Detección de bordes de una imagen en Matlab

Introduccion. Desarrollo teórico Deteccion de bordes
Detección de bordes de una imagen
Luis Marchena
Escuela politécnica
Universidad de Extremadura

Esquema
1 Introduccion.
Concepto:
2 Desarrollo teórico
Métodos de aproximación a la derivada
Derivadas de orden dos y tres
Taylor y la derivada.
Ejemplo.
Ejemplo.

Esquema
1 Introduccion.
Concepto:
2 Desarrollo teórico
Métodos de aproximación a la derivada
Taylor y la derivada.
Ejemplo.
Ejemplo.
3 Deteccion de bordes
Detección de bordes.
Mejoras
Bordes en color

1-Introducción
Derivadas⇒ ¿Qué tienen que ver las derivadas con los bordes de una
imagen?⇒ Aplicación sobre la imagen.
Como hacemos que:
Resultados
Que esta imagen
¿Cómo haremos los bordes en color?

1-Introducción
Derivadas⇒ ¿Qué tienen que ver las derivadas con los bordes de una
imagen?⇒ Aplicación sobre la imagen.
Como hacemos que:
Resultados
Que esta imagen
Pase a esta otra
¿Cómo haremos los bordes en color?

1-Derivadas. Método de diferencias finitas
1.1-Concepto de derivada:
Geométricamente, la derivada de una función en un punto es la pendiente
de la recta tangente en ese punto.
¿Para qué nos sirve esto?

1.2 -¿Cómo vamos a calcular la aproximación de derivada?
Mediante rectas secantes entre dos puntos vamos a aproximar la tangente
haciendo cada vez menor la distancia entre esos puntos. La pendiente de las
rectas secantes se puede calcular de tres formas:
Método de diferencias progresivas: f(x) =
f(x + h) − f(x)
h
Método de diferencias regresivas: f(x) =
f(x) − f(x − h)
h
Método de diferencias centradas: f(x) =
f(x + h) − f(x − h)
2h

1.3 Derivadas de orden dos y tres:
Progresivas:
Regresivas:

1.3 Derivadas de orden dos y tres:
Progresivas:
Regresivas:
Centradas:

1-Taylor y la derivada.
1.4 Taylor y la derivada.
Ejemplo
Veamos que ocurre si desarrollamos f(x + h)

1-POLINOMIO DE INTERPOLACI´ON DE LAGRANGE Y SU
DERIVADA.
Ejemplo:
S = [(0, 0,3927), (0,2, 0,5672), (0,4, 0,6982), (0,6, 0,7941), (0,8, 0,8614), (1, 0,9053)]

1-Aproximación por diferencias finitas
Ejemplo:
Por el comando diff (rojo): y = 0 6533x + 0 44161 y por diferencias finitas
(verde):y = 0 6550x + 0 4411

Gradiente de una imagen
Gradiente: La derivada proporciona variaciones locales de la variable, el
valor de la derivada es mayor cuanto mayores son las variaciones.
En el caso de las funciones bidimensionales la derivada es un vector que
apunta a la m´axima variaci´on de f(x,y). A este vector se le llama gradiente.
f(x, y) =
∂f(x,y)
∂x
∂f(x,y)
∂y
Mag[ f(x, y)] =
∂f(x, y)
∂x
2
+
∂f(x, y)
∂y
2

¿C´omo podemos aplicar esto a una imagen digital?
∂f(x, y)
∂x
≈ xf(x, y) = f(x, y) − f(x − 1, y)
∂f(x, y)
∂y
≈ yf(x, y) = f(x, y) − f(x, y − 1)
|G(i, j)| = Gf
2
+ Gc
2
≈ Gf (i, j) + Gc(i, j)

Vamos a ver c´omo queda en matlab y qu´e sucede realmente en la imagen:
Original Gradiente
Ampliada

Aplicando el m´odulo del gradiente de la intensidad de la imagen:
Resultados
Imagen Original

Resultados
Imagen Original
Aplicando la funcion gradient

Resultados
Imagen Original
Aplicando la funcion gradient
Aplicando la aproximaci´on vista

Mejoras
Filtros mejorados
Aplicando el ﬁltro de Prewitt en el cual consideramos los p´ıxeles (i+1,j) y
(i-1,j) en la direcci´on x, (i,j-1) y (i,j+1) en el eje y.
Resultados
Imagen Original

Mejoras
Filtros mejorados
Aplicando el ﬁltro de Prewitt en el cual consideramos los p´ıxeles (i+1,j) y
(i-1,j) en la direcci´on x, (i,j-1) y (i,j+1) en el eje y.
Resultados
Imagen Original
Aplicando Prewitt

Mejoras
Filtros mejorados
Para aplicar el ﬁltro de Canny debemos hacer la derivada gaussiana en x e
y, esto es:
∂f(x, y)
∂x
=
−x
2πσ4
e
− x2−y2
2σ2
∂f(x, y)
∂y
=
−y
2πσ4
e
− x2−y2
2σ2
Resultados
Imagen Original

Mejoras
Filtros mejorados
Para aplicar el ﬁltro de Canny debemos hacer la derivada gaussiana en x e
y, esto es:
∂f(x, y)
∂x
=
−x
2πσ4
e
− x2−y2
2σ2
∂f(x, y)
∂y
=
−y
2πσ4
e
− x2−y2
2σ2
Resultados
Imagen Original
Aplicando Canny

Bordes en color
Imagenes en color
Vamos a ver qu´e pasa si queremos ver los bordes en color. Para eso hay que
descomponer la imagen en sus tres planos RGB.
Resultados
Imagen Original

Bordes en color
Imagenes en color
Resultados
Imagen Original
Aplicando el gradiente

Bordes en color
Imagenes en color
Resultados
Imagen Original
Aplicando Prewitt

Bordes en color
Imagenes en color
Resultados
Imagen Original
Aplicando Prewitt
Aplicando Canny

Bordes en color
Bibliograﬁa
http : //www.uam.es/personalpdi/ciencias/pangulo/edpan/cap3.pdf
http : //webs.uvigo.es/calculo.infinitesimal/P5cal.pdf
http : //www.unioviedo.es/compnum/laboratoriosweb/laborat07deriv/laboratorio07deriv.html
http : //www.uhu.es/cristobal.garcia/descargas/AnalisisNumericoITema5.pdf
http : //www4.ujaen.es/ satorres/practicas/practica3vc.pdf
http : //www2.fisica.unlp.edu.ar/materias/procesamientodeimagenes/Clase5imagenes2011.pdf
http : //iimyo.forja.rediris.es/matlab/cursolatex005.html

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