Ejemplo matemático para hallar una ley de sucesión de números

1. José Manuel Gómez Vega, ingeniero industrial y aficionado a las
matemáticas y a la física.
Sea la sucesión:
, , , , , …
correspondiente a los números naturales que ocupan la
posición 1,2,3,4,5,… según el orden establecido.
Se trata de demostrar que la ley de la sucesión es:
DEMOSTRACIÓN.
Para hallar la ley que gobierna la sucesión podríamos pensar en un
principio en que está la función factorial ! :
1, 2, 6, 24, 120, …
En un principio la descartamos pues los números no crecen tan deprisa y
si multiplicamos al 2º valor de la sucesión para llegar cerca del nº 17, el 5º
número sería demasiado elevado. Podemos pensar en una función polinómica
.
Tenemos la sucesión de partida:
1, 17, 65, 163, 329, …
Fila 1ª). Restamos los números contiguos, el posterior al anterior y
observamos sus valores:
17 1, 65 17, 163 65, 329 163, … 16, 48, 98, 166, …
No observamos ninguna relación. Seguimos…
Fila 2ª). A la serie obtenida de la fila 1ª, procedemos de igual forma:
48 16, 98 48, 166 98, … 32, 50, 68, …
No observamos ninguna relación. Seguimos.

2. José Manuel Gómez Vega, ingeniero industrial y aficionado a las
matemáticas y a la física.
Fila 3ª). A la serie obtenida de la fila 2ª, procedemos de igual forma:
50 32, 68 50, … 18, 18, …
Hemos llegado a unos valores constantes. De hecho si tuviésemos más
datos de la sucesión, TODOS serían iguales a 18.
Ahora se aclara el concepto de fila. En la 1ª fila si hubiese salido ya
valores constantes, tendríamos un valor de sin exponente, pero multiplicado
por el valor numérico repetido hallado, con signo.
En la 2ª fila tendríamos un valor de , multiplicado por el valor
numérico hallado, con signo, y dividido por 2.
En la 3ª fila tendríamos un valor de , multiplicado por el valor
numérico hallado, con signo, y dividido por 2 3 6.
Si hubiera 4ª fila tendríamos un valor de , multiplicado por el valor
numérico hallado y dividido por 2 3 4 24.
Es decir, el número por el que hay que dividir el término polinómico en la
fila iésima sería ! 1 2 … 3 2 1
En el caso presente tenemos, 3ª fila -> , multiplicado por el número
hallado repetido, que es 18 y dividido por 6, que da un resultado tras simplificar
de:
3
Ahora procedemos a hallar la sucesión correspondiente a esta ley:
3, 24, 81, 192, 375, …
y la comparamos con la de partida:
1, 17, 65, 163, 329, …
Vemos como no tiene mucho que ver todavía. Sin embargo apreciamos
que la sucesión hallada es superior a la de partida, por lo que habrá que restar
ambas sucesiones para obtener una nueva y lo hacemos con el minuendo como
la sucesión de partida:
1, 17, 65, 163, 329, … 3, 24, 81, 192, 375, … 2, 7, 16, 29, 46, …

3. José Manuel Gómez Vega, ingeniero industrial y aficionado a las
matemáticas y a la física.
Fila 1ª):
7 2, 16 7, 29 16, 46 29, … = 5, 9, 13, 17, …
Fila 2ª):
9 5, 13 9, 17 13, … 4, 4, 4, …
Por tanto hemos llegado a otro factor del polinomio de la ley de la
sucesión. En este caso es el término , por estar en la 2ª fila, multiplicado por
el valor numérico hallado, que es 4 y dividido por 2, con el signo menos por
delante como se observa en la sucesión final. Entonces, quedaría:
2
Añadiendo este término al anterior nos va quedando:
3 2
y ahora obtenemos la sucesión correspondiente a esta ley y
comprobaremos qué tal se parece a la original.
La obtenida con la ley que tenemos hasta ahora es:
1, 16, 63, 160, 325, …
y la original es:
1, 17, 65, 163, 329, …
Nuevamente procedemos a restar la sucesión original de la sucesión
provisional que estamos calculando para hallar la ley exacta que define la
sucesión de partida.
Tenemos:
1, 17, 65, 163, 329, … 1, 16, 63, 160, 325, … 0, 1, 2, 3, 4, …

4. José Manuel Gómez Vega, ingeniero industrial y aficionado a las
matemáticas y a la física.
Podríamos resolver directamente la ley que queda observando la
diferencia.
Si se sabe que la sucesión 1, 2, 3, 4, 5, … , corresponde a , queda claro
que a la que hemos llegado, su ley sería 1.
No obstante vamos a seguir el proceso sistemático para demostrar que es
así. En efecto,
Fila 1ª): 1 0, 2 1, 3 2, 4 3, … 1, 1, 1, 1, …
Al estar en la fila 1ª, el término es y además se multiplicaría por el
valor repetido constante en la sucesión.
Por lo tanto la ley provisional sería:
3 2
Calculemos los 5 primeros valores y comparémoslos con la sucesión
original:
2, 18, 66, 164, 330, …
1, 17, 65, 163, 329, …
Y donde se ve que todos los números de la sucesión hallada tienen una
cifra superior en una unidad en todos los términos. Esto quiere decir que habrá
que añadir el valor -1 para completar la ley.
Para comprobarlo, hacemos la resta entre la sucesión original y la
sucesión aproximada hallada:
1, 17, 65, 163, 329, … 2, 18, 66, 164, 330, …
1 2, 17 18, 65 66, 163 164, 329 330, …
1, 1, 1, 1, 1, …
Notar que la diferencia entre la sucesión original y la solución
aproximada que se va hallando, podíamos definirla como fila 0, de tal forma que
sería para los coeficientes constantes que no tienen ninguna x.
Vemos claramente que el valor hallado constante es -1.

5. José Manuel Gómez Vega, ingeniero industrial y aficionado a las
matemáticas y a la física.
Por lo tanto, hemos demostrado que la ley que rige la sucesión es:
3 2 1
c.q.d.