El documento describe el proceso de derivar la curvatura τ(s) con respecto al parámetro de arco s a partir de la aceleración α(t) con respecto al parámetro de tiempo t. Primero se expresa α(t) en términos de la tangente t(s), normal n(s) y binormal b(s). Luego, se toma el producto cruz de α(t) y su derivada para obtener b(s), y se usa esto para expresar la derivada de la normal n(t) en términos de α(t), α(t)

1. Dado que n (s) = −k(s)t(s)−τ(s)b(s) tengo que τ(s) = −n (s)·b(s). Vamos a averiguar los coeficien-
tes de estos respecto de t.
Primero, tenemos que α (t)
||α (t)|| = t(s) =⇒ α (t) = ||α (t)||t(s)
Como una curva con parametro arbitrario tiene una aceleración que se puede descomponer en dos
componentes; tangencial y normal, sabemos que su aceleración, es decir, su segunda derivada, ha de
ser una combinación lineal de estas α (t) = λ1t(s)+λ2n(s) = λ1α (s)+λ2α (s). En el caso de una cur-
va parametrizada por su longitud de arco, su aceleración respecto de esta es solo normal. Entonces si
quiero obtener la dirección de α (s) a partir de α (t) y α (t), puedo usar Gram-Schmidt para ortogo-
nalizar el espacio generado por {α (t),α (t)} conservando dirección de α (t). Pero no hace falta, ya que
en esta discusión vimos que α (t) = λ1(t)α (s)+λ2(t)α (s), luego:
α (t)×α (t) = ||α (t)||α (s)× λ1(t)α (s)+λ2(t)α (s) = ||α (t)||λ2(t)α (s)×α (s), el cual tiene la misma
dirección que el binormal.
Entonces tenemos que:
b(s) =
α (t)×α (t)
||α (t)×α (t)||
Como b(s)× t(s) = n(s), tengo que
α (t)×α (t)
||α (t)×α (t)||
×
α (t)
||α (t)||
=
(α (t)×α (t))×α (t)
||α (t)×α (t)|| ||α (t)||
n (t) =
α (t)×α (t) ×α (t)
||α (t)×α (t)|| ||α (t)||
α (t)×α (t) ×α (t) = α (t)×α (t) ×α (t)+ α (t)×α (t) ×α (t)
||α (t)×α (t)|| ||α (t)|| =
α (t)×α (t) · α (t)×α (t)
||α (t)×α (t)||
||α (t)||+||α (t)×α (t)||
α (t)·α (t)
||α (t)||
α (t)×α (t) ×α (t)+ α (t)×α (t) ×α (t) ||α (t)×α (t)|| ||α (t)||
||α (t)×α (t)|| ||α (t)||
2
−
−
α (t)×α (t) ×α (t)
α (t)×α (t) · α (t)×α (t)
||α (t)×α (t)||
||α (t)||+||α (t)×α (t)||
α (t)·α (t)
||α (t)||
||α (t)×α (t)|| ||α (t)||
2
1

2. Si lo multiplico con el producto punto por −
α (t)×α (t)
||α (t)×α (t)||
queda ya que el segundo termino es orto-
gonal al vector binormal, siempre que tenga algo de la forma: c(v × w)· v va a ser igual a cero. Recor-
demos que todo lo que estoy haciendo es n (s)·b(s) = τ(s), por ahora tenemos dn
dt
·b asi que luego hara
falta multiplicar por dt
ds para llegar al resultado.
−
α (t)×α (t) ×α (t)+ α (t)×α (t) ×α (t)
||α (t)×α (t)||
2
||α (t)||
· α (t)×α (t)
Como α (t)×α (t) ×α (t) · α (t)×α (t) = 0 por la misma razón por la cual pudimos descartar el
segundo termino en el paso anterior, tenemos:
−
α (t)×α (t) ×α (t)
||α (t)×α (t)||
2
||α (t)||
· α (t)×α (t) (1)
Si escribimos mas explicitamente la tercera derivada de alfa respecto de t tenemos:
α (t)×α (t) ×α (t) = (t(s)||α (t)||×(f1t(s)+ f2n(s)+ f3b(s))×t(s)||α (t)||) = ||α (t)||2
(f2n(s)+ f3b(s))
Ahora, dado que α (t)×α (t) = λ(t)b(t), tal producto punto α (t)×α (t) ×α (t) · α (t)×α (t) =
||α (t)||2
(f2n(s)+ f3b(s))· α (t)×α (t) = ||α (t)||2
α (t)· α (t)×α (t)
Reemplazando en (1) tenemos:
−
α (t)×α (t) ·α (t)
||α (t)×α (t)||
2
||α (t)||
Multiplico por dt
ds = 1
||α (t)|| y obtengo:
−
α (t)×α (t) ·α (t)
||α (t)×α (t)||
2
2