1. El documento presenta una lista de ejercicios de matemáticas sobre números enteros, fracciones y operaciones con ellos. Incluye problemas sobre sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, ordenamiento y simplificación de expresiones numéricas. 2. Se piden realizar cálculos, comparaciones y transformaciones con diferentes elementos numéricos como números enteros, fracciones y expresiones algebraicas elementales. 3. Los ejercicios abarcan temas como números enteros, fracciones, operaciones básicas, divisibilidad, ordenamiento, simplificación de expresiones y

1. IDEeSpaLrAtamBAenHtoÍAd.eMatemáti
as Curso2011-12
CuaddepearMnraaot3deomeEáejSteiO
ra
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ios
SMFMruaaasnaIFn
seiaasrb
nSoeaelnmFVdepairlneaBrárearnubdPbieéaízrnVeoDzáíÁzaqzlvuaerzezdelosCorales

2. 2

3. IÍnNdÚiM
EeROgSeneral 5 112...12112.....INnútrmoPRNedoerúutpom
easn
es
irroóoiaands
seiiorad
rneoalano
eilxosoep
nsniomaúnleimeesnnett.eroo.sesn.ptrre.eervoa.ilo..ess.................................................................................................. 11137037 22..I23I.. ÁLRNGaúdmEi
eBaroleRssrAe.al.es.....................................................................................111754 3333....31234.....ExprFEPMerolsoaillni
44444.....412345......E
uaIEEEE
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onnoimgoemunsioiaeoassjs.elagOalegl.pbgeee.brrbraa.ari
a
i.i
ioa
a.nsose.s....................................................................................................................................................... 1211290299 di
4455....51267.....SisteISSPmniorselaotu
eouuuunnaaaat
besu
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eeedusueeadn
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oroilaóu.
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i..iofóna..n
lieo..sn..es...................................................................................................................a..tldeo..esri..uanl...a....e....
u....a....
ió....n.................................................................................................................. 222222334443 5.IA3I..ISolGu
PEirooOnbaMlermioEasT.R.Í.A..........................................342198 ........ 2222275678 AAAAA.....12345..... B.Geometría SSSSSooooollllluuuuu
iiiiiooooonnnnneeeeesssssdddddeeeeelllllttttteeeeemmmmmaaaaa12345.............................................................................................................................................................................................. 61
4555525899 3

4. 4

5. NBÚLMOQEUREOIS
5

7. TNeúmmae1rosra
ionales
1.112...CaH)aaRll1
la8ueltapodlaoosssosleoissddpeirvimis
oeorreonssodme
ú:iltmipliobes)nd2et27o,slospdree9vyiolossde15.
)15 3.Sde)
2u0mpleque e)16 f)14 14 = 7 · 254..CeUnottimrliezpalloelstaans,ú
emoxnperrteoussiso3pn,ae6sl,ab1s,r2eaerysx,mp2lrúa4esl.staispigllaousiderneetl,eas
sifoerrnaesdseisv:siseorrmúyltipsleorddeiviysibsleerdpiavriasoers
reinbtirrela2s,7reyla1
4io.nes dab
))))UUUUnnnnnnnnúúúúmmmmeeeerrrrooooeeeessssddddiiiivvvviiiissssiiiibbbblllleeeeppppoooorrrr2t59re
suuuaaa
nnnudddaooon.dsl.aou.slúaulmtsiumamadae
disfeuras.e
.sifr.a.s.es. 6.Ingefd)))i
aUUUnnn
unnnáúúúlmmmdeeeerrrlooooseeessssidddguiiivvviiiiesssniiibbbtellleeespppnúooorrrm611e01r
ou
suua
aanunndmddooopl.lole.a.elsdoiaf
erlriateenvr
eiiozas.p.do.erd.i.v.isibilidaddelatablaadjunta: 13480458 Divisiblepor2 Por3 Por5 Por10 Por11 12114..030580400023 7.TCTooaddl
oousslalloo:ssddiivviissoorreessdd5ee.0432867::............................................................................................................................................... EToldmoasyloorsddeivliossordeisvi
soomreusn
eosmduen3e6syded3e648y:4.8.7e.s.:...................................................................................................

8. 8.TTCToooadddl
oooussslalllooo:sssdddiiivvviiisssooorrreeesss
ddoeem52u44n::..e..s..d....e..2..4....y....d....e..5....4..:..................................................................................................................................................................... 9.ECMMlaúúlmll
ttuaiipplyallooolrssodsddeeedli46oe::zs..dp..ir..vi..mi..s..oe..rr..oe..ss....
m..oú..m..lt..ui..np..el..os..s..d..qe..u..2e..4..s..ey..p..5..i4d....ee..ns..:..e...n......l.o...s......s...i..g....u...i..e...n....t...e...s...
...a.....s.o.....s.:................................................................................. 10.MECMlaúúlmll
ttueiipplnallooolrssods
deoedmil8eou:zsn.pm.er.súi.mdl.t.eiep.r4.loo.sy.s.m6
.oú.:m.l.t..iu.p.n..l.oe..ss...d.q..eu...e4...s.y.e...6p...i.ed..s.e.:.n......e...n......l..o...s......s...i.g...u.....i.e...n...t...e...s.....
...a....s..o....s..:................................................................................. 11.MMEDleúúsmll
ttoeiippmnlloooprssódn
deoeemln1ou2sfn:ame.stú.odl.tre.iep.s8.lop.ys.r.i1
m.o2.om.:s.u..ln..o..es..ss..id..g..eu..i8..e..ny..t..e1..s2....ne..ús..:m.....e...r...o...s...:.................................................................................................................................... 12.Aeaa)))p877a722rtyir9d0elades
omposfbbi
)))ió114n.08600e0n0yf1a2
t0oresprimos,
g
a)))l
465u550l,a6e0lym7.
5.d.delossigdhdu)))ie682n004t,3e1s8n0úyme2r0o0s: 1134..AaR)epp3ar0ertsyiern4dt0aeelanduensa
orme
ptaoslbio
)sió6sn6ig0eunyiefn8at2
et5sorneúsmperrimosoes,nt
ea)rlo
2su5:l,a5e0lym7.
5.m.delossidg)ui1e0n0te,s12n5úmye1r5o0s: 8, −9, 5, 0, −1, 6, −7, 11, −6 15.Es
ribeelsignoque
oresponda(, ) a) entre
adapardenúmerosenteros: +5 m−2 b)
−1 m0
)11 m15 d)
16.Ordenademayoramenorlossiguientesnúmeros:
e) f)
g)
h)
−7 m−4 0 m8 −4 m1 −3 m−5 −5 m−11 11, −16, 5, −2, 13, 3, −9, 0, 18, −10 17.aP)ara
adanúmeroentero,halasunúmeroopuestoyrepreséntaloenunare
ta:
−3 b)
−12
18.Ra)ealizalassiguientesopera
iones
onnúmerosenteros:
)d)9 8 −3 − (−2) + 5 + (−7) − (−3) = b)
−9 − (−5 + 2) − (−4 − 3) + (7 − 10) =
)(5 − 4 − 3) − (−2 + 6 − 8) + (2 − 4) = d)
−15 + (3 − 10 − 7 + 1) − (5 − 8 − 9) = e)6 − (12 + 4 − (7 − 9) − 12) = f)
−[3 − (2 + 3 − 10) + (3 − 4)] + (5 − (−3)) = g)7 − 4(6 − 4) = h)
−4(−2) + (−1) · 2 − (−2) · 3 + 1 = i)1 − 2(7 − 5) − (4 − 5 · 3 + 6) j)
−2(−3(−2) + 1) − 2(2 − 3(1 + 2)) = k)
−3(1 − (−2) · 4) − (−2) − (−1 + 3) = l)1 − (−2(3 + 1) − 1) − (1 − (1 + 4) − 2) = 8

9. m)3 − 2(1 − 3) − (5 − 3(1 − 4) − 2) = n)5 + (7 − 3) − 2(−1 + 3(1 − 8) + 3) + 1 = ñ)2 − (1 − (3 − 2(3 − 5) + 1)) = o)
−1 + (1 − 3(4 − 1) − 2) = p)7 + 9 : (−3) + 5 · 2 − 1 + 7 · 3 − 4 = q)10 : (5 − 7) + 5 − 3 + 6 : (4 − 2) = r)4(10 − 2 · 3) − (−2)(−1) + 4 : 2 = s)3 + 2(1 + 2 · 3) − 2(−3 − 15 : 3) − 2 = t)3(5 − 2) − (8 − 1) : (9 − 2) + 4 = u)
−(5 + 2 · 3 + 9 · 6 : 27) + 2 = v)18 − 5(6 − 2(19.aO)pera: 4 − 7)) + 5 − 3(9 − 11) = 22 − 32 · 2 + 5(−2)3 = b)3 + 2 · 32 − (−2)4 + 42 : 8 =
)2(52 − 32) : 8 − 4 · 5 : 2 − 30(−1)3 = d)
−3(−25 : 42) + 2(−3)2 : 6 − 1 = e)(3 · 5 − 10)2 : (−5)2 + (3 · 7 − 1) : 30 = f)
−3 · 22 : (−6) − 15(−2)2 : (10 + 5) = g)(−1)3 + (−2)3 + (−1)4 − (−2)3 = h)22(−2) − 5 + (−1)0 − 4 − 2(−2) + 23 = 20.aC)ompruebasisonequivalenteslassiguientesfra
iones: 3
5
d)yb)y6
− 4
9
10
11 8
y5
4 21.Ha)alaeltérminoquefaltaparaqueseanequivalenteslassiguientesfra
iones: 10
15
d)7
6 7
y− 12
21
)3
4
22.Sai)mpli
7
18 y14
15
e)− 4
9
y− 20
45
f)4
5
=
2 b)8
=
6
9
)2
5
=
20
=
15
=
75
e)24
=
16
10
f)7
6
=
alassiguientesfra
b)ioneshastaqueseaniredu
ibles: 10
36
6
9
2 24.Oa)rdenademayoramenorlassiguientesfra
15
iones,
al
ulandodenominador
omún: 7
10
)250
175
d)16
56
e)− 45
120 f)196
252
g)240
630
h)− 126
270
i)30
15
j)54
72 23.Ordenademayoramenorlassiguientesfra
iones,
al
ulandosuexpresiónde
imal:
25.Ordenademenoramayorlassiguientesfra
8
5
7
4
1
,
,
,
,
,
5
8
12
ionesyrepreséntalasenlare
3
6
tanuméri
a:
7
9 26.aR)ealizalassiguientesopera
4
3
13
;
;
;
5
4
20
, b)7
12
;
5
6
;
13
18
;
1
2
,
3
4
, − 2
e)3
= 6 − 3 ·
,
1
5
, − 2
5
, − 8
7
iones
onfra
iones:
3
2
+
+ 1
4
5
−
2 −
7
5
= b)
5 −
7
2
−
3 +
1
4
+
2 −
3
8
=
)3
8
5
3 −
1
2
−
4
11
3
4 −
1
5
= d)
9
1
1
3
−
1 +
5 7
4
=
5
2
+ 2
= f)
2 −
4
3
:
3
2 − 1

10. g)6 −
= i)3
k)
3
9
1
:
4
2 − 2 ·
1 −
2
= 2
= h)2
5 −
2
5
1 −
1
2
m) 4
=
6
5 −
2
7
1 +
2
5
= j)3
11 −
1
3
2 −
7
11
2 +
2
7
5
+
3
4
1 −
2
3
2 −
1
5
= l)2 +
1
5 ·
3
2
1 +
1
10
= 1.227..aC)aPl
7
− 2
3 iasdeexponenteentero 1
3
:
+
2
4
b)20 21
3
4
g)4 −
8 ·
3
28.aC)al
r)m)h)s)n)t)i)
ñ)o)u)
j)p)k)e)v)
l)f)
q)w)
−20 (−2)0 −21 (−2)1 (−2)2 −22 (−2)−2 (−2)3 (−2)−3 32 3−1 3−2 30 (−3)2 (−3)1 (−3)−1 (−3)−2 (−3)0 −32 −3−1 −3−2 = n)1 +
5
7
1 +
1
5
:


1 +
1
5
5
1 +


oulta:en
)2−1 d)
ula:
−30 b)33
)3−3 d)52 e)5−1 f)5−2 g)50 h)(−5)2 i)(−5)−1 j)(−5)−2 k)(−5)0 l)
−52 m)
−5−1 n)
−5−2 ñ)
−50 o)53 p)5−3 q)10 r)1−1 s)
−10 t)
−11 u)
−1−1 v)(−1)2 w)
−12 29.aC)al
ula: (−1)−2 b)1128
)(−1)582 d)1−3 e)70 f)
−70 g)
3 m)
−2 r)
30.Ea)xpresa
1
2
−2 0 h)
1
2
1 i)
1
2
−1 j)
1
2
2 k)
1
2
−2 l)
1
2
1
2
−3 n)
−
4
3
0 ñ)
−
4
3
1 o)
−
4
3
−1 p)
−
4
3
2 q)
−
4
3
−
4
3
3 s)
−
4
3
−3 t)
−
4
3
0 u)
1
5
−4 v)
−
3
2
2 w)
−
3
2
omopoten
b)iadeexponentenegativo: )1
1
1
3
4
2
d)1
5
e)1
7
f)1
9 g)1
16
h)1
8
i)1
25
j)1
49
k)1
27
l)1
32 m) 1
125
n)1
81
ñ) 1
343
o) 1
625
p) 1
243
q)1
36 r)1
10
s) 1
100
t) 1
1.000
u) 1
10.000
v) 1
100.000
w) 1
1.000.000 10

11. 31.Ca)al
ula,expresandoelresultado
omopoten
iadeexponentepositivo: 32 · 35 = b)32 · 3−3 =
)3−3 · 34 = d)3−2 · 3−5 = e)32 : 35 = f)32 : 3−3 = g)3−3 : 34 = h)3−2 : 3−5 = i)
= m)
32.Sai)mpli
2
2
2
5
3
·
3
= = j)
2
3
2
·
2
3
−3
= k)
2
3
−3
·
2
3
4
= l)
2
3
−3
·
2
3
−4
2
3
2
:
2
3
5
= n)
2
3
2
:
2
3
−3
= ñ)
2
3
−3
:
2
3
4
= o)
2
3
−3
:
2
3
−4
ay
al
ulautilizandolaspropiedadesdelaspoten
ias: 23 · 2−4
25 = b)3−1 · 34
32 =
)54 · 5−7
d)g)h)e)f)= 5−3 53 · 5−1
x8 · x−3 x
= x2 · x−3 · x−4 = · = 5−4 x−4 a3 · (a2)2
x3 · y−1 · x4 · y3 = a4 = i)(a2)3 · a5 = j)(a2 · b)3 · a2
= m)(a2)−3 · a−1 · (a5)−2 = n)(a−3)−1 · a = ñ)a5 · b−1 · c3
= r)(x2 · y)−2 · x3 · y−2
ab
s)t)32 3−4 3−3
= (a · b)−3 (a2 b)2 = · · (x2 · y)−1 · x2 · y3 · · = k)a4
a ·
a3
a5 ·
a−2
a−3 = l)
a
b
3
·
a2
b3 ·
a2
b3
−2
a−1 · b3 · c2 = o)x4 · y−1 · x2 · y−3
x−1 · y · x2 = p)a−8
a−3 · a3 = q)(5−1)2 · 53
33.Ca)al
5
= 3−7 ula,expresándolotodo
omopoten
iadelamismabase: 22 · 83 = b)3−2 · 93 =
)25 · 125−3 = d)22 · 4−2 · 8−1 = e)9 · 3−5 = f)9−3 · 3−8 = g)2 · 8−1 = h)(22)−3 · 8−2 · 43 = i)5−3 · (−25)−1 · 52 = j)5−1 · (25)−2 · 1253
34.aC)al
k)l)(49)−3 = · (72)−1
= (x2 · x)−3 · (x−4)2 = 5−4 73 ula,respetandolaprioridaddelasopera
iones: 32 − 42 = b)(4 − 7)2 =
)2 · 3 − 33 = d)2 · 32 + 1 = e)2(32 + 1) = f)22 − 7 = g)2(4 − 5)3 = h)
−22 · 4 − 1 = i)(−22 · 4 − 1) = j)3(2 + 1)2 − 22 = k)2 · 32 − 4 = l)(2 − 5 + 4 − 6)2 = m)
o)#
1
2
3
−+ 3
= 2
= n)
−
1
2
+
5
6
2
2
5 −
1
10
−2
= ñ)
− 1
3
−2
11
+ 2−2 ·
=
3
4
−2
2 −
1
3
−2
− 30 = p)4 − 2−2 ·
1
2
−3
= q)
−52 −
2
3 −
5
6
−2

12. 12

13. ITnetmraod2u
iónalosnúmerosreales
2.11..Ian)Ndi
úamsieelrdeossariorlroad
e
iiomnalaelsepseriódi
oono: 3, 222 . . . b)0, 437537637737 . . .
)0, 4375375375 . . . d)0, 010010001 . . . e)0, 12112111211112 . . . f)34, 56727272 . . . 2.aD)elosnúmeros: 3/5 b)0, 494949 . . .
)p7 d)3, 75 e)0, 141144111444 . . . 3.¾EaC)nu
áaledsasuonnarda
eiolansalseigsuyie
nutáelsespanroe?jaJsudsetin
úamlearorsesipnudei
staa
.uáleselmásgrande: 1, 41421365 y1, 41422365 b)1, 001000100001 . . . y0, 100100001 . . .
)1, 121231234 1, 121231235 d)3, 1415925535 . . . 3, 1415926535 . . . 4.Ea)n
adaunadelassiguientesparejasdenúmerosindi
y
b)
a
uáleselmásgrande:
y
−1, 41421365 − 1, 41422365 −1, 001000100001 . . . )
−1, 121231234 − 1, 121231235 d)
−3, 1415925535 . . . − 3, 1415926535 . . . 5.Es
ribe
in
onúmeros
omprendidosentre0, 005712751 y0, 0057127526.Ea)s
y2
5 78..¾¾nQPalou?déPrdíoainsfeereenjen
− 0, 100100001 . . .
9.Raabz))on¾¾EEass
olloonmmejiiessmmmpoolouusnntnnuúúsmmreeesrrpoourneaas
ttaiuosrn?aallqquueeuunnonúemnteerroo?entero? ? io- 10.¾pCad
ró))am¾¾aoCE
lssoaenrloaolr
amemtsuisasnmnúromedsouepsnruonenssúútqmamuseee.rronosorqasue
p2ribetresnúmeros
yomprendidosentre: b)y)y. 3
4
3
14
20
23
17
17
17
17
27
27
d)1
3
m
oinpatlrohasar.yuennatrferal
a
sióexnporredsiionnaerisadqeu
iemeaxlpersedseeeuxnan
túammeernoterae
lionnúamleyrodeunnúmeroira
eaionsnueamnltaqedurooessirdnraian
frioa0n
?
a¾iloY?nadroiossq?uemultipli
adosdan1?Ponejemplos 11. a)Clasi
alossiguientesnúmeros
omora
ionalesoira
ionales:
12.In
bd))i
a¾OAr
dlugéáunlneasoloddseedleeolslmossaigyeuosireenanttmeesreonn?úomr.erossonra
41
pionalesy
z{
; 49; 53,
7 ; 3, 2; uálessonira
p12; p3 15 ionales:
13
1, 5; − 3
5
; 0,
z{
8 13
z{
3 ; p7; 1, 6666 . . . ; 2, 010010001 . . . ; p25; 2 + p2; 3, 2

14. 2.213..¾a
V))NeTTrdooúdadmdooennreoúúmrmooeefrrasoolserorne?eate¾larPeolsoererssaq
ruiaoé
?nioanl.al. bd))TTooddoonnúúmmeerroonreaatulreaslirersae
niotneraol.. 14.Coab
n)))teTTTsoootdddaooo
nnnieúúúrmmmtoeeerrrooooierranfra
taiel
osrionooanelaasel
rseaesradelara.elua.ln.adelassiguientesproposi
iones,razonandolarespuesta: 15.Rdeel))lenEEaxxiiessltteesnnignnuúúiemmnteeerroo
ssuarqeduareloes:sonquaelnaovseoznrar
ai
oinonalaelseseniiriar
aio
nioanleasl.es.
−3/4 7, 23 p5 1, 1
z{
2 −3 7/5 −9/3 p4 1 + p2 p−4 p3 −1 31 1, 020304 . . .
16.Representagrá
N
Z
Q
amentelossiguientesnúmeros:
R 17.Raebp))reIInnsettneerrtvvaaaelloon
I
alaebrirreear
tdtooaddreeeaeelxxlttorrseemmsiogosusi2enyte3s.intervalos:
; −3; 0; 2/3; 7/5; p27; p5 −32; −2, 17 −3 y
−118.Exd
p))reIInnsattee
rrovvmaalloooqqduueseeig
uooannlttdeeanndggaayaa
ottoomddooossinlltooessrvnnaúúlmmo.eeyrrooressprrreeeaaslléeensstmmaleaonys:oorreessqouiegudaolse.squetres. a)x esmenorque
−5. b)3esmenoroigualquex) . x está
19.Ra)epresentagrá
omprendidoentre
y1. d)estáentre
−5 x −2 amenteyexpresa
omointervalosestasdesigualdadeys:0,ambosin
luidos.
20.Es
d)
a) ribeladesigualdadqueveri
b)e)atodonúmeroquepertene
f)
)−3 x 2 5 x
x −2 −2 x 3/2 4 x 4, 1 −3 x x eaestosintervalos: [−2, 7] b)[13,+1)
)(−1, 0) d)(−3, 0] e)[3/2, 6) f)14 (−1,+1)

15. 2.321..aE)xRpraesdaie
nafolremsadepoten
ia: p3 2 b)p4 3
f))d) e)1
1
ppp35 2
p3 2
j)3 p3 3 22.aE)fe
−1 f)
p3 4
o)k)l)g)m)
h)n)
i)ñ)
j)
−3 41/2 4−1/2 271/3 27−1/3 (−2)2 p(−2)−2 −−22 −22 −41/2 2
4 g)p
2p2 h)p5 78 i) 1
p4 5−7
túa,simpli
andoelresultado: 3−1 b)4−2
)30 d)
23.Oa)perapasandopreviamenteapoten
p)q)r)1
2
s)2 p44 p2−1 p3 8 p3 −8 2 e)
1
2
iayusandolaspropiedadesdelaspoten
ias: p3 · p3 3 b)2 p3 4
)apa d)p8
−
24.aCB)aasl
f)p3 a2 · p6 a 2
3
ado,lasraì
esquesedana
ontinua
iónpueden
al
ularsedire
tamente. p144 b)
f)p3 25.Sai)mpli
4
g)
h)i)j)e)p3 −27 p4 −81 p− 4 81 p0, 04 p3 0, 125 p0, 64 e)p3 a8
a2
áúnldaolasse,esniesxuisstiegnn:i
p144
−
)p−144 d)s
9
49
alossiguientesradi
al: p6 53 b)1p5 212
)1p0 a8 d)1p2 a4b8 e)p3 243 f)1p5 32 26.aE)xtraelosfa
toresquepuedasdelossiguientesradi
ales: p3 625a17b10 b)5 p 128x11y3
)4 p
d)g)e)f)15(a2b3)5 28 315(xy2)8 z33 7 pp5 · · 24 · 35 · 57 216 · 523 · 749 x2y3
p
p
(x3)3 · y2 · z7 h)3 p
(x2y5)4 · z13 · (xz)7 i)4
64x2y7
81 j)5
27.aO)peraysimpli
s
s
a13 · b12
c12
(z3)2 k)x2y3
s
4x7y8
z5
l)3
s
(x2y4)5 · x · y
a: p3 p·
27 ·
p81 = b)p3 8 ·
x4y2 = h)3 p
2 p3 4 · 1p2 8 = 15
p4 · p6 2 =
)p6 5 · p5 5 = d)3 p
3p27 = e)3 p
p2 · p5 4 = f)4
q
a 3 p
a3pa = g)q
xy3 ·
p
xy3 · 3 p

16. i)q
3p4 3 = k)p3
= l)p4 2 · ( p5 2)4 = m)vuut
ñ) p
ab
ab3 p
pab ·
= a4pa2 = j)3 p
3p3 ·
3 p
q
4
9p3 ·
3 p
5
·
pp3
5
·
3 p
2
3p3
p)vuut
s
a2
b3
3
b
a ·
pa2b = vuut
s
a3
b5 = n)3 p
a3p4 a ·
ppa5
3 p
pa7
r)a/b
= p
4 p
a2/b3
= o)3
vuut
a4
b5
s
4
b3
a
t)s
s
4
16
2
2
2
3
12
3
3
·
3
= 3
= q)5 p
x2p3 x5 ·
p3 x7
p
x4p3 x8
28.aH)azlassiguientessumas: xp3 q
y
)ypx3
b)a2
= b5 p2 + 3p2 − 5p2 = p3 5 + 4 p3 5 + p3 5 =
p45 −
4
e)d)p20 = 5p75 8p− 48 + 3p27 = 5p72 − 7p18 −
= s)3 p
4p9 ·
q
4
p
9p2
q
3
9
p
8p3
vuuut
a4
b3 ·
vuut
3
a2
b2 ·
s
a5
b
f)p1
50 = = u)q
(ab)3p4 a2b5 · 4
s
g)i)pph)80 + 180 −
p1
p1
12 +
27 +
p75 = 2
3
5
3 p3 128 + 2 p3 2 + 3 p3 54 − 5 p3 16 = p3 −128 − p3 −54 + p3 −250 = p45 +
2
3
p7 −
1
3
p28 = j)2p8b3 −
p18b3 + 4p128b3 =
16

17. ÁBLLGOQEUBERIAI
17

19. TEexmpare3sionesalgebrai
as
3.11..ExEprleslaeenngleungaujaejeaallggeberabi
roa,ila
sosiguientesexpresionesreferidasalabase,b,ylaaltura,aunab))reLL
taaánablgatusuelroae:sesdolablbeaqsuee
olamaolt7ureas.a3. ,de def
))))LLLEaaaláabbrlaaetssuaeerdayeesellax3r/
eae5
ldttdáeuenreaglnaudl7aoiluteeunsreri2dan6a.ed
nems8aulnaidbaadsees.. 22.EEsinxgnp
uiree
snaatdreaonlda
easd
eaaxdpuarneloseitodrneae:lsosal
gaesborsa,ie
lasp.e
roírmreestproonddeilenret
etsáanglauslos.iguientesmagnitudeseinterpretael 3.Eea
)))xpLEErallesvádaoriealeuagnmodnleeeannlugdndueearuejue
nntaá
lnugugebabuodrl.roaa.id
oo.osimbóli
olossigufdbi)))enLEEtaellspáveerenerloíaum
ndie
detialardod
íodrds
ee:uuulonn.mreó
tváiln.gulo. a
b)))ULEaln
dhuioasttdaerlna
tdiieoan,deedloabsleumnúamdeerotredsenhúambietrao
,re
sio
noenssed
oubtlievsoqs.uesen
ilas. doridaen5horasax def)))ELEalldádroiefbealreednde
euilanpdrtoeridáduno
gstuonlúodmeesedrboosassndeúivpmioderirdoaoslt.uproakrmd5i/.vhid.idoentredos. 3.24..CoMmpolentaolamsiigousieM.ntoOentopambeliaor:a
ionCeoes
iente Parteliteral Grado
2a2b
3
5
xy2z
1
2
ab3
−5x6
2
−
7
v4 19

20. 5.aO)peralossiguientesmonomios: 3x3 − 4x3 + 5x3 = b)2
g)d)e)f)
)4
x2 −
x2 =
4x2y − 8x2y + 3x2y = 3
5
3xy3 · 4x2y = 5x2y · (−2x) = −4x2y3 · (−2xy3) = − 9a3
x3y2 = 6.¾aV)erdaderoofalso? x · x = 2x b)x−1 = −x
3a
d)e)f))3.37..CoPmoplleitnaolPaomtlianbioolmas:io x2 · x3 = x5 (a2)4 = a6 x2 + Coe
x3 ddeel2ogtérramdoino = iente x5 dTeéprmenidnioentien- x3 = 3x Grado
= h)18x3y2
9x2y
= i)12a4b2
9a2b2 = j)(x2)3
x6 = k)24a2(b2)3
6ab5 = l)14a3b2
7a2b
m)n)= 1
3
1
2
5x2y + 4x2 + 3xy2 − 2x2y − xy2 = xy +
x3y2 3
2
−
xy +
6
3
x2 − 3x
−5x6 − x4 − x2 + 1 8.Ca)al
ulaelvalornuméri
−3x4 + 2x3 − odelossiguientespolinomiosparalosvaloresqueseindi
3x2 + 4
2
x3 + 4x 5
− 8
1
an: 2
parab)para2x2 − 3x + 2 x = −1 x3 + 3x2 − 2x x =
)x3 − 3 parax = p3 3 d)2x3 − 3x2 − x + 5 parax = −2 9.DadoslospolinomiosA(x) = 2x4−3x3+2x2−x+1,B(x) = 2x4−3x3−4x2+3x−8 yC(x) = 2x2−3aa)l
ula: , A + B b)A − B
e)f)g))h)d)2
3
(A − B) · C C2 3
2C − 4B (A − B)2 A : C 10.Daiv)ide:d)b))1
A 2
−
C 3
(2x6 − x5 − 6x4 + 6x3 + 23x2 + 11x − 3) : (2x + 3) = (3x4 + 2x2 + 6x − 2) : (x2 + 3x) =
(−2x6 + 5x4 + 10x − 3) : (2x − 3) = 20
(3x4 − 4x3 + 2x − 2) : (2x2 − 3x + 1) =

21. 11.Daiv)ide,apli
andolaregladeRuni: (x4 − 3x3 + 8x2 − 3x + 1) : (x + 1) = b)(2x3 − 2x + 8) : (x − 2) =
)(−3x4 − 5x2 + 3) : (x + 3) = d)(−2x4 + 5x5 − 7x3 + 8x) : (x − 1) = e)(2x3 − 6x − 5) :
12.Daiv)ide:d)b))
1
x −
= 2
(4x4 − 2x3 + 6x − 8) : (2x2 + 2) = (64x5 − 129) : (x + 3) =
x4 : (x2 − x + 1) = (2x4 − x2 + x + 1) :
= 13.aA)pli
alasidentidadesnotables: (4x − 3)2 = b)(3x2 + 5x)2 =
)(3x + 2)2 = d)
g)
x −
f)= (5 − 2x)(5 + 2x) =
1
3
14.aO)pera: h)b)i)= (2a2 − b)(2a2 + b) = (3xy2 + y3)(3xy2 − y3) = (p5 − 2)2 (p3 −
2
e))4
3 − 3x
f)d)(p2 + 3p3)2 = (p3 + 2)(p3 2) =
− (p5 p− 23)(p5 + 2p3) = = e)
x
2
+ 1
2
x −
x2
2
x −
x2
2
15.aSa)
g)h)p7)2
= (4p2 + 3)(4p2 − 3) (−2p5 + p3)2 )d)1
2p3 p−
5
e)f)2
8x3y2 − 2xy2 + 6x4y3 x2(x + 7) − x(x + 7) − (x + 7) x
4(a + 3) − 6(a + 3)2 2
afa
tor
omún: 12x4 − 4x3 + 20x2 b)3a
x3
8 16.Ea)xpresa
+
b
17.Ea)xpresa
f)4x2 − 4x + 1 9a2
b
+
27a3
b
omoprodu
todeunasumaporunadiferen
ia: 9x2 − 4 b)4 − x2
2
d)e))x2 − 2 x2 − 5 x2 −
+
x2
4 −
omo
uadradodeunasumaodeunadiferen
ia: x2 − 4x + 4 b)x2 + 10x + 25
d)e))x2 − 12x + 36 1
2
1
x2 − x +
x2 +
x +
4
3
9
25
16
f)x2 21 − 9

22. 18.aFa)
torizalossiguientespolinomios,sa
andofa
tor
omúnyusandoidentidadesnotables: x3 − 6x2 + 9x b)x4 − 81x2
)3x3 − 27x d)x3 − x e)3x2 + 30x + 75 f)x2 −
o)g)m)j)n)k)h)ñ)l)i)1
16 3.419..Sai)mFprlai
x2 +
p)20x6 + 60x4 + 45x2 q)12x5 − 3x 9x2 + 24x + 16 x4 − 4x2 50x3 − 2x x3 − 16x x3 + 6x2 + 9x 2x3 − 8x 4mn3 − mn 2x3z − 2xy2z 9a3b + 25abx2 − 30a2bx 2x
1
+
3
9
a
ilaosnsiegusienatlegsefrba
r
iaoni
esa:s 15x + 15
10x + 10
b)x + 3
2x + 6
)x2 − x
x2 d) 4x
4x2 − 6x
e)x2 − 1
x + 1
f)x2 − 4
(x + 2)2 g) x2 + x
e)x2 + 2x + 1
= 1
h)x2 + 6x + 9
x4 − 9x2
i)12x4 − 3x2
6x4 20.aO)peraysimpli
a: 1
x −
g) 1
2x −
5
= 6x3 x
(x − 1)2 = h) x2 − 3x
1
3x
= b)1
x2 −
1
x
+
1
2x
=
)1
x −
i)1
x − 1
= 2
= d) 1
x − 2 −
1
x + 2
k) +
6x
= (x − 2)2 3
2
3x2 = f)x − 1
4x
+
1
12x2 −
m) 2
+
:
x(x − 1)
x2 − 4x + 4
= 7
x
x − 2 −
x
x + 2
ñ)3
1
+
+
x
x − 1
x − 1
=
= j)1
5 −
1
x − 2
+
x
p)2
3
x − 1 −
x −
x2 − x
· (x − 1) = 2
= l) 2
x − 1 −
2
x + 1
+
x2
x2 − 1
r)7
x2 + 49
+
+
x − 7
x + 7
x2 − 49
· 2x2 =
= n) 1
x2 − 4 −
1
x2 − 2x
+
1
x2 − 4x + 4
t)3
x
x −
3
= x2 −
:
1
x
+
1
3
= o)
x +
1
x
:
x −
1
x
x ·
1
x
:
1
x − 1
= q)
x − 1
x2 +
3
x −
5
x − 4
1 −
9
x2
4x
x2 − 6x + 9
= s)
22
49
x2 − 2x
1 −
x2
·
x2 − 14x + 49 ·
+ (x − 1) = 3x
x2 − 4
64
x2 = u) 1
x + 3
+
2x − 5
4

23. TEe
muaa
4iones
4.11..aSe)Iñdalaen
utáildesaddeleasssiyguieen
tuesaig
uiaoldnaedess.soSnoidleun
tidióadnesdye
uáulensae
uea
iounaes
:ión 3(x − 2) = 2(x − 3) + x b)
−4(x − 1) = 2x − 2
)(x + 3)(x − 3) = x2 − 9 d)
−6(x − 2) + 5 = −2(3x − 3) + 11 e)x2 − 4x + 4 = (x − 2)2 f)4x2 + 4x + 1 = (2x + 1)2 2.Csao)olum
)piórnuesbeagúsniseel
vaesroi:
paraanlassiguientese
yua
iones
b)onlosvaloresqueseindi
paraaneidenti
yala 3x + 9 = 2x + 11 x = −2 x = 2 x(x − 1) + 2x = 7 x = −1 x = 1
3x−2 =
parax = 0 yx = 1 d)px2 + 16 − 3 = 2 parax = 3 yx = 0 e)x4 − x2 = 2 parax = p2 yx = −2 f)x
= 1 parax = 5 yx = 4 3.¾Cuálesdelassiguientese
ua
ionestieneporsolu
iónx = 5a) ? x2 − 3x − 10 = 0 b)px2 − 9 = 4
1
9
4.24..Ra)eEsu
)2(−x + 2)2 − (4x + 3) = 1 eluveal
asiosingueiesntdesee
upar
iiomnesedregprrimaedrogrado: 2
3 −
3
d))b)e)6x − 3x + 2x = 4x − 5x + x − 5 3x − 2(x + 1) = 5x − 6
4x + 7(x − 2) − 3(x + 1) = 7 6(x + 1) − 2(x + 3) − (−x − 2) = 3(4x − 2) − 4(x + 3) − (x − 4) 2x + 3
x
2 g)t +
43
24 i)
−
k)5 −
= 2 4 − 3x
x + 1
2
f)x
+ 3 − 2x = 1 3
+
x
4
+
x
5 −
x
6
=
7
15 −
1
4
3 −
t
2
+ 1
m)4
2 + x
1 − x 3 +
=
5t
8 −
4t +
1
3
12
h)x − 1
4 −
x − 9
2
=
1
8
x − 5
4 −
7 − x
3
+
5x + 3
2
+
x + 5
3 − 3x + 26 = −
1 − 3x
2
j)30 − x
x
x + 1
=
7
9
l)4 + x
23 =
3 − x
2
3
x
3
2 −
x
4
=
4 +
x
3
3 −
x
4
n)21 − x
23 − x
=

24. 4.35..Ra)eEsu
eluveal
asiosingueiesntdesee
usae
giounensddeoseggurnadodgorado: 5x2 = 0 b)4x2 = −3x
)− x2
+ 8 = 0 d)3x2
omosolu
iones1y3?. 2
(x − 1)(x + 1)
5 − x = 0 e)5x2 + 10x = 0 f)
−2x2 + 7x = 0 g)x2 − 9 = 0 h)5x2 − 6 = 0 i)
−3x2 + 1 = 0 j)x2 + 4 = 0 k)3x2 + 9 = 0 l)
7.Ra)esuelvelassiguientese
6.Lae
m)ua
ióndesegundogradoua
iones: n).¾Puedetener
ñ)−4x2 − 3 = 0 (x − 2)2 − 4 = 0 x2 − 48 = 0 23 = 9x2 − 2 ax2 + bx = 0x + 3
x − 3 e)x2 + 1
g)x 5
2
2 −
− =
6
3
6 3(x2 − 11)
(x + 1) b)4
x
+
x
2
=
12
x
)2(2x + 1)
2x − 1 −
3(2x − 1)
2x + 1
+ 5 = 0 d)x − 3
x + 3 −
x − 2
x + 3
=
3x − 1
1
=
2 −
3
3
b)iónfa
torial = 2 (x − 1)(x + 2)x = 0 x3 − 4x2 + 4x = 0
f)2(x2 + 1)
3 −
5x2 − 2x
4
=
3x − 3x2
5 −
2(x2 − 60)
7
= 36 h) 2x
x + 2
+
x + 2
2x
4.48..Ra)eEsu
eluveal
asiosingueiesntpesoe
ruad
ieonse
s:omposi
)(x2 − 1)(x + 3)(x + 2) = 0 d)x4 − 81x2 = 0 e)8x3 − 2x2 − x = 0 f)x5 − 4x4 + 4x3 = 0 g)(x + 1)(x − 2) = 0 h)(3x − 1)(x − 1)(2x + 5) = 0 i)x4 − 36x2 = 0 4.59..Ra)eEsu
eluveal
asiosingueiesntbesie
uuaa
idonreas:daseirra
b)ionales 9x4 + 16 = 40x2 34 − x2 =
e))f)k)i)g)12
h)d)225
x2
m)x2 =
4x4 5x2 + 1 = 0 x2 + 1
j)− ñ)x4 − 3x2 − 4 = 0 n)l)o)36x4 − 13x2 + 1 = 0 3x4 − 12x2 = 0 7x4 − 112 = 0 p3x − 2 − 4 = 0 p2x + 1 = x − 1 p7 − 3x − x = 7 3p6x + 1 − 5 = 2x p3x + 1 + 1 = 3x 1 + p9x2 − 11 = 3x px2 + x − 1 = 2 − x x −
p169 − x2 = 17 24

25. 4.61110...¾LUCanPuadáribnfeootrotbeen
lll
uaeieaymstesanunatr
sleoarlodb
hsoeot
eu
lealuade
sryutaadeanlos
juodirnoe
thondosoe?s4.s0n(úS
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suoe5ss7;t3a
.os¾riC
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esésonnmtidámsi
oqhsu)o.esnelú
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ohso?. 1123..El(UaSlnobplat.ersrLieíámo.ns¾egCnturúuloomádnteeitreoonusmensi7todr2neiám2
n8age6dutralyools2ais8ddó7oes.?
)p.eel(erSsíomel.setL1ra8o0by
ameses.4sCe0am
demajauynntoleosdaeloaltdorososla
igduuoyasolsiegslua7ad0loess
mseos.n)303
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14.3D
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duailgmauelaanss
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SSooonll.t.eCLnaiodpsoal
ayidddoaesdsdpdeuelélstbruaiánrnritgle:url6
o0io0mdli.ed)lernes1t8o,mq,ue2d4amndyo 15.Deun
apitalde20.000e anualmente280 seha
olo
adounaparteal5%ylaotraal4%.Laprimeraprodu
e e másquelasegunda.Halalasdospartesdel
apital.(Sol.Laspartesson12.000e y8.000e16.H(pSraoimlll.aeLrdooosys.)nlnúaúmsmuemeroraossdsoennalat2u0treayrl
ee2sr1a
.)oynsséep
utitmivaosdeslasbeigenudnodoqsuoenltaamsubmiéandneúmlaer
ousanrtaatuyraqleusin
toanspea
rutteivdoesl. 17.Reparte20.000e entretrespersonas,demaneraquelaprimerare
iba1.000e yéstare
iba2.000 másquelasegunda, e másquelater
era.(Sol.1a:8.000e;2a:7000e y3a:5.000e18.Lmoidseánn:gulosdeuntriángulosonpropor
ionalesalosnúmeros2,3y4.Hálalos..()Sol.Losángulos 40◦,60◦ y80◦1290..Hu.nUaolnladaeloplseorslsaoldanodasosdreeeasulidnzea.t)2riáan3g.u(loSoils.óLs
partesdeunviajeenfero
aelbeassdee1782
mmydleospelardímosetirgouaslaebsie2n7d
aril,losomq.u)elarazóndelabasea 3
7
5
o
heylos26km 2
7
22.Smeidhea6nm
oentrsousm.iHdaollaaslalongituddelposte.(Sol.dEellrpeossttoesmumideerg1i4dome.)nagua,ylaparteemergente 8
7
21.Urenstapnotsetseetnienmeobtoa.jo¾Ctiueárnatoskilómetrosre
ore?.(Sol.Re
ore520dkemlr.)estoen
desulongitud,2
5
8
partesdeunbidóndea
eite.Añadiendo38litrosselenahastalas3
5 23.pTarertseas.mCigaol
sujluaeglaan
aupna
diéd
aidmodedlebliodtóenr.ía(,Sqoul.eLraes
ualptaa
pidreamdidadelob
iodnón6.e0s00d.e00800dl)e.et
eorreersop.o(nSdoel.a1a
:a3d.6a0u0n.0o0,0sabiendoqueelprimerojuegadoblequeelsegundoyé.stCeatl
riupllae
quuáenteol e;2a:1.800.000e y3a:600.000e2245..DaLñoeosnstl.raoCdoadsle
duoelna
ulenaaetñrdoiaásdnlgadueelodPareded
rdtoáe.n(PgSueodllo.roLtiaseeneredánaldapodmreimtPaeedddidrdoeale
esun.da)e
der2na1tdíamoñedotesr.o)lasterdeasdnqúumeertoensípaahreas
e
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ee-
26.
Ldueatlihovisopso
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otsiádlneagnduo9lso.
m(mSiodyle.51L0
oms
m.l)adyolsamsuidmenad6e
lmos,
8a
tmetoys1104
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26. 4.728..Ra)eIsnueelv
27.mEqul.e)
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teásntegutlroiámngiduelo.11(Smole.tHroips,otyenlaushai:p6o1temnuysalomsi
daeteutnosm1e1trmoym6á0s eulaas
siigounienetsesdinee
upa
rioinmese:rgrado x + 2 6 − 3x b)11 − 3x 19 − (5x + 4)
)x
3
3(x − 2) e)5x −
2x − 1 g)4x + 9 − 2(3x − 5)
+ 10 i)2x − 5
k)x
x
+
5 6
−
2
x − 2
4 3 − 5x
d)x − 1
2
x + 1
6
7x −
1 − x
2
f)3x − 1
2 −
x − 1
3
x + 1
3 − 1 h)x − 9
5 −
5x − 13
15
6
4x
3
9 −
4x − 1
6
−
5x
18
j)x − 1
2
3 −
1 − 8x
4 −
23 − 10x
12
0 l)(3x + 1)2 − 5x2 + 2x 6 (2x − 1)2
26

27. STeismtaem5asdee
ua
iones
5.11..CoSmoplruue
baiósnilosdseiguuienntessivsatloeremsdaedee
ua
iones x ey a) sonsolu
ióndelossistemas
orespondientes.
x = 4 ;) y = −3
2.Ca)lasi
5x + 2y = 6
;−2x + 3y = 9
x = 2 y = −1 x = 0 ;y = 3 b)

5x
2
+ 3y = 1
3x
2 − 3y = 15
3(x − 2) − 5y = 4
2x − 3(y − 1) = 2x
x = 4 ;y = 1 d)

2x − y
5
= x − 1
3x −
2x − y
5
= 5
alossiguientessistemas(
ompatibleoin
ompatible):
2x + 3y = 5
2x + 3y = 2
b)
−x + 4y = 8
−2x + 8y = 16
)
Re3s.oRalu)es
uieólvnedloesssigiusiteenmtesassistdeemaes
puoar
eilomnéetosdloindeeasulsetsitu
ión: −3x + y = 6
4x − 3y = 2
4.Ra)esuelvelossiguientessistemasporelmétododeredu
3x − 2y = 7
x + 3y = −5
= x − y b) 
3(x + 1)
4
+
2(x + 1)
5
= y + 1
x + 1
2 −
3(y − 2)
5.Ra)esuelvelossiguientessistemasporelmétododeiguala
2
13
6 ión: 

10x − 9y = 7
−2x + 5y = −
37
15
b)

11 − 2x
5
+
10 + 9y
2
= −
4 − 4x − 81y
10
x
3 −
y
2
= x −
ión:
x + 2y = 19
2x − y = 3
b)
6.aR)esuelvelossiguientessistemasgrá
amente: 25 − 5x = 4y
1 + 3x = 4y
3x − y = 5
x + y = 3
b)
2x + y = 5
x + 3y = 0 7.aR)esuelvelossiguientessistemasporelmétodoque
reas
onveniente: 

4y − 5x
6
+
3x − 2y
2
= 1 −
2
9
(x + y)
4y + x − 8
8 − x =
2(y − 2x)
3
b)
15 27

x
3
+
y
4
=
5
6
3x + 20y
5 −
8y + 1
3
=
12x + 16y

28. )
= 3x − 1 e)

x − 1
2
+
y
3
= 1
g)x 
−
5x
6 6 − y + 1
2
= 3
d)

x − y = 3
2(x − y) +
x − y
3

x
2
+
2y
3
=
1
2

i)5x
2y
3
+
=
4
3
4
x
3 
f)

x
3
+
y
5
+
2x − y
2
= 5
x − y
2
+ 1 =
= 3 k)

x + y
2
+
x − y
3
= 15
x −
2y
5
= 12
h)

2y + 2
8 −
x + 4
2
= y −
x
4
x − 4
6 −
2y − 2
12
= −1 +
x + 1
3 −
y − 1
2
= 1
7x − 4(x + y) = 4
j)

x + y
2 −
x − y
3
= 3
x + 2y
3 −
x − 2y
4

3x − 2y
5 −
2x − 4y
3
=
x − y
2
+ 1
21x − 15 = 13(2x − y) + 45
l)

2x + 3y
4 −
y + x
3
= x
2(x − 3y 5.28..Ra)eSsuiesltveelmosasisguideneteses
isuteam
aisonnoelinseanleos.lineales + 5) − (2x + y) = −2y
5x + 7y = 61
x · y = 8
b)
x · y + 2y = 4
3x − y = 5
)
x · y = 2
x − y = 1 d)
2x2 + y2 = 22
x2 − y2 = 5
e)
x2 + y2 = 25
x + y = 1
f)
x2 + y2 = 100
x − 7y = 50 g)
y2 = 4x
x2 + y2 = 32
h)
x2 − y2 = 16
3x − 5y = 0
i)
2x2 − 5y2 = 52
3x2 − 7y2 = 80 5.39..¾UCnPuhárnoottaeblsltheiaembnietaah
asiobniteas
itoienneesddeob
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ilas.Disponeentotalde50habita
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1132..LfdLoeaarmlssauuasmmd
oaaifrpddaoeesrllsaaleasssodtbmroetsiisse
ifiearfrasoasts
rdiofdereanusúunmnennenúroúmormdeqeeruroneoeienesxsv8
ao
einenutenytoetallredseto61so
14.Lasedadesdetresniñossumadasdosadosd2a8n6,8y12,respe
mn
e1.er0dSs.oei.LaaHallnap
úlirlfimarmaeeirltdoinevúsolemaeslneedrao4eñ9
nabigezuaasleys1y9e6lpdaitvaisso.rHeaslaeledlonbúlmeedreol tivamente.Halalasedades.
pe5arn.diameHs1iate8lilsv,aotedr.lein
súhymoaenlrúoimnrveeersrout.litraenlteoredsetná

29. 15.Lasumadelasedadesdetrespersonases100años.Halalaedadde
16.m
Ereanepddraueians
nealanagstteariaehlnnoajseya31he/0na4aylñda
oeeglsrrndmaúonámsjs,ae?qtrouoreodsleay
me
readnbooasrl,lyoysq,euleendleato
mtaabalay5lol4orstainleoinsme2at/lae3nst.doeSslaadbñeieontsod
raooodsmqa,uo¾eu
lnaueasálnonsttúaormbasiseearndnodoimosdejaqulutenosetradolsaes. 1178..eUeHeddlnaaahladdliajemodsleaamdsdleaareyeldsooaesyrgdhutesiiusnejosdndsaeed.,otdyrsoedshseivpjnoeets
rresotosidnelneaaes2en,0dsaeaandbñioe
dsnoendllajomuenqedtunaoeodr6h,d0aye
aelqñau1ope0sr.liaamHñameolrslaaaldasrleaeerdáteaidsedaóndledoedeelelladd
oopabbdrlilaeme.duerenaolaesrasabuim4enavdedo
1290..4mCS5eaelzd
éeulnsalaet?iamlamossedzei
mllaleirntrsvoiio.nno¾eCsduedáe5n5uton
sernleit
t/rtoálisntrgdouel
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eoennmtm/idleiezt
r8ola0rdsmeemypaolradaoaolqtbuutreeanlaeersm32e0/z03
ldlaietrrloeassubdlateseel.aa
29

30. 30

31. GBELOOMQUEETRIIÍIA
31

33. uerposgeométri
osPliOmiLtaIdEosDpoRrOS CArmaaars.inrsa.tsasdedlepuonliepdorloiesdornolososnpololísgloandoossqdueellaosf
pPoollígieodnroos.s:Son
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Vlaoassérar
pstao.ir
laieesds.rEondse
paouddnaempvéoorlstieid
deirsot
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nuuirrlr:oesnvtérretsi
oesmdáes 1.yPrviasrmLioaassap:laturunarlepalroidgsemrlaapmreoisssmulnaampesoaldliaeodsdri
SLUuionlslaaprpserrsi
issamamraalaassselsarbetra
osatlarimna
siitaaladetonetprraoelrleadsso.sbapsoelsí.gonosigualesyparalelos,lamadosbases, ementslLDlaoemspepanrtdisrimieannadsgou
ludayera,sq
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uu
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nyuoaassnodbnoasrteeos
dtsáaonsnglapusolol
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ísgaeornantsooslnar
teeegsruaslleaesrlelassemsaeanlplraerm
PSfragrepla
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ulaadmrailnátoerrotso,epdernotsá.gonos,et
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2.PirámCidareaBs:laaPsteBeersriasasumlenappeonliteadgroonaqluree
tAtoieltnuerPapriosrmabatrsieanguunlaproolbíglio
unoo
uaolrqtuoieedrraoypor
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iuorrnáamudniedveléaretpsi
irreeámg
ouimdlaeúrne
,suqlaauneddisosetladaneb
niaoasmedieenlsavuvénrétpri
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ígaeolndpoelarlnaeogpudilreaárlmayibdeael.sveé.rti
eseproye
tasobre egLEluanl
soeuspnnitiarsráóopmsid
rieeádlmeeesssiedisgeepuoralelllaígegmuso.lnaaLnora.,sttroaiadltnaugsrualalsasrdeaesr,ilso
tsuasatrdliaráatnengrguaulloelassrsseoesn,lpaigemunaatanlegsaonpyaollateses.m
.a.arsasesgdúleantleaqruapeliersáemlsopindoeltí.rgioánno- delabaseseauntriángulo,un
uadrilát3e3ro,unpentágono,et
.

34. PSfragrepla
ements
Vérti
BAaClsteuarraalateral e
Pirámide
uadrangularre
ta apotemaAdpeotleambaasdeelapirámide Pirámidehexagonalre
ta Tron
odepirámide 3.ePlomliiesTOdme
rottorasnaeúerdmdergreoour:o:lfaofdroreermms
a:aadrsdaooosnp.paoHoqraru8ye4lt
ltroirnisái
án
onuggpuyualoolslosies
edaeqrrqouaussiliálsráotetegneruroplosao..rlEíeEgsnno:n
oaasddraaegvvuéérrlattiir
eees
yooennn
uu
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r
uren IDH
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ddarerood:roofo:
rfmuobramdoo:adfpooormrpo2ar0do1t2rpiáponregn6utál
ogusoanedqorusa.idlEáotsne.r
Eoan.dEa
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eounnr3uenrae3rna
sa5.r
aasr.as. PSfragrepla
ements Tetraedro O
taedro Hexaedroo
ubo I
osaedro Dode
aedro SPuripsmeÁrarse
aielasteyraVl:oPleúrmímeetnroesdelabase
Áreatotal:Árealateral altura. +2×
Volumen:Áreadelabase áreadelabase.
PirámÁirdeeaslateral: laaltura. 1
Áreatotal:Árealateral ×
Volumen: Perímetrodelabase
apotema. ×
áreadelabase. (2
×
)+ 1
3
Áreadelabase
×
altura.
34

35. Spelanlaamalare
1E.nCtrielienLldloarsso,bsv:aaSsmeeosgsdeaneevureanrn:
duedeorprodeduenreejev.oClu
UióEnRalPosO
uSerpDosEgeoRméEtrVi
oOsqLueUseCgIeÓnerNanha
ihlian
diernodroe
gtiorasronun
írre
utláons.guLlaodailsrteadne
dioarednetruenloasdbeassuesslsaedlolas.maaltura.
iendogirarunagura PSfragrepla
ements r
r
h h
2r
base
base
Árealateral:2r × h Áreatotal:Árealateral+2×
áreadelabase= 2rh + 2r2 Volumen:Áreadelabase
laaltura= r2h 2.ConoLsa:aseltoubrtaienesenlahda
isiteannd
oiagidraelrvuénrttir
ieánaglualobraes
et.áEnlguselogmalernedtoedordeunodelos
dtSáoins
gopurlltaoan)morsoes
sieubnlelae
mlonanootmrpobonrre
uodnedpgelaen
nooenrpaoat.rrailze.loalabase,el
atetos. PSfragrepla
ements ×
g uerpo(gheiopmotéetnrui
soaodbetlentriidáongeunltorerelo
s-
avlétrutria
ebase generatriz altura base generatriz g
tron
ode
ono
Árealateral:h
Áreatotal:Árealateralg g áreadelabaseg r
Volumen:r r
r
r × g + = rg + r2 1
h h
r′
2r
3
Áreadelabase
×
laaltura=
35
1
r2h 3

36. 3.EsferUUannsa:
sazesoqgnueaneeetresafneésrhfi
éaa
riie
enosdleoasgp
iaardratareuudnneasledameelisa
fíesrr
paual
rootemaslprderedenleaddeoidsrfaedreeanstdureetdediráommsiepntlaradona.opsosre
uanntpelsanpoarsael
ealnoste..
PSfragrepla
ements
r
h
h vérti
e Casqueteesféri
o Zonaesféri
a EsfEEellrÁváaroreeluaam:deenladseuplaeres
feieraesefsérigi
uaalesaidguosaltearl
áioresadlealtveoralulmdeeln
dileinld
riloinqdureoeqnuveulealveenvaulealvees.fera. 4r2 Volumen:4
CasqÁureetae:esféri
ZonaÁeresafé:ri
(o r3 2rh r a 3
(eselradiodelaesferaquelo
eselradiodelaesferaquelo
ontiene) ontiene)
2rh r 36

37. PSfragrepla
ements
DESARROLLODELPRISMATRIANGULARRECTO
37

38. PSfragrepla
ements
DESARROLLODELORTOEDROOPRISMACUADRANGULAR
38

39. PSfragrepla
ements
DESARROLLODELPRISMAHEXAGONALRECTO
39

40. PSfragrepla
ements
DESARROLLODELAPIRÁMIDECUADRANGULARRECTA
40

41. PSfragrepla
ements
DESARROLLODELAPIRÁMIDEHEXAGONALRECTA
41

42. PSfragrepla
ements
DESARROLLODELTETRAEDRO
42

43. PSfragrepla
ements
DESARROLLODELOCTAEDRO
43

44. PSfragrepla
ements
DESARROLLODELHEXAEDROOCUBO
44

45. PSfragrepla
ements
DESARROLLODELICOSAEDRO
45

46. PSfragrepla
ements
DESARROLLODELDODECAEDRO
46

47. PSfragrepla
ements
DESARROLLODELCILINDRO
47

48. PSfragrepla
ements
DESARROLLODELCONO
48

49. SAopléun
diio
enaArio
A.121...
aa)))SMDMoiúúvlllittsuiioppr
lleooisssodddneee1e1785:s::711,d,51,2e4,3,l032,,t146,e5,2m,986,,0a13,857,154,290 bb))DMiúvlitsioprleossddee292::91,,1181,,2272,36,45,54 3.e
))DDii1vv4iisseoosrreemssúddleteip11l56o::d11e,,322,,,574,,y1815,41.6 fd))DDiivviissoorreessddee1240::11,,22,,74,,154,10,20 4. 222744ee.ssesmmmúúllúttliitppillpooloddeede27..3,6,12y 1274eessesdddiivviviissioosorrrdddeee271yy4.1144.. 1274eessesdddiivviviissiiisbbiblleelepppooorrr272..y7. 1362eessesmmmúúúllttliitppiplloolodddeee333.,y66y.12.
24esdivisiblepor3,6,12y
123624eesseessddddiivviiivvissiioossroorrrddeddeee36,12,6241,1.2y2y2y422.44.. 3tii.pfrlaosddea93.o3mesúldtiipvliosibdlee3p.or3. 1162224e..sesdidviivsiibsilbelepopro3ry3,6.6y 5.a
6.g)1.8.entrDeivlaisisbulmeapodre2lasP
e))).........at0e
róambpaianrea.ne0no0.5. iofrra3sdePlourga5rpParory1l0asdPeolrug1a1rimpares0ómúltiplode11.
fbd))).........2smuyúsl
× × 35
× 40
× × × 84
× × 100
× × × 150
× × × × 2.343
× × 480
× × × × 1.002
× × 5.027
× 49

50. 7.TCTToooadddl
oooussslalllooo:sssdddiiivvviiisssooorrreeesss
ddoeem34u68n::e11s,,d22,,e333,,644y,,66d,,e894,,811:221,,,11268,,y32,4346y,648y12. 8.ECTTooladdlm
oouasslyallooo:rssdddeiivvliiosssoorrdeeissviddseeor25e44s::
11o,,m22u,,n33e,,s46d,,e69,,3186,8y,122478yye2s45:.41.2 9.TECMolaúdlml
otuaisplyallooolrssodsddeiedvli4ioes:zso4rdpe,irsv8imi,
so1oem2rroe,uss1n6
meo,súm2dl0tuei,np22elo44ss,yd2qe8du,2ee435s2e4y,:p351i64d,,ee24ns,0:3e.6n.y.l6o.ssiguientes
asos: 10.MECMlaúúlmll
ttueiipplnallooolrssods
deoedmil6eou:zsn6pme,rsú1imd2lt,eiep1r4lo8os,ys2m6
4oú,:ml3t1iu02pn,,loe32ss64,d,q4eu326e4,.s.4ye.86p,i5ed4se:,n162e0n.l.ossiguientes
asos: EMMMlúúúmlllttteiiipppnllloooorsssd
ddeoeeml18ou2:sn:8me,1s2ú1,d6lt2,eip428l,4o3,ys631
,2o24,m8:4,u02n6,40e4,s,847,d825,e,6788,246.y,.4.19,267,2e1,s:08820,4.1.20. 11.a)23 · 32 b)25 · 3 · 5
12.a)m.
e).d.f)b)m.
g)).d.h)d)5 · 13 35 3 · 29 26 · 52 2 · 52 22 · 3 · 5 (72, 90) = 18 (100, 120) = 20
13.a)m.
)m.
.d..m.b)m.
d)m.
.m..d.(45, 60, 75) = 15 (80, 180, 200) = 20 (30, 40) = 120 (660, 120) = 20
14.
)m.
.m.d)m.
.m.(25, 50, 75) = 150 (100, 125, 150) = 1500 15.a)b)
)d)
−9 −7 −6 −1 0 5 6 8 11 5 −2 −1 0
11 15 16.17.a)
e)f)
g)
h)
−7 −4 0 8 −4 1 −3 −5 −5 −11 18 13 11 5 3 0 −2 −9 −10 −16 −3 0 3 b)
−12 0 12
)
−9 0 9 d)
−8 0 8 50

51. 18.a)0 b)
−16 e)0 f)1 g)
−1 h)13 i)2 j)0 k)
−27 l)16 m)
e)−2
f)
)
d)−5 8 21 )0 d)
−5 n)48 ñ)9 o)
−11 p)30 q)0 r)16 s)31 t)12 u)
−11 v)
−31 19.a)
−54 b)7
−2 g)0 h)
−4 20.a)Si b)Si
2212..aa))3 b)12
b)))8Noy15 dd))3N5o ee))1S5i ff))2N1o 5
12
3
24.a)5
1
6 4
)10
7
d)2
7
e)− 3
8 f)7
25.9
7
12 − 8
g)8
21
h)− 14
45
i)2 j)3
4 23.9
26.a)8
4
5
7
2
5
3
8
12
3
7
13
5
4
10
20
3
4 31
b)5
6
7
9
13
18
g)
7
m)h)n)ñ)i)
j)o)e)k)
p)l)
q)
f)
−1 1 −2 −2 4 −4 1/4 −8 −1/8 9 1/3 1/9 1 9 − 2
3
− 2
5
1
5
1
2
20
b)− 1
8
)19
80
d)1
10
e)− 15
2 f)4
3
g)29
6
h)1
5
i)3
5
j)1
11 k)1
g)4
h)i)
)d)e)f)1/27 25 1/5 1/25 1 25 l)23
11
m)17
42
n)250
27.a)b))d)
217 1 2
1/2 −3 r)
−1/3 s)1/9 t)1 u)
−9 v)
−1/3 w)
−1/9 28.a)
−1 b)27
−1/5 j)1/25 k)1 l)
−25 m)
−1/5 n)
−1/25 ñ)
−1 o)125 p)1/125 q)1 r)1 s)
29.a)b)t)
)u)
d)e)v)f)
w)
−1 −1 −1 1 −1 1 1
1 1 1 −1 g)1 h)1/2 i)2 j)1/4 k)4 l)1/8 m)8 n)1 ñ)
−4/3 o)
−3/4 p)16/9 q)9/16 r)
−64/27 s)
−27/64 t)1 u)625 v)
−9/4 w)
−4/9 30.a)3−1 b)2−2
)2−1 d)5−1 e)7−1 f)3−2 g)2−4 h)2−3 i)5−2 j)7−2 k)3−3 l)2−5 m)5−3 n)3−4 ñ)7−3 o)5−4 p)3−5 q)6−2 r)10−1 s)10−2 t)10−3 u)10−4 v)10−5 w)10−51 6

52. 31.a)37 b)3−1 =
h)33 i)
m)1
3
7
)3 d)3−7 =
1
37 e)3−3 =
1
33
f)35 g)3−7 =
1
37
g)2
3
m)h)n)ñ)i)j)o)k)p)l)q)1 f)33.a)r) s)t)x10 x7 · y2 b)a3 a11 a7 · b2 a2 a a−17 a4 a6b−4c x5y−5 a−2 x−1y−6 a · b−1 32 211 34
7 j)
2
3
−1
=
3
2
k)2
3
l)
2
3
−7
=
3
2
2
3
−3
=
3
2
3 n)
2
3
5 ñ)
2
3
−7
=
3
2
7 o)2
3 32.a)2−6 =
g)1
26
h)i)
)d)e)f)5−7 2−5 3−3 3−14 2−2 2−6 b)3
)1 d)56 e)x−5 =
1
x5
−5−3 j)58 k)7−11 l)x−17 34.a)
g)
m)h)
n)b)i)
ñ))
o)
j)d)k)e)f)
l)−7 9
−21 19 20 −3 −2 −17 −17 23 14 25 4/81 100/81 85/9 A.212...aad)))SPRNeoaor
ilpióuoednr
iai
ólio:doif
rnao
e
sióndeltemabe))2NNooppeerriióóddii
oob)Ra
p)q)
−16/ional:perifó
25 )d)iP
doeer
2 −61 o 3.
ea)))IIrrrraa
iiómdai
loperiódi
)iioonnaall::rdaeí
zimnoalenxoa
etxaa
toniperiódi
o d)b)d)Ra
ional:de
imalexa
to 4.a)
1, 41421365 1, 41422365 1, 001000100001 0, 100100001 . . .
1, 121231234 1, 121231235 3, 1415925535 . . . 3, 1415926535 . . . −1, 41421365 −1, 41422365 b)
−1, 001000100001 . . . −0, 100100001 . . .
)
−1, 121231234 −1, 121231235 d)
−3, 1415925535 . . . −3, 1415926535 . . . 5.Hayinnitosnúmeros
omprendidosentre0, 005712751 y0, 005712752Porejemplo: .
6.aPEE)osn
rtrreiebjedemotspulno
ú:inm
0, 0057127512; 0, 0057127513; 0, 00571275123; 0, 00571275155; 0, 00571275146 eorodsiferare
niotnesalaeséhstaoys.innitosnúmerosreales. 32
270
Es
ribetutresdiferentesaéstos. 33
35
23
,
,
270
270
52
60 b)5
17
,
6
17
,
7
17
)41
54
,
42
54
,
43
54
d)21
60
,
22
60
,

53. 7.PmLaoierneextNjrpeaúmrsempsqielóuornoe:sldareae
xiimopnraealslideósen:udne
nimúmaledroeuran
inoúnmalersoieimrpar
eioensalutniednee
iinmanliteaxsa
itforaosndoe
pimeraióldpie
raisó.di
o, 3
4
8.No,puestoque Númerosira
ionales: (de
imalexa
to);(de
(de
imalperiódi
o) 2
z{
= 0, 75 6 p2 = 1, 4142135623 . . . imalnoexa
toniperiódi
o) p2 9. a)No, esunnúmeroira
ionalylasfra
ionessonnúmerosra
ionales.
10.Ddos)nNirúroma,
b)No, )Si,losnúemseraro
euirononsnaúqlmutieeernsouemriana
esunnúmeroenteroynoesnatural. sioinraral
yionnoaleess.ePntoerroe.jemplo:,= 0,
3
−2 nino
niteaarlsot
iseiefnrelalassmudeae
xnipmorpaesuleieóssntsoidnse.
pPiemorir.ao.led.ejoex.ma
ptlao:o5pyeri-ó5d;i
3/2 p3a,mientrasqueunnúmero y2
− 2
5
11.a) Dosnúmerosquemultipli
Ra
adosdan1selamaninversos.Porejemplo;2yy5 1
7
4 12. Ra
ionales:2
p3 15 3
1, 5; − ; 4
7
ionales:41
z{
7 ; 3, 2 Ira
ionales:p12; p3 15 b)Si,p49 = 7
; p49 = 7; 53,
13.a)Falso,Ira
ionales:esrealperonoesra
13
z{
8 p7; 2, 010010001 . . . ; 2 + p2 p3 )53,
ional. b)Verdadero,puesN Z)Verdadero,pues . Z Q14.a)Cierto,pues . d)Falso,2esrealperonoesira
z{
41
7 p49 p12 3, 2
13
)Cierto,puesz{
; 0,
3 ; 1, 666 . . . b)Cierto,pues; p25 = 5; 32,
ional. d)Falso,porlapropiaexpresiónde
5
R = Q [ I =) Q R R = Q [ I =) I R
Z Q R imalde1lo5s.númerosra
ionaleseira
ionales.
−3/4 7, 23 p5 1, 1
z{
2 −3 7/5 −9/3 p4 1 + p2 p−4 p3 −1 31 1, 020304 . . .
N × ×
Z × × × × ×
Q × × × × × × × × ×
I × × × ×
R × × × × × × × × × × × × × 16.
−2,17 −7/5 2/3 53
5√32
√27
−3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6

54. 17.a)18. a)b))d)[2, 3] (−3,−1)
(−2,+1) (−1, 3] x −5; (−1,−5) e
−1 −5 0 +1 b)3 x; [3,+1) u
−1 0 3 +1
)
−5 x 1; (−5, 1)) e e
−1 −5 0 1 +1 d)
−2 x 0; [−2, 0] u u
−1 −2 0 +1 19. a)[−3, 2] u u
−3 0 2 b)(5,+1) e
0 5 +1
)[−2,+1) u
−2 0 +1 d)[−2, 3/2] u e
−2 0 3/2 e)(4, 4′1) e e
4 4, 1 5 f)[−3,+1) u
20.a)
21.a)d)
b)e)b)f)
)−3 0 +1 −2 x 7 x 13
x 0 −3 x 0 3/2 x 6 −1 x +1 21/3 31/4
)2−1/2 d)2−2/3 e)35/4 f)24/3 g)23/4 h)78/5 i)57/4 j)34/3 22.a)1
e)2 f)− 27
o)p)q)ñ)
3
s
−2 2 16 b)1
16
)1 d)1
4
8
g)2 h)1
2
i)3 j)1
3 k)4 l)1
4
m)
n)−4 − 1
4
1
2
r)2 s)
23.a)24.a)b)b)
)d)e)f)−2 35/6 25/3
a3/2 25/6 a2/3 a5/6 12 −12
)Noesunnoreal. d)3/7 e)
−3 f)Noesunnoreal. g)
−3 h)0, 2 i)0, 5 j)0, 8 25.a)p5 b)p5 24
)p5 a4 d)p3 ab2 e)32 f)54 p3 2

55. 26.a)5a5b3p3 5a2b b)2x2 5 p
22xy3
)a2b3p4 15a2b3 d)2 · 32xy2z4 7 p
2 · 3xy2z5 e)22 · 32 · 53p3 · 5 f)23 · 54 · 79p5 2 · 53 · 74 g)x6y4z3pxz h)x5y6z6 3 p
z2y2 i)2y
p3 x2 27.a)81 b)22p6 2
e)2 i))d)p
3
f)m)j)g)k)h)3pl)0 511 p6 35 2p0 217 2p4 a13 x2y2 1xy11 3p6 229 a 2p4 a17b21 3 4p8 311 34p4 33 2 2p0 2 a
4x2y3 j)a2b2
4 p
c2
s
5
a3b2
c2
k)2x5y7
z2
s
x
z
l)x3y7
z2
p)t)s)a8
b9 2
2 2p4 27 · 32 a
s
a7
12
b
b3
28.a)
u)a2p8 a2b7 n)a p6 a ñ)12
s
b5
a2
o)a
b
s
24
s
f)23
12
3
32
g)h)
e)pp−83 42 p3 13 p3 2 q) 1
1p5 x4
r)24
s
x3
y2
b
s
18
a15
b5
−
d))b − a = 8 p = 16 + 4a b =
p2 b)6 p3 5
)3p5 d)
−6 p3 2 i)3p5 j)33bp2b A.31..a)Solu
ionesdeltema3 b = 2a p = 8a b)a
+ 2b 2.a)a · b (a:altura,b:base) b)2a + 2b (a:altura,b) :base) d = p2 · l (d:diagonal,l:ladodel
=
b
3.a) (:hab.dobles,:hab.sen
io,:tiempo) tx = 2y xy7
3
p =
20
3
b
3
5
a p =
16
5
a e)a = b + 7 p = 4b + 14 f)a · b = 26 p =
52
b
uad.) d) · r2 (re) :radiodel
(:aristadel
ubo) f)ir
ulo) l3 lv =
e) e
(:base,:altura) t
bhx − y
(v:velo
idad,e:espa
ilas) b)x3 (x:unno,x − 1:noanterior,x + 1) :noposterior) d = 5x d)A =
b · h
2
2
(x ey losdosnúmeros) f)2xy (x ey losdosnúmeros)
55

56. 4. Monomio Coe
iente Parteliteral Grado
2a2b 2 a2b 3
3
5
5.a) v4 4 4x3 b)
3
xy2z
g)
h)5
i))
d)e)
f)−x2y 12x3y4 −10x3y 8x3y6 4
−3a2 2xy xy2z 4
1
1
ab3 76..a)FPaolslionomio 2
b)Falso 2
dC
de2ogrado e)oleVe
tréiedrnmatdeienroo j)d)Falso e)Falso k)f)Falso l)a2 1 dTeéprmenidnioentien- 4ab Grado
2ab ab3 4
6
−5x6 −5 x6 2
2
−
v4 7
−
7
−
2
15
x2
-3 3
4 4
−3x4 + 2x3 − 3x2 + 4 2
5
x3 + 4x − 8 0 -8 3
1
2
x2 − 3x 1/2 0 2
−5x6 − x4 − x2 + 1 8.a) -1 1 6 p(−1) = 7 b)p(
)p(p3) = 0 d)p(−2) = −15 9.a)4x4 − 6x3 − 2x2 + 2x − 7 b)6x2 − 4x + 9
)12x4 − 8x3 + 12x − 27 d)4x4 − 12x2 + 9 e)
g)Co
iente:2
f)3
−8x4 + 12x3 + 20x2 − 12x + 26 36x4 − 48x3 + 124x2 − 72x + 81 x2 −
10.a)Co
) =
b)Co
)Co
iente:iente:
iente:;Resto:
;Resto:5
2 x5 − 2x4 + 3x2 + 7x − 512 3x2 − 9x + 29−81x − 2
8
27
3
2
x +
5
2
; Resto:− 11
2
x +
17
2
h)3x4 −
9
2
x3 +
7
2
x2 −
3
2
x +
13
8 11.a)Co
iente:x3 − 4x2 + 12x − 15; Resto:16 b)Co
iente:2x2 + 4x + 6)Co
iente: ;Resto:20
e)Co
iente: 3
1
3
9
187
−x5 −
x4 +
x3 +
x;Resto:-285d)Co
2 +
x +
2
4
8
16
32
iente:;Resto:4 −3x3 + 9x2 − 32x + 965x4 + 3x3 − 4x2 − 4x + 42x2 + x −
;Resto:465
32 d)Co
iente:3
2
x2 +
1
4
x −
3
8
;Resto:5
8
x −
11
2
;Resto:− 31
4 12.a)Co
iente:2x2 − x − 2;Resto:8x − 4 b)Co
iente:64x4 − 192x3 + 576x2 − 1728x + 518456 ;Resto:-15.681

57. )Co
iente:x2 + x;Resto:
−x d)Co
iente:2x3 +
+ x + 1 f)25 − 4x2 g)x2 −
2
7
2 14.a)b)h)i)x3
−
9
4a4 − b2 9x2y4 − y6 9 4p− 5 10 p− 221
x +
20
27
;Resto:101
81 13.a)16x2 − 24x + 9 b)9x4 + 30x3 + 25x2
)9x2 + 12x + 4 d)16
9 − 8x + 9x2 e)x2
)29 + 6p6 d)
−1 e)
−7 f)53
15.a)g)4
x4
4
b)h)2p15 4 − 23 23 p− 415 3a
4x2(3x2 − x + 5) )2xy2(4x2 − 1 + 3x3y) d)(x + 7)(x2 − x − 1) e)2(a + 3)(−7 − 3a) f)x
16.a)(x − 2)2 b)(x + 5)2
17.a)b)(1 + 3a + 9a2)
b
f)2 (2x − 1)2 (3x + 2)(3x − 2) (2 + x)(2 − x)
2
18.a)b)f) (x + 3)(x − 3) x(x − 3)2 x2(x + 9)(x − 9)
1 +
x
2 −
x2
4
)(x − 6)2 d)
d)1
x −
2
e)f))3x(x + 3)(x − 3)
x(x + 1)(x − 1) 3(x + 5)2 2 e)
x +
1
3
)(x + p2)(x −
d)e)p2)
(x + p5)(x p−
5) x +
g)h)
j)k)5
5
x m)4
−
4
19.a)o)l)i)
1
1
x +
x 4
−
4
p)n)ñ)2 5x2(2x2 + 3)2 q)3x(2x2 + 1)(2x2 − 1 (3x + 4)2 x2(x + 2)(x − 2) 2x(5x + 1)(5x − 1) x(x − 4)(x + 4) x(x + 3)2 2x(x − 2)(x + 2) mn(2n − 1)(2n + 1) 2xz(x + y)(x − y) ab(3a − 5x)2 3
1
f)x +
3
b))d) e)1
x − 1
2
x 1 2
2
x
2x − 3
− x − 2
x + 2
g) x
x + 1
h) x + 3
x3 − 3x2
i)4x2 − 1
2x2 20.a)1
6x
b)2 − x
2x2
) − 1
x2 − x
d) 4
x2 − 4 e)x + 4
6x2
f)3x3 − 3x2 + x − 10
12x3
g) x + 1
(x − 1)2
h)(x − 3)(x + 2)
4(x − 2) i) 6x − 2
x(x − 1)
j)x2 − 4x + 14
5(x − 2)2
k)1
x
l)x2 + 4
x2 − 1 m)x2 + 14x + 49
x2 − 49
n) x2 + 4
x(x + 2)(x − 2)2
ñ)3 − x o)x2 + 1
x + 1 57

58. p)2x − 2
A.421...ad))aS)IIddoPeennalttruiiadd
u)x2
6x2 + 9x − 23
q)− 2x2 − 34x + 8
x − 4
r)4x + 12
x2 − 3x
s) 3x + 21
(x − 7)(x + 2) t)x4 − 64
x2
b)Para )Para ynoseveri
a;solu
ióndelae
ua
ión. x = 2x = −1 x = 1 aaiddo..nesdeltem4axeb))+4EId1
noseveri
a;para2eunat
idióand.. siseveri
f
))IIddeennttiiddaadd.. x = −2 x = 2 alae
ua
ión. x = 1 noseveri
d)Para noseveri
a;parasiseveri
a;solu
ióndelae
ua
ión. x = 0 x = 0x = 0 e)Para noseveri
a;parasiseveri
a;solu
ióndelae
ua
ión. x = 3 x = 3x = −2 f)Para noseveri
a;parasiseveri
a;solu
ióndelae
ua
ión. x = p2 x = p2x = 4 a;solu
ióndelae
ua
iónx = 534..aa))Siessolu
ión. b)a;parab)Siessolu
siseveri
ión.
)Noessolu
ión.. x = 5 x = −1 x = 1
)x = 3 d)x = 8 e)x = 1 f)x = 28/67 g)t = −5/3 h)x = 9 i)x = 4 j)x = 10 k)x = 29/34 l)x = −1/2 m)x = −12/7 n)x = 17 5.a)x = 0 b)x = 0 y x = −3/4
)x = ±4 d)x = 0 y x = 5/3 e)x = 0 y x = −2 f)x = 0 x = 7/2 g)x = ±3 h)x = ±
p
1/3 m) j)Notiene. k)Notiene. l)Notiene. x = 0 y x = 4 n)x = ±4p3 ñ)x = ±5/3 6.No,puestoqueax2 + bx = 0 ) x(ax + b) = 0 )
p
6/5 i)x = ±
obienx = 0 oax + b = 0e
ua
ionesin
ompletasde2ogradosiempretienenunasolu
ióniguala0ylaotr.aPortanto,estas x = −b/a7.a) . x = 2 yx = −1/3 b)x = 4 y x = −4
)x = 1/4 yx = −3/2 d)x = 1 y x = −1 e)x = 1 f)x = ±2p2 g)x = ±9 h)x = 2 8.a)x1 = 0; x2 = 1; x3 = −2b)x1 = 0; x2 = 2
)x1 = 1; x2 = −1; x3 = −3; x4 = −2 d)x1 = 0; x2 = 9; x3 = −9e)x1 = 0; x2 = 1/2; x3 = −1/4f)x1 = 0; x2 = 2 g)x1 = −1; x2 = 2 h)x1 = 1/3; x2 = 1; x3 = −5/2i)x1 = 0; x2 = 6; x3 = −6 9.a)x1 = 2; x2 = −2; x3 = 2/3; x4 = −2/3 b)x1 = 5; x2 = −5; x3 = 3; x4 = −3
)x1 = p3; x2 = −
p3 d)x1 = 1; x2 = −1; x3 = 1/2; x4 = −1/2 e)x1 = 2; x2 = −2 f)x1 = 1/2; x2 = −1/2; x3 = 1/3; x4 = −1/3 g)x1 = 2; x2 = −2; x3 = 0 h)x1 = 2; x2 = −2 i)x = 6 j)x = 4 k)x = −3 l)x1 = 8; x2 = 1/2 m)x = 1 n)x = 2 ñ)x = 1 28.a) o)Notienesolu
iones. x 1 b)x 2
)x 5 d)11/5 x e)x 1/8 f)(1,+1) g)(−1, 59/7] h)[−82/11,+1) i)(−7/3,+1) j)x 0 k)(−1, 1) l)58 (−1, 0)

59. A.512...aa))SSInio
eolsmuspo
lauito
ibinólenesdelb)teSmiesabso)5luC
oiómnpatible
4.a)3.a)b)b))Noessolu
ión
)Compda)tibSlieessolu
ión 5.a)b)x = 1; y = −2 x = 137/43; y = 164/43 e6m.ean)ts x = 2/5; y = −1/3 x = 2; y = 5/3 x = 5; y = 7 x = 3; y = 5/2 PSfragrepla
1
7.a)8.a)i)e)1
)f)j)b)b)k)g))(l)h)d)3,−1) d)i)e)g)x = 4/7; y = −31/7x = 1; y = 2
h)f)x = 23/7; y = −3/7x = 8/3; y = −1/3 x = 1/3; y = 1/2 x = 6; y = 10 x = x = 16; y = 10 x = x = 8; y = 5 1119012....EEHHllaaybdniúit2vma4is
x = 8; eoigroraonlvleeiasnsleas3se54ny.6
−y = 5 x = 8; y = 2 x = 365; y = 145 x = 1; y = 2 x1 = 1 y1 = 8; x2 = 56/5 y2 = 5/7 x1 = 2 y1 = 1; x2 = −7/3 y2 = −12
x1 = 2 y1 = 1; x2 = −1 y2 = −2 x1 = 3 y1 = 2; x2 = 3 y2 = −2; x3 = −3 y3 = 2; x4 = −3 y4 = −2 x1 = −3 y1 = 4; x2 = 4 y2 = −3 x1 = −6 y1 = −8; x2 = 8 y2 = −6 x1 = 4 y1 = 4; x2 = 4 y2 = −4 x1 = 5 y1 = 3; x2 = −5 y2 = −3 x1 = 6 y1 = 2; x2 = 6 y2 = −2; x3 = −6 y3 = −2; x4 = −6 y4 = 2 (2, 1) PSfragrepla
emebn)ts 1
1
.i3l7as
:o1n3ejyosh.abita
ionesdobles:37 11218907....1LBM0aaa0ssdelpr:iete2r:ro4s4so0
11116534....HLLEaalassynúee2ddm4aaedd
reeeorssdessosoosnn1,3121680,.,5to3yr0o7ysay5ñ01o2as.ñ
namaa0sñ;,oat5sil5et;unhreianjo:71m06ay
oasb.alos. ymo2r5.:a1ñ5oes.hijomenor:5. e/ly200litrosa0,4e/l.
59

60. 60

61. AGpeéonmdie
terBía PSfragrepla
ements RECTASYÁNGULOSENELPLANO TiPpuonstodeánRgeu
tlaos SemireP
tSafragSreegpmlae
netmoents Re
tasse
antes Re
tasparalelas PSfragrepla
ements
ÁtánngaulilnoLelaaldlnaoons,o(:susladosCeos-nvexo Cón
avo Re
to Agudo Obtuso 180◦dÁi
nugluarleos,re(
ionesang).ulares uÁÁren
to:lado)s.perpen- 90◦PSfragreplaCC
OeoóAmnRnLbgv
tleeRuaaeu
nndxvtsteoooooosla
nnotggoluu.lallnooo
a.ognuvdeox:om:emneonroqruqeueel euÁÁlnnnroegg
luultallonoooy
)om.óbnet
nuaosvrooq::ummeaaeylyoolrlranqqouu.ee
PSfragreplaCC
eoóAmnRnLgv
leeuaae
nndxvttooooos omplementarios:suman ; Obtuso Ángulos
onse
utivos Ángulosadya
Ángulos
omplementarios:suman;Ángulossuplementarios:suman;b b + Bb = B= AAb
+ 90◦A b + B b ◦b b ◦
= 90◦ 180A + B = 18061
entes Opuestosporelvérti
e

62. PSfragreplaCC
eoóAmnRnLgv
leeuaae
nndxvttooooos omplementarios:suman ; Obtuso Ángulossuplementarios:suman b OpÁuÁnegnsutgoluoslsops
ooarndesyela
v
uéetrnitvti
oeess
PSfragreplaCC
eoóAmnRnLgv
leeuaae
nndxvttooooos Ángulos
omplementarios:suman ; Obtuso Ángulossuplementarios:sumOanpÁuÁnegnsutgolu;oslsops
ooarndesyela
v
uéetrnitvtio
eess
Mediatrizybise
triz
r t
LMruoelesmadrpoiuasalntdtrmeoilzsissmddegeeomuleaennnmstseoueg:dmpiauetnnrtitzooemeqseudliadioir.set
P
A B
P
R
S s
atnadpeerlpoesnedxi-- PA = PB. vLBdieodilsseeápn
autlgnruátilnzoogs:dudeloeulenanábdniosgesu
látorniegzsueulqonsuaiidgsiuesmtaalienrsr.de
etaloqsulaeddois- PR = PS.
62

63. LospoSlíegolnaomsasepo
llaígsion
aonaselagúrnegeiólnnú
emreardoaPddeeOllpaLldaonÍosGelinmO:itNadaOpoSrvariossegmentos.
PSfragrepla
ementsTriángulo:3lados Cuadrilátero:4lados Pentágono:5lados Hexágono:6lados Heptágono:7lados
SeO
l
atsóigPo
Snafonr:asg8eglraúedpnolassu
esmáenngtusElonseeáng:ono:9lados De
ágono:10ladosEnde
ágono:1ladosDode
ágono:12lados TodossusánPgoullíogsonsoon
omnevneoxroesque180 Polígono
ón
avo ◦ Almenosunodesusángulosesmayorque180◦ PoSLlíoognsoelolnesmopesonlítrgoeosngdouesluqanurePpetoSsilfeírngaoegnnorteorpedlgaou
selasmuresslnaotádnsnolgouslsoigsuyienlatedso:siguales. Lado:
adaunodelosseágnmguenloto
vseérnqratutdrie
aioelformanel
aádepninagogtutroeloonmaialnterior vRVapoo
aésluí.rdgatioiloqn
:euos:.ieeprgaumndetenotlodoseqvuuéneritóvina
edds.eeld
A
upaloqtueimeral:adsoegamle
netnotrqoudeevlapdoleílgopnuon.toSimemedpiroedees
oesntlarododsel
íugaolqnuoieryponlíúgomnoesDsree
opnosleíg
ountio- pÁÁooennnnrpssggeeeuu
oiauogtbdiotvienoensa.del:imsaeugglmtoiepnnlita
nlluudoottiii
vviuneooltssnae..rtrraiaoldr::i
ááhnnoggulualoldoofof.orrmmaaddooppoorrddoossraladdiooss SumLaadsuemlaodseálonsgánugluolossdineteruionrespdoel
oalnqedusoeunedosvérti
esno
on- 180◦ ladosmenosdos,esde
ir,sielpolígonotiene porelnúmerode n lados,lasumadelosángulosinterioresvienedadapor:
180◦(n − 2)Lasumade.losángulos
entralesde
ualquierpolígonoregularesde360◦ángulo
entraldividiendo .Portanto,podemos
al
ularel 360◦ Elnúmerodediagonalesde
uaelnqturieerelponlúígmoenrooedselados. n(n − 3)
2
63 .

64. Clasi
a
iónsegúnsusTladRoIsÁNGULOCSlasi
a
iónsegúnsusángulos PSfragrepla
ements(3lEaqduosiláigteuraoles) (2laIdsóoss
iegluesales)(3PlaSEdfsro
asagdlerenesopiglau
aelems)ents(3Aá
nugtuálnogsualgoudo)(1Ráe
ntgáunlgourleo
to) (1obátnugsuálnogsuolobtuso) Sumadelosángulos TeoremadePitágoras
PSfragrepla
ements
PSfragrepla
ements
C
a2 = b2 + c2 b A + b B + b C = 180◦ PSfragrepla
ements a
A B
c
b
puEPMunluenonbdttadooiroaim
dbneeleaend
:tqioroeuorsteddeeeeilldvlieloedaltledraososae.got
B
G A
C
c
b
a
ma
mc
mb
PSfragrepla
ements
rmpaeudseeanmsttmooe.deqdiauianenavas:aebndaedroiu
snesnevtgérmrotei.
netoas,l
dPAeulstnduteoruadn:eev
B
ha
c
séorrettlie
esdeeaglmlalaesndttoroeosqpauuleetsutvroaa,so:paOersrputeopn
a
O hc
rdeoinl
outnlragora.m
hb
A
C
b
ieónnt.e,
PSfragrepla
ements
A
B
C
c
b
a
qEPMruluieet
naditpr.oi
aausdtnaer
O ip
ezoonrrtdtreeeolduepesnuelnsaltes
ogetmnmretersenodmtiodoee.delsiaatl
ariir
r
eeus
n:tfaCeriperne
PSfragrepla
ements
r
upianen
deirin
uturnlaosr-.
EPBánluigsniunetl
I A
ooetdnreteinzro
odoteerrstouesenlddeá
oenslngatiusgrloutoradeelseessbul.ainsae
irst
erumi
neifrsee:r
eItnna
qieauneitndrsoi
v.riditeau.n
64
B
C
c
b
a

65. Paralelogramos:losladosopuestosCsoUnpAaraDleloRs.ILÁTEROS Propiedades:
Susángulosopuestossoniguales. Susladosopuestossoniguales.
Susángulos
• • •ontiguossonsuplementarios.
•Lasdosdiagonalesse
ortanensuspuntosmedios.
PSfragrepla
ements(ángRuel
otsBánargesu
eltoos)Altura (ladoRsoimgubaoles) (y22ánlagduolRososdmdebseiosgiiugduealaelse)s Trape
ios:esun
u(a(yd4r4iálánlatCgdeuuroolasod
sirogainugduaodlaoelsse)sladosparalelosyotrosdosnoparalelos. PSfragrepla
ements Trape
ioes
aleno Trape
ioisós
eles Trape
iore
tángulo (distintosloslaBdaossenoparalelos) (igualeslosladosnoparalelos) (dosángulosre
tos) Altura Base
Trapezoides:esun
uadriláteroquenotieneningúnpardeladosparalelos.
PSfragrepla
ements Trapezoides
65

66. CirP
SCCufraiínrrg
fruueelnprofle:ea
rEneesm
sió
laCnírldíIn
eeRupalla
ConuorvUean
nli
eaaniapt:soyre
NeerrrraFaddaaEyeRnpleaElnianNt
euriyCoorsIdpeAuunntoaYs
eiqr
uCuidnifÍsetRraennC
diae.UotrLolOlamado
entro.
pCRueanndttoiorso:d:eeselesales
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muuennntfeotroeC
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eipianarteraolat
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ulo
iqdqCCsaeuuoaumsiideeeaarriraa
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draiCoáe
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d
rueiaeándrmtdiroeaotro Posi
Dquiioiáemnrpeeustnrotro:esdleeagtmlaiev
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iiudalna,eepa
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eoieraseln
e
euninaatldereoosns-.
PoPsiS
friaognreeplsa
remeelnattsivaEsxdteeriodreoss
ir
unfeTraengne
ntieass Se
antes PSfragrepla
ementsExteriores Tangentes Tangentesinteriores Se
antes Interiores Con
éntri
as PSfragreÁplan
gemuelnotssenla
ir
unferen
ia Ángulo
entral Ánguloins
fieqnerunsee
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eiailtaloa.:r:tM
itoeiinedqneeueeelleavalébmvraétirirt
taaeid
eenqeuenle
ueenlntparruo
n.otMoqidudeee Re
intosenel
ír
ulo raETerol
arituonsaquseemabi
airr
quunefnereelnm
iiasmeos A A
rito PSfragrepla
ementsSe
O
B C
tor
ir
ularSegmento
B
laÁÁloabnnam
ggri
riuus
amllu.oono
doátoonss.golunolsoigáunqguauelelosas.bianrs
ir
ular Zona
ir
ular Corona
ir
ular Trape
io
ir
ular 66

67. ÁREASCUYADPREADROÍMETROSDEFIGURARSECPTÁLNAGUNLOAS
PSfragrepla
ements l
Área=base× altura
S = a · b
P = 2a + 2b PSfragrepla
ements ROMBO ROMBOIDE l
l
TRAPECIO TRIÁNGULO
Área=basealtura
PSfragrepla
ements × S = b · h
P = 2a + 2b Área=lado× lado
S = l2
P = 4l
PSfragrepla
ements
a
b
d
tÁbraresee2a=mpoabryaolsareadmlitvueirndaoidromenas-
b
D
POLÍGONOREGULAR CÍRCULOdoslosladossumadeto-
Perímetrob PSfragrepla
ements · h
2 = L
Área=diagonalmenor× edniatgreon2almayordividido
doslosladPosSsfuramgaredpelato
PerímetroD · d
S =
2
P = 4l
2 = PSfragrepla
ements
h
b
a
h
B
(B + b) · h
S =
ir
unfe- SECTORCIRCULAR
l = 2r -ements h
b
Área=base× vididoentre2alturadi-
S =
A
aÁproeate=maPdeivriídmidetoroentrpeo2r
S Longituddelar
=
o· =
2r
360
Perímetro× a
2 dPoesrímlosetlraod=PosSsfurmagardepelato
-ements r
S = r2 rLeonn
giait:uddela
PSfragrepla
ements
r
S =
r2
360
·
67