Este documento define e introduce las integrales de línea. Define la integral de línea de campos escalares y vectoriales como la integral de la función o campo a lo largo de una curva. Explica que las integrales de línea son independientes de la parametrización de la curva y de la orientación de la curva. También presenta algunas propiedades como la linealidad y continuidad, y da ejemplos como el cálculo del trabajo realizado por un campo de fuerzas.

1. Integrales de línea
• Giovanny Daniel Constante Parra
• Iván Gabriel Mera Molina

2. Integrales de línea
Definición

3. Definición
Integral de línea de capos escalares
• Para 𝑓 ∶ 𝑅2 → 𝑅 un campo escalar, la integral sobre la curva C parametrizada
como 𝑟 𝑡 = 𝑥 𝑡 𝑖 + 𝑦 𝑡 𝑗 con 𝑡 ∈ 𝑎, 𝑏 , está definida como:
𝑏
𝑓(𝑟 𝑡 ) 𝑟 ′ (𝑡) 𝑑𝑡 =
𝑓 𝑑𝑠 =
𝐶
𝑏
𝑎
𝑓(𝑥 𝑡 , 𝑦 𝑡 ) [𝑥 ′ 𝑡 ]2 +[𝑦 ′ 𝑡 ]2 𝑑𝑡
𝑎
• Donde: 𝑟: 𝑎, 𝑏 → 𝐶 es una parametrización biyectiva arbitraria de la curva
C de tal manera que r(a) y r(b) son puntos finales de C.

4. Definición
• Las integrales de trayectoria son
independientes
de
la
parametrización r(t), porque solo
depende de la longitud del arco,
también son independientes de la
dirección de la parametrización r(t).

5. Definición
Integral curvilínea de un campo vectorial
• Para 𝑓 ∶ 𝑅 𝑛 → 𝑅 𝑛 un campo vectorial, la integral sobre la curva C
parametrizada como 𝑟 𝑡 con 𝑡 ∈ 𝑎, 𝑏 , está definida como:
𝑏
𝐹(𝑟 𝑡 ) ∙ 𝑟 ′ 𝑡 𝑑𝑡
𝐹(𝑟) ∙ 𝑑𝑟 =
𝐶
𝑎
donde: ∙ es el producto escalar y 𝑟: 𝑎, 𝑏 → 𝐶 es una parametrización biyectiva
arbitraria de la curva C de tal manera que r(a) y r(b) son puntos finales de C.

6. Definición
• Las integrales de línea de un campo vectorial son independientes de la
parametrización siempre y cuando las distintas parametrizaciones mantengan
el sentido del recorrido de la curva. En caso de elegirse dos
parametrizaciones con sentidos de recorrido contrarios, las integrales de línea
del mismo campo vectorial resultarán con iguales módulos y signos
contrarios.

7. Integrales de línea
Propiedades

8. Propiedades
• LINEALIDAD: La integral de una combinación lineal de funciones es la
combinación lineal de las integrales.
𝛼𝑓 + 𝛽𝑔 𝑑𝑙 = 𝛼
𝑓 𝑑𝑙 + 𝛽
𝛾
𝛾
𝛼𝑭 + 𝛽𝑮 ∙ 𝒅𝒍 = 𝛼
𝛾
𝑔 𝑑𝑙
𝛾
𝑭 ∙ 𝒅𝒍 + 𝛽
𝛾
𝑮 ∙ 𝒅𝒍
𝛾

9. Propiedades
• ADITIVIDAD SOBRE LA CURVA DE INTEGRACIÓN: La integral
sobre una curva que sea unión de varias es la suma de las integrales sobre
cada una de ellas; por ejemplo, para la unión de dos curvas
𝑓 𝑑𝑙 =
𝑓 𝑑𝑙 +
𝛾⊕𝜎
𝛾
𝑭 ∙ 𝒅𝒍 =
𝛾⊕𝜎
𝑓 𝑑𝑙
𝜎
𝑭 ∙ 𝒅𝒍 +
𝛾
𝑭 ∙ 𝒅𝒍
𝜎

10. Propiedades
• INDEPENDENCIA DE LA PARAMETRIZACIÓN:
El valor de la integral no cambia con la parametrización elegida para la curva.
𝑥 = 𝑥(𝑡) ; 𝑦 = 𝑦(𝑡)
𝑎≤ 𝑡≤ 𝑏
𝑥 = 𝑥(𝜑(𝑠)) ; 𝑦 = 𝑦(𝜑(𝑠))
𝑓 𝑑𝑙 =
𝛾
𝑓 𝑑𝑙
𝜎
(𝑐 ≤ 𝑠 ≤ 𝑑)
𝑦
𝑭 ∙ 𝒅𝒍 =
𝛾
𝑭 ∙ 𝒅𝒍
𝜎

11. Propiedades
• INDEPENDENCIA DE LA ORIENTACIÓN:
El signo de la integral no cambia con la orientación fijada en la curva.

12. Propiedades
• CONTINUIDAD
:
Las integrales de línea también dependen de manera continua del campo que
se integra; intuitivamente, pequeñas perturbaciones del campo dan lugar a
pequeñas variaciones en la integral. Ello es consecuencia de las desigualdades
que vamos a presentar.

13. Propiedades
• Sea γ : [a,b] → Rn un camino regular a trozos que recorre una curva Γ, sea f
un campo escalar continuo sobre Γ y supongamos que f está acotado en Γ
por una constante k, es decir
𝑘 ≥ 𝑚á𝑥
𝛾
𝑓 𝑥
∶ 𝑥 ∈ Γ = 𝑚á𝑥
𝑓 𝑑𝑙 ≤ 𝑘𝐿(𝛾) se deduce que
𝑓 𝛾 𝑡
𝛾
∶ 𝑎≤ 𝑡 ≤ 𝑏
𝑭 ∙ 𝒅𝒍 ≤ 𝑘𝐿(𝛾)

14. Integrales de línea
Ejemplos

15. Ejemplos
• El cálculo de la longitud de una curva en el
espacio.
• El cálculo del volumen de un objeto
descrito por una curva, objeto del que se
posee una función (campo escalar) que
describe su volumen a lo largo de la curva.
• El cálculo del trabajo que se realiza para
mover algún objeto a lo largo de una
trayectoria teniendo en cuenta campos de
fuerzas (descritos por campos vectoriales)
que actúen sobre el mismo.

16. Ejemplo:
Calcular el trabajo que realiza el campo F(x,y) = x2 i + xy j para mover una partícula desde el punto (
0,0) al punto (1,1) sobre la curva c dada por r(t) = ti + t2j Del vector posición, obtenemos x e y en
función de t:
si r(t) = ti + t2j
tenemos que: x(t) = t e y(t) = t2 reemplazando en F(x,y) nos queda:
F(x,y) = t2 i + t t2 j = t2i + t3j
Calculamos r(t) = i +2tj
Reemplazamos en la integral:

17. Podemos cambiar la parametrización de la curva c, y el valor de la integral de línea no
cambia. No ocurre lo mismo si consideramos otra curva que una los puntos (0,0) y (1,1)
Ejemplo: Si observamos la curva c, y = x2 dado que x = t e y = t2.
Si queremos hacer 𝑥 = 𝑡 si mantenemos la relación anterior sería 𝑟 𝑡 = 𝑡𝑖 + 𝑡𝑗
La curva que une los puntos sigue siendo y = x2.
Para esta nueva parametrización: F(x,y) = ti + t3/2j ;
r(t) =

18. Aplicaciones .
• Trabajo como integral de línea
El trabajo en la física elemental se define como “trabajo es igual a
fuerza por Distancia”, es decir que el trabajo que se efectúa sobre el cuerpo se
da por:
W = Fd
Donde F es una fuerza constante que actúa sobre el cuerpo y que es paralela al
desplazamiento y d es la magnitud del desplazamiento. La fuerza (x, y, z) está
dado por el campo vectorial.

19. 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑀 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑖 + 𝑁 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑗 + 𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑘
• Donde M, N y P son continúas

20. Aplicación de la Integral de Línea
La integral de línea del campo eléctrico alrededor de un bucle cerrado es
igual al voltaje generado en ese bucle (ley de Faraday):
Tal integral se usa también en el cálculo de la diferencia de voltaje,
puesto que el voltaje es trabajo por unidad de carga. El cálculo del
voltaje cerca de una carga puntual es un buen ejemplo.
La integral de línea de una fuerza sobre un trayecto es igual
al trabajo realizado por esa fuerza sobre el trayecto.
𝑏
𝑊 𝑎𝑏 =
𝐹 ∙ 𝑑𝑠
𝑎