Ejercicios Matematica III

1. EJERCICIOS PROPUESTOS No
02
V´ıctor Pocoy Y./ING. CIVIL
16 de mayo de 2016
1. Determinar el dominio de la siguiente funci´on
a) f(x, y) =
√
x − |2x + y| − 2 b) f(x, y) = arc cos(x) +
√
cos (x2 + y2)
2. Sea la funci´on dada por
f(x, y) =



2 −
1
x2 + y2
; 0 < x2
+ y2
≤ 1
[
x2
+ y2
]
; 1 < x2
+ y2
< 3
√
x2 + y2 − 1 ; x2
+ y2
≥ 5
Determinar el dominio, rango y gr´afica de f.
3. Caracterizar todas las curvas de nivel asociadas a la funci´on
f(x, y) =
x2
+ y
y2 + x
4. Sea la funci´on dada por
f(x, y, z) = −
√
x2 + y2 − 4z − 2x
a) Determinar el dominio y rango de f
b) Grafique las superficies de nivel de f con k = 0, ±1, ±2 si existen.
5. Calcular los siguientes limites si existen
a) l´ım
(x,y)→(1,2)
xy − 2x − y + 2
x2 + y2 − 2x − 4y + 5
b) l´ım
(x,y,z)→(0,0,0)
x + y + z
x + z
6. Sea la funci´on dada por:
f(x, y) =



sen(y − x2
)
y − x2
; y ̸= x2
1 ; y = x2
Analizar la regi´on de continuidad de f.
7. Sea la funci´on dada por:
f(x, y) =



(x + y)4
sen
(
1
x + y
)
; y ̸= −x
0 ; y = −x
a) Verificar que f es diferenciable en R2
b) Determine la ecuaci´on del plano tangente en (
√
13, −
√
13)
8. Verificar que la ecuaci´on de Laplace
∂2
u
∂x2
+
∂2
u
∂y2
= 0
en coordenadas polares es
∂2
u
∂r2
+
1
r
∂u
∂r
+
1
r2
∂2
u
∂θ2
= 0
1

2. 9. Aproximar usando diferenciales el valor de:
a) 1,042,02
+ ln(1,04) b) ln
(√
1,0052 + 0,0072
)
10. Los radios de la base de un cono truncado miden 30cm y 20cm, la altura 40cm. ¿C´omo var´ıa el volumen del cono
si aumentamos el radio mayor en 3mm, el radio menor en 4mm y la altura en 2mm ?
11. Determinar los puntos de la superficie (y + z)2
+ (z − x)2
= 16 donde la normal sea paralela al plano Y Z.
12. La distribuci´on de temperatura de una placa met´alica viene dada por la funci´on
T(x, y) = 20 − x2
− 3y2
a) ¿Cu´al es el punto m´as caliente?
b) Hallar la curva parametrizada cuya imagen es una part´ıcula seguidora de calor que parte del O(1, 1)
13. Sea la funci´on dada por
f(x, y) = ax2
y + by2
z + cz2
x
Hallar los valores de a, b, c para que la derivada m´axima de f se produzca en la direcci´on v = (1, 5, 0) y valga 13.
14. Determinar los extremos de la funci´on dada por
a) f(x, y) = x2
+ xy + y2
− 2x − y b) f(x, y, z) = x2
+ y2
+ z2
− xy + x − 2z
15. Determinar el m´aximo y m´ınimo absoluto de la funci´on f(x, y) = x3
+ y3
− 3xy en la regi´on D = [0, 2] × [−1, 2]
16. Sea la curva dada por la intersecci´on de las superficies x2
+ y2
− z2
= 1 y 2x + y + z = 0. Determinar los puntos
mas cercanos al origen.
17. En una esfera dada, inscribir el cilindro cuya superficie total sea m´axima
18. Determine las dimensiones del paralelep´ıpedo de volumen m´aximo, con los lados paralelos a los ejes coordenados,
inscritos en el elipsoide
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 1
19. Halle el m´aximo de f(x, y, z) = xy + xz sujeta a 2x + 3y = 5 y xy = 4.
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