Algebra vectorial

1. Tema 1
ELEMENTOS DE ÁLGEBRA Y CÁLCULO VECTORIAL

2. Magnitud escalar. Aquéllas cuya medida queda completamente especificada por
un número real y su unidad.
Ejemplos: la masa, la temperatura, la presión.
Magnitud vectorial. Aquéllas en las que para su determinación se necesitan tres
números reales y su unidad. O equivalentemente, un módulo (definido por una
número real positivo y su unidad), una dirección (definida por una recta) y un
sentido. Estas magnitudes se pueden representar por una recta orientada también
llamada vector.
Ejemplos: la velocidad, la fuerza, el campo gravitatorio.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
Álgebra vectorial1.1.
A
'A
a

dirección
sentido
módulo

3. Álgebra vectorial1.1.
A
'A
a

dirección
sentido
módulo
Vector. Se denota como . Se define como un segmento orientado caracterizado
por:
• Un origen o punto de aplicación. Punto A.
• Un escalar o módulo, , dado por la longitud del segmento AA’. El módulo
es siempre positivo e independiente de la dirección del vector.
• Una dirección, recta que contiene al segmento AA’.
• Un sentido, que se indica mediante una punta de flecha.
a

óa
aa

ó
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.

4. Álgebra vectorial1.1.
Suma de vectores.
a

b

c

d

cbad


a

b

c

Regla del polígono
Regla del paralelogramo
bac


a

b

a

b

c

Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.

5. Álgebra vectorial1.1.
Vectores opuestos. Vectores con igual módulo y dirección, pero sentidos
opuestos.
a

a


Diferencia de vectores.
 bacbac


b

a

a

b


c

b

Producto de un vector por un escalar.
a

a


0
1



 a


0
1




Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.

6. Álgebra vectorial1.1.
Propiedades de la suma de vectores y producto de un escalar por un vector.
   
   
 
 
000:nuloelementovii)
:vectoresdesumalaarespectoproductodelvadistributivi)
:escalaresdesumalaarespectoproductodelvadistributivi)
:productoelparaasociativav)
es,esto,0/,:sumalaparasimétricoelementoiv)
0:sumalaparaneutroelementoiii)
:sumalaparaaconmutativii)
:sumalaparaasociativai)
















a
baba
aaa
aa
ababbaba
aa
abba
cbacba




Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.

7. Álgebra vectorial1.1.
a
a
ua 

 
Vector unitario. Es un vector de módulo unidad. Un vector unitario en la dirección
de será:a

Eje. Recta orientada. Se toma un sentido como sentido positivo y se asigna un
vector unitario en dicho sentido.
Proyección de un vector sobre un eje.
eu

a


 aPe

   coscos aaaPe 

Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.

8. Álgebra vectorial1.1.
Triedro de referencia. Tres ejes perpendiculares que se cortan en un punto
denominado origen del triedro.
X
Y
Z
pulgar
índice
corazón
Levógiro (mano izquierda)
Y
X
Z
pulgar
corazón
índice
Dextrógiro (mano derecha)
i

j

k

dextrógiro
Triedro cartesiano
kji

,,vectores unitarios:
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.

9. Coordenadas cartesianas
Y
X
Z
y
x
z
 zyxP ,,  zrP ,,
Y
X
Z
 r
z
Coordenadas cilíndricas
  ,,P
Y
X
Z

 
Coordenadas esféricas
Álgebra vectorial1.1.
Sistemas de coordenadas.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.

10. Álgebra vectorial1.1.
Componentes cartesianas.
xa

Y
X
Z
a

ya

za

a

Y
X
Z
x
k

j
 y
z
i

zyx aaaa


kaa
jaa
iaa
zz
yy
xx





  
 
  zZz
yYy
xXx
aaPa
aaPa
aaPa



cos
cos
cos






Componentes cartesianas Cosenos directores
aa
aa
aa
zz
yy
xx
/cos
/cos
/cos






Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.

11. Álgebra vectorial1.1.
Componentes cartesianas.
zzyyxx aaaaaa  coscoscos 
kaajaaiaa zzyyxx


 zyx aaaa

 kajaia zyx

 kjia zyx

 coscoscos 
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
kji
a
a
u zyxa




  coscoscos 
),,( zyxzyx aaaaaaa 


12. Álgebra vectorial1.1.
Suma y diferencia de vectores en términos de las componentes cartesianas.
kajaiaa zyx

 kbjbibb zyx


     kbajbaibaba zzyyxx


Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
     kbajbaibababa zzyyxx

 )(

13. Producto escalar de dos vectores.
Álgebra vectorial1.1.
cosb
a


b

cosabba 

Propiedades.
 
     
  kaajaaiaauaaP
aaaa
ikkjjikkjjii
bababa
baba
bcacbac
abba
zyxee














,,ia,consecuencEn.vii)
vi)
0,1v)
0y0,siiv)
:escalaresarespectoasociativaiii)
:vadistributiii)
:aconmutativi)

Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.

14. Producto escalar de dos vectores.
a


cosb
b

cosabba 

Producto escalar en términos de las componentes cartesianas.
zzyyxx babababa 

Ángulo que forman dos vectores.
ab
bababa
ab
ba zzyyxx 




cos
Álgebra vectorial1.1.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.

15. Álgebra vectorial1.1.
Y
X
Z
a

b


bac


• Vector perpendicular al plano determinado por .
• Sentido el que da la regla de la mano derecha al hacer girar
• Módulo dado por
ba

y
ba

sobre
senabbac 

Propiedades.
   
 
 
bababa
bcacbac
bababa
cbacba
abba





||0y0,Siv)
:sumalaarespectovodistributiiv)
:escalarunporproductoelparaasociativoiii)
:asociativo-noii)
:ativoanticonmuti)






c

Producto vectorial de dos vectores.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.

16. Producto vectorial de dos vectores.
Álgebra vectorial1.1.
Producto vectorial en términos de las componentes cartesianas.
     kbabajbabaibaba
bbb
aaa
kji
ba zyyxzxxzyzzy
zyx
zyx




Y
X
Z
a

b


bac


• Vector perpendicular al plano determinado por .
• Sentido el que da la regla de la mano derecha al hacer girar
• Módulo dado por
ba

y
ba

sobre
senabbac 

c

Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.

17. Producto mixto de tres vectores.
Álgebra vectorial1.1.
Y
X
Z
a

b


c


ba


   cosabcsenbac 

Volumen del paralelepípedo
formado por los tres vectores
Propiedades.
     acbbaccba

:cíclicai)
Producto mixto en términos de coordenadas cartesianas.
        zzyyxyzxxzxyzzy
zyx
zyx
zyx
cbabacbabacbaba
bbb
aaa
ccc
bac 

Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.

18. Momento de un vector con respecto a un punto.
r
 a

d
OM

O
P
  araMO


adarMO  sen
El momento de un vector con respecto
a un punto no varía al cambiar el punto
de aplicación del vector sobre la recta
soporte.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
Álgebra vectorial1.1.
j
a
lími
a
lím
yx

  




 00

19. Cálculo vectorial1.2.
Función vectorial con respecto a un escalar.
 1a

 2a

Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
       kajaiaaa zyx

 
   12  aaa

 a


   



aaa










2
1
12

20. Cálculo vectorial1.2.
Derivada de una función vectorial con respecto a un escalar.
 a

  a

a



a

d
ad

d
ad

d
ad

d
ad

     




 






aa
lím
a
lím
d
ad

00
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
    aaa

    


 



 aaa


21. Cálculo vectorial1.2.
Derivada de una función vectorial con respecto a un escalar.
     
       
   
j
d
da
i
d
da
j
a
lími
a
lím
j
aa
lími
aa
lím
aa
lím
a
lím
d
ad
yxyx
yyxx




















































00
00
00
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.

22. Cálculo vectorial1.2.
Derivada de una función vectorial con respecto al escalar tiempo.
dt
ad

dt
ad

dt
ad

       k
dt
tda
j
dt
tda
i
dt
tda
t
a
lím
dt
tad zyx
t





 0
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
       k
dt
tda
j
dt
tda
i
dt
tda
t
a
lím
dt
tad zyx
t





 0

23. Cálculo vectorial1.2.
Derivada de una función vectorial con respecto a un escalar.
Propiedades.
        
            
            
            






















d
bd
ab
d
ad
ba
d
d
d
bd
ab
d
ad
ba
d
d
d
df
a
d
ad
faf
d
d
d
λbd
d
λad
λbλa
dλ
d












:esvectorialfuncionesdosdevectorialproductodelDerivadaiv)
:esvectorialfuncionesdosdeescalarproductodelDerivadaiii)
:escalarunporctorialfunción veunadeproductodelDerivadaii)
:vectoresdesumaladeDerivadai)
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.

24. Cálculo vectorial1.2.
Derivada de una función vectorial con respecto a un escalar.
Algunas consecuencias.
      auaa 


         
       
         Siiii)
||Siii)
general,Eni)
a
a
aaa
a
a
u
d
ad
d
ud
a
d
ad
ctea
u
d
ad
u
d
da
d
ad
cteu
d
ud
au
d
da
d
ad









































Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.

25. Cálculo vectorial1.2.
Integral de una función vectorial.
       
   
     









2
1
12
/,Dadas 







dbaa
cdba
b
d
ad
ba 


Propiedades.
     
 
 















1
2
2
1
2
1
2
1
v)
:ySiiv)
:,Siiii)
:Siii)
:ySii)
21

















dada
dd
dada
dadacte
dadada
dakdakctek
dbdadbabbaa







Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.

26. Cálculo vectorial1.2.
Integral en función de las componentes cartesianas.
       kajaiaa zyx

 
          kdajdaidada zyx

  
Integral de una función vectorial.
       
   
     









2
1
12
/,Dadas 







dbaa
cdba
b
d
ad
ba 


Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.