1) El documento presenta 5 problemas de cálculo diferencial y ecuaciones en derivadas parciales. Resuelve derivadas parciales, verifica el teorema de Clairaut y ecuaciones de onda y calor. 2) Evalua derivadas parciales de funciones y verifica si cumplen ecuaciones diferenciales como la ecuación de onda y ecuación del calor. 3) Resuelve los problemas demostrando paso a paso los procedimientos matemáticos para verificar el cumplimiento de las ecuaciones diferenciales.

1. UNIVERSIDAD FERMÍN TORO
VICERRECTORADO ACADEMICO
FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
Integrantes:
Jesus Nieto 24353269

2. 

y
1.) Sea    

 

 
x
Z x y tg
2
Z

y
1 , determina y evalué en el punto indicado   5,2 
푍(푥, 푦) = tan−1 (푦2
푥
)
휕푧
휕푦
=
2푥푦
푥 2 + 푦4
휕푧
휕푦
]
(√5,−2)
=
2
(−2)
2(√5)
√5
2
+ (−2)4
= −
20
21
2.) Dada la función
x
Z x y x exy   2 ( , ) verifique el cumplimiento del teorema de Clairaut.
y
푧(푥, 푦) = 푥2푒푥푦 +
푥
푦
demostra 푧푥푦 = 푧푦푥
푧푥 = 푦푥2풆푥푦 + 2푥풆푥푦 +
1
푦
푧푥푦 = 푦푥3풆푥푦 + 3푥2풆푥푦 −
1
푦2
푧푦 = 푥3풆푥푦 −
푥
푦2
푧푦푥 = 푦푥3풆푥푦 + 3푥2풆푥푦 −
1
푦2
푧푥푦 = 푧푦푥 푠푒 푐푢푚푝푙푒
x
e
t
K
  at
3.) Dada la función C x t
2
,

2
1
C
C


 ; verifique si satisface la ecuación: 2
4
x
a
t



퐶(푥, 푡) =
퐾
√푡
푥2
푎푡
풆

3. 휕푐
휕푡
= −
푥2
푎푡
퐾푥2풆
푎푡
5
2
−
푥2
푎푡
퐾풆
2푡
3
2
(퐼)
Ahora derivo con respecto a x
휕푐
휕푥
=
푥2
푎푡
2퐾푥풆
푎푡
3
2
휕2퐶
휕푥2 =
푥2
푎푡
4퐾푥2풆
푎2푡
5
2
+
푥2
푎푡
2퐾풆
푎푡
3
2
1
4
(
4퐾푥2풆
푎) (
푥2
푎푡
푎2푡
5
2
+ 2퐾풆
푥2
푎푡
푎푡
3
2
)
푥2
푎푡
퐾푥2풆
푎푡
5
2
+
푥2
푎푡
퐾풆
2푡
3
2
(퐼퐼)
(퐼) = (퐼퐼) 푠푎푡푖푠푓푎푐푒 푙푎 푒푐푢푎푐푖표푛
4.) Se estira una cuerda a lo largo del eje x, fija en cada extremo y comienza a vibrar. El desplazamiento de un
punto sobre la cuerda en la posición x al instante del tiempo t viene dada por la función
Ux t  e kx kt x t       , cos , donde  depende de la densidad y la tensión de la
cuerda, verifique si Ux, t , satisface la ecuación parcial de onda.
4. La ecuación parcial de una onda está representada con :

4. 휕2푈
휕푡2 = 훼2 휕2푈
휕푥2 (4.1)
Con 푈(푥, 푡) = 푒푥+훼푡 + 푐표푠(푘푥 + 훼푘푡); luego:
휕푈
휕푡
= 훼푒푥+훼푡 − 훼푘푠푒푛(푘푥 + 훼푘푡);
휕2푈
휕푡2 = 훼2푒푥+훼푡 − 훼2푘2푐표푠(푘푥 + 훼푘푡)
휕2푈
휕푡2 = 훼2[푒푥+훼푡 − 푘2푐표푠(푘푥 + 훼푘푡)] (4.2)
Por otro lado:
휕푈
휕푥
= 푒푥+훼푡 − 푘푠푒푛(푘푥 + 훼푘푡);
휕2푈
휕푥2 = 푒푥+훼푡 − 푘2푐표푠(푘푥 + 훼푘푡)
훼2 휕2푈
휕 푥2 = 훼2[푒푥+훼푡 − 푘2푐표푠(푘푥 + 훼푘푡)] (4.3)
De 4.2 y 4.3 se observa que U(x,t) cumple la ecuación de onda 4.1.
5.) Sea Ux t e sennx n t 2
,   verifique que satisface la ecuación del Calor.
La ecuación del cumple unidimensional tiene la forma
휕푈
휕푡
= 훼
휕2푈
휕푥2 (5.1)
Con: 푈(푥, 푡) = 푒−푛2훼푡 푠푒푛(푛푥); luego:
휕푈
휕푡
= −푛2훼푒푛2훼푡 푠푒푛(푛푥) (5.2) ;
휕푈
휕푥
= 푛푒푛2훼푡 푐표푠(푛푥);
휕2푈
휕푥2 = −푛2푒푛2훼푡 푠푒푛(푛푥)
훼
휕2푈
휕푥2 = −푛2훼푒푛2훼푡 푠푒푛(푛푥) (5.3)
De 5.2 y 5.3 se verifica que U(x,t) satisface 5.1.