Se trata de un divertido ejercicio de matemáticas de nivel de 1º de carrera cinetífico-técnica

1. Se trata de demostrar la siguiente expresión:
Partiendo de la primera ecuación, llegaremos a la segunda.
La primera ecuación de partida será:
2
Z
1
µ

̇



¶

1. La igualdad es cierta.
2. La demostración se realizará mediante una integral por partes que se da
actualmente en 2
de bachillerato y en 1
curso de carreras científico-técnicas.
Antes que nada se debe incidir en que q es una coordenada generalizada y  es
el lagrangiano. Esta expresión procede del principio de acción extremal, que está
relacionado con el cálculo variacional, donde una función puede tomar infinitos
caminos para recorrer del estado 1 al 2, pero solo uno la extremiza, que es el
correspondiente a  = 0 . En dichos estados iniciales y finales, el valor de la
función es nulo, es decir, como integramos en el tiempo, 1 = t2 = 0 . Se trata
de buscar la acción , es decir, la integral del Lagrangiano en el tiempo. La
presente ecuación integral es una parte de la expresión de la variación de la
acción  mediante la aplicación de técnicas conducentes a la ecuación que está
a la izquierda del primer miembro. Un punto en una variable, denota derivada
parcial respecto al tiempo sobre dicha variable.
De todos es conocido por el bachillerato (de ciencias) que:
R
 =  −
R

Entonces, observando la 1
ecuación, identificamos términos:
1

2.  =

̇
→  =



̇

 =


 =  () →  =
Z
 () = 
R
 =  −
R
 =

̇
[]2
1
−
2
Z
1




̇

En el primer miembro de la expresión de la derecha, tenemos []2
1
= 0
pues la variación de la coordenada generalizada entre los tiempos final e inicial
es nula, dado que hemos definido que los extremos no tienen variación y están
fijos en dichos instantes de tiempo.
Sin embargo, en la segunda parte del segundo miembro  forma parte de
una integral donde hay más términos, por lo que no se anula. Es decir, hemos
llegado a:
2
Z
1
µ

̇



¶
 = −
2
Z
1




̇

Observando el segundo miembro de la igualdad, vemos como el valor 
está libre de ataduras de derivadas totales o parciales, por lo que puede ponerse
al final antes de la derivada total del tiempo  :
2
Z
1
µ

̇



¶
 = −
2
Z
1
µ



̇

¶

Prescindiendo de los términos temporales, la integral quedaría como en el
enunciado:
Z µ

̇



¶
 = −
Z µ



̇

¶

quedando ambas expresiones igualadas, c.q.d.
Nota: este ejercicio es una prueba de las capacidades que tienen personas
que han estudiado carreras científico-técnicas en la resolución de problemas. El
autor, estudiando por su cuenta este ejercicio, lo resolvió, no ya en sus tiempos
de estudiante, sino actualmente como aficionado a la física y a la matemática.
2

3. José Manuel Gómez Vega, ingeniero industrial en mecánica de máquinas.
Colegiado 6026 por el Colegio Oficial de Ingenieros Industriales de Bizkaia.
III Premio de Investigación 2008 "Fundación Escuela de la Edificación" (Calle
Maestro Victoria, n
3 - Madrid) por el trabajo "Programa de cálculo de
cargas térmicas para calefacción por la opción simplificada del DB HE 1 del
CTE y su certificación legal mediante las fichas justificativas", valorado en
9.000 , recogido el 22/12/2008.
Estudiante eterno de matemática, física e ingeniería como hobby.
www.ingemek.es
Confíe en profesionales que puedan resolverle cualquier problema. No con-
vierta un problema en una pesadilla por intentarlo resolver gente que no es
polivalente, ni emplea las técnicas adecuadas que todo profesional debería llevar
consigo siempre.
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