Espacios vectoriales
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Presentación con las propiedades de los espacios vectoriales.
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- 2. Espacios Vecto- riales ´Algebra Lineal Intro Motivaci´on Algo de Conjuntos Espacios Vectoria- les Intro Espacios Vectoriales Espacios Vectoriales Braian Moreno Cifuentes Departamento de Matem´aticas, F´ısica y Estad´ıstica Universidad de La Sabana ´Algebra Lineal Espacios Vectoriales
- 3. Espacios Vecto- riales ´Algebra Lineal Intro Motivaci´on Algo de Conjuntos Espacios Vectoria- les Intro Espacios Vectoriales En esta presentaci´on, se introduce al estudiante en el concepto de espacio vectorial, junto a propiedades. Tambi´en, se muestran algunos ejemplos de espacios con operaciones definidas. ´Algebra Lineal Espacios Vectoriales
- 4. Espacios Vecto- riales ´Algebra Lineal Intro Motivaci´on Algo de Conjuntos Espacios Vectoria- les Intro Espacios Vectoriales Motivaci´on Algo de Conjuntos Motivaci´on • Es evidente hacer pensar al estudiante que el mundo de las matem´aticas no es s´olo el mundo de los reales Rn . Existen muchos m´as espacios que se pueden trabajar de forma similar. • Se hace latente la necesidad de pensar diferente con el fin de poder pensar en aplicaciones sobre espacios diferentes. • As´ı, se llega al hecho que se puede hacer matem´atica en cualquier lado. ´Algebra Lineal Espacios Vectoriales
- 5. Espacios Vecto- riales ´Algebra Lineal Intro Motivaci´on Algo de Conjuntos Espacios Vectoria- les Intro Espacios Vectoriales Motivaci´on Algo de Conjuntos Existen conjuntos finitos y conjuntos infinitos. Algunos Conjuntos Finitos • {0}. • {x : 0 ≤ x ≤ 10; x ∈ N}. • {Amarillo, Azul, Rojo}. Algunos Conjuntos Infinitos • R. • N´umero de estrellas. • N´umero de granos de arena. ´Algebra Lineal Espacios Vectoriales
- 6. Espacios Vecto- riales ´Algebra Lineal Intro Motivaci´on Algo de Conjuntos Espacios Vectoria- les Intro Espacios Vectoriales Motivaci´on Algo de Conjuntos ¿C´omo pensar en otros conjuntos para hacer una estructura similar a la de los reales? ´Algebra Lineal Espacios Vectoriales
- 7. Espacios Vecto- riales ´Algebra Lineal Intro Motivaci´on Algo de Conjuntos Espacios Vectoria- les Intro Espacios Vectoriales Se hace necesario dotar a un conjunto una serie de operaciones que cumplan con ciertas caracter´ısticas. Figura: Estructura de Grupo. ´Algebra Lineal Espacios Vectoriales
- 8. Espacios Vecto- riales ´Algebra Lineal Intro Motivaci´on Algo de Conjuntos Espacios Vectoria- les Intro Espacios Vectoriales Existen algunas estructuras algebraicas que son mas sencillas, pero hacen entender que los espacios vectoriales son estructuras complejas. Algunas de estas estructuras son: • Grupos: Un conjunto con una operaci´on. • Anillos: Un conjunto con dos operaciones. • Campos: Un conjunto con dos operaciones y conmutatividad con una de ellas dos. ´Algebra Lineal Espacios Vectoriales
- 9. Espacios Vecto- riales ´Algebra Lineal Intro Motivaci´on Algo de Conjuntos Espacios Vectoria- les Intro Espacios Vectoriales Para hacer un cojunto m´as robusto, se hace necesario agregar dos operaciones. Una vez agregadas, se define el espacio vectorial (V, +, ·). Definici´on Sea V un conjunto (finito o infinito), y sean +, · dos operaciones binarias. La operaci´on + recibe el nombre de suma y la operaci´on · recibe el nombre de producto por escalar. ´Algebra Lineal Espacios Vectoriales
- 10. Espacios Vecto- riales ´Algebra Lineal Intro Motivaci´on Algo de Conjuntos Espacios Vectoria- les Intro Espacios Vectoriales (V, +, ·) se dice espacio vectorial si cumple las siguientes propiedades: Operaci´on suma + 1 Cerradura: Si x ∈ V y v ∈ V , entonces x + y ∈ V . 2 Conmutatividad: si x, y ∈ V , entonces x + y = y + x. 3 Asociatividad: Para todo x, y y z en V , (x + y) + z = x + (y + z). 4 Elemento neutro: Existe 0 ∈ V tal que ∀x ∈ V , x + 0 = 0 + x = x. 5 Inverso aditivo: Si x ∈ V , existe −x ∈ V tal que x + (−x) = 0. ´Algebra Lineal Espacios Vectoriales
- 11. Espacios Vecto- riales ´Algebra Lineal Intro Motivaci´on Algo de Conjuntos Espacios Vectoria- les Intro Espacios Vectoriales Operaci´on producto por escalar · 1 Cerradura: Si x ∈ V y α es un escalar, entonces αx ∈ V . 2 Ley distributiva (i): Si x y y ∈ V y α es un escalar, entonces α(x + y) = αx + αy. 3 Ley distributiva (ii): Si x ∈ V y α y β son escalares, entonces (α + β)x = αx + βx. 4 Asociatividad: Si x ∈ V y α y β son escalares, entonces α(βx) = (αβ)x. 5 Elemento neutro: Para todo x ∈ V , 1x = x. ´Algebra Lineal Espacios Vectoriales
- 12. Espacios Vecto- riales ´Algebra Lineal Intro Motivaci´on Algo de Conjuntos Espacios Vectoria- les Intro Espacios Vectoriales • Es importante tener en cuenta que en algunos libros (Kolman, Strang, Gerber), solo aparecen 4 propiedades para la suma y 4 propiedades para el producto por escalar, ya que dan por hecho la propiedad de la cerradura bajo las dos operaciones. • Se puede observar que se conocen estas propiedades y que han sido trabajadas en los reales durante todo el tiempo de estudio de matem´aticas. • Se puede deducir entonces que es posible aplicar estas propiedades en cualquier grupo bajo las operaciones establecidas. ´Algebra Lineal Espacios Vectoriales
- 13. Espacios Vecto- riales ´Algebra Lineal Intro Motivaci´on Algo de Conjuntos Espacios Vectoria- les Intro Espacios Vectoriales Algunos espacios vectoriales son: • (Rn , +, ·). • (Am×n, +, ·). • (0, +, ·). (Conjunto unitario). • (Pn(x), +, ·). • ( d dx f(x) ∈ C[0, 1], +, ·). • ( 1 0 f(x)dx ∈ C[0, 1], +, ·). Esto se puede verificar con las propiedades nombradas anteriormente. Se deben cumplir todas las condiciones con las operaciones establecidas en el conjunto. ´Algebra Lineal Espacios Vectoriales
- 14. Espacios Vecto- riales ´Algebra Lineal Intro Motivaci´on Algo de Conjuntos Espacios Vectoria- les Intro Espacios Vectoriales Los siguientes no son espacios vectoriales: • (N, +, ·). • (1, +, ·). • Rectas que no pasan por el origen. • El conjunto de las matrices invertibles. El conjunto deja de ser espacio vectorial si no se cumple al menos una de las condiciones dadas en la definici´on de espacio vectorial. ´Algebra Lineal Espacios Vectoriales
- 15. Espacios Vecto- riales ´Algebra Lineal Intro Motivaci´on Algo de Conjuntos Espacios Vectoria- les Intro Espacios Vectoriales Teorema Sea V un espacio vectorial. Entonces: • α0 = 0, α ∈ R. • 0 · x = 0, x ∈ V . • Si αX = 0, entonces α = 0 o x = 0 (o ambos). • (−1)x = −x, x ∈ V . ´Algebra Lineal Espacios Vectoriales
- 16. Espacios Vecto- riales ´Algebra Lineal Intro Motivaci´on Algo de Conjuntos Espacios Vectoria- les Intro Espacios Vectoriales Con lo anterior, se debe tener claridad en el significado de un espacio vectorial. Adem´as, tenga en cuenta que no siempre las operaciones que acompa˜nan al conjunto ser´an las de suma y producto por escalar. Esa es, precisamente, la ventaja que tiene el estudio de ´estos con el fin de poder hacer ´algebra en objetos diferentes al de los reales. ´Algebra Lineal Espacios Vectoriales