ൅ 7݇
Ԧ
Ԧ
1 െ 1อ ൌ ቚ 3
4
2
4
2 3
3
4
ሬԦ Ԧ
‫ ܣ‬ൌ |‫ ݑ‬ൈ ‫ | ݒ‬ൌ ඥ7ଶ ൅ 14ଶ ൅ 7ଶ ൌ √294‫ݑ‬ଶ

6. Área de un triángulo
La diagonal de un paralelogramo lo divide en
dos triángulos iguales, por tanto el área del
triángulo será la
mitad
del
área del
paralelogramo.
Ejemplos
•
Determinar el área del triángulo cuyos
vértices son los puntos A (1, 1, 3), B(2, −1,
5) y C(−3, 3, 1).
ሬሬሬሬሬԦ
‫ ܤܣ‬ൌ ሺ1, െ2,2ሻ
ሬሬሬሬሬԦ
‫ ܥܣ‬ൌ ሺെ4,2, െ2ሻ

7. ଓ ଔ ݇
Ԧ Ԧ ሬԦ
‫ ݓ‬ൌ ‫ ܤܣ‬ൈ ‫ ܥܣ‬ൌ ቮ 1 െ 2 2 ቮ ൌ
ሬሬԦ ሬሬሬሬሬԦ ሬሬሬሬሬԦ
െ4 2 െ 2
ൌቚ
െ2 2
1
2
1 െ 2 ሬԦ
ሬԦ
ቚଓ െ ቚ
Ԧ
ቚଔ ൅ ቚ
Ԧ
ቚ ݇ ൌ 0ଓ െ 6ଔ െ 6݇
Ԧ
Ԧ
2 െ2
െ4 െ 2
െ4 2
‫ ݓ‬ൌ ሺ0, െ6, െ6ሻ
ሬሬԦ
|‫ |ݓ‬ൌ ඥ0ଶ ൅ ሺെ6ሻଶ ൅ ሺെ6ሻଶ ൌ 6√2
ሬሬԦ
1
‫ ܣ‬ൌ . 6√2 ൌ 3√2‫ݑ‬ଶ
2

8. Propiedades del producto
vectorial
1. Anti conmutativa
x
=− x
2. Homogénea
λ ( x ) = (λ ) x
=
x (λ )
+
x
3. Distributiva
x( +
)=
4. El producto
dos vectores
al vector nulo.
x
x
—
vectorial de
paralelos en
igual
=
5. El producto
es perpendicular a
vectorial
ya .
x

9. Bibliografía
• Ortega,
Manuel
R.
(1989-2006) (en
español). Lecciones de Física (4 volúmenes).
Monytex.