instrumentacion y control

1. Datos:
𝑞𝜌 = 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑙𝑖𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑦 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 𝑒𝑛
𝑘𝑔
𝑚3
𝑐𝑝 = 𝑐𝑎𝑝𝑎𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑐𝑎𝑙𝑜𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑎 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑐𝑡𝑒 𝑒𝑛
𝐽
𝐾𝑔°𝐶
𝐶𝑣 = 𝑐𝑎𝑝𝑎𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑐𝑎𝑙𝑜𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑎 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑐𝑡𝑒 𝑒𝑛
𝐽
𝐾𝑔°𝐶
𝑉 = 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑐𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑚3
Balance general en términos de temperatura:
𝒒 𝟏 𝝆 𝟏 𝑪𝒑 𝟏 𝑻𝒊( 𝒕) + 𝑽
𝒅𝑸
𝒅𝒕
= 𝒒 𝟐 𝝆 𝟐 𝑪𝒑 𝟐 𝑻( 𝒕) + 𝑽𝑪𝒗𝝆
𝒅𝑻(𝒕)
𝒅𝒕
Análisis dimensional:
𝒎 𝟑
𝒔
𝒌𝒈
𝒎𝒔
𝑱
𝒌𝒈°𝒄
°𝒄 +
𝑱
𝒔
=
𝒎 𝟑
𝒔
𝒌𝒈
𝒎 𝟑
𝑱
𝒌𝒈°𝒄
°𝒄 + 𝒎 𝟑
𝒌𝒈
𝒎 𝟑
𝑱
𝒌𝒈°𝒄
°𝒄
𝒔
Siendo:
𝑻́ = 𝒕𝒓𝒂𝒃𝒂𝒋𝒐
𝑽́ = 𝒗𝒐𝒍𝒕𝒂𝒈𝒆
𝑰 = 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒏𝒄𝒊𝒅𝒂𝒅
𝑹 = 𝒓𝒆𝒔𝒊𝒔𝒕𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒆𝒏 𝒐𝒉𝒎
Tenemos que:
𝑻́ = 𝑽́ 𝑰𝒕
𝑽́ = 𝑹𝑰
𝑻 = 𝑹𝑰 𝟐
𝒒 𝟏 𝝆 𝟏 𝑪𝒑 𝟏 𝑻𝒊( 𝒕) + 𝑽
𝒅𝑸(𝒕)
𝒅𝒕
= 𝒒 𝟐 𝝆 𝟐 𝑪𝒑 𝟐 𝑻( 𝒕) + 𝑽𝑪𝒗𝝆
𝒅𝑻(𝒕)
𝒅𝒕

2. Contenido del tanque en estado estacionario:
𝒒 𝟏 𝝆 𝟏 𝑪𝒑𝟏 𝑻𝒊̅̅̅− 𝒒 𝟐 𝝆 𝟐 𝑪𝒑 𝟐 𝑻̅ = 𝟎
Sustituyendo los valores:
𝒒 𝟏 𝝆 𝟏 𝑪𝒑 𝟏(𝑻𝒊( 𝒕)− 𝑻𝒊̅̅̅) + 𝑽
𝒅𝑸(𝒕)
𝒅𝒕
= 𝒒 𝟐 𝝆 𝟐 𝑪𝒑 𝟐(𝑻( 𝒕)− 𝑻̅) + 𝑽𝑪𝒗𝝆
𝒅(𝑻( 𝒕)− 𝑻̅)
𝒅𝒕
Aplicando variables de desviación:
𝑻( 𝒕) = 𝑻( 𝒕)− 𝑻̅
𝑻𝒊( 𝒕) = 𝑻𝒊( 𝒕)− 𝑻𝒊̅̅̅
Siendo:
𝑻, 𝑻𝒊 = 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒆𝒔𝒕𝒂𝒅𝒐 𝒆𝒔𝒕𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒓𝒊𝒐
𝑻( 𝒕),𝑻𝒊( 𝒕) = 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒃𝒍𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒅𝒆𝒔𝒗𝒊𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒕𝒆𝒎𝒑𝒆𝒓𝒂𝒕𝒖𝒓𝒂
Sustituyendo:
𝒒 𝟏 𝝆 𝟏 𝑪𝒑 𝟏 𝑻𝒊( 𝒕) + 𝑽
𝒅𝑸(𝒕)
𝒅𝒕
= 𝒒 𝟐 𝝆 𝟐 𝑪𝒑 𝟐 𝑻( 𝒕) + 𝑽𝑪𝒗𝝆
𝒅𝑻(𝒕)
𝒅𝒕
Tomando en cuenta que lo siguiente se mantiene constante:
𝒒, 𝑪𝒑, 𝑪𝒗, 𝑽
𝒒𝝆𝑪𝒑𝑻𝒊( 𝒕) − 𝒒𝝆𝑪𝒑𝑻( 𝒕)+ 𝑽
𝒅𝑸(𝒕)
𝒅𝒕
= 𝑽𝝆𝑪𝒗
𝒅𝑻(𝒕)
𝒅𝒕
𝒒𝝆𝑪𝒑(𝑻𝒊( 𝒕)− 𝑻( 𝒕)) + 𝑽
𝒅𝑸(𝒕)
𝒅𝒕
= 𝑽𝝆𝑪𝒗
𝒅𝑻(𝒕)
𝒅𝒕
Para simplificar:

3. 𝒌 =
𝑽
𝒒𝝆𝑪𝒑
𝒚 𝝉 =
𝑽𝝆𝑪𝒗
𝒒𝝆𝑪𝒑
𝑻𝒊( 𝒕) − 𝑻( 𝒕) + 𝒌
𝒅𝑸
𝒅𝒕
= 𝝉
𝒅𝑻( 𝒕)
𝒅𝒕
Despejando 𝑻𝒊( 𝒕):
𝑻𝒊( 𝒕) = 𝝉
𝒅𝑻( 𝒕)
𝒅𝒕
− 𝒌
𝒅𝑸
𝒅𝒕
+ 𝑻( 𝒕)
Aplicandotransformadade Laplace:
𝓛[ 𝑻𝒊(𝒕)] = 𝝉𝓛 [
𝒅𝑻(𝒕)
𝒅𝒕
]+ 𝓛[ 𝑻(𝒕)] − 𝒌𝓛[
𝒅𝑸
𝒅𝒕
]
𝑻𝒊( 𝒔) = 𝝉𝒔𝑻( 𝒔)+ 𝑻( 𝒔) − 𝑲𝒔𝑸𝒔
𝑻𝒊( 𝒔) = 𝑻( 𝒔)( 𝝉𝒔 + 𝟏) − 𝒌𝒔𝑸(𝒔)
𝑻(𝒔)
𝑻𝒊( 𝒔)
=
𝒌𝒔𝑸(𝒔)
𝝉𝒔 + 𝟏
𝑮( 𝒔) =
𝒌𝒔𝑸(𝒔)
𝝉𝒔 + 𝟏