Este documento presenta la resolución de 12 problemas que involucran inecuaciones con denominadores y de grado superior a dos. Cada problema se resuelve factorizando la expresión, determinando los valores que hacen cero el numerador y denominador, y analizando el signo de la función en los intervalos obtenidos para identificar la región de solución.

1. Inecuaciones y sistemas de inecuaciones. Aplicaciones
© Marta Martín Sierra www.aulamatematica.com
RESOLUCIÓN DE INECUACIONES CON DENOMINADORES Y DE GRADO SUPERIOR A DOS
017 4x3
– 4x2
– 16x + 16 < 0
RESOLUCIÓN
Factorizamos por el método de Ruffini:
4 – 4 – 16 16
– 2 –8 24 –16
4 – 12 8 0
1 4 – 8
4 – 8 0
2 8
4 0
4 (x + 2) · (x – 1) · (x – 2) < 0
Comprobamos los valores que nos hacen cero cada uno de los factores:
x = – 2, x = 1, x = 2
Estudiamos el signo de la función en cada uno de estos 4 intervalos que determinan estos tres
valores:
-2 ℜ1 2
-2 ℜ1 2
-·-·-
-
+·-·-
+
+·+·-
-
+·+·+
+
La inecuación se verifica para ≤ 0 en…
– 2 ℜ1 2
(–∞, – 2) ∪ (1, 2]
03.
3
2
+
+
x
x
> 2
RESOLUCIÓN
3
2
+
+
x
x
– 2 > 0
mcm x + 3
3
322
+
+−+
x
)x(x
> 0
3
622
+
−−+
x
xx
> 0
3
4
+
−−
x
x
> 0
Hacen cero el numerador: – x – 4 = 0
– x = 4
x = – 4
Hacen cero el numerador y el denominador
x = – 3
Estudiamos el signo de la función en cada uno de estos 3 intervalos que
determinan estos dos valores
- 4 ℜ- 3
3
4
+
−−
x
x
> 0

2. Resolución de inecuaciones con denominadores y de grado 3 o superior
Teoría y problemas resueltos.
- 4 ℜ- 3
+/- -/+-/-
- + -
La inecuación se verifica para > 0 en…
– 4 ℜ– 3
(– 4, – 3)
{∀x∈ℜ/ – 4 < x < – 3}
04.
1
3
−x
x
< – 1
RESOLUCIÓN
1
3
−x
x
+ 1 < 0
mcm x – 1
1
13
−
−+
x
)x(x
< 0
1
13
−
−+
x
xx
< 0
1
14
−
−
x
x
< 0
Comprobamos los valores que hacen cero el numerador y el denominador:
Numerador: 4x – 1 = 0
x = 1/4
Denominador: x – 1 = 0
x = 1
Estudiamos el signo de la función en cada uno de estos 3 intervalos que
determinan estos dos valores
0.25 ℜ1
0.25 ℜ1
-/- +/+
+/-
+ - +
La inecuación se verifica para < 0 en…
0.25 ℜ1
(1/4, 1)
{∀x∈ℜ/ 1/4 < x < 1}
05. 3
2
3
>
−
+
x
x
RESOLUCIÓN
2
3
−
+
x
x
– 3 > 0
mcm x – 2
0
2
233
>
−
−−+
x
)x(x
0
2
633
>
−
+−+
x
xx
0
2
92
>
−
+−
x
x

3. Inecuaciones y sistemas de inecuaciones. Aplicaciones
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Comprobamos los valores que hacen cero el numerador y el denominador:
Numerador: – 2x + 9 = 0 → – 2x = – 9
2x = 9 →
x = 9/2 = 4.5
Denominador: x – 2 = 0
x = 2
Estudiamos el signo de la función en cada uno de estos 3 intervalos que
determinan estos dos valores
2 ℜ4.5
2 ℜ4.5
+/- -/+
+/+
- + -
La inecuación se verifica para > 0 en…
2 ℜ4.5
( 2, 4.5 )
{∀x∈ℜ/ 2<x<4.5}
08
7
52
+
−
x
x
≤ – 1
RESOLUCIÓN
7
52
+
−
x
x
+ 1 ≤ 0
mcm x + 7
7
752
+
++−
x
xx
≤ 0
7
23
+
+
x
x
≤ 0
Comprobamos los valores que nos hacen cero el numerador y el denominador:
Numerador → 3x + 2 = 0 →
3x = – 2
x = – 2/3
x ≅ – 0.66 (orientativo)
Denominador → x + 7 = 0
x = – 7
Estudiamos el signo de la función en cada uno de estos 3 intervalos que
determinan estos dos valores
- 7 ℜ-0.66
- 7 ℜ-0.66
-/- +/+-/+
+ - +
La inecuación se verifica para ≤ 0 en…
¡¡¡ OJO !!!
el valor que hace 0 el denominador no pertenece a la solución
– 7 ℜ–2/3
{∀x∈ℜ/ – 7 < x ≤ – 2/3}
(– 7, – 2/3]

4. Resolución de inecuaciones con denominadores y de grado 3 o superior
Teoría y problemas resueltos.
09
x
x
−
+
7
25
≥ 3
RESOLUCIÓN
x
x
−
+
7
25
– 3 ≥ 0
mcm 7 – x
x
)x(x
−
−−+
7
7325
≥ 0
x
xx
−
+−+
7
32125
≥ 0
x
x
−
+
7
44
≥ 0
Comprobamos los valores que hacen cero el numerador y el denominador:
Numerador → 4x + 4 = 0
4x = – 4
x = – 1
Denominador 7 – x = 0
x = 7
Estudiamos el signo de la función en cada uno de estos 3 intervalos que
determinan estos dos valores
-1 ℜ7
-1 ℜ7
-/+ +/-
+/+
- + -
La inecuación se verifica para ≥ 0 en…
¡¡¡ OJO !!!
el valor que hace 0 el denominador no pertenece a la solución.
– 1 ℜ7
∀x∈ℜ/ – 1 ≤ x < 7
[– 1, 7)
10
2
32
−
+
x
x
≥ 1
RESOLUCIÓN
2
32
−
+
x
x
– 1 ≥ 0
mcm x – 2
2
232
−
−−+
x
)x(x
≥ 0
2
232
−
+−+
x
xx
≥ 0
2
5
−
+
x
x
≥ 0
Comprobamos los valores que nos hacen cero el numerador y el denominador:
Numerador: x + 5 = 0
x =– 5
Denominador: x – 2 = 0
x = 2

5. Inecuaciones y sistemas de inecuaciones. Aplicaciones
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Estudiamos el signo de la función en cada uno de estos 3 intervalos que
determinan estos dos valores
- 5 ℜ2
- 5 ℜ2
-/- +/+
+/-
+ - +
La inecuación se verifica para ≥ 0 en…
¡¡¡ OJO !!!
el valor que hace 0 el denominador no pertenece a la solución.
– 5 ℜ2
(– ∞, – 5] U (2, + ∞)
{∀x∈ℜ/x ≤ – 5 ∨ x > 2}
12
1
15
+
−
x
x
< 2
RESOLUCIÓN
1
15
+
−
x
x
– 2 < 0
mcm x + 1
1
1215
+
+⋅−−
x
)x(x
< 0
1
2215
+
−−−
x
xx
< 0
1
33
+
−
x
x
< 0
Comprobamos los valores que hacen cero el numerador y el denominador:
Numerador:
3x – 3 = 0
3x = 3
x = 1
Denominador:
x + 1 = 0
x = – 1
Estudiamos el signo de la función en cada uno de estos 3 intervalos que
determinan estos dos valores
- 1 ℜ1
-/- +/+
+/-
+ - +
La inecuación se verifica para < 0 en…
– 1 ℜ1
{∀x∈ℜ/ – 1 < x < 1}
(– 1, 1)