Este documento explica cómo integrar funciones mediante sustituciones trigonométricas. Presenta tres sustituciones útiles y resuelve cuatro ejemplos integrando funciones mediante estas sustituciones. Explica que es importante expresar el resultado final en términos de la variable original para completar correctamente la integral.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de integración por sustitución. Explica que este método involucra realizar un cambio de variable en la integral para simplificarla. Provee ejemplos detallados de cómo aplicar los pasos de integración por sustitución y cuando es aconsejable usar este método, como cuando el integrando contiene un producto o cociente de funciones o guarda parecido con una integral inmediata. Finalmente, presenta una serie de ejercicios resueltos para practicar la aplicación de este método.
Este documento presenta información sobre un curso de Matemáticas II dictado en la Universidad de Cartagena para el programa de Administración de Empresas durante el segundo semestre del año 2010. El tutor del curso es José Felipe Rhenals Almanza y el documento contiene apuntes sobre integración por partes e integración de funciones trigonométricas.
El documento explica el método de integración por partes, que permite calcular integrales de productos descomponiéndolas en la suma de dos integrales. Presenta la fórmula general y resuelve varios ejemplos como x cos(x)dx, x2exdx y arctan(x)dx. También introduce métodos alternativos como la integración tabular y por fracciones parciales para integrales más complejas.
1) El documento presenta el método de integración por partes y explica cómo se puede utilizar cuando la integración de una función no es posible mediante otras fórmulas. 2) La integración por partes se basa en la integración de la fórmula para la derivada de un producto de dos funciones. 3) El documento provee un acrónimo LIATE y varios ejemplos para ilustrar cómo aplicar el método de integración por partes.
Este documento introduce el concepto de integral indefinida o antiderivada. Explica que una antiderivada F(x) de una función f(x) cumple que F'(x) = f(x). Presenta varias técnicas para calcular antiderivadas como el uso de fórmulas estándares, propiedades de linealidad e integración directa. El objetivo es que los estudiantes aprendan a calcular antiderivadas algebraicamente usando estas técnicas.
Este documento presenta fórmulas fundamentales de integración. Explica conceptos básicos como la integral como operación contraria a la derivada y la constante de integración. Luego, provee ejemplos detallados de cómo aplicar las fórmulas para calcular diferentes integrales definidas, incluyendo el manejo de casos especiales. Finalmente, lista 27 fórmulas básicas de integración.
El documento presenta las fórmulas básicas para calcular la derivada de funciones algebraicas y trascendentes. Explica que la derivada de una constante es cero, la de x es 1, y la de x^n es nx^(n-1). También cubre las fórmulas para derivar sumas, productos y cocientes de funciones, así como funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. Finaliza con 12 ejemplos de aplicación de estas fórmulas.
Este documento presenta fórmulas básicas para derivar diferentes tipos de funciones, incluyendo funciones constantes, identidad, potencias, suma, producto, cociente, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas, hiperbólicas e inversas. Proporciona reglas para derivar funciones compuestas y funciones que involucran más de una variable.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de integración por sustitución. Explica que este método involucra realizar un cambio de variable en la integral para simplificarla. Provee ejemplos detallados de cómo aplicar los pasos de integración por sustitución y cuando es aconsejable usar este método, como cuando el integrando contiene un producto o cociente de funciones o guarda parecido con una integral inmediata. Finalmente, presenta una serie de ejercicios resueltos para practicar la aplicación de este método.
Este documento presenta información sobre un curso de Matemáticas II dictado en la Universidad de Cartagena para el programa de Administración de Empresas durante el segundo semestre del año 2010. El tutor del curso es José Felipe Rhenals Almanza y el documento contiene apuntes sobre integración por partes e integración de funciones trigonométricas.
El documento explica el método de integración por partes, que permite calcular integrales de productos descomponiéndolas en la suma de dos integrales. Presenta la fórmula general y resuelve varios ejemplos como x cos(x)dx, x2exdx y arctan(x)dx. También introduce métodos alternativos como la integración tabular y por fracciones parciales para integrales más complejas.
1) El documento presenta el método de integración por partes y explica cómo se puede utilizar cuando la integración de una función no es posible mediante otras fórmulas. 2) La integración por partes se basa en la integración de la fórmula para la derivada de un producto de dos funciones. 3) El documento provee un acrónimo LIATE y varios ejemplos para ilustrar cómo aplicar el método de integración por partes.
Este documento introduce el concepto de integral indefinida o antiderivada. Explica que una antiderivada F(x) de una función f(x) cumple que F'(x) = f(x). Presenta varias técnicas para calcular antiderivadas como el uso de fórmulas estándares, propiedades de linealidad e integración directa. El objetivo es que los estudiantes aprendan a calcular antiderivadas algebraicamente usando estas técnicas.
Este documento presenta fórmulas fundamentales de integración. Explica conceptos básicos como la integral como operación contraria a la derivada y la constante de integración. Luego, provee ejemplos detallados de cómo aplicar las fórmulas para calcular diferentes integrales definidas, incluyendo el manejo de casos especiales. Finalmente, lista 27 fórmulas básicas de integración.
El documento presenta las fórmulas básicas para calcular la derivada de funciones algebraicas y trascendentes. Explica que la derivada de una constante es cero, la de x es 1, y la de x^n es nx^(n-1). También cubre las fórmulas para derivar sumas, productos y cocientes de funciones, así como funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. Finaliza con 12 ejemplos de aplicación de estas fórmulas.
Este documento presenta fórmulas básicas para derivar diferentes tipos de funciones, incluyendo funciones constantes, identidad, potencias, suma, producto, cociente, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas, hiperbólicas e inversas. Proporciona reglas para derivar funciones compuestas y funciones que involucran más de una variable.
1. El documento presenta fórmulas para calcular integrales de funciones elementales como potencias, logaritmos, exponenciales y trigonométricas. También incluye métodos para integrales más complejas mediante sustitución, partes o identidades trigonométricas.
1. El documento presenta varios ejemplos de cálculo de áreas y volúmenes utilizando la integral definida. Incluye fórmulas para calcular el área bajo curvas, entre límites y el volumen de figuras geométricas cuando giran alrededor de ejes.
2. Se proporcionan ejercicios resueltos de calcular áreas limitadas por funciones y rectas, y volúmenes de prismas, cilindros y otros sólidos.
3. El documento muestra cómo aplicar la integral definida para
(1) La tabla presenta fórmulas para integrales inmediatas, incluyendo integrales de funciones racionales, trigonométricas y exponenciales. (2) Se proporcionan ejemplos para ilustrar cada fórmula. (3) El documento ofrece una guía rápida para calcular integrales comunes.
Este documento presenta 17 ejemplos de aplicación de la técnica de integración por partes. En cada ejemplo se evalúa una integral indefinida mediante la fórmula de integración por partes, identificando las funciones u y dv. Algunos ejemplos requieren aplicar la técnica de forma repetida o realizar sustituciones para resolver integral intermediarias. El documento provee una guía detallada para aplicar correctamente la integración por partes en diferentes tipos de integrales indefinidas.
Ejercicios resueltos de integrales indefinidasasble
El documento presenta ejercicios de cálculo de integrales resueltos mediante diferentes métodos como integración por partes, sustitución, descomposición en fracciones simples y cambio de variable. Se calculan integrales de funciones racionales, trigonométricas y exponenciales, y se resuelven problemas que involucran hallar funciones a partir de sus derivadas o primitivas.
Este documento presenta una introducción al cálculo integral. Explica que el cálculo integral es la operación inversa de la derivación y permite estudiar tasas de cambio. Incluye fórmulas para calcular diferenciales y realizar integración. El objetivo es que los estudiantes aprendan los conceptos centrales de función, límite, derivada e integral para resolver problemas de la vida cotidiana.
Ejercicios con respuestas. Calculo Integral Facultad de ingeniería. Alexis Legazpi
1. Este documento presenta un resumen de varios problemas de cálculo integral y sus soluciones. Incluye cálculos de límites, sumas, integrales definidas e indefinidas y el uso de sumas de Riemann.
2. Se proporcionan las soluciones a 48 integrales diferentes que involucran funciones trigonométricas, logarítmicas y exponenciales.
3. También se presentan 6 problemas adicionales sobre temas como promedios, modelado matemático y el teorema de simetría para evaluar integrales.
1) La tabla resume las reglas de integración de funciones comunes como sen(x), cos(x), e^(x), entre otras.
2) Se describen métodos para integrar fracciones racionales con raíces reales múltiples o complejas simples.
3) También incluye una tabla de identidades trigonométricas útiles para realizar transformaciones antes de integrar.
Este documento presenta tres métodos para resolver integrales:
1) Integración inmediata aplicando reglas de integración establecidas.
2) Cambio de variable (sustitución) para transformar la integral en otra más sencilla.
3) Integración por partes usando la fórmula del producto de funciones diferenciables.
Integración por sustitución o cambio de variableAndres Mendoza
El documento presenta un proyecto de cálculo integral sobre la integración por sustitución o cambio de variable. Explica el método de sustitución para simplificar integrales complejas mediante el cambio de la variable de integración. Luego, resuelve 8 ejemplos aplicando este método y comparando dos métodos para uno de los ejemplos.
Este documento presenta ejercicios de derivadas e integrales con sus respectivas soluciones. Incluye reglas básicas de derivación de funciones como suma, producto, cociente, potencias y funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. También presenta ejemplos numéricos de derivación de funciones compuestas de varias variables.
Este documento presenta un método tabular para resolver integrales mediante la técnica de integración por partes. El método involucra elegir las funciones u y dv basado en una palabra mnemotécnica, y organizar la aplicación repetida de la fórmula de integración por partes en una tabla con tres columnas para u, los productos diagonales, y las integrales sucesivas de v. El método se ilustra con varios ejemplos.
Este documento presenta el tema de las derivadas de funciones trascendentes. Introduce las derivadas de las funciones seno y coseno, mostrando cómo derivarlas y aplicar las reglas de derivación a funciones compuestas que contengan seno y coseno. Incluye ejemplos como calcular derivadas, rectas tangentes y normales, y encontrar el rectángulo de mayor área inscrito en un círculo.
Este documento trata sobre la integral indefinida y sus aplicaciones. Explica conceptos como la integral indefinida, fórmulas básicas de integración, técnicas de integración como el método de sustitución y aplicaciones de la integral indefinida en problemas reales. Incluye ejemplos de cálculo de integrales indefinidas y ejercicios de aplicación de las fórmulas.
El documento resume las propiedades básicas de las integrales indefinidas y su relación con las derivadas. Explica que la integral indefinida de una función es única excepto por una constante aditiva, y que la regla de la cadena también se aplica a las integrales indefinidas de la misma manera que a las derivadas. Finalmente, presenta un ejemplo de cómo aplicar la fórmula de integración por partes.
Este documento trata sobre la integral indefinida. Se define la integral indefinida como el conjunto de todas las primitivas de una función. Se describen propiedades como linealidad y aditividad de la integral indefinida. Finalmente, se presentan métodos para calcular la integral indefinida como integración por sustitución, por partes e integrales inmediatas.
El documento presenta una serie de ejercicios relacionados con el cálculo de derivadas. En la primera sección se piden derivadas de funciones dadas. La segunda sección contiene ejercicios sobre derivadas de funciones implícitas. La tercera sección incluye problemas más complejos sobre derivadas de funciones compuestas y derivadas de orden superior.
Este documento presenta varios ejemplos de aplicación de conceptos de cálculo como derivadas, reglas de derivación y derivadas parciales en contextos de negocios y economía. En la Parte I, se muestran ejemplos de aplicación de la regla del producto y del cociente para calcular derivadas de funciones compuestas. En la Parte II, se calculan derivadas para encontrar costos y ingresos marginales en funciones de costo, ingreso y demanda, lo que permite analizar el impacto de pequeños cambios en las variables. El documento ilust
Este documento presenta 30 ejercicios resueltos sobre integración por partes. Cada ejercicio contiene los pasos para calcular la integral propuesta aplicando la fórmula de integración por partes. El autor explica cada paso de manera detallada.
Este documento explica los conceptos básicos de la integral indefinida, incluyendo: (1) la definición de antiderivada y cómo se relaciona con la derivada de una función; (2) que existen múltiples antiderivadas que solo difieren por una constante; (3) reglas para calcular antiderivadas de funciones de potencias y sumas de funciones; (4) la interpretación geométrica de la integral indefinida como una familia de curvas; y (5) el método de sustitución para calcular integrales más complejas.
Este documento presenta una evaluación de trigonometría analítica con 10 secciones. La primera sección pide determinar valores de funciones trigonométricas dados ciertos parámetros. La segunda sección encuentra valores faltantes de funciones trigonométricas. Las secciones 3 a 6 contienen problemas de simplificación, expresión y demostración de identidades trigonométricas. Las secciones 7 a 9 piden determinar valores de funciones trigonométricas compuestas. La décima sección resuelve ecuaciones trigonométricas.
1. Resume el documento en 3 oraciones o menos:
El documento presenta 5 problemas de integrales y sus respectivas soluciones. Cada problema involucra distribuir el diferencial, aplicar propiedades de exponentes, y realizar sustituciones para resolver las integrales de funciones trigonométricas y exponenciales. Las respuestas proporcionan los pasos detallados para llegar a la solución de cada integral planteada.
1. El documento presenta fórmulas para calcular integrales de funciones elementales como potencias, logaritmos, exponenciales y trigonométricas. También incluye métodos para integrales más complejas mediante sustitución, partes o identidades trigonométricas.
1. El documento presenta varios ejemplos de cálculo de áreas y volúmenes utilizando la integral definida. Incluye fórmulas para calcular el área bajo curvas, entre límites y el volumen de figuras geométricas cuando giran alrededor de ejes.
2. Se proporcionan ejercicios resueltos de calcular áreas limitadas por funciones y rectas, y volúmenes de prismas, cilindros y otros sólidos.
3. El documento muestra cómo aplicar la integral definida para
(1) La tabla presenta fórmulas para integrales inmediatas, incluyendo integrales de funciones racionales, trigonométricas y exponenciales. (2) Se proporcionan ejemplos para ilustrar cada fórmula. (3) El documento ofrece una guía rápida para calcular integrales comunes.
Este documento presenta 17 ejemplos de aplicación de la técnica de integración por partes. En cada ejemplo se evalúa una integral indefinida mediante la fórmula de integración por partes, identificando las funciones u y dv. Algunos ejemplos requieren aplicar la técnica de forma repetida o realizar sustituciones para resolver integral intermediarias. El documento provee una guía detallada para aplicar correctamente la integración por partes en diferentes tipos de integrales indefinidas.
Ejercicios resueltos de integrales indefinidasasble
El documento presenta ejercicios de cálculo de integrales resueltos mediante diferentes métodos como integración por partes, sustitución, descomposición en fracciones simples y cambio de variable. Se calculan integrales de funciones racionales, trigonométricas y exponenciales, y se resuelven problemas que involucran hallar funciones a partir de sus derivadas o primitivas.
Este documento presenta una introducción al cálculo integral. Explica que el cálculo integral es la operación inversa de la derivación y permite estudiar tasas de cambio. Incluye fórmulas para calcular diferenciales y realizar integración. El objetivo es que los estudiantes aprendan los conceptos centrales de función, límite, derivada e integral para resolver problemas de la vida cotidiana.
Ejercicios con respuestas. Calculo Integral Facultad de ingeniería. Alexis Legazpi
1. Este documento presenta un resumen de varios problemas de cálculo integral y sus soluciones. Incluye cálculos de límites, sumas, integrales definidas e indefinidas y el uso de sumas de Riemann.
2. Se proporcionan las soluciones a 48 integrales diferentes que involucran funciones trigonométricas, logarítmicas y exponenciales.
3. También se presentan 6 problemas adicionales sobre temas como promedios, modelado matemático y el teorema de simetría para evaluar integrales.
1) La tabla resume las reglas de integración de funciones comunes como sen(x), cos(x), e^(x), entre otras.
2) Se describen métodos para integrar fracciones racionales con raíces reales múltiples o complejas simples.
3) También incluye una tabla de identidades trigonométricas útiles para realizar transformaciones antes de integrar.
Este documento presenta tres métodos para resolver integrales:
1) Integración inmediata aplicando reglas de integración establecidas.
2) Cambio de variable (sustitución) para transformar la integral en otra más sencilla.
3) Integración por partes usando la fórmula del producto de funciones diferenciables.
Integración por sustitución o cambio de variableAndres Mendoza
El documento presenta un proyecto de cálculo integral sobre la integración por sustitución o cambio de variable. Explica el método de sustitución para simplificar integrales complejas mediante el cambio de la variable de integración. Luego, resuelve 8 ejemplos aplicando este método y comparando dos métodos para uno de los ejemplos.
Este documento presenta ejercicios de derivadas e integrales con sus respectivas soluciones. Incluye reglas básicas de derivación de funciones como suma, producto, cociente, potencias y funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. También presenta ejemplos numéricos de derivación de funciones compuestas de varias variables.
Este documento presenta un método tabular para resolver integrales mediante la técnica de integración por partes. El método involucra elegir las funciones u y dv basado en una palabra mnemotécnica, y organizar la aplicación repetida de la fórmula de integración por partes en una tabla con tres columnas para u, los productos diagonales, y las integrales sucesivas de v. El método se ilustra con varios ejemplos.
Este documento presenta el tema de las derivadas de funciones trascendentes. Introduce las derivadas de las funciones seno y coseno, mostrando cómo derivarlas y aplicar las reglas de derivación a funciones compuestas que contengan seno y coseno. Incluye ejemplos como calcular derivadas, rectas tangentes y normales, y encontrar el rectángulo de mayor área inscrito en un círculo.
Este documento trata sobre la integral indefinida y sus aplicaciones. Explica conceptos como la integral indefinida, fórmulas básicas de integración, técnicas de integración como el método de sustitución y aplicaciones de la integral indefinida en problemas reales. Incluye ejemplos de cálculo de integrales indefinidas y ejercicios de aplicación de las fórmulas.
El documento resume las propiedades básicas de las integrales indefinidas y su relación con las derivadas. Explica que la integral indefinida de una función es única excepto por una constante aditiva, y que la regla de la cadena también se aplica a las integrales indefinidas de la misma manera que a las derivadas. Finalmente, presenta un ejemplo de cómo aplicar la fórmula de integración por partes.
Este documento trata sobre la integral indefinida. Se define la integral indefinida como el conjunto de todas las primitivas de una función. Se describen propiedades como linealidad y aditividad de la integral indefinida. Finalmente, se presentan métodos para calcular la integral indefinida como integración por sustitución, por partes e integrales inmediatas.
El documento presenta una serie de ejercicios relacionados con el cálculo de derivadas. En la primera sección se piden derivadas de funciones dadas. La segunda sección contiene ejercicios sobre derivadas de funciones implícitas. La tercera sección incluye problemas más complejos sobre derivadas de funciones compuestas y derivadas de orden superior.
Este documento presenta varios ejemplos de aplicación de conceptos de cálculo como derivadas, reglas de derivación y derivadas parciales en contextos de negocios y economía. En la Parte I, se muestran ejemplos de aplicación de la regla del producto y del cociente para calcular derivadas de funciones compuestas. En la Parte II, se calculan derivadas para encontrar costos y ingresos marginales en funciones de costo, ingreso y demanda, lo que permite analizar el impacto de pequeños cambios en las variables. El documento ilust
Este documento presenta 30 ejercicios resueltos sobre integración por partes. Cada ejercicio contiene los pasos para calcular la integral propuesta aplicando la fórmula de integración por partes. El autor explica cada paso de manera detallada.
Este documento explica los conceptos básicos de la integral indefinida, incluyendo: (1) la definición de antiderivada y cómo se relaciona con la derivada de una función; (2) que existen múltiples antiderivadas que solo difieren por una constante; (3) reglas para calcular antiderivadas de funciones de potencias y sumas de funciones; (4) la interpretación geométrica de la integral indefinida como una familia de curvas; y (5) el método de sustitución para calcular integrales más complejas.
Este documento presenta una evaluación de trigonometría analítica con 10 secciones. La primera sección pide determinar valores de funciones trigonométricas dados ciertos parámetros. La segunda sección encuentra valores faltantes de funciones trigonométricas. Las secciones 3 a 6 contienen problemas de simplificación, expresión y demostración de identidades trigonométricas. Las secciones 7 a 9 piden determinar valores de funciones trigonométricas compuestas. La décima sección resuelve ecuaciones trigonométricas.
1. Resume el documento en 3 oraciones o menos:
El documento presenta 5 problemas de integrales y sus respectivas soluciones. Cada problema involucra distribuir el diferencial, aplicar propiedades de exponentes, y realizar sustituciones para resolver las integrales de funciones trigonométricas y exponenciales. Las respuestas proporcionan los pasos detallados para llegar a la solución de cada integral planteada.
Este documento presenta una introducción a la geometría analítica y describe varias superficies geométricas como cónicas, cilindros, paraboloides e hiperboloides. Explica cómo estudiar estas superficies mediante el análisis de su simetría, intersección con ejes y planos coordenados, e intersección con planos paralelos. También incluye ejemplos de aplicaciones arquitectónicas de estas formas geométricas.
Este documento describe la teoría y aplicaciones de la proyección isométrica y las coordenadas homogéneas en álgebra lineal para gráficos de computadora. Se explica cómo proyectar objetos tridimensionales en un plano bidimensional, y cómo esto se puede usar para dibujar figuras como un cubo unidad. También incluye ejemplos de cómo calcular proyecciones y matrices de proyección para diferentes figuras geométricas.
Este documento presenta ejemplos resueltos de integrales de línea y de contorno de variables reales y complejas, así como ejercicios propuestos sin resolver. Se explican conceptos como la evaluación de integrales de contorno usando el teorema fundamental del cálculo y se resuelven problemas aplicando técnicas como sustituir la parametrización de la curva en la integral.
Este documento presenta las identidades trigonométricas para ángulos compuestos y diferencias de ángulos. Primero demuestra las identidades fundamentales de Sen(α + β), Cos(α + β) y Tg(α + β) mediante demostraciones geométricas. Luego presenta otras identidades importantes como Ctg, Sec y Csc para ángulos compuestos. Finalmente enlista propiedades adicionales de las funciones trigonométricas y ejemplos de aplicación de las identidades.
Este documento presenta problemas de cálculo de integrales triples. Resuelve integrales en regiones limitadas por paraboloides, hiperboloides, cilindros y tetraedros. También cubre cambios de coordenadas y descomposición de integrales para resolverlas.
Este examen de matemáticas para el segundo año de bachillerato incluye preguntas sobre geometría en el espacio. La primera pregunta involucra calcular la ecuación de un plano mediatriz y la distancia de un punto a ese plano. La segunda pregunta trata sobre rectas en el espacio y encontrar la ecuación de un plano y punto de intersección. La tercera pregunta cubre el producto vectorial y calcular el área de un triángulo definido por un plano. La cuarta pregunta analiza la posición de tres planos dependiendo
1) El documento presenta los conceptos básicos de los números complejos, incluyendo las formas cartesiana, binómica, polar y exponencial. 2) Se definen y explican propiedades de la unidad imaginaria, el conjugado complejo, el opuesto complejo, y el módulo. 3) Se proporcionan ejemplos y ejercicios prácticos sobre operaciones con números complejos.
Guía ejercicios operatoria de raices, racionalización, ecuaciones irracionalesjoanmanuelmolina
El documento presenta información sobre raíces. Explica cómo escribir expresiones en forma exponencial, las propiedades de las raíces como que si el exponente es impar la raíz es real y si es par debe ser mayor que cero, y ejemplos de operaciones con raíces como raíz de una potencia, producto, cociente, raíz y amplificación del índice. Finalmente, propone ejercicios para practicar sumas, determinar conjuntos de números reales, simplificar expresiones y racionalizar denominadores con raíces.
Guía ejercicios operatoria de raices, racionalización, ecuaciones irracionalesjoanmanuelmolina
Este documento presenta varios temas relacionados con las raíces. Explica cómo escribir expresiones en forma exponencial, las propiedades básicas de las raíces, y provee ejemplos de sumas, multiplicaciones, divisiones y simplificaciones de raíces. También cubre ecuaciones irracionales y ejercicios prácticos para aplicar los conceptos.
Este documento presenta una serie de ejercicios sobre números complejos. Incluye preguntas sobre raíces n-ésimas de la unidad, ecuaciones polinómicas, transformaciones geométricas como giros y exponentes de números complejos. También introduce conceptos como relaciones de orden en el conjunto de los números complejos y propiedades de figuras geométricas como paralelogramos y circunferencias bajo diferentes transformaciones.
Este documento presenta una serie de ejercicios de matemáticas para estudiantes de 5to año de secundaria. Incluye problemas sobre álgebra, funciones, límites, derivadas, integrales, sistemas de ecuaciones, matrices y trigonometría. Los estudiantes deben aproximar transformaciones de funciones, calcular determinantes, derivar funciones, resolver sistemas de ecuaciones y límites, y evaluar integrales y expresiones trigonométricas.
1) El documento presenta un examen parcial de cálculo vectorial que contiene 5 preguntas.
2) La primera pregunta solicita identificar la ecuación de una superficie equidistante.
3) La segunda pregunta pide describir y graficar curvas de nivel de una función.
4) La tercera pregunta calcula un límite utilizando coordenadas polares.
5) La cuarta pregunta verifica que una función satisface la ecuación de Laplace.
6) La quinta pregunta calcula el error porcentual
1. El documento presenta un examen parcial de cálculo vectorial que contiene 5 preguntas. Las preguntas abarcan temas como superficies equidistantes, curvas de nivel, límites, ecuaciones de Laplace y error en el cálculo de potencia eléctrica.
2. El examen instruye a los estudiantes a leer todo el examen antes de comenzar y les da un tiempo límite de 1 hora y 15 minutos. Cada pregunta tiene un valor específico dependiendo de si la respuesta y proceso son correctos o incorrectos
Este documento presenta las reglas para derivar diferentes tipos de funciones, incluyendo: derivadas de constantes, potencias, funciones compuestas, sumas y diferencias, productos, cocientes, funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas. También introduce la regla de la cadena para derivar funciones compuestas. El documento concluye con ejemplos de aplicación de estas reglas.
1) El documento presenta el método de separación de variables para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden y primer grado.
2) Se define una ecuación homogénea como aquella donde sus funciones M y N son homogéneas del mismo grado respecto a x e y.
3) Para resolver una ecuación diferencial homogénea, se realiza la sustitución v=y/x convirtiéndola en una ecuación de variables separables.
Este documento presenta 8 tareas de álgebra lineal. Estas incluyen determinar transformaciones lineales para diferentes valores dados, encontrar el núcleo de transformaciones lineales, determinar valores y vectores característicos de matrices, y diagonalizar matrices.
1) El documento describe conceptos básicos de geometría analítica en el espacio como productos escalares, productos vectoriales, coordenadas de vectores libres, ecuaciones de planos y rectas. 2) Explica cómo calcular ángulos entre planos, rectas y un plano, y distancias entre puntos, puntos y planos/rectas. 3) También cubre cálculos de volúmenes, áreas, bisectrices de ángulos y posiciones relativas de planos, rectas y más.
1) El documento describe conceptos básicos de geometría analítica en el espacio como el producto escalar, producto vectorial, coordenadas de un vector libre, ecuaciones de una recta y de un plano.
2) Se explican diferentes formas de expresar matemáticamente una recta y un plano, así como posiciones relativas entre rectas, planos y una recta y un plano.
3) También se analizan posiciones relativas entre tres planos, dos planos y una recta.
Similar a Dgb6 1 2_4 integración por sustitución trigonométrica (20)
Dgb6 1 2_4 integración por sustitución trigonométrica
1. Profr. Efraín Soto Apolinar.
Integración por sustitución trigonométrica
En esta sección vamos a estudiar el primer método para integrar funciones que no son inmediata-
mente integrables a partir de la tabla de integrales que tenemos.
Las siguientes sustituciones sirven para simplificar el integrando a una forma inmediatamente
integrable:
Para: Sustituir: para obtener:
√ a
a2 − b2 u2 u = sin z a 1 − sin2 z = a cos z
b
√ a √
a2 + b2 u2 u= tan z a 1 + tan2 z = a sec z
b
√ a √
b2 u2 − a2 u= sec z a sec2 z − 1 = a tan z
b
Debes recordar siempre sustituir dx a partir del cálculo correspondiente para que la diferencial
quede en términos de dz.
En el apéndice del libro se encuentran las definiciones básicas de las funciones trigonométricas y
las identidades más frecuentemente usadas.
Calcula la siguiente integral: √
om
9 − 4 x2 Ejemplo 1
dx .c
x
a1
ic
at
em
• Empezamos observando que a2 = 9, lo cual implica que a = 3, y b2 = 4, es decir, b = 2.
at
.M
• Entonces hacemos: x = ( a/b) sin z:
w
w
w
3 3
x= sin z ⇒ dx = cos z dz
2 2
• Sustituyendo estos valores en la integral obtenemos:
2
3
√ 9−4 sin z
9 − 4 x2 2 3
dx = cos z dz
x 3 2
sin z
2
• Ahora podemos simplificar dentro del signo de raíz:
2
3
9−4 sin z
2 3 9 − 9 sin2 z
cos z dz = cos z dz
3 2 sin z
sin z
2
3 1 − sin2 z
= cos z dz
sin z
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2. Profr. Efraín Soto Apolinar.
• Pero 1 − sin2 z = cos2 z,luego,
1 − sin2 z cos z
3 cos z dz = 3 cos z dz
sin z sin z
cos2 z
= 3 dz
sin z
1 − sin2 z
= 3 dz
sin z
1
= 3 − sin z dz
sin z
• Ahora podemos integrar:
√
9 − 4 x2 1
dx = 3 dz − 3 sin z dz
x sin z
= 3 csc z dz + 3 cos z
= 3 ln | csc z − cot z| + 3 cos z + C
• Hasta aquí hemos obtenido un resultado parcial.
• Recuerda que inicialmente la integral estaba dada en términos de x, no de z.
om
• Por lo que nosotros debemos dar el resultado en términos de x.
.c
a1
ic
• Para lograr eso, vamos a representar geométricamente la sustitución inicial:
at
em
3 2 x Cateto opuesto
at
x= sin z ⇒ sin z = =
.M
2 3 Hipotenusa
w
w
w
• En el triángulo rectángulo tenemos1 :
3 2x
z
√
9 − 4 x2
• Por la forma como se definen las funciones trigonométricas a partir de un triángulo rectán-
gulo tenemos:
√ √
3 9 − 4 x2 9 − 4 x2
csc z = , cos z = y cot z =
2x 3 2x
1 Para calcular el cateto adyancente al ángulo z hemos utilizado el teorema de Pitágoras.
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3. Profr. Efraín Soto Apolinar.
• Entonces, podemos reescribir la solución como:
√
9 − 4 x2
dx = 3 ln | csc z − cot z| + 3 cos z + C
x
√ √
3 9 − 4 x2 9 − 4 x2
= 3 ln − +3 +C
2x 2x 3
√
3 − 9 − 4 x2
= 3 ln + 9 − 4 x2 + C
2x
Observa que hemos utilizado un artificio: como la integral no se puede integrar de manera
inmediata debido a la forma que tiene, sabiendo que puede transformarse a una forma inmediata-
mente integrable usando una sustitución trigonométrica, vamos a utilizar la transformación sugerida
en la tabla dada en la página 1.
Después de hacer la sustitución obtenemos una integral en términos de funciones trigonométricas
que se puede integrar usando la variable z.
Para regresar este resultado a términos de x, utilizamos la sustitución que tomamos de la tabla
para representarla geométricamente usando un triángulo rectángulo y las definiciones de las fun-
ciones trigonométricas en él.
La integral
om
x dx
√ .c
9 x2 − 4
a1
Ejemplo 2
ic
se puede resolver a través de la regla de integración (iv). Utiliza sustitución trigonométrica para
at
calcularla y después la regla (iv) para verificar el resultado.
em
at
.M
w
• De acuerdo a la tabla de sustituciones para este tipo de integrales, haremos:
w
w
2 2
x= sec z ⇒ dx = sec z tan z dz
3 3
• Ahora sustituimos estos valores en la integral para transformarla:
2 2
sec z sec z tan z dz
x dx 3 3
√ =
9 x2 − 4 2 2
9 sec z −4
3
4 sec2 z tan z dz
= √
9 4 sec2 z − 4
4 sec2 z tan z dz
= √
9 2 sec2 z − 1
√ √
• Pero, sec2 z − 1 = tan2 z = tan z, luego
x dx 2 sec2 z tan z dz 2 2
√ = = sec2 z dz = tan z + C
9 x2 −4 9 tan z 9 9
• Ahora vamos a reescribir el resultado en términos de x.
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4. Profr. Efraín Soto Apolinar.
• El triángulo rectángulo que representa la sustitución que hicimos al principio del problema
es el siguiente:
√
3x 9 x2 − 4
z
2
• Entonces, de acuerdo a este triángulo, tenemos:
√
9 x2 − 4
tan z =
2
• Y al sustituir este valor en el resultado de la integral obtenemos:
√ √
x dx 2 9 x2 − 4 9 x2 − 4
√ = +C = +C
9 x2 − 4 9 2 9
om
• Ahora vamos a verificar el resultado usando la regla (iv):
.c
a1
dv
• Para este fin, definimos: v = 9 x2 − 4. Entonces, dv = 18 x dx. Luego x dx =
ic
.
at
18
me
x dx dv 1 1 v1/2
at
√ = √ = v−1/2 dv = · +C
.M
9 x2 − 4 18 v 18 18 1/2
w
1 2 1/2
w
= · 9 x2 − 4 +C
w
18 1
√
9 x2 − 4
= +C
9
• Y terminamos.
Calcula la integral:
dx
Ejemplo 3 √
16 x2 + 25
• Usaremos la sustitución:
5 5
x= tan z ⇒ dx = sec2 z dz
4 4
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5. Profr. Efraín Soto Apolinar.
• Esto transforma la integral a:
5
dx sec2 z dz
√ = 4
16 x2 + 25 5 2
16 tan z + 25
4
5 sec2 z dz
= √
4 25 tan z2 + 25
5 sec2 z dz
= √
4 5 tan z2 + 1
1 sec2 z dz
= √
4 tan z2 + 1
√ √
• Pero tan z2 + 1 = sec2 z = sec z, luego,
dx 1 sec2 z dz 1 1
√ = = sec z = ln |sec z + tan z| + C
16 x2 + 25 4 sec z 4 4
• Para hacer el cambio a la variable x usamos el siguiente triángulo rectángulo:
om
.c
a1
25
ic
2 +
at
x 4x
√ 16
em
at
.M
z
w
w
5
w
• Entonces, haciendo las sustituciones de acuerdo a la definición de las funciones trigonométri-
cas en el triángulo rectángulo obtenemos:
√
dx 1 16 x2 + 25 4 x
√ = ln + +C
16 x 2 + 25 4 5 5
Calcula la siguiente integral: √
1 − 25 x2 Ejemplo 4
dx
x2
• Usaremos la sustitución:
1 1
x= sin z ⇒ dx = cos z dz
5 5
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6. Profr. Efraín Soto Apolinar.
• Al sustituir estos valores en la integral obtenemos:
2
1
√ 1 − 25 sin z
1 − 25 x2 5 1
dx = cos z dz
x2 1 2 5
sin z
5
5 1 − sin2 z
= (cos z dz)
sin2 z
cos z
= 5 cos z dz
sin2 z
cos2 z
= 5 dz
sin2 z
= 5 cot2 z dz
• Ahora utilizaremos la identidad: cot2 z = csc2 z − 1:
√
1 − 25 x2
dx = 5 cot2 z dz
x2
= 5 csc2 z − 1 dz
= 5 csc2 z − 5 dz
om
.c
= −5 cot z − 5 z + C
a1
ic
at
• Ahora calculamos los valores de z y cot z en términos de x a partir del triángulo rectángulo
em
correspondiente:
at
.M
w
w
w
1 5x
z
√
1 − 25 x2
5x
sin z = = 5x ⇒ z = arcsin(5 x )
1 √
1 − 25 x2
cot z =
5x
• Ahora sustitumos estos valores en el valor de la integral:
√
1 − 25 x2
dx = −5 cot z − 5 z + C
x2
√
1 − 25 x2
= −5 − 5 arcsin(5 x ) + C
5x
√
1 − 25 x2
= − − 5 arcsin(5 x ) + C
x
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7. Profr. Efraín Soto Apolinar.
Es importante recordate que la integral inicial estaba dada en términos de la variable x.
Si entregas un resultado en términos de z, en realidad tu resultado no es incorrecto, pero tampoco
es correcto. Simplemente está incompleto.
Debes expresar el resultado en términos de la variable que aparezca la integral inicial. Por eso
se requiere hacer el cambio de variable dos veces: La primera para poder hacer la integral, la
segunda para entender el resultado.
Calcula la siguiente integral:
dx
√ dx Ejemplo 5
x2 x2 − 4
• Hacemos:
x = 2 sec z ⇒ dx = 2 sec z tan z dz
• Sustituyendo estos valores en la integral obtenemos:
dx 2 sec z tan z dz
√ dx = √
x2 x2 − 4 4 sec2 z 4 sec2 z − 4
1 sec z tan z dz
om
= √
2 2 sec2 z sec2 z − 1
.c
a1
1 tan z dz
=
ic
4 sec z tan z
at
dz
em
1
=
4 sec z
at
.M
1
= cos z
w
4
w
w
1
= sin z + C
4
x
• Dado que x = 2 sec z, se sigue: sec z = .
2
• El triángulo que corresponde para hacer el cambio de variable de z a x es:
x √
x2 − 4
z
2
√
x2 − 4
• Entonces, sin z = , y la integral queda:
x
√
dx x2 − 4
√ dx = +C
x 2 x2 − 4 4x
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