Este documento presenta varios temas relacionados con las raíces. Explica cómo escribir expresiones en forma exponencial, las propiedades básicas de las raíces, y provee ejemplos de sumas, multiplicaciones, divisiones y simplificaciones de raíces. También cubre ecuaciones irracionales y ejercicios prácticos para aplicar los conceptos.

1. RAÍCES
I.- Escribe en forma exponencial las expresiones siguientes:
1. 2x =
2. 3
b4 =
3. 3
mx =
4. 4
x 2 y5 =
5. 5
a 3 bc 3 =
6. 3
xy 2 z =
7. 2 ⋅3 4 =
8. 5
8 ⋅3 2 =
9. x⋅ x⋅ x =
10. x =
11. x =
12. 3
x =
II.- Propiedades de las raíces:
1) Si n es impar , ∀ a ∈ IR , n
a ∈ IR
2) Si n es par , n
a ∈ IR si a>0
3) Si n es par , n
a ∉ IR si a<0
4) RAIZ DE UNA POTENCIA CON EXPONENTE IGUAL AL INDICE:
n
an = ( a)
n
n
=a
Ej.: ( 7)
5
5
=7

2. 5) RAIZ DE UN PRODUCTO:
n
a⋅b = n a ⋅n b
Ej.: 3
4 ⋅3 2 = 3 8 = 2
6) RAIZ DE UN CUOCIENTE:
n
a a
n = n
b b
50 50
Ej.: = = 25 = 5
2 2
4) RAIZ DE UNA RAIZ:
n m
a = nm a
Ej.: 3
64 = 6 64 = 2
5) AMPLIFICACION Y SIMPLIFICACION DEL INDICE DE UNA RAIZ:
np n: p
n
am = a mp ó
n
am = a m: p
Ej.:
10
255 = 10:5 255:5 = 25 = 5
6) FACTOR DE UNA RAÍZ
a n b = n a nb
Ej.: 3 2 = 3 2 ⋅ 2 = 18

3. 7) RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES:
Racionalizar una fracción con denominadores irracionales consiste en eliminar los radicales de
los denominadores.
Ejemplos:
1) 3 3⋅ 2 3 2
= =
2 2⋅ 2 2
2) 2
=
(
2⋅ 7 − 2
=
2 7− 2
=
)
2 7− 2 ( ) ( )
7+ 2 ( 7+ 2 7− 2 )( 7−2 5 )
8) ECUACIONES IRRACIONALES:
Son aquellas en que la incógnita está como cantidad sub-radical.
Ejemplo: 1) 2x − 1 + 2 = 7 / -2
2x - 1 = 5 / () 2
( 2x - 1 =(5 )
2
)2
2x - 1 = 25 / +1
2x = 26 / :2
x = 13
2) 6 + 3 3x + 3 = 3 / () 2
6 + 3 3x + 3 = 9 / -6
3
3x + 3 = 3 / () 3
3x + 3 = 27 / -3
3x = 24 / :3
x =8

4. E J E R C I C I O S
I.- SUMA LAS SIGUIENTES EXPRESIONES :
1. 4 + 25 − 9 =
2. 3 100 + 5 81 − 6 169
3. 3 x +5 x −2 x =
1 4 16
4. 3 + + 0,16 =
8 81
64 125
5. 3 − 2⋅3 =
27 8
6. x4 25 x 2
2
+ 2⋅3 =
y 8x6
7. 3 a 2 + 2 a + 1 + 2 ( a + 1) =
8. 2 x 2 + 53 x 3 + 4 x 4 =
9. 3
1000 + 2 ⋅ 3 64 =
II.- DETERMINA EL CONJUNTO EN EL CUAL LAS RAÍCES SEAN REALES :
Aplicación de x ∈ IR ⇔ x≥0
1. x −1
2. 2x +1
3. 1 − 2 x
4. 1
x−3
x −1
5.
x +1
2
6.
x−5

5. III.- SIMPLIFICA LAS SIGUIENTES EXPRESIONES
Aplicación de RAIZ DE UN PRODUCTO y RAIZ DE UN CUOCIENTE
1. 12 =
2. 45a 5 b 3 =
3. ( a + b) 3 =
4. 3
8x 3 y 6 =
5. 3
24 x 5 y 6 z 3 =
6. 3
(2 x + y) 5 =
n
7. a 2 n b 3n c n =
8. n
x 2 n+5 =
9. 2n
x 6n y 4n =
a8 a6
10. + 8 =
b6 b
45 x 5 y 3
11. =
48 z 7
24 x 5 y 3
12. 3 =
54
a 2 + 2ab + b 2
13. =
4a 2 + 4a + 1
a 2 + 2a + 1
14. =
a 2 − 2a + 1
25a 6
15. =
a 2 − 12a + 36

6. IV.- EXPRESA EN FORMA DE UNA SOLA RAÍZ:
Aplicación de RAIZ DE UNA RAIZ FACTOR DE UNA RAIZ COMO FACTOR SUBRADICAL
1. 3
6 =
2. 4
2x =
3. 5 3=
4. 3
2 6 =
5. 4
a =
6. n
xmx =
7. 3 3 3 3 =
8. mn m =
V.- ESCRIBE LOS SIGUIENTES RADICALES CON ÍNDICE COMÚN :
Aplicación de AMPLIFICACION Y SIMPLIFICACION DEL INDICE DE UNA RAIZ
3
1. 3 y 2
4
2. 2 y 3
3 4
3. 5 , 2 y 3
3 4 6
4. x , x y x
x y xy
5. 4 , 3 y 6
3
6. a+b y a+b

7. VI.- ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE RADICALES :
Simplifica y luego realiza las siguientes adiciones :
1. 2 20 + 125 + 45 =
2. 2 27 + 5 12 − 2 75 =
3. - 4 28 + 63 + 6 20 + 2 45 =
4. 7 8 + 4 75 − 2 32 + 27 =
5. a - b -3 a - a -3 b =
6. a b − 3a b + 5 a 2 b − 4 a 4 b 2 =
7. n p − 2 n p + 18n p − 4n p =
1 2 3 1
8. a− a+ a− a=
2 5 4 3
VII.- Realiza las siguientes multiplicaciones y simplifica :
Aplicación de PRODUCTO DE RAICES y CUOCIENTE DE RAICES
1. 3⋅ 2⋅ 6 =
2. 3
3x ⋅ 3 2 x ⋅ 3 16 x 2 =
3. 4
2p 3 ⋅ 4 5 p 7 ⋅ 4 7 p 6 =
4. 2x + 1 ⋅ 2 x + 1 =
5. 5+ 3⋅ 5− 3 =
6. 2 ⋅3 2 ⋅4 2 =
7. 3
3x 2 yz ⋅ 3 9 x 4 y 2 z 5 =
8. (2 + 7 )⋅ (3 − 7 ) =
9. x+ y⋅ x− y =
10. 3 a +2 b ⋅ 3 a −2 b
11. (3 + 5 + 3 )(3 − 5 − 3 ) =
12. 3
a + b ⋅ 3 a 2 + 2ab + b 2 =
13. 2 7+ 5⋅ 2 7− 5 =

8. VIII.- REALIZA LAS SIGUIENTES DIVISIONES Y SIMPLIFICA :
1. 50 : 2 =
2. 3
54x 5 y 15 : 3 2x 2 y 3 =
3. (12 20 − 18 15 ) : 6 5 =
4. a 2 − 6a + 9 : a - 3 =
4
5. 3 5 : 24 2 =
3
6. 3 2 :6 5 =
7. (30 )( )
6a − 27 18a + 18 12a : 6 6a =
IX. RACIONALIZA LOS DENOMINADORES :
5
1. =
3
2
2. =
3 2
3
3. 3
=
3
a b
4. =
b a
a
5. 3
=
ab
mn
6. =
4
m3n
3
7. =
1+ 2

9. 2+ 3
8. =
2- 3
5 2
9. =
5+ 3
2 3
10. =
3 5 −2 2
a+ b
11. =
a- b
ab
12. =
a b +b a
1+ a
13. =
a - 1- a
1
14. =
3
2+3 3
5
15. =
2+ 3− 2
3 2
16. =
5− 3+ 2
3 2
17. =
3
4− 2
a
18. =
3
a+ b

10. X.- DETERMINA EL CONJUNTO SOLUCIÓN DE CADA ECUACIONES:
1. x−3 = 5
2. x −1 = x − 3
3. x( x − 3) − x = 5
4. x2 + 4 − 3 = x − 2
5. 1 + 7x = 2 2
6. 3+ 4+ x −8 = 3
7. 2x − 1 + 2x + 1 = 3
8. 1 + x = x + 7
9. x -1 + x + 8 = 9
10. 4x + 9 − x − 1 = x + 6
11. ( x −7 )( ) (
x +3 = x −6 )( x −5 )
12. x - 1- x + x =1
x +1 x +3
13. =
x +3 x +6
5 x + 13 3
14. =
7 x +5 2
15. x - 1- x + x =1
16. 2x - 1 − 2 − x - x + 8 = 0
17. x 2 - 3x + 4 = 2