1) La transformada de Laplace se define como una integral que mapea una función del tiempo a una función compleja. 2) Se presenta un teorema que establece condiciones para que la transformada de Laplace exista. 3) Se explican algunas propiedades básicas de la transformada de Laplace como su linealidad y valores conocidos para funciones elementales.

1. Universidad de Antioquia, Instituto de Matematicas
CAP´I
TULO 6
TRANSFORMADA DE
LAPLACE
6.1. INTRODUCCION
Definici´on 6.1. Sea f(t) una funci´on definida para todo t ≥ 0; se define la
Transformada de Laplace de f(t) as´ı:
£{f(t)}(s) = F(s) =
Z
∞
0
e−stf(t)dt
= l´ım
b→∞
Z b
0
e−stf(t)dt,
si el l´ımite existe.
Teorema 6.1.
Si f(t) es una funci´on continua a tramos para t ≥ 0 y adem´as |f(t)| ≤ Mect
para todo t ≥ T, donde M es constante , c constante y T > 0 constante,
entonces £{f(t)}(s) existe para s > c.
Demostraci´on: veamos que la siguiente integral existe, en efecto:
|£{f(t)}(s)| =

5. Z
∞
0
e−stf(t)dt

9. ≤
Z
∞
0 |e−st||f(t)|dt
=
Z
∞
0
e−st|f(t)|dt, sabiendo que e−st > 0
211

10. 212 CAP´I
TULO 6. TRANSFORMADA DE LAPLACE
Universidad de Antioquia, Instituto de Matematicas
=
Z T
0
e−st|f(t)|dt
| {z }
I1
+
Z
∞
T
e−st|f(t)|dt
| {z }
I2
I1 =
Z T
0
e−st|f(t)|dt existe, ya que f es continua a tramos
I2 =
Z
∞
T
e−st ||f{(zt)}|
≤ Mect
dt ≤
Z
∞
T
e−stMectdt = M
Z
∞
T
e(−s+c)t dt
=
M
−(s − c)
e−(s−c)t

14. ∞
T
, suponiendo que s − c > 0
= −
M
s − c
(0 − e−(s−c)T ) =
M
s − c
e−(s−c)T
Luego, £{f(t)}(s) existe, si s > c.
NOTA: a) cuando f(t) ≤ |f(t)| ≤ Mect para t ≥ T, entonces decimos
que f(t) es de orden exponencial (ver figura 6.1).
•
f(t)
T
t
f(t)
Mect, (c 0)
(0,M) •
Figura 6.1
b) Si f(t) es de orden exponencial, es decir, |f(t)| ≤ Mect para t ≥ T y
c, M constantes, entonces
l´ım
t→∞
e−stf(t) = 0, s c

15. 6.1. INTRODUCCION 213
En efecto, como |f(t)| ≤ Mect, entonces |e−stf(t)| ≤ Me−(s−c)t y como
l´ımt→∞
e−(s−c)t = 0, si s c, entonces por el teorema de estriccion ´en l´ımites,
Universidad de Antioquia, Instituto de Matematicas
se concluye que
l´ım
t→∞|e−stf(t)| = 0, s c,
luego
l´ım
t→∞
e−stf(t) = 0, s c
Observaci´on: £ es un operador lineal, en efecto
£{f(t) +

16. g(t)}(s)
def.
=
Z
∞
0
e−st (f(t) +

17. g(t)) dt
=
Z
∞
0
e−st f(t) dt +

18. Z
∞
0
e−st g(t) dt
= £{f(t)}(s) +

19. £{g(t)}(s)
Teorema 6.2.
1). £{1}(s) = 1
s , s 0, £{k}(s) = k
s , s 0, k constante.
2). £{tn}(s) = n!
sn+1 , s 0, n = 1, 2, . . .
3). £{eat}(s) = 1
s−a , para s a
4). £{ sen kt}(s) = k
s2+k2 , s 0
5). £{cos kt}(s) = s
s2+k2 , s 0
6). £{ senh kt}(s) = k
s2−k2 , s |k|
7). £{cosh kt}(s) = s
s2−k2 , s |k|
8). £{tn eat}(s) = n!
(s−a)n+1 , s a, n = 1, 2, . . .
Demostraci´on: 1). Si s 0 se tiene que
£{1}(s) =
Z
∞
0
e−st 1 dt =
e−st
−s

23. ∞
0
=
1
s
2). Hagamos la demostraci´on por el m´etodo de inducci´on. Para ello, supo-

24. 214 CAP´I
TULO 6. TRANSFORMADA DE LAPLACE
t→∞| tn
nemos que s 0 y utilizamos el siguiente limite: l´ım
ect | = 0, n = 1, 2, . . .
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n = 1 : £{t}(s) =
Z
∞
0
e−st t dt, hagamos
u = t ⇒ du = dt
dv = e−st dt ⇒ v = −1
se−st
= −
te−st
s

28. ∞
0
+
1
s
Z
∞
0
e−st dt
£{t}(s) = −(0 − 0) +
1
s
1
−s
e−st

32. ∞
0
= −
1
s2 (0 − 1) =
1
s2
Supongamos que se cumple para n − 1 y veamos que se cumple para n. En
efecto:
Z
∞
£{tn}(s) =
0
e−st tn dt hagamos
u = tn ⇒ du = ntn−1 dt
dv = e−st dt ⇒ v = −1
s e−st
= −
tn e−st
s