Interés compuesto. Varias formas de calcularlo

1. Cálculo del montante a interés
compuesto con tiempo decimal exacto
cuando existan partes fraccionarias.
Autor: José Manuel Gómez Vega, ingeniero industrial en mecánica de
máquinas. (agosto 2.015).
Resumen: el artículo trata sobre como calcular directamente el
tiempo decimal para el interés compuesto en lugar de hacerlo con los
métodos actuales.
Resume: Article discusses how to calculate directly the decimal time
to compound interest rather than with current methods.
Cuando se inició el cálculo de las matemáticas financieras, las
entidades financieras no podían obtener el cálculo de una expresión elevada
a un exponente no entero. Solo con la irrupción de las calculadoras y los
ordenadores fue posible. Es por ello que en el apartado de “matemáticas
financieras” dentro de la Economía, para hallar el cálculo en estas
condiciones se emplean varios métodos. Vamos a detallar estos 2 métodos
y vamos a compararlos con la expresión formal exacta transformando el
tiempo en un número decimal o mejor en una fracción exacta para calcular
el montante.
1. ¿Qué es el interés compuesto?
El interés compuesto se denomina así porque los intereses simples
que periódicamente se van produciendo se acumulan al principal,
generando a su vez, nuevos intereses. Partiendo de la fórmula del interés
simple obtendremos una expresión, que es la que utilizaremos para deducir
el interés compuesto. En el interés compuesto consideraremos siempre el
tiempo y el rédito expresados en el mismo periodo.
100

2. Ci es el interés simple devengado por un capital C durante un periodo
de tiempo, estando expresado el tanto por uno de interés i en el mismo
periodo que el tiempo, siendo r el rédito.
2. Cálculo del montante a interés compuesto.
Al finalizar el 1er. año, tenemos como pasa un año, 1:
1
1
Al finalizar el 2º año, tenemos que como pasa también un año, 1:
1 1
1 1 1 1 1
Al finalizar el 3º año, tenemos que como pasa también un año, 1:
1 1
1 1 1 1 1
…
Al finalizar el año n, tenemos con 1:
1 1
1 1 1 1 1
Por lo tanto, hemos llegado a la expresión del interés compuesto:
1
donde:
= capital inicial.
= número de períodos.
capital final
1 = factor de capitalización compuesta
3. Cálculo del montante a interés compuesto por un
tiempo entero y otro fraccionario.

3. Normalmente el valor n de los períodos viene expresado en números
enteros. Sin embargo, en ocasiones existen casos en los cuales se conceden
préstamos a unos valores no enteros. Antiguamente no existían
procedimientos para realizar cálculos de expresiones elevadas a exponentes
con números decimales. Por ello se desarrollaron dos métodos que aún
persisten hoy en día. A continuación los desarrollaremos.
Se plantea el siguiente ejemplo: hallar el montante de un capital de
4.808,09 € al 16 % anual de interés compuesto durante 4 años, 8 meses y
20 días, acumulándose los intereses al principal semestralmente.
Este ejemplo se resolverá con los 3 métodos expuestos a
continuación (2 son los clásicos que se estudian en matemáticas financieras
y el 3º el propuesto por mí que refleja el número decimal exacto).
3.1. Método clásico 1: Convenio lineal.
Consiste en calcular a interés compuesto el montante del capital
correspondiente por los periodos enteros y sumar a ese montante el interés
simple producido por él en el tiempo fraccionario que quede.
1
1
100
Teniendo en cuenta que:
1 1 ⟹
1 1
Resolvemos con los datos del ejemplo mediante este método.
4 ñ , 8 20 í
9
80
180
Son 9 semestres, porque se han superado los 6 meses del último
período. Entonces: 4 x 2 + 1 = 9. Como son 8 meses y 20 días, se cuentan
dos meses a 30 días cada uno más 20 días y eso da 80 y se parte por 180
días que es la mitad de un año comercial para transformarlo en fracción
semestral.
Aplicamos la expresión:

4. 4.808,09 1 1 0,08
80
180
9.953,13 €
3.2. Método clásico 2: convenio exponencial.
Consiste este convenio en considerar a interés compuesto tanto por
el tiempo entero como el tiempo fraccionario f:
1 1
Calculando según el ejemplo:
4.808,09 1 0,08 1 0,08 9.945,84 €
3.3. Método clásico 3: método directo de cálculo transformando n
en un único exponente fraccionario o decimal.
Se debe haber observado que si la ec. para el convenio exponencial
se expresa así, podemos agrupar el exponente de la expresión de la base de
la potencia, al ser la misma:
1
y llegaríamos a un cálculo exacto.
Esto es tan solo una primera deducción de que el método 2 es el
exacto pues como demostraremos al desarrollar la expresión en su forma
decimal fraccionaria exacta resulta igual el resultado del montante. Por lo
tanto, para realizar el cálculo exacto del montante a interés compuesto de
una expresión donde exista un término de períodos decimal se calculará de
otra forma la expresión fraccionaria y se demostrará que es igual que el
método 2, aún habiéndose realizado la suma de todos los componentes de n
de una forma diferente, como no podría ser de otra manera.
Tenemos el nº de períodos que era:
4 ñ , 8 20 í
y los tenemos que transformar en semestres. Primero calcularemos
los períodos a años y luego a semestres multiplicando por 2.

5. ñ 4 4,72222 es la expresión en años.
2 ñ
85
9
9,44444
Entonces aplicando la ecuación normal del montante en el interés
compuesto, tenemos:
1 4.808,09 1 0,08 9.945,84
Y se podría demostrar viendo que del ejemplo calculado por el
método 2 teníamos:
9
80
180
85
9
que como vemos es el mismo exponente que en el método 3, solo
que aquí se ha compuesto directamente el valor de n directamente en lugar
de componerlo con dos términos.
En definitiva, el método 3 lo que hace es sumar y convertir todos los
períodos en el valor equivalente único para realizar solo el cálculo de ese
exponente en lugar de recurrir al sistema de dos exponentes que es más
complejo, por el método 2.
Se debe hacer constar que se suele usar el método 1, convenio lineal
porque según he leído “es más fácil de calcular” y “se obtiene mayor valor
del montante”. Las cuentas se deberían hacer con rigor y con ética, y tanto
el método 2 como el 3, que básicamente es el mismo transformando los
períodos a un solo valor, deberían ser los usados.

6. José Manuel Gómez Vega tiene un premio de investigación basado en
un programa de cálculo de cargas térmicas para calefacción (Termical) que
supuso una innovación cuando se sustituyó la vieja normativa NBE-CT 79
por el Código Técnico de la Edificación. Aparte de ingeniero, sigue
investigando en áreas de ingeniería aplicada a las empresas para reducir
costes siempre con modelos físico-matemáticos avanzados. El rigor de
IngeMek-Ingenieros lo hace líder en el sector cuando una empresa
demande personal competente y eficiente a la hora de elaborarle un
presupuesto u oferta pues el rigor, la ética y la meticulosidad priman frente
a la avaricia de comerciales que, a veces, vienen a su empresa a intentar
convencerles de proyectos o presupuestos que, sin ser estudiados con
detenimiento, pueden suponerle un alto coste, bien por tergiversar la
realidad o por actuar sin ningún escrúpulo sobre su dinero. Confíe en
profesionales, confíe en IngeMek-Ingenieros.